Đề cương bài giảng môn Đại số và Hình học giải tích

Chia sẻ: Nguyễn Tình | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của đề cương cung cấp đến người học thông tin tổng quan các kiến thức trong môn học như tập hợp và ánh xạ; ma trận định thức & c; không gian vector - không gian euclid; ánh xạ tuyến tính; trị riêng, vector riêng, dạng toàn phương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương bài giảng môn Đại số và Hình học giải tích

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 1 Tiết 1-4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: 4 Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Mệnh đề toán học và các phép toán logic Các mục 1.2 Tập hợp 1.3 Ánh xạ Mục đích - - Giới thiệu mục đích, ý nghĩa của môn học yêu cầu - Nắm được nội dung cơ bản của lý thuyết tập và khái niệm ánh xạ. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT Chương I. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC VÀ CÁC PHÉP TÍNH LOGIC 1.1.1 Mệnh đề toán học: Là những khẳng định mang một ý nghĩa đúng hoặc sai. Không có mệnh đề nửa đúng nửa sai. Thí dụ 1.1 “ 5 > 3” : Mệnh đề đúng “Áo bộ đội màu nâu” : Mệnh đề sai. 1.1.2 Các phép toán logic trên các mệnh đề. Giả sử ta có các mệnh đề A, B, C… a) Phép phủ định A : Mệnh đề A nhận giá trị đúng khi A sai, nhận giá trị sai khi A đúng. b) Phép Hội  : Mệnh đề A  B chỉ nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B cùng đúng. c) Phép Tuyển  : Mệnh đề A  B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A và B cùng sai. d) Phép kéo theo  : Mệnh đề A  B chỉ nhận giá trị sai khi và chỉ khi A đúng và B sai. e) Phép Tuyển loại trừ  : Mệnh đề A  B nhận giá trị đúng khi A đúng và B sai hoặc A sai B đúng. Bảng chân trị A B A A B A B A B A B A B 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1.1.3 Điều kiện cần, điều kiện đủ Nếu A  B thì A được gọi là điều kiện đủ của B, B được gọi là điều kiện cần có của A. Nếu A  B thì A được gọi là điều kiện cần và đủ của B và ngược lại. 1.1.4 Vị từ Như đã biết, mệnh đề là một câu khẳng định có ý nghĩa đúng hoặc sai rõ ràng. Tuy nhiên, trong thực tế có những câu khẳng định mà giá trị chân lý của nó đúng hay sai tùy thuộc vào một hay nhiều yếu tố chưa cụ thể (biến) nào đó. Thí dụ 1.2 Khằng định “ x>5” có giá trị là đúng nếu x=7 và có giá trị là sai nếu x=2. a) Hàm mệnh đề. Hàm P  x1 , x2 , , xn  xác định trên tập A được gọi là hàm mệnh đề n-ngôi trên nếu A thay x1  a1 , x2  a2 ,, xn  an với ai  A , i  1, n thì P  a1 , a2 , , an  là một mệnh đề. Thí dụ 1.3 P(x) = “x>5” : Là hàm mệnh đề 1 ngôi trên R; P(x,y,z) = “x>y, y>z” : Là hàm mệnh đề 3 ngôi trên R . 1
Trong các vị từ người ta thường sự dụng các lượng từ: Lượng từ riêng  , đọc là “ tồn tại”, “có” hay “ có ít nhất một”…hay Lượng từ chung  , đọc là “ với mọi”, “ tất cả”,… Sự kết hợp giữa một hay nhiều lượng từ và một hàm mệnh đề tạo ra mệnh đề. Những mệnh đề như vậy gọi là vị từ. Thí dụ 1.4  x P(x): Là khẳng định tồn tại ít nhất x để P(x) đúng;  x P(x) : Là khẳng định với mọi giá trị x P(x) đều đúng.  x y P(x,y): Là khẳng định tồn tại ít nhất 1 giá trị x để P(x,y) đúng với mọi giá trị y. b) Phép toán phủ định của vị từ i) x P(x) = x P ( X ) ii) x P(x) = x P( X ) Thí dụ 1.5 Để định nghĩa dãy {an} có giới hạn là a, người ta viết:   0, k  N , n  k  an  a   Vì vậy, để khẳng định {an} phân kỳ hoặc không phải có giới hạn là a, ta cần chỉ ra:   0 , k  N , n  k sao cho an  a   Hệ quả : i) x P(x)  Q(x)  x P(x)  Q( x) ii) x P(x)  Q(x)  x P(x)  Q( x) 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không định nghĩa. Tuy nhiên có thể giải thích: Một tập hợp bao gồm các đối tượng xác định hợp thành. Mỗi đối tượng gọi là một phần tử của tập hợp. Kí hiệu các tập hợp: A, B, C... Nếu x là một phấn tử của tập A ta viết xA, còn nếu y không phải là phần tử của tập A ta viết xA. 1.2.2 Mô tả một tập hợp: Có 2 phương pháp a) Liệt kê các phần tử của tập hợp. Thí dụ 1.6 S ={1,2,3,a,c}. Khi đó : 3,aS và 5,6,bS. b) Nêu các tính chất đặc trưng của phần tử. Thí dụ 1.7 B = {số nguyên, dương chẵn}. Khi đó 2,4,8B và 1,13,-8B c) Một số tập hợp đặc biệt - Tập rỗng  ={} - Tập số tự nhiên N ={0,1,2,3,...} - Tập số nguyên Z = {0,  1, 2, 3...} - Tập số hữu tỷ Q = {p/q p,qZ , q0} - Tập số thực R = { Các số hữu tỷ và vô tỷ} d) Hai tập A và B được gọi là hai tập bằng nhau: Nếu chúng có cùng các phần tử A = B  (xA xB) (yB  yA) e) Bao hàm và tập con. Tập hợp A được gọi là tập con của tập B , nếu mọi phần tử của A đều là của B. A  B  (xA  xB) Cách viết khác nhau về tập con: A  B - Đọc là : A là tập con của tập B, A nằm trong B; B  A - Đọc là : B chứa A , B bao hàm A. Như vậy, nếu A = B thì A là tập con của tập B và B cũng là tập con của tập A. Thí dụ 1.8 Cho C ={ 1, 2, 5} và D={ 1,2,3,4,5} ta thấy C  D. Tập tất cả các tập con của tập A gọi là tập 2A. Thí dụ 1.9 Nếu A={ 1,2,3} thì 2A ={, {1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2.3},{1,2,3} } Dễ dàng chứng minh được: Nếu A có n phần tử thì 2A có 2n phần tử (!). 2
Để mô tả mối quan hệ của 2 tập hợp người ta thường dùng sơ đồ Ven. Chẳng hạn, mô tả quan hệ A  B bằng sơ đồ: A B 1.2.3 Các phép toán trên tập hợp a) Phép giao  : AB = { x | xA và xB} b) Phép hợp  : AB = { x | xA hoặc xB} c) Phép trừ - : A-B = A\B = { x | xA và xB} d) Tập phần bù : Giả sử A là tập con U. Phần bù của tập A trong U là tập Ac hay A = {xU | xA} =U-A Nếu A là một tập "vũ trụ", nghĩa là mọi tập cần xét đều được xem là tập con của U, thì có thể nói gọn lại Ac là phần bù của tập A. Thí dụ 1.10 Cho A ={1,2,3,4,9} B = { 3,4,5,8} U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Khi đó AB = {1,2,3,4,5,8,9} AB = {3,4 } A-B = {2,9} Ac = {0,5,6,7,8} 1.2.4 Tính chất của các phép toán tập hợp a) Kết hợp : (AB)C = A(BC) (AB)C = AB(C) b) Giao hoán : AB = BA B = BA c) Phân phối : (AB) C = ( AC)(BC) (AB) C = (AC)  (BC) d) Hai lần bù : (Ac)c =A e) Luật DeMorgan: (AB)c = Ac  Bc ) (AB)c = Ac  Bc 1.2.5 Tích Des Cartes Giả sử A, B , C là các tập hợp và {Ai}i=1,2,…,n là một họ n tập hợp. Khi đó ký hiệu: AB = {(x,y)| xA và yB} ABC = {(x,y,z)| xA, yB và zC } n  Ai  A1  A2  An = {(x1,x2 ,…,xn)| xiAi ; i=1,2,…,n } i 1 xi gọi là tọa độ thứ i của phần tử (x1,x2 ,…,xn) Trường hợp riêng, nếu A1  A2    An  A thì : An = {(x1,x2 ,…,xn)| xiA ; i=1,2,…,n } n Dễ dàng chứng minh được : N(A1A2…An) =  N ( Ai ) i 1 1.2.6 Phủ và phân hoạch Cho S là là một họ các tập con của tập A : S = (Ai), i=1,2,...,n. Khi đó S được gọi là một phân n phủ của tập A nếu  Ai = A i=1 Nếu S là một phủ của A và tập Ai rời nhau từng đôi một thì S gọi là một phân hoạch của A. Thí dụ 1.11 Ba tập A   x  R | x  0 , B   x  R | x  0 , C  0 là một phân hoạch của tập R. 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Khái niệm về ánh xạ: Ánh xạ từ tập E đến tập F là 1 qui luật f, liên hệ giữa E và F, sao cho khi nó tác động vào 1 phần tử x thuộc tập E sẽ sinh ra 1 và chỉ 1 phần tử thuộc tập F. Ký hiệu f : E  F hay E  f F Gọi E là Tập nguồn và F là tập đích. Nếu f tác động vào x  E sinh ra y  F thì ta viết y  f ( x) hay 3
Thí dụ 1.12 Một số ánh xạ : y  x3  1 với E  F  R ; y  [x] với E  R, F  Z ; y  sin x  2 với E  F  R . Cho tập sinh viên lớp E và tập chỗ ngồi trong phòng học F, f ( x) là chỗ ngồi của sinh viên x. 1.3.2 Tập ảnh: Giả sử f : E  F , khi đó - Tập ảnh của ánh xạ f là: f ( E )  {y  F | x  E : y  f ( x)} - Tập ảnh của tập A  E qua ánh xạ f là: f ( A)  {y  F | x  A : y  f ( x)} 1.3.3 Đơn ánh: Ánh xạ f : E  F được gọi là một đơn ánh nếu từ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) hay từ f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 . 1.3.4 Toàn ánh: Ánh xạ f : E  F được gọi là một là một toàn ánh (ánh xạ tràn) nếu f ( E )  F . 1.3.5 Song ánh: Ánh xạ f : E  F được gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Thí dụ 1.13 Xét các ánh xạ: y  x3  1 với E  F  R : Là đơn ánh, toàn ánh nên là một song ánh. y  [x] với E  R, F  Z : Là toàn ánh , không đơn ánh. y  sin x  2 với E  F  R : Không đơn ánh, không toàn ánh. 1.3.6 Ánh xạ ngược của song ánh: Cho song ánh f : E  F khi đó tồn tại một ánh xạ g : F  E được xác định như sau x  g ( y ) nếu y  f ( x) . Ánh xạ ngược của ánh xạ f thường ký hiệu là f 1 . Thí dụ 1.14 Ánh xạ y  x 3  1 với E  F  R là một song ánh. Do đó: x  f 1 ( y )  3 y 1 . Dễ dàng thấy rằng nếu f là song ánh thì f 1 cũng là một song ánh và  f  1 1  f Song ánh f : E  F tạo ra một quan hệ 1-1 giữa 2 tập E và F 1.3.7 Hợp (tích) của hai ánh xạ Cho f : E  F và g : F  G . Tích của hai ánh xạ f và g, ký hiệu g 0 f : E  G , được xác định như sau: x  E f  y  f ( x)  g  z  g ( y ) . Nói các khác z  g 0 f ( x)  g[f ( x)] . Thí dụ 1.15 Giả sử f : y  sin( x) và g : z  log( y ) thì g 0 f : z  log(sin x) .  Các tính chất (tự CM). - Hợp của hai đơn ánh là đơn ánh; - Hợp của hai toàn ánh là toàn ánh. - Hợp của hai song ánh là song ánh. Giả sử f : E  F là song ánh thì f 1 cũng là một song ánh. Khi đó x  E I E ( x)   f 10 f  ( x)  f 1[f ( x)]  x; : IE là ánh xạ đồng nhất trên E. Tương tự, y  F I F ( y )   f 0 f 1  ( y )  y : IF là ánh xạ đồng nhất trên F. 4
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 2 Tiết 5-8 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: 4 Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.4 Luật hợp thành trong Các mục 1.5 Sơ lược về cầu trúc đại số 1.6 Số phức Mục đích - - Giới thiệu sơ lược về các cấu trúc đại số: Nhóm, vành, trường. yêu cầu - Nắm được khái niệm trường số phức C một số ứng dụng của nó. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT 1.4 LUẬT HỢP THÀNH TRONG 1.4.1 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E là một quy luật tác động lên hai phần tử của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử của nó. f :EE  E x, y  E  f  z  f ( x, y )  E . Thường ký hiệu: z  x * y . Thí dụ 1.16 - Luật cộng trong N : + - Luật nhân trong R : × - Luật chia trong R-{0}: / 1.4.2 Tính chất. Giả sử * là một luật hợp thành trong trên tập E. Khi đó: a) Giao hoán: Luật * gọi là có tính chất giao hoán nếu x, y  E  x * y  y * x b) Kết hợp: Luật * gọi là có tính chất kết hợp nếu x, y, z  E  ( x * y )* z  x *( y * z ) c) Có phần tử trung hòa: Luật * gọi là có phần tử trung hòa e nếu e  E x  E  x * e  e * x  x d) Phần tử đối xứng: Giả sử Luật * gọi là có phần tử trung hòa e . Phần tử x  E gọi là có phần tử đối xứng là x ' nếu x '  E : x * x '  x '* x  e Thí dụ 1.17 - Luật + trên N có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 0 và chỉ có phần tử 0 mới có phần tử đối xứng. - Luật × trên Q hay R có tính chất giao hoán, kết hợp, có phần tử trung hòa là 1 và mọi phần tử khác 0 đều có phần tử đối xứng. 1.5 SƠ LƯỢC VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trên một tập hợp ta có thể trang bị một hay nhiều phép toán với một số tính chất xác định tạo ra một đố tượng toán học gọi là cấu trúc đại số. 1.5.1 Cấu trúc nhóm. Giả sử tập G   có trang bị một phép toán *. Khi đó (G,*) gọi là có cấu trúc nhóm, gọi tắt là nhóm G, nếu thỏa các tính chất: a) Luật * có tính kết hợp; b) Luật * có phần tử trung hòa, ký hiệu e; c) Mọi phần tử của G đều có phần tử đối; d) Nếu luật * có tính chất giao hoán thì G gọi là một nhóm Abel. Thí dụ 1.18 (Z,+) và (R-{0},×) là các nhóm Abel, (R,×) không phải là nhóm.  Một số tính chất của nhóm. Giả sử (G,*) là một nhóm, khi đó: i) Phần tử trung hòa là duy nhất; ii) Mỗi một phần tử của a  G có một phần tử đối duy nhất a’; iii) Trên nhóm G có quy tắc giản ước: a * x  a * y  x  y ; iv) Trên nhóm G phương trình a * x  b có nghiệm duy nhất x  a '* b 5
1.5.2 Cấu trúc vành. Giả sử tập A   có trang bị hai phép toán + và ×. Khi đó (A,+,×) gọi là có cấu trúc vành, gọi tắt là vành A, nếu thỏa các tính chất: i) (A,+) là một nhóm giao hoán, phần tử trung hòa ký hiệu là 0; ii) Luật × có tính kết hợp; iii) Luật × có tính phân phối hai phía đối với luật +, nghĩa là: a, b, c  A  a  (b  c)  a  b  a  c và a, b, c  A  (a  b)  c  a  c  b  c ; iv) Luật × có tính chất giao hoán; Ngoài ra: v) Nếu luật × có tính chất giao hoán thì A gọi là một vành giao hoán; vi) Nếu luật × có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1, thì A gọi là một vành có đơn vị; vii) Nếu vành A có tính chất: a  b  0  a  0 hoặc b  0 thì gọi lag vành nguyên. Thí dụ 1.19 (Z,+,×), (Q,+,×) và (R,+, ×) đều là các vành giao hoán, có đơn vị và nguyên. 1.5.3 Cấu trúc trường. Giả sử tập K   có trang bị hai phép toán + và ×. Khi đó (K,+,×) gọi là có cấu trúc trường, gọi tắt là trường K, nếu thỏa các tính chất: a) K là một vành giao hoán, có đơn vị; b) Với a  K , a  0 (phần tử trung hòa của luật +) đều tồn tại phần tử nghịch đảo (phần tử đối xứng của luật ×), ký hiệu là a-1 . Thí dụ 1.20 (Q,+,×) và (R,+, ×) đều là các trường.  Một số tính chất của trường (tự CM). Giả sử (K,+,×) là một trường, khi đó: i) K là một vành nguyên; ii) (K-{0},×} là một nhóm; iii) Trong trường K, phương trình ax=b với a=0 có nghiệm duy nhất x  a 1  b . 1.6 SỐ PHỨC 1.6.1 Khái niệm ban đầu về số phức Bộ ba  R, ,   tạo ra trường số thực R. Mặc dù R rất rộng, R  Q  Z  N nên nó có ứng dụng rất lớn trong tính toán, nhưng trong R phương trình đơn giản x 2  1  0 vẫn vô nghiệm. Vì thế cần phải mở rộng trường R để giải quyết các bài toán phức tạp nảy sinh trong KHKT và kinh tế. Ban đầu, người ta đặt i  1 gọi nó là số ảo. Rõ ràng là i là nghiệm của phương trình x 2  1  0 . Số ảo từ đó được ứng dụng khâ hiệu quả. Nhưng cách tiếp cận số phức như vậy không tự nhiên.  Định nghĩa số phức: Số phức là một cặp số thực: z  (a, b) với a, b  R . Đặt Re( z )  a gọi là phần thực sổ sô phức z, Im( z )  b gọi là phần ảo của số phức z và tập tất cả các số phức là C. 1.6.2 Trường số phức Trên tập C ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân. Giả sử z  (a, b) và z '  (a ', b ')  C , khi đó: z  z '  (a, b)  (a ', b ') : (a  a ', b  b ') z.z '  (a, b)  (a ', b ') : (aa ' bb ', ab ' a ' b) Dễ dàng kiểm tra lại  C , ,   là một trường, gọi là trường số phức C. Thí dụ 1.21 (2,3)  (4,5)  (6,8) (2,3)  (4,5)  (2.4  3.5, 2.5  4.3)  (7, 22) 1.6.3 Mặt phẳng phức Có thể ký hiệu các số phức là x, y, z… Mỗi số phức z  (a, b) tương ứng 1-1 với một cặp số thực nên hoàn toàn có thể biểu diễn bởi một điểm M(a,b) trên mặt phẳng Oxy. Vì thế mặt phẳng Oxy cũng được gọi là mặt phẳng phức. Trong đó: Ta có thể đồng nhất số phức có phần ảo bằng 0: z  (a, 0)  a . Vì vậy số thực được coi như trường hợp riêng của số phức và trục Ox gọi là trục thực. Kiểm tra lại: a  b  (a, 0)  (b, 0)  (a  b, 0) ab  (a, 0)(b, 0)  (ab  0, a.0  b.0)  (ab, 0) a  a  (a, 0)  (a, 0)  (a  a, 0)  (0, 0)  0 6
aa 1  (a, 0)(a 1 , 0)  (aa 1 , 0)  (1, 0)  1 1.6.4 Tích số phức với số thực Cho z  (a, b)  C ,   R . Ta có .z  ( , 0).(a, b)  ( a, b) hay  (a, b)  ( a, b) . 1.6.5 Các dạng số phức Trục Oy gọi là trục ảo. Mỗi số phức trên Oy có dạng z  (0, b) , gọi là số thuần ảo. Đặt i  (0,1) , gọi là đơn vị ảo. Ta có: (0, b)(0, b)  (b 2 , 0)  b 2  R , (0, b)  b(0,1)  b.i y Do i  1 nên i là nghiệm của phương trình x  1  0 2 2 b M ( a, b) Cần chú ý: i 4 k  1, i 4 k 1  i, i 4 k  2  1, i 4 k 3  i - Dạng chuẩn của số phức: z  (a, b)  a  bi Xét mặt phẳng phức. Điểm M (a, b)  11 z  a  bi .    Đặt   (Ox, OM )  arg( z ) và   a  b  Modul ( z ) | z | . O 2 2 a x Khi đó: z  (a, b)   (cos   i sin  ) : Dạng lượng giác của số phức. Từ công thức Euler: ei  cos   i sin  suy ra z   ei : Dạng Euler của số phức. 1.6.6 Các phép toán trên số phức Giả sử z  (a, b)   (cos   i sin  )   ei và z '  (a ', b ')   '(cos  ' i sin  ')   ' ei ' a) Hai số phức bằng nhau: z  z '   a  a ' b  b '       '    ' 2k  b) Tích hai số phức: z.z '   . ' ei (  ') hay | z.z ' |  . ' | z | . | z ' | và arg( z.z ')     '  arg( z )  arg( z ') z  c) Thương hai số phức: Với z '  0 ta có  ei (  ') hay z' ' z  |z| z 1   và arg       '  arg( z )  arg( z ') , đặc biệt arg     '   arg( z ') . z'  ' | z'|  z'  z' d) Lũy thừa và khai căn + z n   n ein hay | z n |  n , arg  z n   n  n.arg( z ) . Công thức Moivre: z n   n (cos n  i sin n ) .   2 k + i    2k   2k  n z  n  e i  n e n  n   c os  i .sin   n n  Như vậy n z có n giá trị khác nhau, tương ứng với k  0,1, 2,..., n  1 , trên mặt phẳng phức chúng tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh.   2 k   2 k Thí dụ 1.22 3 1 có 3 giá trị khác nhau zk  cos  i.sin , k  0, 2 3 3   1 3 Với k  0, z0  cos  i.sin   i , k  1, z1  cos   i.sin   1 3 3 2 2 5 5 1 3 và k  2, z2  cos  i.sin  i 3 3 2 2 e) Tổng và hiệu hai số phức: z  z '  (a  a, b  b ') y z+z’ Từ mặt phẳng phức dễ thấy: z  z ' | z |  | z ' | z z’ O x 1.6.7 Số phức liên hợp: Đặt z  a  bi gọi là số phức liên hợp của số phức z . 7
Trên mặt phẳng phức thì z đối xứng với z qua trục hoành.  Tính chất: z  z , z  z  2a  R và z.z  a 2  b 2 | z |2 R . 1 z z  Khử số phức ở mẫu số: Do   2 z z. z | z | 1 3  4i 3 4 Thí dụ 1.23  2   i 3  4i 3  4 2 25 25 1.6.8 Giải phương trình bậc 2 trên trường số phức Xét phương trình Ax 2  Bx  C  0 với A, B, C  R trên trường số thực, A  0 . Ta có thuật toán: + Tính   B 2  4 AC . B   + Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1,2  ; 2A B + Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép: x1  x2  ; 2A + Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm. Tuy nghiên, phương trình Ax 2  Bx  C  0 trên trường số phức, với A  0 luôn luôn có hai B   nghiệm phức: x1,2  . 2A  B  i  Nếu A, B, C  R và   0 thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: x1,2  . 2A 8
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 3 Tiết 9-12 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: 4 Chương 1 TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Các mục 1.7 Đa thức Chữa bài tập chương 1. Mục đích - - Giới thiệu đa thức , các tính chất và phép toán. yêu cầu - Học viên cần nắm được khái niệm số phức và thành thạo các phép tính số phức. NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT 1.7 ĐA THỨC 1.7.1 Khái niệm về đa thức Cho số tự nhiên n trên trường K là một hàm có dạng: p  x   a 0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n với a0 , a1 ,..., an  K (ThườngK là R hoặc C). + Nếu an  0 ta nói đa thức p  x  có bậc n; + Nếu a1  a2  ...  an  0 và a0  0 ta nói đa thức p  x  có bậc 0 ( p  x   hằng số  0 ); + Nếu a0  a1  a2  ...  an  0 ta nói đa thức p  x  có bậc  ( p  x   0 ) Đa thức là một hàm đơn giản, dễ tính giá trị, đạo hàm và nguyên hàm 1.7.2 Chia đa thức cho đa thức bậc nhỏ hơn Thí dụ 1.24 Giả sử ta cần chia p  x   -6+x  7 x 3  x 5 cho q  x   -1- x  x 2  x 3 x5  7 x3  x6 x3  x 2  x  1 x5  x 4  x3  x 2 x2  x  5  x  6x  x + x  6 4 3 2  x 4  x3  x 2 + x  5 x3 6  5x  5 x + 5x  5 3 2 5 x 2  5x  11 Ta viết có thể viết: x5  7 x3  x  6  ( x 3  x 2  x  1)( x 2  x  5)  (5 x 2  5x  11) . Tổng quát, giả sử p  x  là một đa thức bậc n và q  x  là một đa thức bậc m (m
1.7.4 Đa thức với hệ số thực Xét đa thức p  x   a 0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n với a0 , a1 ,..., an  R, n  1, an  0 trên trường C. Lần lượt thay x bởi số phức z và z ta có: p  z   a 0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  2 n và p z  a 0  a1 z  a2 z  ...  an z . Do các tính chất của số phức: z  z '  z  z ' , z. z '  z. z '  nên p z  p  z  . Do đó nếu p( z )  0 thì p ( z )  0 . Theo định lý 1.3 ta có thể phân tích p  x  thành dạng: p  x   an ( x  1 ).( x   2 )...( x   r ).( x  1 ).( x   1 ).( x   2 ).( x   2 )...( x   s )( x   s ) , (1.1) trong đó  k , k  1, r là r nghiệm thực và  j , j  1, s là các nghiệm phức của p  x  , đồng thời n  r  2s . Ta xét các đa thức dạng: ( x   j ).( x   j )  x 2  (  j   j ) x   j  j . Do b j   j   j , c j   j . j  R (  j  b 2j  4c j  0 ) nên từ (1.1) đa thức p  x  có thể được phân tích thành dạng: p  x   an ( x  1 ).( x   2 )...( x   r ).( x 2  b1 x  c1 ).( x 2  b2 x  c2 )....( x 2  bs x  cs ) , với b j , c j  R , j  1, s (Tích của các đa thức bậc nhất và bậc hai hệ số thực),. II. CHỮA BÀI TẬP A. Luyện tập tại lớp 1 2 1. Biết sin x  , cos x  , hãy áp dụng số phức để tính giá trị của biểu thức A= cotg7x - sin2x 5 5 2. Tính giá trị của các biểu thức : 1  i 3  50 100 1  i  9  1 i 3  (1  i )  1 5 (1  i ) 9 A =   B= + C= + (2  i )  1 (1  i )7  2  2i  1  i  5 23 15  3 i  1  i 3   1  i 3   1  i 3  49 15 15 1  2i   1  i  2 3 D= E= F=   3  2i    2  i   2  2i  (1  i ) 20 (1  i ) 20 3 2 30 1  i 3  49 (1  i )5  1 G= H = Z= 15  8i  3  4i (2  i )5  1  2  2i  30 3. Giải phương trình : x4 + 6x3 + 9x2 + 100 = 0 . Biết phương trình có 1 nghiệm phức là x= 1+2i 4. Giải phương trình : x4 -3x3 + x2 + 4x - 6 = 0 . Biết phương trình có 1 nghiệm phức là x= 1- i 5. Giải phương trình trong trường số phức và viết các nghiệm dưới dạng Euler: x6 -7x3 - 8 = 0 6. Giải phương trình trên trường phức: p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 Viết đa thức p(x) thành tích các đa thức bậc 2 với các hệ số thực. B. Bài tập về nhà: 1.4-1.9, 1.16, 1.18-1.24, 2.6-2.16, 2.26-2.32 10
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 4 Tiết 13-16 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: 4 Chương 2 MA TRẬN ĐỊNH THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các mục 2.1 Ma trận 2.2 Các phép tính trên ma trận 2.3 Định thức 2.4 Nghịch đảo ma trận Mục đích - - Giới thiệu ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo. yêu cầu - Thành thạo cách tính định thức NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT Chương 2. MA TRẬN ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 MA TRẬN 2.1.1 Khái niệm về ma trận: Ma trận là một bảng hình chữ nhật gồm m  n phần tử của trường K, sắp xếp thành m hàng và n cột có dạng:  a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2 n  A   21    hay A  aij  ... ... ... ...   m n a a  m1 m 2 ... amn  trong đó: aij  K , với i  1, m, j  1, n là phần tử nằm trên hàng i cột j của ma trận A.  1 27 3 42  Thí dụ 2.1 A   5 6 73 8  là ma trận cỡ 3  4 .  9 15 11 12    2.1.2 Một số kiểu ma trận a) Ma trận không: Các phần tử đều bằng không. b) Ma trận vuông: Có số hàng bằng số cột. c) Ma trận đường chéo: Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo và các phần tử nằm trên đường chéo bằng 1. d) Ma trận tam giác: - Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông, các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính bằng 0. - Ma trận tam giác dưới: Ma trận vuông, các phần tử nằm phía trên đường chéo chính bằng 0. 0 0 0 Thí dụ 2.2 O  Ma trận không cỡ 2x3; 0 0 0 1 0 0 0 8 1 6  0 1 0 0 A   3 5 7  Ma trận vuông cấp 3; B   Ma trận đơn vị cấp 4;  4 9 2 0 0 1 0     0 0 0 1 1 2 3 C   0 0 6  Ma trận tam giác trên; 0 0 9    mn Gọi ma trận chuyển vị của A là ma trận A 2.1.3 Chuyển vị ma trận: Cho ma trận . A  aij T hay   A '  a 'ij n m sao cho a'ij=aji. Nếu A’=A thì A được gọi là một ma trận đối xứng. 11
1 5 9 1 2 3 4  2 6 10  Thí dụ 2.3 Nếu A   5 6 7 8  thì A '   .  9 10 11 12  3 7 11      4 8 12   1 2 5  C   2 0 3  là ma trận đối xứng.  5 3 4  2.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2.2.1 Cộng ma trận. Cho hai ma trận cùng cỡ: A  (a ij )mn và B  (bij )mn Tổng của A và B là ma trận C = A + B = (cij )mn trong đó cij = aij + bij 2.2.2 Nhân ma trận với một số Cho A= (a ij )mxn và kR , thì tích kA là ma trận xác định bởi kA  (k .aij ) mn  Tính chất: A + B  B  A Giao hoán  A  B  C  A   B  C  Kết hợp A  O  A O  A Phần tử trung hòa -A  1. A Phần tử đối  Đặt M mn là tập tất cả các ma trận cùng cỡ m  n . Khi đó (M mn ,  ) là một nhóm Abel. 2.2.3 Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận A = (a ij )mp và B = (bij ) pn : Số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Ta gọi tích AB hay AB là ma trận C= (cij ) mn , mà phần tử cij được xác định bởi công thức: p cij  ai1b1 j  ai 2 b2 j  .....  aip b pj   aik bkj (2.1) k 1  Sơ đồ tính toán: Hàng i của ma trận A Cột j của ma trận B 1 0  1 3 0   5 4  Thí dụ 2.4 A  ; B   2 1  AB   . 3 2 5     22 3  3 1   Tính chất: (AB) C = A (BC) Tính kết hợp A (B  C)  AB  AC  : Tính phân phối với phép cộng ma trận (B  C) A  B A  C A Lưu ý. Nói chung, kể cả 2 ma trận A và B vuông, cùng cấp, ta không có AB  BA . Như vậy, phép nhân ma trận không có tính giao hoán. 1 2   2 6  Thí dụ 2.5 A  ; B  AB=O nhưng BA O 2 4  1 3  Đặt M n là tập tất cả các ma trận vuông cùng cấp n. Khi đó (M n , , ) là một vành không giao hoán. 12
2.3 ĐỊNH THỨC 2.3.1 Khái niệm định thức Giả sử A là ma trận vuông cấp n>1. Ta gọi ma trận con Mij của ma trận A tương ứng với phần tử aij là ma trận vuông cấp n-1 suy từ A bằng cách bỏ đi các phần tử hàng i và cột j. Thí dụ 2.6 Sau đây là ma trận A và các ma trận con M23 và M12 tương ứng với các phần tử a23 và a12 của nó:  1 2 3 1 2  4 6 A   4 5 6  , M 23    , M12   . 7 8 9 7 8 7 9    Định nghĩa: Định thức của ma trận A vuông cấp n, gọi chung là định thức cấp n, được định nghĩa theo phương pháp qui nạp như sau: - Nếu A là ma trận cấp 1: A=(a11), thì det(A)=a11; a a  - Nếu A là ma trận cấp 2: A   11 12  thì a a  21 22  det  A   a11a22  a12 a21  a11det  M11   a12 det ( M12 ); - Tổng quát: Nếu A là ma trận cấp n ≥ 2 thì det( A)  a11det  M11   a12 det ( M12 )  ...   11 n a1n det (M1n ) ; n hay det( A)   (1) j 1 a1 j det( M1 j ) . (2.2) j 1 1 2 1 2 Thí dụ 2.7 + A    det( A)   1 4  2  3  2 3 4 3 4 1 2 3 5 6 4 6 4 5 + A   4 5 6 det( A)  1  2  3  240  7 8 8 9 7 9 7 8  9  2.3.2 Cách tính định thức cấp 3  a11 a12 a13  Có thể tính định thức cấp 3 theo sơ đồ sau: Giả sử A =  a 21 a 22 a 23  .  a 31 a 32 a 33  Viết thêm 2 cột 1 và 2 bên cạnh A: và tính det(A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23a32 - a12 a21 a33 1 2 3 1 2 3 1 2 Thí dụ 2.8 Tính det(A) với A =  4 5 6    4 5 6 4 5   7 8 9  7 8 9 7 8 det  A   1.5.9  2.6.7  3.4.8  3.5.7  1.6.8  2.4.9  240 2.3.3 Tính chất của định thức i) Phép lấy chuyển vị ma trận không làm thay đổi giá trị định thức: det(A)  det(A T ) Hệ quả. Một tính chất được phát biểu đúng với các hàng của ma trận thì nó cũng đúng với các cột của ma trận. ii) Nếu đổi chỗ 2 hàng (2 cột) của định thức thì định thức đổi dấu. iii) Một định thức có hai hàng (2 cột) giống nhau thì bằng 0. iv) Khai triển định thức theo hàng i : det(A)  ( 1)i 1 a i1 det(Mi1 )  a i2 det(Mi2 )  a i3 det(Mi3 )  ...  (1)1 n a in det(Min )  (2.3)   13
Khai triển định thức theo cột j : det(A)  ( 1) j1  a1j det(M1j )  a 2 j det(M 2 j )  a 3 j det(M 3j )  ...  ( 1)1 n a nj det(M nj )    i+j Chú ý. Nếu đặt cij = (-1) det(Mij), gọi là phần phụ đại số của phần tử aij của ma trận A, thì các công thức khai triển định thức theo hàng i và theo cột j có thể viết lại như sau: n det (A) = a i1ci1  a i2ci2  a i3ci3  ...  a in cin =  a ijcij (2.4) j1 n = a1jc1j  a 2 jc 2 j  a 3 jc3j  ...  a nj c nj =  a ijcij i 1 v) Nếu ma trận A có một hàng gồm toàn số 0 thì det(A)  0 . vi) Nếu nhân các phần tử của một hàng (1 cột) của định thức với cùng một số k thì định thức được nhân với k. vii) Nếu ma trận A có hai hàng tỷ lệ thì định thức tương ứng bằng 0. viii) Nếu nhân các phần tử của hàng r (cột r) với số k rồi cộng vào hàng s (cột s) thì định thức không đổi. Nếu cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức không đổi. ix) Định thức của ma trận tam giác trên (dưới) bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. a11  a '11 a12 a a a' a x)  11 12  11 12 a21  a '21 a22 a21 a22 a '21 a22 xi) Nếu A và B là 2 ma trận vuông cấp n thì det(A B)  det(A) det(B) 2.3.4 Các phương pháp tính định thức Để tính định thức cấp n, nếu sử dụng công thức trong định nghĩa ta phải tính n định thức cấp n-1. Như vậy ta phải tính trên n! phép tính. Vì vậy cần phải nghiên cứu tính chất của định thức để có thể biến đổi định thức về dạng đơn giản và do đó tính toán nhanh hơn.  Các phép biến đổi sơ cấp a) Nhân một hàng với một số k 0: Định thức được nhân với k; b) Đổi chỗ 2 hàng: Định thức đổi dấu; c) Cộng k lần một hàng r vào hàng s: Định thức không đổi.  1 1 0 1     1 2 0 2 Thí dụ 2.9 Tính định thức của ma trận: A  .  1 1 1 3     2 4 1 4 1 1 0 1 1 2 0 2 Giải. 1 1 1 3 2 4 1 4 ---------------------------------------- 1 1 0 1 h1 0 3 0 3 h 2  h1 0 2 1 4 h 3  h1 0 2 3 2 h 4  2h 3 ------------------------------------------ 1 1 0 1 h1 0 3 0 3 h2 0 0 3 6 3h 3 -2h 2 0 0 4 6 h 4  h3 ------------------------------------------- 14
1 1 0 1 h1 0 3 0 3 h2 Suy ra det(A) = (-1).3.(-3).(6)/9 = 6 0 0 3 6 h3 0 0 0 6 3h4 +4h 3 Dễ nhận thấy quá trình tính toán thực hiện qua n-1 bước biến đổi ma trận. Từ bước thứ k (k=1,2,..) k hàng đầu của định thức không đổi nên có thể rút gọn quá trình tính toán như sau: 1 1 0 1 3 0 3 h 2  h1 1 2 0 2 1 3 6 3h 2 -2h1  1 2 1 4 h 3  h1 = -3  = - (18 - 24)  6 1 1 1 3 3 4 6 h 3  h 2 2 3 2 h 4  2h 3 2 4 1 4 2.4 NGHỊCH ĐẢO MA TRẬN 2.4.1 Ma trận khả nghịch, Ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Cho A  (aij ) nn . Nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB= BA = E (ma trận đơn vị) thì ma trận A gọi là khả nghịch và B gọi là nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu B  A 1 . 2.4.2 Tính chất của ma trận nghịch đảo. a) Nếu A khả nghịch thì ma trận A-1 là duy nhất; b) Nếu A khả nghịch thì A-1 cũng khả nghịch và (A-1) -1 = A; c) Nếu 2 ma trận vuông cấp n là A và B cùng khả nghịch thì (A B) -1 =B-1A -1;   1 m Hơn nữa m  Z , k  0  R ( Am ) 1  A1 và (kA)1  A1 k 2.4.3 Điều kiện khả nghịch Định lý 2.1 Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó A khả nghịch  det (A)  0 . Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử A khả nghịch. Khi đó tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB=E. Theo tính chất của định thức thì det (AB)  det(E)  1  det(A).det(B)  1  det(A)  0. Điều kiện cần. Giả sử det (A)  0 . Đặt cij = (-1)i+j det(Mij), gọi là phần phụ đại số của phần tử aij của ma trận A, ta có: n 0 khi k  i ak1ck1  ak 2ci 2  ak 3ci 3  ...  akn cin   akj cij   j 1  det( A) khi k  i  det(A) 0 0    1 T Do đó AC   0 det(A) 0  hay A 1  CT (đpcm). (2.5)  0 det(A)  0 det(A)  2.4.4 Cách tính ma trận nghịch đảo Trong chứng minh định lý trên người ta chỉ ra cách tính ma trận nghich đảo. Tuy nhiên, theo công thức này ta phải tính n2 định thức cấp n-1. 1 2 3   Thí dụ 2.10 Tính ma trận nghịch đảo của ma trận A   2 5 3 1 0 8   Giải. Tính det(A)= -1  0. Tính các phần phụ đại số:  5 3  2 3 2 5 c11 = (-1)1+1   = 40 c12 = (-1)1+2   = -13 c13 = (-1)1+3   = -5  0 8  1 8 1 0  2 3 2+2  1 3  1 2 c21 = (-1)2+1   = -16 c22 = (-1)  = 5 c23 = (-1)2+3  = 2  0 8 1 8  1 0 15
 2 3  1 3 1 2 c31 = (-1)3+1   = -9 c32 = (-1)3+2  = 3 c13 = (-1)3+3  = 1  5 3  2 3 2 5  40 16 9  Suy ra A   13 5 3  1   5 2 1     Phương pháp Gauss - Jordan: Xét các phép biến đổi sơ cấp về hàng của ma trận A: Stt Phép biến đổi Tương đương với 1 Nhân hàng r với một số k 0 Nhân bên trái A ma trận sơ cấp F(r,k) 2 Đổi chỗ 2 hàng r và s Nhân bên trái A ma trận sơ cấp P(r,s) 3 Cộng k lần một hàng r vào hàng s Nhân bên trái A ma trận sơ cấp Q(r,k,s) Trong đó F(r,k) = [… ] P(r,s) = [...] Q(r,k,s) = […] Các ma trận sơ cấp đếu khả nghịch và F(r,k)-1 = F(r,1/k) , P(r,s) = P(r,s) Q(r,k,s)-1 = Q(r,-k,s) Nếu dùng liên tiếp k phép biến đổi sơ cấp để đưa được A về ma trân đơn vị thì : Ek Ek-1…E2E1A = E  Ek Ek-1…E2E1 = A-1  Ek Ek-1…E2E1 E =A-1 Như vậy các phép biến đổi sơ cấp biến đổi A về E cũng sẽ biến đổi được E về ma trận đơn vị. Từ đó ta có qui tắc thực hành sau: + Lập ma trận mở rộng A   A | E  + Thực hiện liên tiếp các biến đổi sơ cấp về hàng của A   A | E  . Khi A biến đổi về ma trận đơn vị thì E biển đổi thành ma trận A-1.  1 2 3 Thí dụ 2.11 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   2 5 3   1 0 8   Giải. Dùng biến đổi sơ cấp 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1  1 2 3 1 0 0 h1 0 1 3 2 1 0 h 2 2h1 0 2 5 1 0 1 h 3  h1  1 0 9 5 2 0 h1  2h 2 0 1 3 2 1 0 h2 0 0 1 5 2 1 h 3  2h 2  1 0 0 40 16 9 h1  9h 3 0 1 0 13 5 3 h 2 3h 3 0 0 1 5 2 1 h 3  40 16 9  1   Suy ra A   13 5 3   5 2 1    16
1 1 1 1  1  2 3 2  Thí dụ 2.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A   1  1 2  1   1 1 1 0 Giải. Dùng biến đổi sơ cấp ta có: 1 1 1 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 ------------------------------------------------------ 1 1 1 1 1 0 0 0 h1 0 1 2 1 1 1 0 0 h 2  h1 0 0 1 2 1 0 1 0 h 3  h1 0 0 1 1 0 0 1 1 h 4  h 3 ------------------------------------------------------ 1 0 1 0 2 1 0 0 h1  h 2 0 1 2 1 1 1 0 0 h2 0 0 1 2 1 0 1 0 h3 0 0 1 1 0 0 1 1 h4 ------------------------------------------------------- 1 0 0 2 1 1 1 0 h1  h 3 0 1 0 5 1 1 2 0 h 2  2h 3 0 0 1 2 1 0 1 0 h3 0 0 0 1 1 0 0 1 h 4  h3 ---------------------------------------------------------- 1 0 0 0 3 1 1 2 h1  2h 4 0 1 0 0 4 1 2 5 h 2  5h 4 0 0 1 0 1 0 1 2 h 3  2h 4 0 0 0 1 1 0 0 1 h 4 3 1 1  2   1  4 1 2 5  Suy ra A  1 0 1 2   1 0 0 1  17
ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Đơn vị: Bộ môn Toán, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 5 Tiết 17-20 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: 4 Chương 2 MA TRẬN ĐỊNH THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các mục 2.5 Hạng của ma trận 2.6 Hệ phương trình tuyến tính Mục đích - - Giới thiệu hạng và cách tính hạng ma trận, Hệ phương trình tuyến tính yêu cầu - Giới thiệu các phương pháp giải Hệ phương trình tuyến tính NỘI DUNG I. LÝ THUYẾT Chương 2. MA TRẬN ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.5 HẠNG CỦA MA TRẬN  a11 a12 ... a1n    a a22 ... a2n  Xét ma trận cỡ m  n : A   21  ... ... ... ...     am1 am 2 ... amn  Giả sử p là số nguyên dương thỏa mãn p  min( m, n) Mỗi ma trận vuông cấp p suy từ ma trận A bằng cách bỏ đi m - p hàng và n - p cột gọi là ma trận con cấp p của ma trận A. Định thức của ma trận con cấp p của ma trận A gọi là định thức con cấp p.  1 2 3 4   1 3  Thí dụ 2.13 A   5 6 7 8  B =   là ma trận con cấp 2 của A, det (B) = -16  9 10 11 12   9 11   2.5.1 Định nghĩa 1.4 Hạng của ma trận A, ký hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. 2.5.2 Phương pháp tính hạng của ma trận a) Cách 1. Dùng định nghĩa : + Chỉ ra một định thức con cấp r của A khác 0; + Chứng tỏ mọi định thức con cấp r + 1 của A đều bằng 0. + Kết luận rank A = r. Cách này phải tính rất nhiều định thức con. Ta gọi một ma trận là có dạng bậc thang nếu thỏa mãn:  Các hàng khác 0 nằm trên hàng 0  Trong 2 hàng khác 0: Phần tử khác 0 đầu tiên của hàng trên có chỉ số cột bé hơn chỉ số cột của phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới. b) Cách 2: Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng (hoặc đối với cột) để đưa A về dạng bậc thang. Do các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Do đó hạng của A bằng số hàng (hoặc số cột) khác không của ma trận dạng bậc thang thu được. Chú ý. Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rankA = n  A khả nghịch.  1 0 0 1  0 1 1 2   Thí dụ 2.14 Tìm hạng của ma trận A   1 1 1 1     4 2 3 1  3 1 2 0  18
 1 0 0 1   1 0 0 1   1 0 0 1  1 0 0 1  0 1   0 1 1 2  0   0 1 1 2   1 2     1 1 2  Giải. A   1 1 1 1    0 1 1 2   0 0 0 0   0 0 1 1          4 2 3 1   0  2 1  3   0 0 1 1  0 0 0 0  3 1 2 0   0 1 2 3   0 0 1 1   0 0 0 0  Suy ra rank(A) =3 2.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.6.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát  Định nghĩa 2.1 Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2  (2.6)  ... ... ... ... ... am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm Trong đó aij là hệ số của ẩn xj trong phương trình thứ i.  Dạng ma trận  a11 a12 ... a1n     a21 a22 ... a2n  Đặt A  , với , là ma trận các hệ số của ẩn.  ... ... ... ...     am1 am 2 ... amn   x1   b1      x b x   2  : là ma trận cột (vector) các ẩn số ; b   2  : là vector các hệ số vế phải.  ...   ...       xn   bm  Khi đó hệ (2.6) được đưa về dạng ma trận Ax  b . (2.7) Nếu m = n thì ta có hệ vuông. Khi b = 0, hệ Ax  0 được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. 3x  7x 2  x 3 = 5 Thí dụ 2.15 Hệ 2 phương trình 3 ẩn:  1  x1  6x 2 = -3 x  x 2  0 Hệ vuông thuần nhất cấp 2:  1 4x1  6x 2  0 2.6.2 Hệ Cramer  Định nghĩa 2.2 : Hệ phương trình (2.2) với m = n, và detA ≠ 0 gọi là hệ Cramer.  Định lý 2.1 Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: x = A-1b det(A j ) Hay xj  , j  1, n (2.8) det(A) trong đó Aj là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột hệ số tự do:  a11 a12 ...a1, j1 b1 a1, j1... a1n     a 21 a 22 ...a 2, j1 b 2 a 2, j1... a 2n  Aj    ..... ..... .....    a n1 a n2 ...a n, j1 b n a n, j1... a nn  19
2x1  4x 2  3x 3  4  Thí dụ 2.16 Giải hệ 3x1  x 2  2x 3  2 4x  11x  7x  7  1 2 3 2 4 3 Giải. det (A) = 3 1 2 = 29 4 11 7 4 4 3 2 4 3 2 4 4 2 1 2 3 2 2 3 1 2 7 11 7 29 4 7 7 29 4 11 7 58 x1    1 x2 = x2    1 x3 = x3   2 29 29 29 29 29 29 Hệ có nghiệm duy nhất: x (1,-1,2) 2.6.3 Phương pháp Gauss a) Hệ tam giác trên Xét hệ phương trình có dạng tam giác trên: a11x1  a12 x 2  a13 x 3 . . .  a1n x n  b1   a 22 x 2  a 23 x 3 . . .  a 2n x n  b 2   . . . ... ... ... ...  a nn x n  b n Nếu aii  0 với mọi i thì hệ phương trình là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất, được tính theo công thức thế ngược như sau: b bn1  an1,n xn xn  n , xn1  ann an1,n1 n bk   akj x j j  k 1 xk  k  n, n -1,..., 2,1 akk Rõ ràng, trong trường này không cần tính một định thức nào. b) Phương pháp Gauss (Giải hệ phương trình tuyến tính dạng tổng quát bằng các phép biến đổi sơ cấp )  a11 a12 . . . a1n b1     a 21 a 22 . . . a 2n b2  - Viết ma trận mở rộng: A  [A | b]= . . . . . . . . . . . . . . . .     a m1 a m2 . . . a mn b m  - Dùng các phép biến đổi sơ cấp về hàng của ma trận, đưa A để đưa nó về dạng ma trận bậc thang (các phép biến đổi sơ cấp về hàng của ma trận không làm thay đổi nghiệm của hệ)  a11 a12 . . . a1n b1    0 a 22 . . . a 2n b2  A  A1   . . . . . . ... ... ...     0 a m2 . . . a mn bm  Giả sử a 22  0 , lấy nó để tiếp tục biến đổi từ hàng thứ 3 trở đi đối với ma trận mới này...Cứ mỗi bước biến đổi ta giữ lại 1 phương trình gọi là phương trình gốc và loại trừ được ít nhất một ẩn ra khỏi các phương trình còn lại. Tiếp tục sau một số bước ta đưa B về dạng bậc thang. Tương ứng với ma trận đó là một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho. 20