Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 (Lecture 9) - Trần Quang Việt

Chia sẻ: Star Star | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 5 trang bị cho người học những kiến thức về lấy mẫu (Sampling). Trong lecture 9 sẽ tập trung trình bày những nội dung chính sau: Lý thuyết lấy mẫu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT), biến đổi Fourier nhanh (FFT). Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 (Lecture 9) - Trần Quang Việt

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling) Lecture-9 5.1. Lý thuyết lấy mẫu 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 5.3. Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1. Lý thuyết lấy mẫu 5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian 5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 1
5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian Có vô số tín hiệu có thể khôi phục từ các mẫu biết trước. Nếu tín hiệu có băng tần giới hạn thì có thể khôi phục lại duy nhất từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.1. Lấy mẫu trong miền thời gian a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 2
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn là B Hz Tín hiệu f(t) được lấy mẫu bằng cách nhân với chuỗi xung đơn vị ∞ ∞ f (t)=f(t)p(t) f (t)=f(t) ∑ δ(t − nTs ) f (t) = ∑ f(nT )δ(t − nT ) s s n =−∞ n =−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Phổ của tín hiệu đã được lấy mẫu f(t) ↔ F(ω) 2π ∞ p(t) ↔ P(ω) = ∑ δ(ω − nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs Ts n =−∞ ∞ − − 1 1 f (t) ↔ F(ω)= 2π [F(ω) ∗ P(ω)] = Ts ∑ F(ω − nω ) n =−∞ s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 3
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon Low-pass Filter ωs ≥ 4πB Fs ≥ 2B; Fs =2B Nyquist rate Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với tốc độ Fs≥2B mẫu/s. Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ nhất là Fs=2B Hz Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 4
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không H r (ω)=Ts H1 (ω)H 2 (ω) Không thực hiện được!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0 Low-pass Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn Ideal Filter Practical Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias Giải pháp: Anti-aliasing Filter Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 6
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ Lấy mẫu F(ω) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu là ω0 +∞ +∞ FT0 (ω)=F(ω) ∑ δ(ω − nω0 ) = ∑ F(nω )δ(ω − nω ) 0 0 n= −∞ n= −∞ +∞ T0 T0 +∞ f T0 (t)= f(t) ∗ ∑ δ(t − nT0 );T0 =2π/ω0 f T0 (t)= ∑ f(t − nT0 ) 2π n= −∞ 2π n=−∞ T0/2π Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 7
5.1.2. Lấy mẫu trong miền tần số Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu T0 ≥ τ ω0 ≤ 2π/τ Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu T0/2π Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian với các mẫu trong miền tần số 1 ∞ ∞ f(t)= ∫ 2π −∞ F(ω)e jωt dω F(ω)=∫ f(t)e−jωtdt −∞ N0 mẫu T0/2π N0 mẫu N0 =T0 /Ts = ωs /ω0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 8
5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT Biến đổi DFT thuận: Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0 (tương ứng với N0 mẫu): _ N 0 −1 _ N 0 −1 f (t)= ∑ f(kTs )δ(t − kTs ) F(ω)= ∑ f(kTs )e − jωkTs k=0 k=0 Mặt khác trong đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu): _ F(ω) _ N 0 −1 F(ω) = F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts ∑ f(kTs )e − jrω0kTs Ts k=0 Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r của F(ω); fk=Tsf(kTs): mẫu thứ k của f(t); ta có: N 0 −1 Fr = ∑ f k e− jrΩ k 0 (Biến đổi DFT thuận) k=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.2. Biến đổi Fourier rời rạc DFT Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e jmΩ0r sau đó lấy tổng: N 0 −1 N 0 −1  N 0 −1  jmΩ r ∑ Fr e jmΩ0 r = ∑  ∑ fke − jrΩ 0 k e 0 r=0 r=0  k=0  N 0 −1 N 0 −1 N 0 −1 j(m−k)Ω r  ∑ Fr e jmΩ0 r = ∑ fk  ∑ e 0  r=0 k=0  r=0  N 0 −1 0; k ≠ m ∑ Fr e jmΩ r =  N 0 r=0  0f k = N 0f m ;k = m N 0 −1 1 fk = N0 ∑ Fr e jrΩ k 0 (Biến đổi DFT ngược) r=0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 9
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải là lũy thừa của 2 Giảm khối lượng tính toán: N 02 → N 0 log N 0 N 0 −1 N 0 −1 1 fk = N0 ∑ Fr e jrΩ0 k Fr = ∑ f k e − jrΩ0k Nhân: N0 Cộng: N0-1 r =0 k =0 Tổng cộng cho các hệ số: N0N0 phép nhân và N0(N0-1) phép cộng Đặt: WN 0 = e ( − j 2π / N 0 ) = e − jΩ0 Các biểu thức DFT được viết lại: N 0 −1 N 0 −1 1 Fr = ∑ f kWNkr0 fk = N0 ∑ FrWN−kr 0 k =0 r =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT Chia fk thành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự: f 0 , f 4 , f 6 ,..., f N 0 −2 f1 , f 3 , f5 ,..., f N 0 −1 sequence g k sequence h k Biểu thức DFT được viết lại: N0 N0 2 −1 2 −1 Fr = ∑ f 2 kWN20kr + ∑ f 2 k +1WN(2 k +1) r 0 k =0 k =0 Ta có: W N0 = WN2 2 0 N0 N0 2 −1 2 −1 ⇒ Fr = ∑ f 2 kW kr N0 2 + WNr 0 ∑ f 2 k +1W Nkr0 = G + W r H 2 r N0 r k =0 k =0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 10
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT N0 N0 2 −1 2 −1 ⇒ Fr = ∑ kr f 2 kW N 0 2 + WNr 0 ∑ f 2 k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr 0 H r 2 k =0 k =0 (0 ≤ r ≤ N 0 − 1) Do Gr và Hr là DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn: Gr + N0 = Gr & H r + N0 = H r 2 2 N0 N0 Mặt khác: WNr + 2 = WN WNr 0 2 =e − jπ WNr 0 = −WNr 0 0 0 N0 ⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + 2 H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r 2 2 0 2 2 0 N0 Gr Fr Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤ 2 −1 ⇔ W Nr 0 N0 Fr + N0 = Gr − WNr 0 H r ; 0≤r≤ 2 −1 − W Nr 0 2 Hr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT N0 Gr Fr Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤ 2 −1 ⇔ W Nr 0 N0 Fr + N0 = Gr − WNr 0 H r ; 0≤r≤ 2 −1 − W Nr 0 2 Hr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 11
5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT N0 Gr Fr Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤ 2 −1 ⇔ W Nr 0 N0 Fr + N0 = Gr − WNr 0 H r ; 0≤r≤ 2 −1 − W Nr 0 2 Hr Fr + N20 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 5.3. Biến đổi Fourier nhanh FFT N0 Gr Fr Fr = Gr + WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤ 2 −1 ⇔ W Nr 0 N0 Fr + N0 = Gr − WNr 0 H r ; 0 ≤ r ≤ 2 −1 − W Nr 0 2 Hr Fr + N20 Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT: Số phép toán nhân: N 0 log 2 N 0 2 Số phép toán cộng: N 0 log 2 N 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12 12