zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 - TS. Lê Minh Hiếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 Phương trình vi phân cấp 1, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: một số khái niệm; phương trình có biến số phân ly; phương trình vi phân tuyến tính cấp; phương trình becnuli; phương trình vi phân toàn phần. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 7 - TS. Lê Minh Hiếu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 7: Phương trình vi phân cấp 1 TS. Lê Minh Hiếu Năm 2021
Nội dung 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2. PHƯƠNG TRÌNH CÓ BIẾN SỐ PHÂN LY 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 4. PHƯƠNG TRÌNH BECNULI 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN 5.1 Phương pháp thừa số tích phân TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 2 / 25
Một số khái niệm Một số khái niệm Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng F (x, y, y 0 ) = 0, trong đó: x là biến số độc lập, y là hàm số theo biến x (là hàm cần tìm), y 0 là đạo hàm của y theo biến x; Nghiệm tổng quát có dạng y = ϕ(x, c), c là hằng số bất kỳ, thỏa mãn phương trình đã cho. Có thể biểu diễn ở dạng ẩn Φ(x, y, c) = 0 và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp 1; Nghiệm riêng có dạng y = ϕ(x, c0 ), c0 là một hằng số cụ thể, được suy ra từ nghiệm tổng quát. Có thể biểu diễn ở dạng ẩn Φ(x, y, c0 ) = 0 và được gọi là tích phân riêng; Nghiệm kỳ dị là nghiệm không phải được suy ra từ nghiệm tổng quát (tức là nó không phải nghiệm riêng). TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 3 / 25
Một số khái niệm Ví dụ về phương trình vi phân cấp 1 Các phương trình sau đây là phương trình vi phân cấp 1: x2 − 1 y 0 + 2xy 2 = 0 (1) q y 2 + 1dx = xydy (2) Chú ý: Trong phương trình (2) không xuất hiện y 0 , bởi vì nó đã được thay bởi dx và dy: (xem lại phần vi phân của hàm số 1 biến) dy dy = y 0 dx ⇔ y 0 = . dx TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 4 / 25
Phương trình có biến số phân ly Phương trình có biến số phân ly Dạng: f (y)dy = g(x)dx Giải: Tích phân hai vế phương trình đã cho Z Z f (y)dy = g(x)dx + C, C là hằng số bất kỳ. Ví dụ 2.1 a) xydx + (x + 1)dy = 0 b) y 0 = ex+y TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 5 / 25
Phương trình có biến số phân ly a) xydx + (x + 1)dy = 0 Giải. Viết lại phương trình về dạng dy x =− dx y x+1 Tích phân hai vế ta được: dy x dx Z Z Z Z =− dx + ln C = − dx + + ln C y x+1 x+1 ln y = −x + ln(x + 1) + ln C Do đó: y = e−x+ln(x+1)+ln C = e−x eln(x+1) eln C = C(x + 1)e−x Vậy hàm cần tìm là: y(x) = C(x + 1)e−x , C là hằng số bất kỳ. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 6 / 25
Phương trình có biến số phân ly b) y 0 = ex+y Giải. Viết lại phương trình về dạng dy dy = ex ey ⇔ y = ex dx dx e Tích phân hai vế phương trình sau dy Z Z +C = ex dx ey Ta nhận được: −e−y + C = ex ⇔ e−y = C − ex Tức là: −y = ln (C − ex ) ⇔ y(x) = − ln (C − ex ) C là hằng số bất kỳ. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 7 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng: y 0 + p(x)y = q(x) (3) trong đó, p(x), q(x) liên tục trong [a, b]. - Nếu q(x) = 0 thì phương trình (3) gọi là thuần nhất; - Nếu q(x) , 0 thì phương trình (3) gọi là không thuần nhất. Công thức nghiệm: a) Trường hợp phương trình thuần nhất: y 0 + p(x)y = 0 Nghiệm tổng quát có dạng: R y(x) = Ce− p(x)dx , C = const TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 8 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 R y 0 + p(x)y = 0, y(x) = Ce− p(x)dx , C = const Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất sau: a) y 0 + 3x2 y = 0, y(0) = 5, b) y 0 + ytan x = 0, y(π) = 2. Giải: a) Ta có: p(x) = 3x2 Nghiệm tổng quát của phương trình này là: R − 3x2 dx 3 y(x) = Ce = Ce−x , C = const y(0) = 5 ⇒ C = 5 Vậy nghiệm riêng là: 3 y(x) = 5e−x . TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 9 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 R y 0 + p(x)y = 0, y(x) = Ce− p(x)dx , C = const b) y 0 + ytan x = 0, y(π) = 2 Giải: Ta có: p(x) = tan x Nghiệm tổng quát của phương trình này là: R y(x) = Ce− tan xdx = C cos x, C = const y(π) = 2 ⇒ C = −2 Vậy nghiệm riêng là: y(x) = −2 cos x TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 10 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Công thức nghiệm: b) Trường hợp phương trình không thuần nhất: y 0 + p(x)y = q(x), q(x) , 0 (∗) Cách 1: Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (*), giả sử đó là y0 (x), suy ra nghiệm tổng quát sẽ có dạng: R y(x) = y0 (x) + Ce− p(x)dx , C = const Cách 2: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (xem thêm trong giáo trình), công thức nghiệm tổng quát có dạng: Z R R y(x) = q(x)e p(x)dx dx + K e− p(x)dx , K = const. Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm tổng quát: a) y 0 + y = x + 1, b) y 0 + 2y = 4e2x TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 11 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Tìm nghiệm tổng quát: a) y0 + y = x + 1 Cách 1: Ta thấy rằng: y(x) = x là một nghiệm riêng (vì khi thay vào phương trình ta được đẳng thức đúng) Với p(x) = 1, ta có nghiệm tổng quát là: R R y(x) = y0 (x) + Ce− p(x)dx = x + Ce− dx = x + Ce−x , C = const Cách 2: Ta có: p(x) = 1, q(x) = x + 1 Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z R R Z R R − y(x) = q(x)e p(x)dx dx + K e p(x)dx = (x + 1)e dx dx + K e− dx Z = (x + 1)e dx + K e−x = (xex + K) e−x = x + Ke−x , x K = const. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 12 / 25
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Tìm nghiệm tổng quát: b) y 0 + 2y = 4e2x Cách 1: Ta thấy rằng: y(x) = e2x là một nghiệm riêng (vì khi thay vào phương trình ta được đẳng thức đúng) Với p(x) = 2, ta có nghiệm tổng quát là: R R y(x) = y0 (x) + Ce− p(x)dx = e2x + Ce− 2dx = e2x + Ce−2x , C = const Cách 2: Ta có: p(x) = 2, q(x) = 4e2x Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z R R Z R R − y(x) = q(x)e p(x)dx dx + K e p(x)dx = 2x 4e e 2dx dx + K e− 2dx Z = 4 e dx + K e−2x = e4x + K e−2x = e2x + Ke−2x , 4x K = const. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 13 / 25
Phương trình Becnuli Phương trình Becnuli y 0 + p(x)y = q(x)y α , α ∈ R \ {0, 1}, (4) trong đó, p(x), q(x) liên tục trong [a, b]. - Nếu α = 0 hay α = 1, thì phương trình (4) trở thành phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Phương pháp giải: Chia 2 vế của phương trình (4) cho y α , y , 0 y 0 y −α + p(x)y 1−α = q(x) (5) Đặt z = y 1−α , suy ra z 0 = (1 − α)y −α y 0 Thay vào phương trình (5), ta có: z 0 + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) (6) Phương trình (6) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 14 / 25
Phương trình Becnuli Ví dụ 4.1 y 0 + 2xy = 2x3 y 3 Giải. Ta thấy y = 0 là một nghiệm kì dị. Với y , 0, ta chia 2 vế phương trình trên cho y 3 y 0 y −3 + 2xy −2 = 2x3 (7) Đặt z = y −2 , suy ra z 0 = −2y 0 y −3 . Thay vào phương trình (7), ta có: z 0 − 4xz = −4x3 (8) Phương trình (8) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với p(x) = −4x và q(x) = −4x3 . Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: Z R R Z R R − z(x) = q(x)e p(x)dx dx + K e p(x)dx = 3 (−4x )e (−4x)dx dx + K e− (−4x)dx TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 15 / 25
Phương trình Becnuli 1 2 z(x) = x2 + + Ke2x , K = const 2 Vì z = y −2 nên ta lại có: 1 2 y −2 = x2 + + Ke2x 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là: √ 1 2 y(x) = ± q =±p , C = const x2 + 1 2 + Ke 2x2 2x + 1 + Ce2x2 2 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 16 / 25
Phương trình Becnuli Ví dụ 4.2 q y 0 − 9x2 y = (x5 + x2 ) 3 y2 p Giải. Chia 2 vế cho y 2/3 (= 3 y2) y 0 y −2/3 − 9x2 y 1/3 = x5 + x2 (9) Đặt z = y 1/3 , suy ra z 0 = 13 y 0 y −2/3 . Thay vào phương trình (9) ta nhận được: 1 z 0 − 3x2 z = (x5 + x2 ) (10) 3 Phương trình (10) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với p(x) = −3x2 và q(x) = 31 (x5 + x2 ). Áp dụng công thức nghiệm tổng quát: 1 5 Z R R Z R R (−3x2 )dx (−3x2 )dx z(x) = q(x)e p(x)dx dx + K e− p(x)dx = (x + x2 )e dx + K e− 3 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 17 / 25
Phương trình Becnuli 3 x3 2 z(x) = Kex − − , K = const 9 9 Vì z = y 1/3 nên ta có: 3 x3 2 y 1/3 = Kex − − 9 9 Hay: !3 x3 x3 2 y(x) = Ke − − , K = const 9 9 Đó là nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 18 / 25
Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa 0.1 Phương trình có dạng: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (11) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu vế trái của nó là vi phân toàn phần của hàm số Φ(x, y) nào đó, tức là: dΦ(x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy. Điều kiện cần và đủ để phương trình (11) là phương trình vi phân toàn phần, là: ∂M ∂N = (12) ∂y ∂x TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 19 / 25
Phương trình vi phân toàn phần ∂M ∂N M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, ∂y = ∂x Nghiệm tổng quát có dạng: Φ(x, y) = C, C = const, trong đó: Zx Zy Φ(x, y) = M (x, y)dx + N (x0 , y)dy, x0 y0 hoặc: Zx Zy Φ(x, y) = M (x, y0 )dx + N (x, y)dy, x0 y0 với (x0 , y0 ) là 1 điểm thuộc MXĐ chung của M (x, y), N (x, y). TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 20 / 25

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.