Bài giảng Toán cho tin học: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 5 giúp sinh viên nắm bắt được các kiến thức về chuỗi số và chuỗi lũy thừa. Các nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Dãy số và sự hội tụ, chuỗi số, các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cho tin học: Chương 4 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 2
1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó , , ,…, ,… • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, … , 2 , … có phần tử thứ nhất là = 2, phần tử thứ hai là = 4, … phần tử thứ là =2 ,… • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành , biến 2 thành , … biến thành , … • Dãy số được mô tả bằng công thức = . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 3
Ví dụ dãy số • Dãy số = có các phần tử là = 1, 2, 3, 4, … , ,… 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 4
• Dãy số = có các phần tử là 1 1 1 1 = 1, , , , … , , … 2 3 4 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 5
• Dãy số = có các phần tử là 1 1 1 −1 = 1, − , , − , … , ,… 2 3 4 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 6
Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). • Các phần tử của dãy = tiến về 0 khi lớn. • Các phần tử của dãy = tiến về 1 khi lớn. • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số = có thể lớn tùy ý khi đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 7
• Các phần tử của dãy số = −1 nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số được nói là hội tụ (converge) về nếu ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ > , − < Nếu không số nào như vậy, ta nói dãy phân kỳ (diverge). Nếu hội tụ về ta viết lim = hay → . Và →% khi đó ta nói là giới hạn (limit) của dãy số . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 8
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 9
Một số tính chất 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 10
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 11
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 12
Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 13
Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. ln 1. lim 2. lim →% →% 1 3. lim 3 4. lim − →% →% 2 −2 100 5. lim 6. lim →% →% ! 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 14
2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng + + +⋯+ +⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ - = + + + ⋯+ và sau đó cho → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 1 1 1 1+ + + + ⋯+ +⋯ 2 4 16 2 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 15
24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 16
Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số + + + ⋯ + +⋯ Dãy - được định nghĩa bởi - = - = + … - = + +⋯+ =/ 0 01 … được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 17
Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng , ta viết % + +⋯+ +⋯= / = 1 Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 18
Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng % % + 2 + 2 + ⋯+ 2 +⋯= / 2 ≡/ 2 1 14 trong đó và 2 là các số thực cho trước ( ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học % 1 1 1 1 1 + + + ⋯+ +⋯= / 2 4 2 2 1 % 2 2 1 1 2 − + − ⋯+ 2 − +⋯= /2 − 3 9 3 3 14 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 19
Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học % % + 2 + 2 + ⋯+ 2 +⋯= / 2 ≡/ 2 1 14 Nếu 2 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và % / 2 = , 2