bài giảng sức bền vật liệu, chương 5

Chia sẻ: Minh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

358
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dầm có tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b) Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh. Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài giảng sức bền vật liệu, chương 5

Chương 5 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 4.1. KHÁI NIỆM CHUNG Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn... thì khả năng của chúng không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng và sự bố trí mặt cắt ngang. Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b  h với h > b trong hai trường hợp: Tiết diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b. d= 0,7071D P b a) a) h M P b) b) d= 0,7071D b h Hình 4.1: Dầm có D tiết diện đứng (a) và nằm ngang Hình 4.2: Dầm có (b) tiết diện hình trụ(a) và hình vành khăn (b) Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh. 70
4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung quanh A một phân tố diện tích dF. 4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các biểu thức tích phân sau:  S x  F ydF S y xd , đơn vị m3, cm3 ... ;  F F Trong đó: Sx, Sy có thể âm, dương, hay bằng không. 71
y F: Diện * Khi mô men tĩnh của diện tích F tích của đối với một trục nào bằng không thì trục bề mặt đó gọi là trục trung tâm. cắt ngang * Giao điểm của hai trục trung tâm A dF gọi là trọng tâm của mặt cắt ngang. y Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể O x thiết lập công thức tính tọa độ trọng tâm x của diện tích F đối với hệ trục Oxy. Giả Hình 4.3 Xác sử có hai trục trung tâm Cxo , Cy0 cắt định mô nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và men tĩnh song song với Ox, Oy, hình 4.4. Theo định nghĩa ta có: Sxo = Syo = 0 (a) Gọi (xC,yC) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và (xo,yo) là tọa độ của A y yo trong hệ trục Cxoyo x  x c  x o   y  y F thì: y c o Từ định nghĩa có: A S x   ydF   (y c  y o )dF  y c  dF   y o dF xo F F F F yc Sx = ycF + Sxo = ycF y C [Sxo = 0 yo O x theo (a)] Tương tự: Sy = xcF x0 xC Vậy, ta có:   S  Sx  y c F  x x    c  (4-1) y F  S y  x  x Hình 4.4: Xác cF  S định toạ độ trọng tâm y  của mặt c F cắt Tính chất cơ ngang bản: y Mọi trục đối xứng của mặt cắt  xdF   | x | dF   xdF ngang đều là trục trung tâm (hình 4.5). Thực vậy, nếu trục y là trục đối xứng của mặt cắt ngang thì: 72
dF dF B A F1 F 2 F1 F2 F2 Trong đó F1, F2 diện tích của hai nửa. S y    xdF   xdF  xdF  0 xdF  F F1  F2 x F1 -x x Sy = 0 F2 Vậy y là trục Hình 4.5: Trục trung tâm. đối xứng của mặt cắt ngang là trục * Ví dụ 1: trung tâm a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với các trục đi qua các cạnh (hình 4.6). 73
y Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện tích dF = bdy, ta có:  h 2 dF  ydF ybdy  (4-2) dy S  bh x 0 2 F h C Tương tự : hb2 h/2 y (4-3) Sy 2 = x O b/2 Tọa độ trọng tâm : b 2 b Sy x c    yc h F bh Hình 4.6: Tính mô ;  2 2b 2 dy men tĩnh và toạ độ trọng tâm h mặt cắt ngang chữ b) Tính y nhật mô men tĩnh S x và tung độ trọng tâm y c của hình tam giác đối với trục x  cạnh đáy (hình 4.7). dF Theo hình 4.7, ta có: dF = b(y)dy , b(y)  h y mà b(y) b h h y => dF b(h y) x O = dy h b h b bh 2 S x   ydF   (h 6 (4- F y)ydy  4) Hình 4.7: Tính  mô men tĩnh và 0h 2 tung độ y bh / 6 h S xc  trọng tâm mặt cắt  F   bh / 2 3 c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8). y Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy dF dy 74
nhưng y = Rsin => dy= Rcosd A b(y) = 2Rcos  b(y) => dF =  y 2R2cos2d O  / 2 =>Sx =  R sin.2R 2 R R x cos2 d 2 Hình 4.8 Tính 0 mô men tĩnh và (4- => Sx = 3R 3 tung độ trọng 5) tâm m y   4 Sx c R 3 F  75
d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với y trục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có: 2a 2a S x   ydF   ydF   ydF   ydF  ydF F F1 F F3 F4 2  2 2 1 3a(6a 4a(6a)  2 2 S 2  ) 2 a(3a) 3 x 6 Sx = 90a3 6a 2 4 3 xC = 0 3a x y c  S x  90a  180a 3 3 a  5a F 9 84 9 42 5 a2  a Hình 4.9 Tính mô 2  men tĩnh và tung độ trọng tâm mặt ắt ngang h 4.2.2. Mô men quán tính đối trục (gọi tắt mô men với một quán tính). Ta gọi mô men quán tính của diện tích F Diện tích mặt cắt đối với y trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau: J x  y 2 A dF F y dF  2 4 hay J   x đơn vị m , y cm4 ... O x x dF F Jx, Jy luôn luôn dương. của diện tích F đối với gốc tọa độ O 4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối là biểu thức tích phân: với một điểm). Ta gọi mô men quán tính độc cực 76
y tính Hình 4.10: Xác dF dF định mô men quán J P 2 , đơn vị m 4...  dF 4 B A F , cm Trong đó:  = OA 2 vì  2 = x2 + y2 P   (x  y F1 F2 2 )dF => J F Jp = Jx + Jy cũng như mô men quán tính, mô men quán tính độc cực bao x -x O x giờ cũng dương. Hình 4.11: Xác 4.2.4. Mô men quán tính ly tâm. định mô men Ta gọi mô men quán tính ly tâm quán tính li của diện tích F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân: J xy   xydF đơn 4... 4 tâm vị m , cm x, y có thể có dấu ngược nhau => Jxy có thể âm, dương, hay bằng không. 77
Khi Jxy = 0, thì Oxoyo gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính). * Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. * Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương tự như ở hình 4.5). 78