Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH - Nguyễn Đức Phương

Chia sẻ: Dsczx Dsczx | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

373
lượt xem 74
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH do thầy Nguyễn Đức Phương biên soạn nhằm giúp sinh viên có thêm tài liệu tham khảo về toán cao cấp, bài giảng trình bày khoa học và logic giúp sinh viên nhanh chóng tiếp thu kiến thức, ngoài ra còn có bài tập sau mỗi chương học viên làm bài tập để áp dụng kiến thức đã học được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A2, C2 ĐH - Nguyễn Đức Phương

Toán cao cấp A2, C2 ĐH Bài giảng Nguyễn Đức Phương Họ và tên: Mssv: TP. HCM, Ngày 21 tháng 5 năm 2014
Mục lục
Chương 1 Ma trận, định thức 1.1 Ma trận Định nghĩa 1.1 (Ma trận). Một bảng số thực hình chữ nhật có m dòng và n cột 0 1 a11 a12 a1n Ba B 21 a22 a2n C C ADB : : : : C @ :: : : A : am1 am2 amn được gọi là ma trận cấp m n: Tập hợp tất cả ma trận cấp m n trên R được ký hiệu Mmn .R/: Chú ý. A D aij mn aij là phần tử dòng i cột j . Ví dụ 1.1. Ma trận 2 1 8 AD 0 6 5 Số dòng? số cột? aij ? Định nghĩa 1.2 (Ma trận vuông). Ma trận có số dòng bằng với số cột (m D n) được gọi là ma trận vuông cấp n.
Trang 2 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.2. Ma trận 0 1 2 0 1 A D @ 1 4 8A 9 4 3 là ma trận vuông cấp 3. Định nghĩa 1.3 (Đường chéo của ma trận vuông). Đường chéo chứa a11; a22 ; : : : ; ann là đường chéo chính 0 1 a11 a12 a1n Ba a a C B 21 22 2n C ADB : : : : C : : A @ : : : an1 an2 ann Đường chéo ngược lại là đường chéo phụ. 0 1 a11 a12 a1n Ba a a C B 21 22 2n C ADB : : : C @ :: : : A : : an1 an2 ann Định nghĩa 1.4 (Các ma trận vuông đặc biệt). Ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận chéo cấp n. Ma trận chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo chính là 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là In: Ví dụ 1.3. 0 1 2 0 0 A D @0 0 0A 0 0 4 gọi là ma trận đường chéo. 0 1 1 0 0 I3 D @0 1 0A 0 0 1 là ma trận đơn vị cấp 3.
1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 3 Định nghĩa 1.5. Ma trận vuông có tất cả các phần tử trên (dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới (trên). Ví dụ 1.4. 0 1 0 1 2 0 0 2 3 0 A D @ 4 3 0A B D @ 0 3 6A 3 0 0 0 0 1 A gọi là ma trận tam giác dưới. B gọi là ma trận tam giác trên. Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij D aj i ) gọi là ma trận đối xứng Ví dụ 1.5. 0 1 3 4 1 AD@ 4 1 0A 1 0 2 là ma trận đối xứng. 1.2 Các phép toán trên ma trận Định nghĩa 1.7 (Phép chuyển vị). Ma trận AT có được từ việc chuyển tất cả các dòng của A thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A: Ví dụ 1.6. Ma trận 2 1 4 AD 5 3 6 Tìm AT Tính chất 1.8. Cho A; B 2 Mmn .R/: Khi đó T i. AT D AI ii. AT D BT khi và chỉ khi A D B:
Trang 4 Chương 1. Ma trận, định thức Định nghĩa 1.9 (Nhân vô hướng). Cho ma trận A D aij và k 2 R, mn ta định nghĩa kA D kaij mn Ví dụ 1.7. 2 1 2 4 2 4 2 D 2 4 2 4 8 4 Tính chất 1.10. Cho A; B 2 Mmn .R/ và ˛; ˇ 2 R Khi đó i. .˛ˇ/A D ˛.ˇA/I ii. .˛A/T D ˛AT : Định nghĩa 1.11 (Phép cộng, trừ). Cho hai ma trận A D aij và mn B D bij mn cùng cấp, ta định nghĩa A ˙ B D aij ˙ bij mn Ví dụ 1.8. 1 2 3 3 1 3 4 3 6 C D 2 0 1 2 3 6 4 3 7 1 2 3 3 1 3 2 1 0 D 2 0 1 2 3 6 0 3 5 Tính chất 1.12. Cho A; B 2 Mmn .R/ và ˛; ˇ 2 R: Khi đó i. A C B D B C AI ii. ˛.A C B/ D ˛A C ˛BI iii. .˛ C ˇ/A D ˛A C ˇA: Định nghĩa 1.13 (Nhân hai ma trận). Cho hai ma trận A D aij mp và B D bij pn (số cột của A bằng với số dòng của B), ta định nghĩa AB D .cij /mn trong đó cij D (dòng i của A/ (cột j của B/ 0 1 1 2 1 2 4 Ví dụ 1.9. Cho A D ; B D @ 3 1 A Tính AB: 2 1 5 2 2
1.2 Các phép toán trên ma trận Trang 5 Ví dụ 1.10. Cho hai ma trận 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 A D @2 2 0 A ; BD @0 3 1A 3 0 3 2 1 0 Tính AB; BA và so sánh kết quả. 0 1 1 2 3 Ví dụ 1.11. Cho ma trận A D @ 0 5 2A Tính AI3 và I3 A và so sánh 2 4 6 kết quả. Nhận xét. Tổng quát, phép nhân không có tính giao hoán nghĩa là AB ¤ BA: Tính chất 1.14. Cho A; B; C thỏa điều kiện nhân được i. .AB/C D A.BC/I ii. A.B C C/ D AB C ACI iii. .AB/T D BT AT I
Trang 6 Chương 1. Ma trận, định thức iv. AIn D In A D A: 1.3 Ma trận bậc thang Định nghĩa 1.15. Trong một ma trận, một dòng có tất cả các phần tử bằng 0 gọi là dòng không. Trong một ma trận, phần tử khác không đầu tiên (trái sang phải) của dòng được gọi là phần tử cơ sở của dòng. Ví dụ 1.12. Ma trận 0 1 1 3 2 A D @0 0 0 A ! dòng không 3 1 5 Xác định phần tử cơ sở của 0 1 1 3 2 B0 0 3C ADB @0 C 0 0A 0 2 5 Định nghĩa 1.16 (Ma trận bậc thang). Ma trận thỏa hai điều sau được gọi là ma trận bậc thang: Các dòng 0 nằm bên dưới các dòng khác. Phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ phài nằm bên phải phần tử cơ sở các dòng trên nó. Ví dụ 1.13. Các ma trận sau là bậc thang: 0 1 0 1 7 0 2 0 3 1 2 A D @ 0 0 3 AI B D @ 0 0 3 5 A 0 0 0 0 0 0 4 Ví dụ 1.14. Các ma trận sau không là ma trận bậc thang 0 1 0 1 0 2 3 0 0 0 A D @ 0 3 5 AIB D @ 0 2 3 A 0 0 6 0 0 5
1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Trang 7 Định nghĩa 1.17. Ma trận bậc thang rút gọn (đơn giản) là ma trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó. Ví dụ 1.15. Ma trận nào sau đây là ma trận bậc thang rút gọn: 0 1 1 2 0 3 1 3 2 A D @0 0 1 1A I B D 0 0 0 0 0 0 0 1.4 Phép biển đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa 1.18 (Phép biến đổi sơ cấp trên dòng). Cho A D aij mn : Ta gọi các phép biến đổi sau là phép biến đổi sơ cấp trên dòng di $dk i) Đổi vị trí hai dòng i và k: A ! B: di !di ii) Nhân dòng i với số thực ¤ 0: A ! B: di !di Cdk iii) Thay dòng i bằng dòng i cộng lần dòng k khác: A ! B: Chú ý. Phép biến đổi ii) và iii) có thể được thay bằng di !di Cdk A ! B: trong đó ¤ 0: Ma trận B nhận được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta nói A tương đương dòng với B; ký hiệu A B: Định lý 1.19. Mọi ma trận đều có thể được đưa về ma trận bậc thang bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sớ cấp.
Trang 8 Chương 1. Ma trận, định thức Ví dụ 1.16. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận sau về dạng ma trận bậc thang 0 1 0 1 1 1 2 4 1 2 4 A D @2 3 3 3 A I B D @ 2 4 7A 5 7 4 10 3 2 5 1.5 Hạng của ma trận Định nghĩa 1.20 (Hạng của ma trận). Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến A thành ma trận bậc thang A: Hạng của A, ký hiệu r.A/ là số Q dòng khác không của A Q Ví dụ 1.17. Tìm hạng của 0 1 1 2 3 A D @0 0 1A 0 0 0 có r.A/ D : : :
1.5 Hạng của ma trận Trang 9 Ví dụ 1.18. Cho 0 1 1 2 1 AD @2 0 3A 4 4 1 Tìm r.A/ Tính chất 1.21. i. r.A/ D r.AT /I ii. Nếu A D .aij /mn thì r.A/ minfmI ngI iii. Nếu A là ma trận vuông có jAj ¤ 0 khi và chỉ khi r.A/ D n: Ví dụ 1.19. Cho ma trận 0 1 mC1 1 3 AD@ 2 m C 2 0A 2m 1 3 Tìm m để r.A/ D 2
Trang 10 Chương 1. Ma trận, định thức Chú ý. Ta nên chuyển các cột không chứa tham số lên đầu. Ví dụ 1.20. Biện luận theo m số hạng của 0 1 1 2 1 1 1 Bm 1 1 1 1C ADB @1 m 0 1 C 1A 0 4 3 2 2
1.6 Định thức Trang 11 1.6 Định thức Cho A là ma trận vuông cấp n: Ký hiệu Mij là ma trận có được từ A bằng các xóa bỏ dòng i cột j cùa A: Ví dụ 1.21. Nếu 0 1 1 2 3 A D @4 5 6A 7 8 9 thì 0 1 1 2 3 1 2 M23 D @4 5 6 D A 7 8 7 8 9 Định nghĩa 1.22 (Định thức). Định thức của ma trận vuông A cấp n; ký hiệu detA hay jAj được định nghĩa quy nạp như sau: Nếu n D 1 thì jAj D ja11j D a11: ˇ ˇ ˇa11 a12ˇ Nếu n D 2 thì jAj D ˇ ˇa21 a22ˇ D a11a22 ˇ a12 a21: Nếu 3 n thì jAj D ai1 Ai1 C ai 2 Ai 2 C C ai nAi n D a1j A1j C a2j A2j C C anj Anj trong đó Aij D . 1/i Cj jMij j: Ví dụ 1.22. Tính định thức của các ma trận 0 1 1 2 2 3 2 AD I BD @2 3 1A 1 4 2 1 2
Trang 12 Chương 1. Ma trận, định thức Chú ý. Quy tắc sáu đường chéo tính định thức ma trận cấp 3 ˇ ˇ ˇa11 a12 a13ˇ a11 a12 ˇ ˇ jAj D ˇa21 a22 a23ˇ a21 a22 D.a11a22 a33 C a12a23 a31 C a13a21a32 / ˇ ˇ ˇa31 a32 a33ˇ a31 a32 .a11a22 a33 C a12a23 a31 C a13a21a32 / 0 1 1 2 2 Ví dụ 1.23. Tính định thức của ma trận B D @2 3 1A 2 1 2 0 1 0 0 3 2 B3 4 2 1C Ví dụ 1.24. Tính định thức của ma trận A D B @1 C 1 0 2A 2 1 1 5
1.6 Định thức Trang 13 di $dk Tính chất 1.23. Nếu A ! B thì jBj D jAj Ví dụ 1.25. Tính các định thức: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ1 2 0 ˇ ˇ2 1 1ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ jAj D ˇ2 1 1ˇ I ˇ ˇ jBj D ˇ1 2 ˇ 0ˇ ˇ ˇ3 3 1 ˇ ˇ3 3 1ˇ di !di Tính chất 1.24. Nếu A ! B thì jBj D jAj: ¤0 Ví dụ 1.26. Tính các định thức: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 1 0ˇ ˇ 6 3 0ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ jAj D ˇ 2 0 1ˇ I ˇ ˇ jBj D ˇ 2 0 ˇ 1ˇ ˇ ˇ3 3 1ˇ ˇ3 3 1ˇ và suy ra giá trị j3Aj:
Trang 14 Chương 1. Ma trận, định thức di !di Ck Tính chất 1.25. Nếu A ! B thì jBj D jAj: ˇ ˇ ˇ1 1 3ˇ Ví dụ 1.27. Tính định thức: jAj D ˇ 2 2 1ˇ và định thức của ma trận ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 2 3 1ˇ B có được bằng phép biến đổi d2 D d2 2d1 từ ma trận A Nhận xét. Phép biến đổi trong tính chất ?? và ?? còn được viết chung di !di Cdk dưới dạng ! ¤0 Tính chất 1.26. ˇa11 C a= a12 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ = ˇ ˇ 11 a1n ˇ ˇa11 ˇ ˇ a12 a1n ˇ ˇa11 a12 ˇ ˇ a1n ˇ ˇ ˇa C a = a a2n ˇ ˇa21 a22 = a2n ˇ ˇa21 a22 a2n ˇ ˇ 21 21 22 : ˇDˇ : : ˇCˇ : ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ : : : : : ˇ : : : ˇ ˇ : : : ˇ ˇ : : : ˇ ˇ ˇ : : : ˇ ˇ : : : ˇ ˇ : : : ˇ = = ˇ ˇan1 C a an2 n1 ann ˇ ˇan1 an2 ann ˇ ˇan1 an2 ann ˇ ˇ ˇ ˇx a x ˇ Ví dụ 1.28. Tính định thức ˇy b ˇ ˇ ˇ y C 3ˇ ˇ ˇz c z ˇ
1.7 Ma trận khả nghịch Trang 15 Chú ý. Các tính chất của định thức ở trên được phát biểu cho biến đổi trên dòng, và các tính chất này cũng đúng cho biến đổi trên cột. Chú ý. Một số kết quả đặc biệt Dạng chia khối: nếu A; C là hai ma trận vuông và O là ma trận không ˇ A Bˇ ˇA 0 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇO Cˇ D ˇB Cˇ D jAjjCj ˇ ˇ ˇ ˇ Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. jABj D jAjjBj: 1.7 Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.27. Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng cấp A 1 sao cho AA 1 D A 1A D In : Ma trận A 1 là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A: 2 5 3 5 Ví dụ 1.29. Ma trận A D và A 1 D là hai ma trận 1 3 1 2 nghịch đảo của nhau.
Trang 16 Chương 1. Ma trận, định thức 1.7.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận A vuông cấp n; ta tìm A 1 nếu có như sau: Bước 1. Lập ma trận .AjIn/: Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa .AjIn/ về dạng .A jB/; với A là ma trận bậc thang rút gọn. 0 0 Bước 3. Nếu A D In thì A khả nghịch và A 1 D B; ngược lại ta kết 0 luận A không khả nghịch. 1 2 Ví dụ 1.30. Tìm A 1 nếu có của A D : 2 4 0 1 1 1 1 Ví dụ 1.31. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D @1 0 1 A: 2 1 1
1.7 Ma trận khả nghịch Trang 17 Định lý 1.28. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi jAj ¤ 0 0 1 mC1 1 3 Ví dụ 1.32. Tìm m để A D @ 2 m C 2 0A khả nghịch 2m 1 3 1.7.2 Công thức tìm ma trận nghịch đảo Cho ma trận khả nghịch A; ma trận nghịch đảo của A được tính như sau: 0 1T A11 A12 A1n 1 BA21 A22 A2n C A D1 (1.1) B C B : : : C jAj @ :: : : A : : An1 An2 Ann 2 3 Ví dụ 1.33. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của A D : 1 4