Bài tập toán cao cấp A2, C2 - Lê Hữu Kỳ Sơn

Chia sẻ: Hoang Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

456
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán cao cấp dùng cho Cao đẳng và Đại Học. Toán cao cấp cũng có 1 số môn khá giống với những gì các bạn được học ở cấp 3. VD: Hình học không gian ( cao cấp hơn 1 ít thôi) Xác suất thông thống kê..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán cao cấp A2, C2 - Lê Hữu Kỳ Sơn

B CÔNG THƯƠNG TRƯ NG Đ I H C CÔNG NGHI P TH C PH M TP. HCM LÊ H U KỲ SƠN Bài t p Toán cao c p A2 - C2 MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP. HCM – Ngày 15 tháng 2 năm 2012
M cl c 1 MA TR N VÀ Đ NH TH C 3 1.1 Ma tr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đ nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ma tr n ngh ch đ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 H ng c a ma tr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH 8 3 KHÔNG GIAN VECTOR 9 3.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 ÁNH X TUY N TÍNH 11 4.1 Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Giá tr riêng - vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 D NG TOÀN PHƯƠNG 14 Tài li u tham kh o 15 2
Chương 1 MA TR N VÀ Đ NH TH C 1.1 Ma tr n       1 2 0 1 2 −3 1. Cho A = −1 3 ;B =  3 2 ;C = 1 2 . 3 4 −2 3 4 −1 Tính (A + B) + C; A + (B + C); 3A − 2B; (3A)t ; (3A − 2B)t .       1 2 1 2 3 1 2 −3 0 2. Cho ma tr n A = 0 1 2 ;B = −1 1 0  ;C = 1 2 4. 3 1 1 1 2 −1 4 −1 0 Tính A.B.C và A.C + B.C.    a b c 1 a c 3. Tính A =  c b a 1 b b . 1 1 1 1 c a 1 0 4. Cho ma tr n , hãy tìm ma tr n A2012 . 2 1 1 0 5. Cho ma tr n , hãy tìm ma tr n A2012 . 5 1 cos α sin α 6. Cho ma tr n A = , hãy tìm ma tr n A2012 . sin α − cos α 0 1 7. Cho ma tr n A = , hãy tìm ma tr n A2012 . 1 0 0 0 8. Cho ma tr n A = . Tính ma tr n (I − A)2012 . 1 0   0 0 1 9. Cho ma tr n J = 1 0 0. Tính ma tr n J 2012 0 1 0 0 0 10. Cho ma tr n A = . Hãy tính t ng sau 1 0 2012 2n An = In + 2A + 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · · + 22011 A2011 + 22012 A2012 n=0 3
0 0 11. Cho ma tr n A = . Hãy tính t ng sau −1 0 2012 An = In + A + A2 + A3 + A4 + · · · + A2011 + A2012 n=0 0 −1 12. Cho ma tr n A = . Hãy tính t ng sau 0 0 2012 2n An = In + 2A + 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · · + 22011 A2011 + 22012 A2012 n=0 0 −1 13. Cho ma tr n A = . Hãy tính t ng sau 0 0 2012 An = In + A + A2 + A3 + A4 + · · · + A2011 + A2012 n=0  0 1 1 14. Cho ma tr n A = 0 0 1. Hãy tính t ng sau 0 0 0 2012 (−2)n An = In − 2A + 4A2 − 8A3 + 16A4 + · · · + (−2)2011 A2011 + (−2)2012 A2012 n=0 a b 15. Cho ma tr n A = , hãy tính A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 . c d 16. Tìm f (A) n u 2 −1 a. f (x) = x2 − 5x + 3 v i A = ; −3 3   2 1 1 b. f (x) = x2 − x − 1 v i A = 3 1 2 . 1 −1 0. 17. Cho A là ma tr n vuông c p 1000 mà ph n t dòng i là i. Tìm ph n t dòng 1 c t 3 c a ma tr n A2 . 18. Cho A là ma tr n vuông c p 1000 mà ph n t dòng i là (−1)i i. Tìm ph n t dòng 2 c t 3 c a ma tr n A2 . 19. Cho A là ma tr n vuông c p 1000 mà ph n t dòng i c t j là (−1)i+j . Tìm ph n t dòng 1 c t 2 c a ma tr n A2 . 20. Cho A là ma tr n vuông c p 1000 mà ph n t dòng i là 2i−1 . Tìm ph n t dòng 2 c t 4 c a ma tr n A2 . 4
21. Hãy tìm s  n nguyên dương nh nh t đ  ma tr n An = 0   (ma tr n-không), v i  0 1 0 0 −1 −1 0 0 1 a. A = 0 0 1 b. A = 0 0 −1 c. A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 1 1   0 0 0 0 0 0 1 d. A =  0  e. A = −1 0 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 1.2 Đ nh th c 1. Bi t các s 204, 527, 255 chia h t cho 17. Không tính đ nh th c, ch ng minh r ng: 2 0 4 5 2 7 chia h t cho 17. 2 5 5 2. Tính các đ nh th c sau 5 3 2 1 1 1 a a a 1 1 1 δ1 = −1 2 4 ; δ2 = −1 0 1 ; δ3 = −a a x ; δ4 = 1 2 3 7 3 6 −1 −1 0 −a −a x 1 3 6 0 1 1 a b c 0 a 0 a x x δ5 = 1 0 1 ; δ6 = b c a ; δ7 = b c d ; δ8 = x b x ; 1 1 0 c a b 0 c 0 x x c a+x x x sin a cos a 1 1 1 1 x y x+y δ9 = x b+x x ; δ10 = sin b cos b 1 ; δ11 = x y z ; δ12 = x x+y x x x c+x sin c cos c 1 x2 2 y z 2 x+y y y 3. Gi i các phương trình và b t phương trình x x+1 x+2 a. x + 3 x + 4 x + 5 = 0; x+6 x+7 x+8 2 x + 2 −1 b. 1 1 −2 ≥ 0; 5 −3 x 4. Ch ng minh r ng a1 + b 1 x a 1 x + b1 c 1 a1 +b1 c1 a. a2 + b2 x a2 x + b2 c2 = (1 − x2 ) a2 b2 c2 ; a3 + b 3 x a 3 x + b3 c 3 a3 b 3 c 3 1 a a3 1 a a 2 b. 1 b b3 = (a + b + c) 1 b b2 ; 1 c c3 1 c c2 5. Hãy tính các đ nh th c sau −4 −5 2 6 3 9 −4 −2 1 1 1 1 2 −2 1 3 1 −2 0 3 1 −1 2 2 ∆1 = ; ∆2 = ; ∆3 = 6 −3 3 9 2 3 0 −1 1 1 −1 3 4 −1 5 6 2 −1 2 1 1 1 1 −1 5
  2 b−2 2−b 6. Hãy tính đ nh th c c a ma tr n b − 2 b2 + 4 4b  2 2−b 4b b +4 Đáp s : đ nh th c ma tr n b ng 0. 5 3 0 0 ··· 0 0 2 5 3 0 ··· 0 0 7. Tính đ nh th c c p n: Dn = 0 2 5 3 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 0 ··· 2 5 1 x1 x2 · · · 1 xn−1 1 n−1 1 x2 x2 · · · 2 x2 8. Tính đ nh th c Vandermond: Dn = ··· 1 xn x2 · · · n n−1 xn 1.3 Ma tr n ngh ch đ o m 1 m−1 0 m−1 0 1. Tìm s th c m đ ma tr n A = kh 0 m−1 1 m−1 1 m−2 ngh ch.   0 1 0 0 0 m 1 0 2. Cho ma tr n A =  . Hãy tìm ph n t dòng 1 c t 4 c a A−1 . 0 m m 2 1 4 0 0 0 −1 Đáp s : . 4 1 2 1 2 3 3. Cho ma tr n A = và B = . Tìm ma tr n X th a AX = B. 3 4 3 2 1 1 2 7 7 1 4. Cho ma tr n A = và B = . Tìm ma tr n X th a AX = B. 3 4 1 7 7 2 1 −3 2 −2 4 5. Tìm ma tr n X th a mãn phương trình X = 3 2 5 −3 3 −1     −1 2 −3 1 0 6. Tìm ma tr n X th a mãn phương trình 2 −6 5  X = 2 1  1 −3 2 0 −1   1 −2 0 2 1 0 7. Tìm ma tr n X th a mãn phương trình X 2 −2 3 = 0 −1 1 1 −1 1      3 0 1 1 −1 1 3 0 1 8. Tìm ma tr n X th a mãn phương trình 8 1 1  1 0 −1 X = 8 1 1 5 −3 −2 1 1 −2 5 −3 −2      −1 2 1 2 3 5 2 3 −5 9. Tìm ma tr n X th a mãn phương trình X  3 −2 0  0 −1 6 = 0 −1 6  2 −3 −1 2 0 6 2 0 6 6
10. Tìm ma tr n X  a mãn phương  th  trình    8 −1 5 17 −3 9 1 2 2 1 6 −2 X −  2 11 −3 X = 0 −1 −2 4 0 −5 7 2 2 1 11. Tìm ma tr n X th mãn  a phương trình  1 0 1 −1 2 −5 1 −2 0 2X  2 −2 1  + X −4 5 3 X = 2 3 1 −2 3 −3 5 −4 2   0 1 1 ··· 1  1 0 1 · · · 1   12. Cho A =  1 1 0 · · · 1. Tìm A−1 .   · · ·  1 1 1 ··· 0 1.4 H ng c a ma tr n 1. Tìm h ng c a các ma tr n sau     4 3 −5 2 3   1 3 5 −1 2 −1 3 −2 4 8 6 −7 4 2 4 −2 5 1 7; 2) 2 −1 −3 4 ; 3)4 3 −8     1) 5 1 −1 7   2 7 2 −1 1 8 2 4 3 1 2 −5 7 7 9 1 8 6 −1 4 −6       2 2 1 5 −1 1 3 −1 6 0 1 10 3 1  0 4 −2 1    7 1 −3 10  2 0 4 52  2 1 5 0 1 4)  17 1 −7 22; 5) 16 4 52 9 ; 6)−1 −2 2       −6 1   3 4 −2 10 8 −1 6 7 −3 −1 −8 1 −1 1 2 −3 7 −2   1 2 3 4 5 8 11 m + 15 2. Tìm m đ h ng c a ma tr n A = 2 3 4  b ng 2. 5  3 5 7 m + 10 Đáp s : m = −1. 3. Bi n  n h ng c lu a  ma tr n sau theo tham các  s m   3 m 1 2 −1 2 1 −1 1 3 1 1 4 1 4 7 2  m −1 1 −1 −1  m 4 10 1 A= 1 10 17 ;B= ;C=  4 1 m 0 1 1 1 7 17 3 4 1 3 3 1 2 2 −1 1 2 2 4 3 7
Chương 2 H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH     −5 1 1 2 −1 a 1. Cho h phương trình Ax = B ⇐⇒  26 −7 −4 −2 1  x =  b . Tìm đi u ki n 31 −8 −5 −4 2 c c a a, b, c đ h có nghi m. Đáp s : a − b + c = 0.   x + my + z =m 2. Đ nh m đ h phương trình sau vô nghi m x + 2y + 2z =1 2x + (m + 2)y + (m + 2)z = m2 + m 2  Đáp s : m = 2. 3. Tìm m đ 2 h sau có nghi m chung x − y + z + 2t = 2m 2x + 3y + z − 5t = 3m và 2x − 3y − 2z − 5t = 2 5x − 9y − 11z − 26t = −1 3 Đáp s : m = 2 . 4. Gi  các h phương i trình sau    2x − y − z =4  x + y + 2z = −1  x − 3y + 4z + t = 1 1) 3x + 4y − 2z = 11 ; 2) 2x − y + 2z = −4 ; 3) 2x − 5y + z − 5t = 2 3x − 2y + 4z = 11 4x + y + 4z = −2 5x − 13y + 6z =5        x + y + 2z + 3t = 1  x + 2y + 3z + 4t = 5  x + 2y + 4z = 31   3x − y − z − 2t = −4 2x + y + 2z + 3t = 1   4) 5x + y + 2z = 29 ; 5) ; 6)  2x + 3y − z − t = −6  3x + 2y + z + 2t = 1 3x − y + z = 10    x + 2y + 3z − t = −4 4x + 3y + 2z + t = −5      y − 3z + 4t = −5   x + y − 3z = −1   x − 2y + z + t = 1  x − 2z + 3t = −4 2x + y − 2z = 1   7) ; 8) x − 2y + z − t = −1 ; 9)  3x + 2y − 5t = 12  x+y+z =3 x − 2y + z + 5t = 5    4x + 3y − 5z = 5 x + 2y − 3z = 1     x + 3y + 4z − t = 2 5. Tìm m đ h 2x + 7y + 4z + t = m + 11 có nghi m và gi i v i m đó. x + 5y − 4z + 5t = m + 9  8
Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR 3.1 Không gian vector 1. Trong R3 , trong các h sau, h nào là h ph thu c tuy n tính A A = {u1 = (5, 4, 3), u2 = (3, 3, 2), u3 = (8, 1, 3)}, B B = {u1 = (2, −1, 3), u2 = (3, −1, 5), u3 = (1, −4, 3)} C C = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} D D = {u1 = (0, 1, 2), u2 = (1, 2, 7), u3 = (0, 4, 4)}. 2. Cho P2 là t p h p các đa th c b c bé hơn ho c b ng 2 v i h s th c. Ch ng minh r ng a. H A = {p1 (x) = 1 + 2x + 3x2 , p2 (x) = 2 + 3x + 4x2 , p3 (x) = 3 + 5x + 7x2 } là ph thu c tuy n tính. b. H B = {q1 (x) = 1, q2 (x) = 1 + x, q3 (x) = 1 + x + x2 } là đ c l p tuy n tính. c. H {p(x), p (x), p”(x)}, trong đó p (x), p”(x) là đ o hàm c p 1 và c p 2 c a p(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R là đ c l p tuy n tính. 3. Ch ng minh r ng t p h p F = {y = (y1 , y2 , y3 , y4 )|y2 + y3 + y4 = 0} là m t không gian vector con c a R4 . 4. Tìm đi u ki n đ vector (x, y, z) không ph i là m t t h p tuy n tính c a h F = {u = (1, 2, 1), v = (1, 1, 0), w = (3, 6, 3)}. Đáp s : y = x + z. 5. Trong R4 , v i W = {u1 , u2 , u3 } = {(−1, 1, 1, 0), (0, −2, 1, 1), (−1, 0, 1, −2)} . Cho u = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 . Tìm đi u ki n đ u ∈ W . Đáp s : 7x1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0.   4 0 1 6. Trong R3 xét hai cơ s A, B. Bi t ma tr n chuy n cơ s t A sang B là P = 1 4 4 1 1 2 và t a đ x đ i v i cơ s A là [x]A = (13, 13, 13). Tìm t a đ c a x đ i v i cơ s B. Đáp s : [x]B = (1, −6, 9). 7. Tìm t a đ (x1 , x2 , x3 , x4 ) c a vector u = (1, 1, 1, 1) theo cơ s {u1 = (0, 1, 1, 1), u2 = (1, 0, 1, 1), u3 = (1, 1, 0, 1), u4 = (1, 1, 1, 0)}. 9
8. Tìm t a đ (x1 , x2 , x3 ) c a vector u = (m, m, 4m) theo cơ s {u1 = (1, 2, 3), u2 = (3, 7, 9), u3 = (5, 10, 16)}. Đáp s : x1 = −m, x2 = −m, x3 = m. 9. Cho  t ma tr n chuy n cơ s t cơ s U = {u1 , u2 , u3 } sang cơ s chính t c E là bi  1 1 2 A =  0 −1 0 . Tìm t a đ (x1 , x2 , x3 ) c a vector u = (1, 0, 1). −1 −1 −1 Đáp s : x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2. 10. Trong không gian R3 cho hai cơ s , cơ s chính t c E và F = {f1 = (−1, 1, 1); f2 = (1, −1, 1); f3 = (1, 1, −1)}. Hãy tìm ma tr n chuy n cơ s t F sang E?   0 0.5 0.5 Đáp s : PF →E = 0.5 0 0.5. 0.5 0.5 0 11. Tìm s chi u và cơ s c a không gian  con không gian R3 các nghi m c a h phương  x1 − 2x2 + x3 = 0 trình thu n nh t 2x1 − x2 − x3 = 0 −2x1 + 4x2 − 2x3 = 0  12. Tìm s chi u và cơ s c a không gian con không gian R4 các nghi m c a h phương  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 1 3      x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0 2 2  trình thu n nh t 1 2 4  x1 + x2 + x3 + x4 = 0   3 3 3   1 1 3 x1 + x2 + x 3 + x4 = 0   4 2 4 13. S = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } là m t h vector trong R4 . Tìm h ng c a S n u x1 = (1, 1, −1, −1); x2 = (1, −1, 1, −1); x3 = (3, 1, −1, 1); x4 = (3, −1, 1, −1); x5 = (2, 0, 0, 0). 3.2 Không gian Euclide 1. Trong không gian EUCLIDE R3 v i tích vô hư ng thông thư ng, cho ba vector x = (2, b, c); y = (1, −2, 2); z = (2, 2, a). Tìm a, b, c đ ba vector trên t o thành m t h tr c giao. 2. Tr c giao hóa và tr c chu n hóa Gram-Schmidt h các vector x1 = (1, 2, 3) và x2 = (3, 1, 2). 1 2 3 31 −8 −5 Đáp s : y1 = √ , √ , √ ; y2 = √ ,√ ,√ . 14 14 14 1050 1050 1050 3. Tr c giao hóa và tr c chu n hóa Gram-Schmidt h các vector x1 = (1, 1, 1); x2 = (1, 1, 0) và x2 = (1, 0, 0). 4. Trong không gian EUCLIDE R3 cho không gian vector con W = {x ∈ R3 |2x1 +x2 −x3 = 0}. Tìm m t cơ s tr c giao và m t cơ s tr c chu n c a W . 5. Trong không gian EUCLIDE R4 cho không gian vector con W = {x ∈ R4 |x1 + x2 + x3 = 0, −x1 + x2 + x4 = 0}. Tìm m t cơ s và m t cơ s tr c chu n c a W . 10
Chương 4 ÁNH X TUY N TÍNH 4.1 Ánh x tuy n tính 1. Trong các ánh x sau, ánh x nào là ánh x tuy n tính 1. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 − x3 , x1 + x3 , 3x1 − x2 + 2x3 ) 2. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 + 2, x3 + 3) 3. f : R2 → R, f (x1 , x2 , ) = |x2 − x1 | 4. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (2x1 , x2 ) 5. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x2 , x2 ) 1 6. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x2 , x1 ) 7. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (0, x2 ) 8. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 + 1) 9. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 − x2 ) 10. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = (x2 , x2 ) √ √ 11. f : R2 → R2 , f (x1 , x2 ) = ( 3 x1 , 3 x2 ) 12. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x1 + x3 + x2 ) 13. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0) 14. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (1, 1) 15. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , 3x2 − 4x3 ) 2. Hãy tìm ma tr n chính t c c a m i ánh x tuy n tính sau 1. f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 ) 2. f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) 3. f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 + x3 , x1 + 5x2 , x3 ) 4. f (x1 , x2 , x3 ) = (4x1 , 7x2 , −8x3 ) 5. f (x1 , x2 , ) = (x2 , −x1 , 3x2 + x1 , x1 − x2 ) 6. f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (7x1 − 2x2 − x3 + x4 , x2 + x3 , −x1 ) 7. f (x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0, 0, 0) 8. f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x4 , x1 , x3 , x2 , x1 − x3 ) 11
3. Cho ánh x tuy n tính f : R4 −→ R4 , đ nh b i f (x, y, z, t) = (x + 2y + 4z − 3t, 3x + 5y + 6z − 4t, 4x + 5y − 2z + 3t, 3x + 8y + 24z − 19t). Xét không gian vector con V = {(x, y, z, t)/f (x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0)}. Tìm s chi u và m t cơ s c a V . Đáp s : không gian vector V có s chi u b ng 2 và m t cơ s c a nó {v = (8, −6, 1, 0), u = (−7, 5, 0, 1)}. 2 −1 4. Cho T : R2 → R2 là ánh x nhân v i ma tr n −8 4 1. Vector nào sau đây ∈ Im(T ): (1,-4); (5,0); (-3,12). 2. Vector nào sau đây ∈ Ker(T ): (5,10); (3,2); (1,1). 5. Tìm nhân và nh c a các ánh x tuy n tính sau 1. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 2x2 + x3 , 2x1 − x2 − x3 , x1 + x2 − 2x3 ) 2. f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 )   1 −3 2 −2 6. Cho f : R4 → R3 , và A = 2 −1 2 −1. V i f (x) = AX, X ∈ R4 , hãy xác đ nh 1 2 0 1 nhân và nh c a ánh x tuy n tính f . 7. f là m t  ánh x  tr n xác đ nh như sau ma   1 −1 3 2 0 −1 A= 5 6− 4; B = 4 0 −2; 7 4 2 0 0 0   1 4 5 0 9 4 1 5 2  3 −2 1 0 −1 C= ;D= −1 0 −1 0 −1  1 2 3 0 2 3 5 1 8 Hãy tìm 1. M t cơ s và s chi u cho Im(f ); 2. M t cơ s và s chi u cho Ker(f ); 8. Cho f : R2 → R2 là ánh x tuy n tính có tính ch t f (1, 1) = (2, 0); f (0, 1) = (3, 1). Tính f (1, 0) và tìm ma tr n c a f trong cơ s chính t c c a R2 . 9. Cho ánh x tuy n tính f : R2 −→ R2 , ma tr n c a f đ i v i cơ s F = {(2, 1), (1, 1)} là 2 2 . Hãy tìm bi u th c c a f . 1 1 Đáp s : f (x, y) = (5y, 3y). 10. Xét cơ s S = {v1 , v2 , v3 }, trong R3 trong đó v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10). Tìm công th c bi u di n ánh x tuy n tính f : R3 → R2 xác đ nh b i T (v1 ) = (1, 0), T (v2 ) = (1, 0), T (v3 ) = (0, 1). Tính T (1, 1, −1), trong các cơ s chính t c c a R3 , R2 . 12
4.2 Giá tr riêng - vector riêng 1. Tìm các giá tr riêng và vector riêng c a các ma tr n 6 −4 5 2 9 12 A= ;B= ;C= 4 −2 2 8 12 6 2. Tìm  giá tr riêng và vector riêng c a các ma tr  các    n  2 −1 1 3 −1 1 6 2 2 A = −1 2 −1; B = −1 5 −1; C = 2 3 −4 0 0 1 1 −1 3 2 −4 3   −8 9 −9 3. Cho ma tr n A = −10 13 −10, hãy tìm các giá tr riêng c a ma tr n A? −4 6 −3 Đáp s : {−2, 1, 3}   3 3 2 4. Tìm tr riêng th c và vector riêng c a ma tr n A =  1 1 −2 và xác đ nh các −3 −1 0 không gian vector riêng tương ng.   2 1 0 5. Tìm tr riêng th c và vector riêng c a ma tr n A = 0 1 −1 và xác đ nh các không 0 2 4 gian vector riêng tương ng.   2 2 1 6. Tìm tr riêng th c và vector riêng c a ma tr n A = 1 3 1 và xác đ nh các không 1 2 2 gian vector riêng tương ng. 7. Tìm tr riêng và  vector riêng c a các tr n sau, t  hãy   ma đó chéo hóa các tr n (n u ma 15 −18 −16 0 −8 −6 2 0 1 đư c) A = 9 −12 −8 ; B = −1 −8 7 ; C =  1 1 1 4 −4 −6 1 −14 11 −2 0 −1 13
Chương 5 D NG TOÀN PHƯƠNG 1. Vi t ma tr n c a các d ng toàn phương sau: 1. f (x1 , x2 ) = 3x2 − 4x1 x2 − x2 1 2 2 2. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − 2x1 x2 − x1 x3 3. f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 − 2x2 + 5x2 − 8x1 x2 − 16x1 x3 + 14x2 x3 1 2 3 4. f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 5. f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 + 3x1 x2 + 4x3 x1 + x2 + x2 1 2 3 6. f (x1 , x2 , x3 ) = −4x1 x2 − 4x1 x3 + 3x2 − 2x3 x2 + 3x2 2 3 2 2 2 7. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + 3x3 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 8. f (x1 , x2 , x3 ) = x2 − 2x2 + x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 1 2 3 9. f (x1 , x2 , x3 ) = x2 − 3x2 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 1 3 2. Đưa v d ng chính t c d ng toàn phương 1. f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 2. f (x1 , x2 , x3 ) = 2x2 + 3x1 x2 + 4x3 x1 + x2 + x2 1 2 3 3. f (x1 , x2 , x3 ) = −4x1 x2 − 4x1 x3 + 3x2 − 2x3 x2 + 3x2 2 3 2 2 2 4. f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + 3x3 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 5. f (x1 , x2 , x3 ) = x2 − 2x2 + x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 1 2 3 6. f (x1 , x2 , x3 ) = x2 − 3x2 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 1 3 3. Cho d ng toàn phương Q(x) = x2 + 2x2 + 2x2 + 2x1 x2 − 2x1 x3 = xT Ax. B ng phép bi n 1 2 3 đ i tr c giao, và v i cơ s tr c chu n 2 −1 1 1 1 −1 1 1 y1 = √ , √ , √ , y2 = √ , √ , √ , y3 = 0, √ , √ . 6 6 6 3 3 3 2 2 Hãy đưa d ng toàn phương này v d ng chính t c. 2 2 Đáp s : g(z) = 3z2 + 2z3 4. Kh o sát tính chát xác đ nh (d u) c a d ng toàn phương sau f (x1 , x2 , x3 ) = 5x2 + x2 + 4x1 x3 − 4x3 x2 + 5x2 1 2 3 5. Kh o sát tính chát xác đ nh (d u) c a d ng toàn phương sau f (x1 , x2 , x3 ) = 3x2 + x2 + 5x2 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 4x2 x3 1 2 3 6. Đ nh m đ d ng toàn phương sau xác đ nh âm f (x1 , x2 , x3 ) = −5x2 − x2 − mx2 − 4x1 x2 + 2x1 x3 + x2 x3 1 2 3 14
Tài li u tham kh o [1] Tr n Lưu Cư ng (Ch biên), Nguy n Đình Huy, Huỳnh Bá Lân, Nguy n Bá Thi, Nguy n Qu c Lân, Toán Cao C p 2 Đ i S Tuy n Tính, Nhà xu t b n giáo d c, 2005. [2] Nguy n Đình Trí (Ch biên), Lê Tr ng Vinh, Dương Th y V , Bài t p Toán H c Cao C p T p 1 (Dùng cho sinh viên các trư ng cao đ ng). Nhà xu t b n giáo d c Vi t Nam, 2010. [3] Nguy n Đình Trí (Ch biên), T Văn Đĩnh, Nguy n H Quỳnh. Bài t p TOÁN CAO C P T p m t Đ i s và hình h c gi i tích. Nhà xu t b n giáo d c, 2010. 15