zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Báo xấu

91
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại một điểm, đạo hàm phải – trái, ý nghĩa đạo hàm tại điểm, hàm số đạo hàm, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến (2017)

19/09/2017 CHƯƠNG 2 Đạo hàm tại một điểm • Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f’(a) là: f x   f a  f ' a   lim ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG x a x a (nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn). • Chú ý: đặt h=x-a, ta có: f a  h   f a  f ' a   lim h 0 h Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đạo hàm phải – trái • Tìm đạo hàm của hàm: f x   x 2  8x  9 • Đạo hàm trái của f(x) tại a là: tại a=2 theo định nghĩa. f x   f a  f a  h   f a    f ' a   lim x a x a  lim h0 h f 2  h   f 2  Ta xét giới hạn sau: lim h0 h • Đạo hàm phải của f(x) tại a là: 2  h   8 2  h   9  3 2 2 h  4h f x   f a  f a  h   f a  lim h0 h  lim h0 h  4   f ' a   lim x a x a  lim h 0 h Vậy: f ' 2    4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Ví dụ • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và • Cho hàm số: chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và  e 1/x ,x  0 Tìm f ' 0  ; f ' 0  hai đạo hàm này bằng nhau. f x       0 ,x  0    f ' a   L  f ' a   f ' a   L   Ta có: f 0  h   f 0  e 1/h  0 u • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm   f ' 0   lim h0 h  lim h0 h  lim u  0 u   e số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không f 0  h   f 0  e 1/h  0 đúng.   f ' 0   lim h0 h  lim h0 h   f ' a   L  lim f x   f a  x a Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1
19/09/2017 Ý nghĩa đạo hàm tại điểm Hàm số đạo hàm f a  h   f a  • Ta có: f ' a   lim  slope secant line • Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x). h0 h • Là hsg của tiếp tuyến tại • Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho điểm (a;f(a)). f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x). • f’(a+): hsg của nửa tiếp • Ký hiệu: tuyến bên phải điểm (a; f(a)) Lagrange : f '; y ' df dy d f x  • f’(a-): hsg của nửa tiếp Leibnitz : ; ; tuyến bên trái điểm (a; dx dx dx f(a)) Cauchy : Dy ; Df x  • Thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số tại a. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 Qui tắc tính đạo hàm 1 • Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của • Tìm (hàm số) đạo hàm của hàm y=x2. các hàm sau là: • Ta có: i . u  v  '  u ' v ' ii . ku  '  k .u ' f x  h   f x  x  h  2  x2  u  u ' .v  u .v ' lim h0 h  lim h0 h  2x iii . u .v  '  u ' .v  u .v ' iv .     v  v2 • Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc • Đạo hàm dạng:uv   TXĐ. u   u v v v ' . ln u  v . u '   u   • Vậy đạo hàm của hàm số: • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y '  2x y  uv Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm 2 Ví dụ • Đạo hàm của hàm hợp: • Tìm f’(x) biết: 1  x2 f x   y y  f0 g x   y x  fg. g x • Ta có: 3 x 4 . sin 7 x • Ví dụ: Hàm y  ln cos x  là hàm hợp của 2 hàm: 4 f x   ln x ; g x   cos x  ln y  ln 1  x 2  3   ln x  7 ln sin x  Vậy: y' 2x 4 7 cos x    1 y 1 x2 3x sin x y x  fg. g x  .  sin x    tan x cos x • Vậy: 1 x2  2x 4 7 cos x  y' .     3 4 x . si n x  1  x 2 7 3 x s in x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 2
19/09/2017 Đạo hàm của hàm ngược Đạo hàm của hàm ngược • Định lý. Giả sử hàm y=f(x) khả vi liên tục trên • Khi đó: đoạn (a,b) và f’(x)≠0 trên (a;b) 1 1 x y  y x  • Khi này có hàm ngược: x=g(y) hay x=f-1(y) y x x y • Chú ý: f : a ; b    f a  ; f b   • Ví dụ 1: Hàm y=arccotx có hàm ngược x=cotny x  f x   y  g : f a  ; f b    a ; b  y x  1  1  1 y  f y   x 1 x y  1  cot2 y 1 x2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Hàm ẩn • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx • Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng • Ta có:   thức đúng.  1  x  1;  y  2 2 • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b). • Ta biết: y  arcsin x  x  sin y • Ví dụ: Phương trình: F x , y   x 2  y 2  1  x '  cos y   1  sin 2 y  1x2 xác định hai hàm ẩn: • Vậy: y1  1  x 2 , x   1;1 1 1   y 'x   x 'y 1 x2 y 2   1  x 2 , x   1;1   Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • Cho phương trình: F(x;y)=0 • B1. Lấy đạo hàm theo x • Để tính: y’x x 3  ln y  x 2e y  x 0 • B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x. y' Chú ý y là hàm theo x.  3x  y 2   2x .e y  e y .y ' .x 2  0  * • B2. Giải phương trình tìm y’. • B2. Giải tìm y’ • B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình. *  3x 2  y  y ' 2xy .e y  x 2ye y .y '  0  Ví dụ: Cho phương trình:    3x 2y  2xy .e y  y ' 1  x 2ye y  0   x 3  ln y  x 2e y  0  y' 3x y  2xy .e 2 y  Tính đạo hàm của y theo x. x ye  12 y Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 3
19/09/2017 Đạo hàm hàm ẩn Vi phân • B3. Tính y’(0). Cho y  f  x  và x  x2  x1 ta có: y  y2  y1  f  x1  x   f  x1  x 3  ln y  x 2e y  0 x  0  ln y  0  y  1  y 0  f  x  h  f  x  f '  x   lim h 0 h • Ta có: f  x  x   f  x  y 3x y  2xy .e  f '  x   lim  lim 2 y x 0 x x 0 x y' x ye  1 2 y y  f '  x  .x • Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có: Vi phân của f(x) y ' 0   3.0 .1  2.0 .1 .e   0 1 0.1 .e  1 1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số • Vi phân của hàm số y=f(x) là biểu thức: • Nếu y=f(x)=x thì: f '  x  .x dx  f '  x  x  x '.x  x • Ký hiệu vi phân là dy hay df. Do đó: • Như vậy ta thường ghi dx=Δx. Do đó: dy  f '  x  .x  df dy dy  f '  x  .dx  f '  x   dx • Vi phân là một hàm số, phụ thuộc 2 biến là x và • Điều này giải thích tại sao ta còn ký hiệu đạo Δx hàm là dy/dx Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ý nghĩa vi phân Ví dụ • Tính xấp xỉ giá trị hàm số khi biến độc lập thay • Cho hàm số: f x   x  3 đổi một lượng khá nhỏ a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 f x 0   x   f x 0   f ' x 0  . x Giải: 1 1 • hay f  x    df x   dx 2 x3 2 x 3 f x   f x 0   f ' x 0  . x  x 0  1 1 1 df 1  dx  dx  x  1 2 1 3 4 4 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 4
19/09/2017 Ví dụ Vi phân của hàm hợp • Cho hàm số: f x   x  3 • Xét hàm số: y  f x  a) Tính vi phân cấp 1 của hàm số tại x0=1 • Ta có: dy  f 'x dx b) Tính gần đúng: 4, 03 • Giả sử x là hàm số theo biến t, chẳng hạn x=g(t) Giải: • Khi này hàm số y có thể đưa về theo t. Do đó: 1 f x   f 1  x  1 dy  f 't dt 4 1 0, 03 • Ta có: 4, 03  f 1, 03   f 1  1, 03  1  2   2, 0075 4 4 dy  f 't .dt  f 'x .x 't .dt  f 'x .dx Nếu tính bằng máy tính: 4, 03  2, 00748599.. • Do đó vi phân cấp 1 có tính bất biến. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI ex  1 • Cho hàm số y  ln x . Hãy tìm dy? • Cực trị địa phương e 1 • Định lý Ferma • Hãy tính: • Định lý Rolle d cos x  • Định lý Lagrange ? d sin x  • Định lý Cauchy Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Cực trị địa phương Cực trị địa phương • Cho hàm y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Xét điểm c thuộc (a,b) • Hàm số đạt cực đại địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≤f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) • Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại c nếu tồn tại số δ>0 sao cho: f(x)≥f(c) với mọi x thuộc (c- δ;c+ δ) Các điểm cực trị địa phương của hàm số là??? • Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 5
19/09/2017 Định lý Fermat Định lý Rolle • Cho hàm số y=f(x) xác định trong lân cận c. • Hàm f(x) liên tục trên [a,b], • Nếu f(x) đạt cực trị tại c và có đạo hàm tại c thì: • Hàm f(x) khả vi trên (a,b) • f(a)=f(b) f ' c   0 • Khi đó: tồn tại ít nhất một điểm c thuộc (a,b) sao cho f’(c)=0 • Đặc biệt nếu f(a)=f(b)=0 thì định lý Rolle có nghĩa giữa hai nghiệm của hàm số có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Định lý Lagrange (ĐL số gia hữu hạn) Định lý Cauchy • Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì • Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: (a,b) và g(x) khác 0 trên (a,b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: f b   f a   f ' c  f b   f a  f ' c  b a  g b   g a  g ' c  • Trên dây cung AB tìm được tiếp tuyến song song với AB Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Đạo hàm, vi phân cấp cao   3 x2 • Cho hàm số:   ,0  x  1 • Đạo hàm cấp cao  f x    2   1 • Vi phân cấp cao  , 1  x    x  • Công thức Taylor • Tìm giá trị trung gian c của công thức số gia hữu hạn đối với hàm số f(x) trên đoạn [0;2] Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 6
19/09/2017 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao • Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi • Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x). hàm cấp (n-1).  f  d n f      dxd dx n 1 • Ký hiệu: f n   f n 1 d    d  df  d 2 f  dx n f    f    n 1   dx  dx  dx 2 • Ví dụ: Cho hàm: f x   x .e x • Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo Tìm đạo hàm cấp n của hàm số. hàm cấp 2. Giải:  d  d 2 f  d 3 f f    f         dx  dx 2  dx 3   f  x   x  .e x  x . e x  e x  x .e x  x  1e x Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao thường gặp • Ta có:    n   n i ) x  a       1 ...   n  1x  a     f  x   x  1e x   e x  x  1e x  x  2 e x  1   n   ii )     1 n ! n 1   x  a  n 1 x  a  • Tương tự: n    iii ) e ax  a n .e ax f  x   x  3 e x ; f 4  x   x  4 e x iv ) ln x  n    1 n 1 n  1 ! xn  n   • Tổng quát: v ) sin ax   a . sin ax  n   n  2  n  f x   x  n e x n    vi ) cos ax   a . cos ax  n  n   2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ   n  • Tính đạo hàm cấp n của: i ) ax  b       1 ...   n  1ax  b  .a n  n   1 1 n  n 1 n  1 ! a ) f x   b )g x    iv ) ln ax  b     1 .a n x 1  x  x 2  3x  2 ax  b  n n     v ) sin ax  b    a n . sin ax  b  n   2  n     vi ) cos ax  b    a . cos ax  b  n  n   2  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 7
19/09/2017 Công thức Leibnitz Ví dụ • Dễ thấy: • Tính đạo hàm cấp 3 của: y  x 2  1 sin x  f .g   f .g  g .f • Đặt  f .g    f .g  g .f   f .g  2 f g   f .g    f  x 2  1 ; g  sin x • Ta có: • Mở rộng: 3  3  2  2  3  y  f g  3 f g ' 3 f ' g  f .g n n  k  n k   f .g   C k n .f g • Thay thế ta có: k 0 y 3   6 cos x  6x sin x  x 2  1 cos x   Gần giống khai triển nhị thức Newton • Đạo hàm cấp 10 của y là??? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Vi phân cấp cao • Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau • Cho f là hàm số khả vi cấp n y  x .f ' x  a   3 f a  x  • Vi phân cấp 2 của hàm f, ký hiệu: d2f xác định bằng công thức sau: d 2 f  d df  • Tổng quát, vi phân cấp n của hàm f: d n f  d d n 1 f  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao Ví dụ • Vi phân cấp 2: x là biến độc lập dx như hằng số • Tính vi phân cấp 2 của: a ) y  arctan x  d 2 f x   d df   d f ' x dx  b ) y  arctan x ; x  sin t  dx .d  f ' x   dx . f  x dx  f  x  .dx 2 • Giải. • Vi phân cấp 2: x là biến phụ thuộc dx biến thiên 2x a ) d 2y   dx 2 1  x  2 d f x   d df   d  f 'x .x 't .dt   dt .d  f 'x .x 't  2 2  dt .  f ''xx .x 't .x 't  f 'x .x ''tt  dt  f  x  .dx 2  f ' x  .d 2x 2x sin t b ) d 2y   dx 2  .dt 2 1  x  2 • Vi phân cấp cao không có tính bất biến 2 1 x2 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 8
19/09/2017 Công thức Taylor Công thức Taylor • Nếu hàm f khả vi tại x0 thì: • Khai triển một hàm số phức tạp thành dạng f x 0  h   f x 0   f ' x 0  h  0 h  đơn giản • Trong đó O(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức. h. • Ví dụ: khai triển Taylor tại x=0 • Công thức này cho ta cách tính giá trị f(x) trong 2 n 1 x2 x5 n 1 x lân cận của điểm x0 khi đã biết f(x0) và f’(x0). arctan x  x  3  5  ...   1 2n  1  0 x 2n   • Vấn đề: nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của x2 x3 xn hàm f(x) tại x0 thì ta có thể tính chính xác hơn ex  1  x  2!  3!  ...  n!  0 xn   giá trị hàm f(x) trong lân cận x0 hay không? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor Phần dư trong công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Dạng Lagrange: • Liên tục trên [a,b] n 1 • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) f c  n 1 • Xét x0(a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: Rn  x  x  f ' x 0  f " x 0  n  1 ! 0 f x   f x 0   x  x   x  x  2 0 0 1! 2! • Dạng Peano: (thường dùng hơn) n    f x 0  c n 1 f x  x 0   n  1 ! x  x  n n 1  ...  n!   0 Rn  0 x  x 0  Rn n lim 0 x  x  x  n • Với c là điểm nằm giữa x và x0 0 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức Maclaurin Ví dụ Cho hàm số f(x): • Khai triển Maclaurin các hàm số sau: • Liên tục trên [a,b]  a) ex b ) sin x c ) ln 1  x  d ) 1  x  • Có đạo hàm đến cấp n+1 trên (a,b) • Xét x0=0 (a,b). Khi đó trên [a,b] ta có: • Chú ý. f x   n   k   n  n  sin x   sin x    2  cos x   ??? f ' 0  f " 0  f 0  x f 0   1! x 2! x 2  ...  n! n  0 xn   ln 1  x  n    1 n n!   1  x   n   ??? n 1   1  x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 9
19/09/2017 Ví dụ Khai triển Maclaurin • Khai triển hàm y=ex. Ta có: n  n  f x   e x  f x   e x  f 0   e 0  1,  n • Thay vào công thức khai triển: n  f ' 0  f " 0  f 0  f x   f 0   1! 2! x x 2  ...  n!   xn  0 xn x x2 xn  ex  1   1! 2!  ...  n!  0 xn   • Nhận xét: phải tính được đạo hàm cấp cao tại 0 của hàm số cần khai triển. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Công thức L’Hospital CÁC HÀM KINH TẾ • Áp dùng tìm giới hạn dạng: 0 ;  • Hàm chi phí 0  • Hàm thu nhập f x  0  Ñònh lyù: Cho giôùi haïn : lim coù daïn g ; • Hàm cung và hàm cầu x a g x  0  f  x  f x  Neáu lim  L thì lim L x a g  x  x a g x  f x  f  x  lim  lim L x a g x  x a g  x  Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến HÀM CHI PHÍ HÀM CHI PHÍ • Tổng chi phí: (Total Cost – TC) • Ta có: – Chi phí cố định (Fixed Cost – FC) TC FC VC AC  AFC  AVC  – Chi phí biến đổi(Variable Cost- VC) Q Q Q • Ta có: TC=f(Q), Q là sản lượng • FC là chi phí một xí nghiệp nhất thiết phải trả dù không sản xuất gì • VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng • Chi phí cận biên (Marginal Cost – MC) chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm • Chi phí bình quân (Average Cost – AC) Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 10
19/09/2017 Hàm thu nhập Hàm lợi nhuận • Tổng thu nhập • Lợi nhuận: Total Profit – TP (Total Revenue – • Thường ký hiệu là π=TR-TC TR) • TR=f(Q)=P.Q • Điểm hòa vốn (Break – Even Point): mức sản lượng mà tại đó TR=TC Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cầu Quan hệ giá và lượng cầu • Thường gọi là đường cầu (Demanded Curve) • Giá tăng thì lượng cầu giảm và ngược lại • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cầu của • Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng một mặt hàng của lượng cầu với các thay đổi về giá. • Ký hiệu: QD=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hàm cung Quan hệ giá và lượng cung • Thường gọi là đường cung (Supply Curve) • Giá tăng thì lượng cung tăng và ngược lại • Thể hiện tương quan giữa giá và lượng cung • Độ dốc của đường cung phản ánh mức đáp ứng của một mặt hàng khi các giá trị khác được giữ của lượng cung với các thay đổi về giá. nguyên • Ký hiệu: QS=f(P) • Tương quan giữa giá và lượng cung là đồng biến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 11
19/09/2017 Sự cân bằng cung cầu Ứng dụng hàm liên tục • Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường • Cho mô hình cân bằng thị trường QS=QD. Trong cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu đó: là điểm cân bằng 50 Q S  0,1P 2  5 P  10; QD  . • Ở điểm cần bằng ta có giá cân bằng và lượng P2 cân bằng • Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng • Trên thực tế cung và cầu không phải lúc nào thuộc khoảng (3;5) cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu lướng các thị trường đều tiến tới cân bằng Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1. Ý nghĩa của đạo hàm • 1. Ý nghĩa của đạo hàm • Ví dụ 1. Hàm cầu của một loại hàng hóa là • 2. Giá trị cận biên p=50-Q2 • 3. Hệ số co dãn • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi • 4. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 1. Ý nghĩa của đạo hàm 2. Giá trị cận biên • Ví dụ 2. Hàm cầu của một loại hàng hóa là • Đo tốc độ thay đổi của y theo x, ký hiệu My(x) = 45 − 2 • Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu thay đổi My x   f ' x  • Giá sẽ thay đổi thế nào khi Q=4 • Ta thường chọn xấp xỉ ( ) ≈ ∆ tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi của y khi x thay đổi một đơn vị ∆ =1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 12
19/09/2017 Giá trị cận biên của chi phí Ví dụ • Cho hàm chi phí C=C(Q) • Giả sử chi phí trung bình để sản xuất một sản • Hàm cận biên của chi phí: MC(Q)=C’(Q) phẩm là: • Lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên 1 đơn 500 AC  0, 0001Q 2  0, 02Q  5  vị Q • A) Xác định hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q sản phẩm. • B) Tìm giá trị cận biên của hàm chi phí. Nêu ý nghĩa khi Q=50. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải Giá trị cận biên của doanh thu • Hàm tổng chi phí để sản xuất Q đơn vị sản • Cho hàm doanh thu R=R(Q) phẩm: • Hàm cận biên của doanh thu: MR(Q)=R’(Q) C  Q .AC  0, 0001Q 3  0, 02Q 2  5Q  500 • Lượng thay đổi của doanh thu khi Q tăng lên 1 • Giá trị cận biên của chi phí: đơn vị dC MC   0, 0003Q 2  0, 04Q  5 dQ • Khi Q=50 thì MC(50)=3,75. Như vậy nếu Q tăng lên 1 đơn vị (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Tiêu dùng và tiết kiệm cận biên • Số vé bán được Q và giá vé p của một hãng xe • Cho hàm tiêu dùng C=C(I) trong đó I là tổng thu bus được cho bởi công thức: nhập kinh tế quốc dân. • Xu hướng tiêu dùng cận biên MC(I) là tốc độ Q  10000  125 p thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập. • A) Xác định hàm tổng doanh thu • Hàm tiết kiệm: S=I-C. • B) Xác định doanh thu cận biên khi p=30 và • Xu hướng tiết kiệm cận biên: MS(I)=1-MC(I) p=32 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 13
19/09/2017 Ví dụ Giải • Cho hàm tiêu dùng là: • Ta có: C   5 2 I3 3  MC I     5  I 3  30 I  3    I  10 I  10  2 • Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm cận biên khi I=100. • Khi I=100 ta có: MC 100   0, 536 MS 100   0, 464 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối Hệ số co dãn • Định nghĩa: khi đại lượng x thay đổi một lượng • Hệ số co dãn của y theo x là tỷ số giữa độ thay Δx thì ta nói: đổi tương đối của y và của x thay đổi một lượng • Δx là độ thay đổi tuyệt đối của x Δx. ∆ • Ký hiệu: • Tỷ số . 100% gọi là độ thay đổi tương đối y / y y x f ' x  của x xy   .  .x x / x x y f x  • Thể hiện % thay đổi của y khi x thay đổi 1%. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Lựa chọn tối ưu trong kinh tế • Cho hàm cầu Q=30-4p-p2. Tìm hệ số co dãn khi • Trong kinh tế ta quan tâm các bài toán sau: p=3 • + Tìm p để sản lượng Q đạt tối đa • Giải • + Tìm p hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa  4  2P 2P 2  P  • Ta có: QP  2 P  2 • + Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) 30  4 P  P P  4 P  30 QP 3    3, 333 • Ta đưa các bài toán trên về dạng tìm cực trị của • Vậy tại thời điểm P=3, nếu tăng giá 1% thì cầu hàm một biến số đã học. giảm 3,3%. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 14
19/09/2017 Ví dụ 1 Ví dụ 2 • Cho hàm cầu Q=300-p, hàm chi phí C=Q3- • Cho hàm cầu Q=100-p, hàm chi phí C=Q3- 19Q2+333Q+10 25Q2+184Q+15 • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. • Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất. Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 3 • Một loại thuốc kích thích sinh sản được tác động đến một loại vi khuẩn. Say t phút, số lượng vi khuẩn xấp xỉ: N t   1000  30t 2  t 3 0  t  20  • A) Khi nào tố độ tăng trưởng N’(t) tăng; giảm? • B) Tìm các điểm cực trị của N? • C) Tốc độ tăng trưởng lớn nhất là bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến 15

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.