intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Sức bền vật liệu chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn

Chia sẻ: _Vũ Khôi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
57
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Sức bền vật liệu chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn" được biên soạn với mục tiêu giúp các bạn nắm được những kiến thức về chuyển vị của dầm chịu uốn, phương trình vi phân của đường đàn hồi, lập phương trình đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân không định hạn, xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tải trọng giả tạo (phương pháp đồ toán). Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Sức bền vật liệu chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn

  1. Bài giảng sức bèn vật liệu Chương 8 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I.KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy được gọi là đƣờng đàn hồi của dầm (H.8.1).  P P z z  K  K v y(z) v K P Đường đàn hồi K P Đường đàn hồi ’ ’ z  u y y H.8.2 H.8.1  01 V(z) 02  u Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng.Sau khi biến dạng, điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K/. Khoảng cách KK’được gọi là chuyển vị thẳng của điểm K. Chuyển vị nầy có thể phân làm hai thành phần: Thành phần (v) vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng hay độ võng của điểm K. Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K. Ngoài ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc, ta gọi là chuyển vị góc (hay là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với đường đàn hồi và hợp với trục chưa biến dạng của dầm một góc  ta dễ thấy  là góc xoay của mặt cắt ngang. Ba đại lượng u, v,  là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K. Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vị u và xem KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 1 GV: Lê đức thanh
  2. Bài giảng sức bèn vật liệu dầm trước biến dạng (H.8.2). dv Góc xoay  có thể lấy gần đúng:   tg  . dz Nếu chọn trục dầm là z, và trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung độ y của điểm K’.Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K có hòanh độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y,  cũng là những hàm số của z và phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình của góc xoay sẽ là:  z    y' z  dv dy  dz dz Phƣơng trình của góc xoay là đạo hàm của phƣơng trình đƣờng đàn hồi. Quy ƣớc của chuyển vị: - Độ võng y dương nếu hướng xuống. - Góc xoay  dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ. Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới hạn nhất định để đảm bảo yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công trình..., điều kiện nầy được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f /L độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là: f 1 1  L   300  1000   trong đó : L - là chiều di nhịp dầm. Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số của  f L . II. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. Trong chương 7 (công thức7.1) ta đã lập được mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx tại K là: 1 Mx  (a)  EI x Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ trục (y0z) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K có hoành độ z được tính theo công thức: 1 y   (b)  1  y  3 2 2 y  Mx (a) va (b)   (c) EI x 1  y'  3 2 2 Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 2 GV: Lê đức thanh
  3. Bài giảng sức bèn vật liệu hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn. Khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như z z H.8.3. Trong cả 2 trường hợp Mx Mx mômen uốn Mx và đạo hàm bậc hai y” luôn luôn trái dấu, cho nên Mx Mx phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng: Mx < 0 Mx > 0 y y y” > 0 y” < 0 H.8. 3 y' ' Mx 3   EI x 1  y' 2 2 Với giả thiết chuyển vị của dầm là bé có thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đó phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi có dạng gần đúng như sau: Mx y' '   (8.1) EI x trong đó: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm . III. LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương trình vi phân thường. Tích phân lần thứ nhất (8.1)  phương trình góc xoay: Mx   y'    dz  C (8.2) EI x Tích phân lần thứ hai  phương trình đường đàn hồi:  M  y      x dz  C dz  D (8.3)  EI x  Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện biên. Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi tải trọng trên dầm. A A C B yA = 0 A = 0 yA = 0 b) yB = 0 a) H. 8.4 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 3 GV: Lê đức thanh
  4. Bài giảng sức bèn vật liệu Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau: + Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không (H.8.4a): yA =  A = 0 + Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b): yA = yB = 0 + Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải ( điểm C trên H.8.4b): P y C = yC ;  C =  C tr ph tr ph B z A Thí dụ 1 yB = B = 0 z Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm L côn son (console) như H.8.5.Từ đó suy ra độ võng và góc y xoay lớn nhất. Cho EIx = hằng số. H.8.5 Mx Giải. P Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là (gốc z tại A) Mx = –Pz (a) thế vào (8.1)  phương trình vi phân của đường đàn hồi : Mx Pz y' '    (b) EI x EI x Pz 2 tích phân hai lần,    y'  C (c) 2EI x Pz 3 y  Cz  D (d) 6EI x C và D được xác định từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại ngàm: z = L;  = 0 v y = 0 thay các điều kiện nầy vào (c) và (d)  PL2 PL3 C ; D 2EI x 3EI x Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: Pz 3 PL2 PL3 y  z ; 6EI x 2EI x 3EI x Pz 2 PL2   2EI x 2EI x Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có PL3 PL2 ( thƣờng dùng cần nhớ) y max  ;  3EI x 2EI x ymax > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 4 GV: Lê đức thanh
  5. Bài giảng sức bèn vật liệu  < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ. Thí dụ 2: Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). Cho EIx = hằng số Giải. Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành q z độ z là: ( gốc tại A) B A qz2 Mx   (a) z yB = B = 0 2 L qz 2 thế vào (8.1),  y' '  (b) 2 EI x y H.8.6 qz 3 tích phân hai lần,    y'   C (c) q 6EI x Mx qz 4 y C z D (d) z 24EI x hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L;  = 0 v y = 0 cho : qL3 qL4 C ; D 6EI x 8EI x Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là: qz 4 qL3 qL4 y  z ; 24 EI x 6 EI x 8EI x qz 3 qL3   6 EI x 6 EI x Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có: qL4 qL3 y max  và A   8EI x 6EI x Thí dụ 3. Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản q chịu tải phân bố đều (H.8.7).Độ cứng EIx của dầm z không đổi. A B Giải. qL/2 L/2 Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có L y hoành độ z là: q Mx qz2 Mx  qL 2 z 2  q 2  Lz  z2  (a) qL z thay vào (8.1),  phương trình vi phân của đường 2 đàn hồi như sau: H.8.7 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 5 GV: Lê đức thanh
  6. Bài giảng sức bèn vật liệu q y' '   2EI x  Lz  z 2  (b) q  Lz 2 z 3  Tích phân hai lần,    y'       C (c) 2EI x  2 3 q  Lz 3 z 4  y     C z  D 2EI x  6 12  khi : z  0; y  0 điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm: khi : z  L; y  0  qL3  D  0; C  24EI x Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là: qL3  z 2 z3  y z 1  2 2  3  (e) 24EI x  L L  qL3  z2 z3    y'  1  6 2  4 3  (g) 24EI x  L L  Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhịp ứng với: L L 5qL4 z= (tại đây y’= 0), thay z = vo (e), y max  y L  2 2  z   2 384EI x Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) tại mặt cắt ngang có y” = 0 (hay Mx = 0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L lần lượt vào (g)  1 qL3 1 qL3  max  y' max   min  y' min   24 EI x 24 EI x Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay của mặt cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ. Thí dụ 4 (tự đọc) Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa chịu lực tập trung P như H.8.8 cho biết EIx = hằng số. P B A z C z1 z2 a b L Y H.8.8 Pab/L Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 6 GV: Lê đức thanh
  7. Bài giảng sức bèn vật liệu Giải. Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau. Viết cho từng đoạn các biểu thức Mx, y’’, y’, y như sau: Mômen uốn Mx trong các đoạn sau: Pb Đoạn AC (0  z1  a): M x(1)  z1 (a) L Pb Đoạn CB (a  z2  L): M x(2)  z2  Pz2  a (b) L Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn: Pb Đoạn AC: y1 ' '   z1 (c) LEI x Pb P Đoạn CB: y2 ' '   z2  z2  a (d) LEI x EI x Tích phân liên tiếp các phương trình trình, ta được: Đoạn AC (0  z1  a): Pb 2 y1 '   z1  C1 (e) 2LEI x Pb 3 y1   z1  C1 z1  D1 (g) 6LEI x Đoạn CB (a  z2  L): Pb 2 P y2 '   z2  z2  a 2  C2 (h) 2LEI x 2EI x Pb 3 P y2   z2  z2  a 3  C2 z2  D2 (i) 6LEI x 6EI x Xác định các hằng số tích phân C1, D1, C2, D2 từ các điều kiện biên . - Ởgối tựa A, B độ võng bằng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải bằng nhau.  khi: z1 = 0; y1 = 0 z2 = 0; y2 = 0 z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện nầy : Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 7 GV: Lê đức thanh
  8. Bài giảng sức bèn vật liệu  D1  0   Pb L3  P L  a  3  C 2 L  D 2  0  6LEI x 6EI x   Pb Pb  6LEI a  c1 a  D1   6LEI a  c 2 a  D 2 3 3  x x  Pb Pb  2LEI a  c1   2LEI a  c 2 2 2  x x Giải hệ phương trình trên,  Pb D1 = D2 = 0; C1  C 2  6LEI x  L2  b 2  Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là: Đoạn AC (0  z1  a):  Pb  L2  b 2 z12  ' 1  y1      LEI x  6 2    Pb  L2  b 2 z13     y1  LEI  6 z1  6   x   Đoạn BC (a  z2  L):  Pb  z22 L z2  a  L2  b 2  2 '  2  y 2      LEI x  2 2b 6     Pb  z2  a  L2  b 2 z23  3 y  L  z    2 LEI  6b 6 2 6   x   Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0, Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào  Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: PbL  b2  1 A  1  2   0 6EI x  L  PbL và ở C (z1 = a): 1C  a  b  0 3EI x 0,500L Như vậy, giữa hai điểm A và C góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa là sẽ bị triệt A E B tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng D z có giá trị lớn nhất trong đoạn AC. 0,577L Để tìm hoành độ z1(0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho H.8.9 phương trình  1 = 0: Pb  L  b 2 z1 0  2 1 z1 (0)    0 LEI x  6 2  Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 8 GV: Lê đức thanh
  9. Bài giảng sức bèn vật liệu L2  b2  z1 (0)  (o) 3 Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, giá trị lớn nhất của độ võng y max  y1z1( 0 )    3Pb L2  b 2   b2  1  2  (p) 27 EI x  L  Các hệ quả: - Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm b  L / 2 , thì từ (o) và (p) , ta được: L PL3 z1 (0)   0,500L ; y max  (thƣờng dùng cần nhớ) 2 48EI x - Khi P ở gần gối B, tức b  0 ta có: z1(0) = L = 0577L 3 Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) thì hoành độ z1(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vị trí nào đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhịp dầm. Thí dụ: nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhịp dầm sẽ Pb bằng: y l 2   48EI x  3L2  4b 2  So sánh hai giá trị ymax và yl 2  thấy hai giá trị nầy khác nhau và rất ít Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n cùng lớn, vì vậy phương pháp nầy ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi. VI. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)  Phần trước đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực: dQ y dM x d 2M x  q(z ) ,  Qy ,  q( z ) (a) dz dz dz 2  Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, cũng có phương trình vi phân: d2y d / M 2  y  x (b) dz dz EI x Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau: Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 9 GV: Lê đức thanh
  10. Bài giảng sức bèn vật liệu y Mx d2y d Mx d 2M x d  y '    Q y  q( z ) dz 2 dz EI x dz 2 dz Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần Mx hàm số .Tương tự muốn có lực cắt Qy và mômen uốn Mx thì phải tích phân liên EI x tiếp hai lần hàm số tải trọng q. Tuy nhiên ở phần trước (nội lực), ta đã tính lực cắt Qy và mômen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng, và phương pháp mặt cắt. Như vậy, ở đây ta cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y mà không cần tích Mx d 2 M gt d Mx phân. Nếu đặt q gt   .Ta có:  Q gt  q gt   .Ta có tương quan như EI x dz 2 dz EI x sau y’ = Qgt ; y = Mgt. Đó cũng chính là phƣơng pháp tải trọng giả tạo.  Phƣơng pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng một dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật trên đó có tải trọng Mx giả tạo q gt giống như biểu đồ  trên dầm thật, lúc đó muốn tính góc xoay y’ và EI x độ vong y của một dầm thật (DT)(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và mômen uốn Mgt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra. Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn Mgt thì điều kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Qgt ; y = Mgt tại bất kỳ điểm trên hai DT và DGT.  Cách chọn dầm giả tạo (DGT) DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho qgt không gây ra Mgt và Qgt. Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp. Bảng 8.1 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 10 GV: Lê đức thanh
  11. Bài giảng sức bèn vật liệu Dầm thực Dầm giả tạo A B A B y = 0 Mgt = 0 Mgt = 0 y = 0   0   0 Qgt  0 Qgt  0 A B A B y=0 y0 Mgt = 0 Mgt  0 =0 Qgt = 0 Qgt  0 0 A B A B Mgt = 0 y 0 y= 0 y = 0 Mgt  0 Mgt = 0  0   0 Qgt  0  0 Qgt  0 Qgt  0 tr= ph Qtr = Qph  Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Mx Vì q gt   , nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx. Do đó: EI x - Nếu: Mx > 0 thì qgt < 0, nghĩa là nếu biểu đồ Mx nằm phía dưới trục hoành (theo qui ước Mx > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống - Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên.  qgt luôn có chiều hƣớng theo thớ căng của biểu đồ mô men Mx Mx < 0 q 0 q >0 Ngòai ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của lực phân bố qgt trên các chiều di khác nhau. Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới đây: Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 11 GV: Lê đức thanh
  12. Bài giảng sức bèn vật liệu Hình vẽ Diện Vị trí trọng tâm tích x1 x2 ( ) h C Lh L 2L 2 3 3 x1 x2 L h Bậc 2 C đỉnh Lh L 3L x1 x2 3 4 4 L đỉnh Bậc 2 2Lh 3L 5L h C 3 8 8 x1 x2 L Thí dụ 5: Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do B của dầm công xon chịu tải trọng phân bố đều q.Độ cứng của dầm EIx = const Giải. + Biểu đồ mômen uốn Mx của DT có dạng đường bậc 2. + DGT tương ứng với lực phân bố qgt. + Độ võng và góc xoay tại B của DT chính bằng mômen uốn Mgt và lực cắt Qgt tại B 1 qL2 3 qL4 y B  M gtB   L L  3 2EI x 4 8EI x q 1 qL 2 qL 3  B  QgtB   L  ; A 3 2EI x 6EI x a) L 2 qL b) 2 Mx qL2 c) 2 EI x DGT Thí dụ 6: Tính chuyển vị đứng tại B Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 12 GV: Lê đức thanh
  13. Bài giảng sức bèn vật liệu 1 PL L L 3 L 7 PL3 y B  M gtB    (   ) 2 2 EI x 2 2 4 2 64 EI x P A B K a) L/2 L/2 b) PL Mx PL c) 2 EI x A DGT K B Thí dụ 7: P Tính chuyển vị đứng tại K,cho EIxhằng số A Thực hiện mặt cắt qua K xét bên phải. Chia diện a) K B L/2 L/2 tích hình thang ra hai hình tam giác và hình chữ nhật để biết trọng tâm b) PL Mx 1 PL L 2 L yK  M K gt       c) PL 2 2 EI x 2 3 2 EI x B DGT PL L L PL3 PL3 PL3 A K      Mg 2 EI x 2 4 24 EI x 16 EI x 12 EI x PL t PL EI x 2 EI x PL PL L 3PL2  K  QgtK  (  )  EI x 2 EI x 4 8EI x Thí dụ 8: M Tính chuyển vị đứng và góc xoay tại K cho EIx hằng số 0 K B A Tính phản lực gỉaL/2tạo tại A L/2 1 Mo 2 M L M / B  0  RgrA  L   L  L  RgtA  0 2 EI x 3 3EI x M 0 1 M0 L 2 L M0 L L M0 y K  M gtK   (        ) R gtB 2 2 EI x 2 3 2 2 EI x 2 4 EI x R gtA M0L L 1 M 0 L3 M 0 L3 1 M 0 L2      M gtK 3EI x 2 12 EI x 6 EI x 12 EI x Góc xoay tại k chính là phản lưc giả tạo tại K M0 H.8.12 A R gt 2 EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 13 GV: Lê đức thanh
  14. Bài giảng sức bèn vật liệu M 0 L2 K  Q K gt R  K gt 3EI x VI. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự các bài toán về thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta còn có BTST về uốn. Đó là các bài toán mà ta không thể xác định tồn bộ nội lực hoặc phản lực chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học,vì số ẩn số phải tìm của bài toán lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh học có được. Để giải được các BTST, cần tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng của dầm. Thí dụ 7. Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm như H.8.12a.Biết EI = hằng số. Giải. q q B a) B h) L 3 VB  qL q 8 b B A 5 ) i) 8 qL Q VB 3 qL2 qL y c) 1 k) qL2 8 2 EI x 8 M x VB L 9qL2 d) 128 EI x + Dầm đã cho có bốn phản lực cần tìm (ba ở ngàm và một ở gối tựa B). Ta chỉ có ba phương trình cân bằng tĩnh học, nên cần tìm thêm một phương trình phụ về điều kiện biến dạng của dầm. + Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay vào đó một phản lực VB (H.8.12b), ta được một hệ mới. Hệ nầy chỉ có thể làm việc giống như hệ trên khi VB phải có trị số và chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q và VB sinh ra, phải bằng không  Điều kiện biến dạng (chuyển vị): yB (q, VB ) = 0 + Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một phương pháp khác). Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.12b do tải trọng q và phản lực VB gây ra vẽ như H.8.12c,d, DGT và qgt như H.8.12 e, g. Ta có: Độ võng yB của hệ 8.12b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT 1 qL 2 3 VB L 2  L .Điều kiện độ võng yB = 0,  VB = qL 1 3 yB = M B gt = L  L– L 3 2 EI 4 2 EI 3 8 Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 14 GV: Lê đức thanh
  15. Bài giảng sức bèn vật liệu Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã cho như H.8.12 i, k. VII. PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (Tự đọc thêm) 1. Nội dung phƣơng pháp Mx Xét dầm có biểu đồ như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a. EI x A B z a)  ĐĐH zA yA yB y z z dz zB LAB zC zC A B b) Mx C EI x Mx S AB dz EI x H.8.10 Phương pháap diện tích mô men dz B A B yA yB A d  AB d tAB B d t d M ZB zZ Mx Xét đoạn dầm AB: d   x dz , suy ra:  d    B dz EI x ZA ZA EI x  B   A   AB  S AB (8.18) Mx với S AB là diện tích của biểu đồ gồm giữa hai mặt cắt A v B. EI x Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A v B) thì Mx bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ giữa hai mặt cắt ấy. EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 15 GV: Lê đức thanh
  16. Bài giảng sức bèn vật liệu Mx ZB ZB Mx Từ hình 8.10d: dt  zd   z EI x dz suy ra: t BA   ZA dt    z ZA EI x dz   z C S AB (8.20) z C l khoảng cách từ trọng tâm của diện tích S AB đến B Định lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một tiếp tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mômen tĩnh của Mx diện tích của biểu đồ đối với đường thẳng đứng EI x P đi qua B. A B Từ H.8.10d ta cĩ: a ) a b yB = yA + ALAB + tBA = yA + A(zB – zA) + tBA L P yB = yA + A(zB – zA) – z C S AB (8.21) b A (7.21) chính là công thức dùng để xác định độ võng ) B của điểm B nếu biết độ võng của một điểm A (zB > Mx V zA) v biểu đồ giữa hai điểm nầy. c Pa B EI x ) EJ x Mx Từ (8.21 có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ VB L EJ x võng của điểm B (zB > zA). EJ x  A   B  S AB v với: z C  L AB  z C H.8.13 ta viết:   y A  y B   B  S AB L AB  L AB  z C  S AB Khai triển và rút gọn, ta được: yA = yB – BLAB – zC S AB (8.22) zC - là khoảng cách từ trọng tâm C của S AB kể từ A. Thí dụ 8: Tính phản lực VB của dầm siu tĩnh như H.8.13a. Cho biết : EJx = hằng Giải. Tương tự thí \ dụ trên, cũng có điều kiện yB = 0 Tính yB bằng phương pháp diện tích mômen Biểu đồ Mx/ EJx do tải trọng P v phản lực VB được vẽ H.8.13c áp dụng công thức (8.5), ta có: yA = yB – AL + z S AB  a 1 Pa 2 1 V L  0 = yB – 0L +   L   a  L L B    3  2 EJ 3 2 EJ  Pa 2  3L  a  VB L 3 yA = –    2 EJ  3  3EJ Điều kiện yB = 0 cho ta Pa 2  3L  a  VB L 3 0=–   2 EJ  3  3EJ Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 16 GV: Lê đức thanh
  17. Bài giảng sức bèn vật liệu Pa 2 suy ra VB = (3L  a) 2 L3 Thí dụ 9. Dùng phương pháp diện tích mô men xác định góc xoay ở đầu tri A v độ võng ở điểm D giữa dầm (H.8.14). EIx = hằng số. Giải. Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) v D (z = L/2)  D   A  S AD Chú ý rằng D = 0 vì bi tốn đối xứng và S AD có thể phân chia thành S 1  S 2  S 3 . 13 qL3 ta suy ra:  A  (S 1  S 2  S 3 )  0  A  S1  S 2  S 3   648 EI x Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ. áp dụng công thức (8.21), ta viết yD  y A   A L 2  z C S AD  0  13 qL3 L  1  2  3    zC S1  zC S 2  zC S 3  648 EI x 2 77   qL2 11664 EI x q A B D L/3 L/3 L/3 Mx S1 EI x S2 4 qL2 72 EI x 5 qL2 72 EI x Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 17 GV: Lê đức thanh
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2