zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Bài giảng điện tử

Bài giảng trọng tâm tích phân - Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Trần Minh Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Báo xấu

118
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại cương về nguyên hàm, phương pháp vi phân tìm nguyên hàm, phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm,... là những nội dung chính trong "Bài giảng trọng tâm tích phân". Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt thông tin chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng trọng tâm tích phân - Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM TÍCH PHÂN Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau 1 d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) 2 1 d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 3  x2  1  2  2 1 2 ( ) 1 xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2 2 ( ) ( )    x3  1  3  3 1 ( ) x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3 3 ( 1 3 ) ( )   1 d ( ax + b ) 1 = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) dx dx = ax + b a ax + b a x sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  1 1 1 → sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ... a a 2 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  1 1 1 → cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ... a a 2 1 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  a a ( ) 1 → e2 x dx = d e 2 x ... 2 ( ) dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan 2 x ) ... cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a 2 2 2 cos 2 x 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 = = − d cot ( ax + b )   → 2 = − d ( cot 2 x ) ... sin 2 ( ax + b ) a sin ( ax + b ) 2 a sin 2 x 2 II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chứng minh: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm. b) Tính chất 2: ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Chứng minh: Theo tính chất 1 ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). Từ đó ta có( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0 Chứng minh: ′ ( ) Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  → ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm. d) Tính chất 4: ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.. Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C x n +1 Công thức 2: ∫ x n dx = +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 Thật vậy, do  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C  n +1  n +1 Chú ý: u n +1 + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du = +C n +1 1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = 2 x + C ← →∫ =2 u +C 2 x 2 x u dx 1 du 1 + Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← →∫ 2 = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x 2 dx = + C 3 x5 b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C 5 1 1 3 x − x2 x3 − 2 x2 x 3 x2 x2 c) ∫ x dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − = x 2 1 − + C = 33 x − + C 2 2 3 ( 2 x + 1) + C 5 1 d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  u n du →I = 4 4 2 5 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 4 (1 − 3x ) + C 2011 1 e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3x ) d (1 − 3x )  u n du →I = − 2010 2010 3 2011 1 d ( 2 x + 1) u 2 du dx 1 1 1 f) I = ∫ = ∫ → I = − . +C =− +C ( 2 x + 1) 2 2 ( 2 x + 1) 2 2 2x + 1 2 ( 2 x + 1) 3 3 1 1 2 3 g) I = ∫ 4 x + 5dx = ∫ 4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C 4 4 3 8 dx Công thức 3: ∫ = ln x + C x Chứng minh: Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C 1 dx x x Chú ý: du + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫u = ln u + C  dx 1 dx 1 d ( ax + b ) 1  ∫  2x + k 2 = ln 2 x + k + C + ∫ = ∫ = ln ax + b + C  → ax + b a ax + b a  dx = − 1 ln k − 2 x + C  ∫ k − 2 x 2 Ví dụ:  1 1 1 dx x 4 a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + 2 x + ln x + C  x x x x 4 1 d ( 3x + 2 ) u du dx 1 b) I = ∫ = ∫ → I = ln 3x + 2 + C 3x + 2 3 3x + 2 3 2x + x + 3 2  3  dx 3 d ( 2 x + 1) 3 c) ∫ dx = ∫  2 x +  dx = ∫ 2 xdx + 3∫ = x2 + ∫ = x 2 + ln 2 x + 1 + C 2x + 1  2x + 1  2x + 1 2 2x + 1 2 Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C 1 1 1 + ∫ sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  a∫ → ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C a 2 Ví dụ:  1  dx 3 1 d ( 2 x − 1) a) ∫  x x + s inx +  dx = ∫ x xdx + ∫ sinx dx + ∫ = ∫ x 2 dx − cos x + ∫ =  2x −1  2x −1 2 2x −1 5 2x 2 1 = − cos x + ln 2 x − 1 + C 5 2  3  dx 1 3 d ( 4 x − 3) 1 3 b) ∫  sin 2 x +  dx = ∫ sin 2 xdx +3∫ = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫ = − cos2 x + ln 4 x − 3 + C  4x − 3  4x − 3 2 4 4x − 3 2 4  x  c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx  2   x 1 x 1 1 Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 2 2 3 T ừ đó :  x  x x  x 1 1 ∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 5 x 1 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 2 3 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C 1 1 1 + ∫ cos ( ax + b ) dx = ∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C a a 2 Ví dụ:  4x − 1   5  a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −  dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C  x +1   x +1 1 x2 b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C 2 2 1 − cos 2 x  1 1  1 1 1 1 c) ∫ sin 2 xdx = ∫ dx = ∫  − cos 2 x  dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C 2 2 2  2 4 2 4 dx Công thức 6: ∫ = tan x + C cos 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( tan x + C )′ = 1 dx 2 ⇒∫ = tan x + C cos x cos 2 x Chú ý: du + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cos u = tan u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 + ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 2 2 = tan 2 x + C 2x 2 Ví dụ:  1  dx 1 a) ∫  2 + cos x − sin 2 x  dx = ∫ 2 + ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C  cos x  cos x 2  1 2  dx dx 1 d ( 2 x − 1) 2 d (5 − 4x) b) I = ∫  +  dx = ∫ + 2∫ = ∫ − ∫  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4 5 − 4x 2 2 2 du 1 1  →= tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C 2 cos u 2 2 1 d (3 − 2x ) du dx 1 c) I = ∫ = − ∫  cos 2 u → I = − tan ( 3 − 2 x ) + C cos ( 3 − 2 x ) 2 2 cos ( 3 − 2 x ) 2 2 dx Công thức 7: ∫ = − cot x + C sin 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( − cot x + C )′ = 1 dx 2 ⇒ ∫ 2 = − cot x + C sin x sin x Chú ý: du + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sin u = − cot u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 + ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 2 2 2x = − cot 2 x + C 2 Ví dụ: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6   6 1 dx 1 x a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C  sin x  sin x 2 3 1 d (1 − 3 x ) du dx 1 1 b) I = ∫ 2 =− ∫ 2 sin 2 u → I = − −  cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin (1 − 3x ) 3 sin (1 − 3 x ) 3 3  x d  du dx  2  x c) I = ∫ = 2∫  sin 2 u → I = −2 cot   + C  x x 2 sin 2   sin 2   2   2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C  2 x+ k 1 2 x+k 1 ax + b 1  ∫ e dx = 2 e +C + ∫ e ax + b dx = e d ( ax + b ) = e ax + b a∫ + C  → a  e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C  ∫ 2 Ví dụ:  1 4  dx 4 1 1 d ( 3x ) a) ∫  e −2 x +1 − 2 +  dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x  sin 3x x sin 3 x x 2 3 sin 3 x 1 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C 2 3 ∫ ( 4e + cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx = 4 3x+2 1 b) 3 x+2 ∫ e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 3 3 4 1 = e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C 3 3 ax Công thức 9: ∫ a x dx = +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy, do  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C  ln a  ln a ln a Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C 1 kx + m 1 + ∫ a kx + m dx = ∫ a d ( kx + m ) = a kx + m + C k k Ví dụ: 23 x 32 x a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = 1 3x 1 2x ( ) ( ) 3∫ 2∫ 2 d 3 x + 3 d 2 x  a u du → I = + +C 3ln 2 2ln 3 21− 2 x 3 4 x + 3 ∫ (2 − e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = − 1− 2 x 1 3 b) + e +C 2 4 2ln 2 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ∫(x )  1  1) I1 = + 2 x dx ∫ 2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx 5 3) x  I3 = ∫( 5 x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 7  1 2 x  1  2 x4 + 3 ∫ 4) I 4 =   5  x − 4 x 3 + 2  dx x  5) I 5 = ∫  x +  dx x 6) I 6 = ∫ x2 dx ( ) (x + 4) 2 2 x −1 2 8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx 2 7) I 7 = ∫ dx 3 9) I 9 = ∫ dx x x2 3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1 x2 − x x − x  1 1  10) I10 = ∫ dx 11) I11 = ∫ dx 12) I12 = ∫  − 3  dx x2 x  x x ( ) 2  1  3  1  2 2 x − 3 3x 13) I13 = ∫  x −   dx x 14) I14 = ∫  x + 3  dx  x 15) I15 = ∫ x dx 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx 17) I17 = ∫ 1 (2 x − 3)5 dx 18) I18 = x +1 ∫ ( x − 3) 4 dx  x π  x  x  ∫ 19) I19 = sin  +  dx 2 7  ∫ 20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx 3 21) I 21 = ∫  sin + x  dx  2    π x +1 2 x x ∫ 22) I 22 =  sin  3x +  − sin   4  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 2  2 24) I 24 = ∫ sin 2 dx 2 28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx dx dx 26) I 26 = ∫ 27) I 27 = ∫ cos 2 4 x cos ( 2 x − 1) 2 dx 29) I 29 = ∫ tan 4 x dx 30) I 30 = ∫ cot 2 x dx 31) I 31 = ∫ sin ( 2 x + 3) 2 dx  1   1  32) I 32 = ∫ 33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx 34) I 34 = ∫  x 2 +  dx 1 − cos 6 x  x   3x + 2   1  x+2 2x −1 35) I 35 = ∫  sin 2 x −  dx 36) I 36 = ∫ dx 37) I 37 = ∫ dx  2 − 5x  x−3 4x + 3 x x 2 + x + 11 2x2 − x + 5 38) I 38 = ∫ dx 39) I 39 = ∫ dx 40) I 40 = ∫ dx 6 − 5x x+3 x −1 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 4 x3 + 4 x 2 − 1 4 x2 + 6x + 1 41) I 41 = ∫ dx 42) I 42 = ∫ dx 43) I 43 = ∫ dx x+2 2x + 1 2x + 1 ∫ 44) I 44 = e−2x +3dx 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 2    e− x  49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx 2 47) I 47 = ∫  e− x + 2  dx 48) I 48 = ∫ e x  2 +  dx  sin (3 x + 1)   cos 2 x  1 2x 50) I 50 = ∫ 2x dx 51) I 51 = ∫ 7x dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 8 02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 1 1 1 dx 6. = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) 2 2 2 sin 2 x 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 1 3 1 3 1 3 7. dx 2 x =d ( x) = d( ) ( x ± a = −d a − x ) 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) dx 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x dx 1 1 5. = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) 10. dx = d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) cos 2 x a a Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x x 2 dx a) I1 = ∫ 1+ x 2 dx b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx ∫ c) I 3 = ∫ x3 + 1 Hướng dẫn giải:  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2  2 2 a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) 1 d x 2 ( ) 1 d x +1 2 du ( ) Ta có I1 = x ∫ 1 + x2 dx = = 2 1 + x2 2∫ 1 + x2 ∫ ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C. ←→ 1 2 ( )   x2  1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 1 ( ) 2 ( )   2  2 2 b) Sử dụng các công thức vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 (1 + x ) 11 2 ∫ ( ) ∫ (1 + x ) d ( x ) 10 1 10 Ta có I 2 = x 1 + x 2 dx = 2 2 +1 = + C. 2 22  2  x3  1   x dx = d  = d x ±a 3 3 3 ( ) c) Sử dụng các công thức vi phân     du 2 u = d u  ( ) 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 3 3 x 2 dx Ta có I 3 = ∫ = ∫ = ∫ = + C. x3 + 1 3 x3 + 1 3 2 x3 + 1 3 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx 2x −1 Hướng dẫn giải: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9   x2  1 2 2 2 1  xdx = d   = d x = − d a − x 2 2 ( ) ( )    a) Sử dụng các công thức vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 1 1 (1 − x ) 2 3 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 1 1 + C. 2 2 3  1 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng các công thức vi phân   du = d u  2 u ( ) 1 d ( 2 x − 1) d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) du dx Ta có I 5 = ∫ = ∫ =∫ ← → I5 = 2 x − 1 + C. 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1  1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng các công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1 3 1 2 (5 − 2x )2 (5 − 2x) 3 1 1 1 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 dx ln 3 x a) I 7 = ∫ x −5 5 4 dx b) I 8 = ∫ (3 − 2 x)5 c) I 9 = ∫ x dx Hướng dẫn giải:  3 x  1 ( ) ( ) 4 1  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4 4  4   4 4 a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u − n +1   un = d     −n + 1   x4  ( ) 4   ( ) d 4 1 5 x 4 − 5 5 5 5 x4 − 5 ∫( ) ( ) 3 4 − 2x   1 1 ⇒ I7 = ∫ dx = 2 ∫= x −5 d x −5 = . +C = + C. 4 5 4 x −5 5 4 x −5 2 5 4 2 4 8 ( 3 − 2 x ) + C. 6 dx 1 b) Ta có I 8 = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 5 2 12 ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta được I 9 = ∫ dx c) Sử dụng công thức vi phân dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 dx cos x a) I10 = ∫ ( 4 − 2x) 2010 b) I11 = x dx ∫ c) I12 = cos x sin x dx ∫ Hướng dẫn giải: 3 (4 − 2x) −2009 3 dx 3 3 = − ∫ ( 4 − 2x ) d (4 − 2x) = − −2010 a) Ta có I10 = ∫ +C = + C. ( 4 − 2x ) 2 −2009 4018 ( 4 − 2 x ) 2010 2009 2 cos u du = d ( sin u )  ( ) b) Sử dụng các công thức vi phân  dx  =d x 2 x Ta có I11 = ∫ cos x x dx = 2 cos x 2 x ∫ dx = 2 cos x d ∫ ( x ) = 2sin x + C. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) 3 1 2 ( cos x ) 2 2 cos3 x Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 =− + C. 3 3 Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x a) I13 = ∫ 3 sin x cos x dx cos5 x b) I14 = ∫ dx c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx Hướng dẫn giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng các công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x ) 3   1 4 4 1 u 3 du = d  u 3    3 ( sinx ) 3 3 3 sin 4 x ∫ ( sinx ) d (sin x ) ←→ I13 = 4 Ta có I 3 = ∫ 3 sin x cos x dx = 3   4 +C = 4 +C ( cos x ) + C = 1 + C. −4 sin x d (cos x) b) Ta có I14 = ∫ dx = − ∫ =− 5 cos x 5 cos x −4 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng các công thức vi phân  n  u n +1  u du = d     n +1  u5  u 4 du = d    5  sin 5 x Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← 4 4 → I15 =   + C. 5 Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x dx a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx c) I18 = ∫ 1 + 3cos x Hướng dẫn giải:  sin x dx = − d (cos x )  a) Sử dụng các công thức  du  ∫ u = ln u + C sin xdx d ( cos x ) Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 ∫ b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = ∫ ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) 4 4 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 sin x dx d ( cos x ) 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx ( 2 − 5sin x ) 4sin x − 3 2 Hướng dẫn giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     2cos x dx 2 d ( sin x ) 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. ( 2 − 5sin x ) 2 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) cos xdx = d (sin x)  ( ) b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 cos x dx d ( sin x ) 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 Ta được I 20 = ∫ =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  sin xdx d ( cos x ) ∫  tan xdx = ∫ cos x =− ∫ cos x = − ln cos x + C c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản  2  u du = u + C ∫  2 d ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  → I 21 = − + C. 2 2 Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: tan x tan 3 x tan 2 x + 1 a) I 22 = ∫ 2 cos x dx b) I 23 = ∫ 4 cos x dx c) I 24 =∫ cos 2 2 x dx Hướng dẫn giải:  dx  cos 2 x = d ( tan x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan x dx tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = ∫ dx = ∫ tan x. = ∫ tan x d ( tan x ) = + C  → I 22 = + C. cos 2 x cos 2 x 2 2  dx  cos 2 x = d ( tan x ) b) Sử dụng các công thức   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x Ta có I 23 = ∫ tan 3 x 4 cos x ∫ dx = tan 3 x. 2 . 1 cos x cos 2 x dx ∫ ( ) ∫( ) = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x) tan 6 x tan 4 x tan 6 x tan 4 x = + + C  → I 23 = + + C. 6 4 6 4  dx 1 d (ax) 1  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) ) c) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan 2 x + 1 tan 2 x dx dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = ∫ 2 cos 2 x dx = ∫ 2 cos 2 x + ∫ 2 cos 2 x 2 ∫ = cos 2 2 x + ∫ 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = 2 ∫ tan 2 x d (tan 2 x) + 2 ∫ d (tan 2 x) = 4 + 2 + C  → I 24 = 4 + 2 + C. Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ 2 dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx sin x 3 cos x  π cos  x +   2 Hướng dẫn giải:  dx  sin 2 x = − d ( cot x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 cot x dx cot 2 x cot 2 x Ta có I 25 = ∫ dx = ∫ cot x. =∫− cot x d ( cot x ) = − + C  → I 25 = − + C. sin 2 x sin 2 x 2 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng các công thức  du u − n +1 ∫ n = +C  u −n + 1 d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  −3 tan x sin xdx 1 Ta có I 26 = ∫ dx = ∫ = −∫ =− → I 26 = + C. 3 cos x 4 cos x 4 cos x −3 3cos x3 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )    π c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x   2  du 1 ∫ 2 = − + C  u u cot x cos x cos x dx d (sin x) 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  → I 27 = + C.  π sin x. ( − sin x ) 2 sin x 2 sin x sin x sin x cos  x +   2 Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3e x e tan x + 2 dx a) I 28 = ∫ b) I 29 = ∫ c) I 30 = ∫ x.e1− x dx 2 dx x cos 2 x e 2 ln x + 3 d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx e) I 32 = ∫ dx x Hướng dẫn giải:  dx  a) Sử dụng các công thức  2 x =d x ( )  eu du = eu + C ∫ ( x ) = 6e x 3e dx Ta có I 28 = ∫ ∫ dx = 3.2 e ∫ = 6 e xd + C  → I 28 = 6e + C. x x x x 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ 2 = ∫ e tan x + 2 2 = ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  → I 29 = e tan x + 2 + C. cos x cos x   x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) 1 2 1 2 c) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  1 1 1 → I 30 = − e1− x + C . 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x ) d) Sử dụng các công thức  u  ∫ e du = e + C u Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  → I 31 = −ecos x + C .  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) Sử dụng các công thức  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 Ta có I 32 = ∫ dx = ∫ e 2 ln x + 3 = ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. x x 2 2 e2 ln x + 3 1 2 ln x + 3 Vậy I 32 = ∫ dx = e + C. x 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x cos x 1) I1 = ∫ 1 + x2 dx ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = ∫ x dx sin x 4) I 4 = ∫ cos x sin xdx 5) I 5 = ∫ cos 3 x dx 6) I 6 = ∫ 3 sin x cos xdx x dx 7) I 7 = ∫ dx 4) I 8 = ∫ 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx x2 + 5 2x −1 ln 3 x I10 = ∫ 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 2 10) dx x sin x tan x 13) I13 = ∫ dx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ dx cos5 x cos 2 x e tan x e x 16) I16 = ∫ dx 17) I17 = ∫ dx 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx cos 2 x x dx x 2 dx 19) I19 = ∫ 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ (3 − 2 x)5 x3 + 1 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx +2 sin x dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 27) I 27 = ∫ 2 dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx ∫ (e ) 2 29) I 29 = sinx + cos x cos x dx 30) I 30 = ∫ dx x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 03. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC dx = d (a sin t ) = a cos t dt Nếu hàm f(x) có chứa a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t  → 2  a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2  adt dx = d (a tan t ) = cos 2 t Nếu hàm f(x) có chứa a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t  →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a  cos t   a  − a cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t a    Nếu hàm f(x) có chứa x 2 − a 2 thì đặt x =  → sin t  2 a2 a  x − a 2 = 2 − a2 = sin t cot t Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I1 = ∫ ; ( a = 2) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) 4 − x2 x 2 dx c) I 3 = ∫ ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ 1− x 2 Hướng dẫn giải:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt dx 2cos t dt a) Đặt x = 2sin t  →  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = t + C  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t 4− x 2 2 2 2cos t x  x Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin    → I1 = arcsin   + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt b) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 1 + cos 2t 1 1 t 1 Khi đó I 2 = ∫ ∫ 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 2 dt = 2∫dt + 2 ∫ cos 2t dt = + sin 2t + C 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2  t = arcsin x arcsin x 1  → I2 = + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt c) Đặt x = sin t  →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2 x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1 Khi đó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C 1 − x2 cos t 2 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2 Từ x = sin t ⇒   → sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 t = arcsin x arcsin x 1  → I3 = − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt d) Đặt x = 3sin t  →  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 2 2 81 81 1 − cos4t ∫ ∫ ∫ Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt = 4 ∫ sin 2 2t dt = 4 ∫ 2 dt Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 81  1 1  81  t 1  =  4 2 ∫dt − 2 ∫ cos4t dt  =  − sin 4t  + C  4  2 8   x2 cos t = 1 − sin t = 1 − 2  9 2x x2 Từ x = 3sin t ⇒   → sin 2t = 1− t = arcsin  x  3 9    3 2  x 2x2 2x x2  2x2  Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −  → sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2. 1 − .1 −  3 9 3 9  9    x  arcsin   81  3 − x x 2  2 x 2   Từ đó ta được I 4 =  1 − .1 −   + C. 4 2 6 9  9    Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x 2 dx a) I1 = 2∫ ; ( a = 1) b) I 2 = x 2 + 2 x + 5 dx ∫ c) I 3 = ∫ ; ( a = 2) x +1 x2 + 4 Hướng dẫn giải:  dt  dx = d (tan t ) = = (1 + tan 2 t )dt (1 + tan 2 t )dt a) Đặt x = tan t  → cos t2 → I1 = ∫  = ∫ dt = t + C 1 + x 2 = 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t  Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x  → I1 = arctan x + C. t = x +1 b) Ta có I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = ∫ ( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  →I = ∫ t 2 + 4 dt  2du  dt = d (2 tan u ) = cos 2 u 2du du cos u du Đặt t = 2 tan u →  → I2 = ∫ =∫ =∫  4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2 2 .cos 2 u cos u cos 2 u  cos u cos u d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u ) 1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ 2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u + = ln + C. 1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u ) 2 t 1 t2 4 t2 Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =  → = 1 +  → sin 2 u = 1 − c os 2 u = 1 − = 2 cos 2 u 4 4 + t2 4 + t2 t x +1 1+ 1+ 1 1 + sin u 1 4 + t + C = 1 ln 2 x + 2 x + 5 + C. 2 Từ đó ta được I 2 = ln + C = ln 2 1 − sin u 2 1− t 2 1− x +1 4+t 2 x + 2x + 5 2  2dt  dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt 2 c) Đặt x = 2 tan t  →  x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4  4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt 2 sin 2 t sin 2 t.cos t dt sin 2 t. d (sin t )  → I3 = ∫ = 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫ dt = 4 ∫ cos4 t = 4 ∫ 1 − sin 2 t 2 2 1 + tan 2 t cos3 t ( ) 2  1 (1 + u ) − (1 − u )  2 u2  u  → I 3 = 4∫ Đặt u = sin t  du = 4 ∫  2  du = 4 ∫   du (1 − u ) 2 2 1− u   2 (1 + u )(1 − u )  d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du 2  1 1  du du 2du = ∫ −  du = ∫ +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫ 1− u 1+ u  (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) 2 2 2 2 1 1  1 1  1 1 du du 1 1 − − − ∫ +  du = − − −∫ −∫ =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C 1− u 1+ u 1+ u 1− u  1− u 1+ u 1+ u 1− u 1− u 1+ u Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 = − + ln + C  → I3 = − + ln +C = − + ln + C. u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan 2 t = 1 + ⇔ cos 2 t = → sin 2 t = 2 cos 2t 4 4 + x2 4 + x2 x −1 ⇔ sin t = x  → I3 = 1 − 1 + ln 4 + x 2 + C. 4 + x2 x x x −1 +1 +1 4 + x2 4 + x2 4 + x2 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx dx a) I1 = ∫x −1 2 b) I 2 = ∫ x x −4 2 2 c) I 3 = x − 2x − 2 2 ∫ Hướng dẫn giải:   1  − cos t dt  dx = d  sin t  = sin 2t  − cos t dt 1     dx = sin 2 t dx − cos t dt a) Đặt x =  → ← → → I1 = ∫ =∫ 2 sin t  x2 − 1 = 1  x 2 − 1 = cot t x −1 2 sin t.cot t  2 − 1  sin t sin t dt d (cos t ) d (cos t ) 1 (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 1 + cos t = −∫ =∫ =∫ = ∫ d (cos t ) = ln + C. 2 sin t 1 − cos t 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 1 − cos t x2 − 1 1+ 1 1 x −1 2 1 x Từ phép đặt x =  → cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =  → I1 = ln + C. sin t x x 2 x −1 2 1− x   2  −2cos t dt  −2 cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t  dx = 2     sin 2 t b) Đặt x = → ← → sin t  2 4  x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t  x − 4 = sin 2 t − 4  sin 2 t dx −2cos t dt 1 1 Khi đó, I 2 = ∫ x x −4 2 2 = ∫ 8cot t 4 ∫ = − sin t dt = cos t + C. 4 sin 2 t. 2 sin t 2 4 x2 − 4 x2 − 4 Từ x =  → cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = → I2 = + C. sin t x x 4x dx d ( x − 1) t = x −1 dt dt c) I 3 = ∫ = ∫  → I3 = ∫ =∫ x − 2x − 2 ( x − 1) − 3 t2 − 3 ( ) 2 2 2 t2 − 3   3  − 3 cos u du  dt = d   =  − 3 cos u du 3   sin u  sin 2 u  dt = Đặt t =  → ← → sin 2 u sin u  2 3  2  t −3 = 2 −3  t − 3 = 3 cot u  sin u dt − 3 cos u du sin u du d (cos u ) d (cos u ) → I3 = ∫  =∫ = −∫ =∫ =∫ t2 − 3 2 sin u. 3 cot u 2 sin u 1 − cos u 2 (1 − cos u )(1 + cos u ) 1 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 1 + cos u 2∫ = d (cos u ) = ln + C. (1 − cos u )(1 + cos u ) 2 1 − cos u t2 − 3 x2 − 2x − 2 1+ 1+ 3 3 t −3 2 1 t 1 x −1 Từ t = ⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =  → I 3 = ln + C = ln + C. sin u t t 2 t −3 2 2 x2 − 2 x − 2 1− 1− t x −1 Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 dx 1 x ∫x+a 22 = arc tan   + C. a a dx 1 x+a ∫ 2 = ln + C. x −a 2 2a x − a dx 1 x−a ∫ 2 = ln + C. a −x 2 2a x + a dx ∫ = ln x + x 2 ± a + C. x ±a 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: x 2 dx 1 − x2 x 2 dx 1) I1 = ∫ 2) I 2 = ∫ dx 9) I 3 = ∫ x2 + 4 x2 4 − x2 1 dx 4) I 4 = ∫ 3x − 2 x 2 dx 5) I 5 = ∫ 2 x 2 + 1 dx 6) I 6 = ∫ 2 x2 − 5 DẠNG 2: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỶ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n → n.t n −1 = g '( x)dx g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx. Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: xdx x 2 dx a) I1 = ∫ 4x + 1 b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx ∫ c) I 3 = ∫ 1− x Hướng dẫn giải: 2tdt = 4dx t 2 − 1 tdt .  xdx 2 = 1 (t 2 − 1)dt a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1  → t 2 − 1  → I1 = ∫ = ∫ 4 ∫ 2  x = 4x + 1 t 8  4 1  t3  1  (4 x + 1)  3 =  −t+C =  − 4 x + 1  + C. 8 3  8 3    b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  → x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  → x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt ( ) ( ) 5 3 x2 + 2 2 x2 + 2 ∫ ( ) ∫( ) t5 t3 Khi đó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 2 3 2 4 2 5 3 5 3 dx = −2tdt ( ) 2 x 2 dx 1 − t 2 .tdt c) Đặt t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2  → 2  x = 1 − t 2 2  → I3 = ( 1− x = −2 ) t ∫ ∫  t 5 2t 3   (1 − x)5 2 (1 − x)3  ∫( ) ∫( ) 2 = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C 5 3   5 3    (x ) (x ) 5 3 2 +2 2 2 +2 ∫ ( ) ∫ (t ) t5 t3 Khi đó I 2 = ∫ x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt = − 2t 2 dt = − 2. + C = − + C. 4 5 3 5 3 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ln x dx ln 2 x dx ln x 3 + 2ln x dx a) I 4 = ∫ x 1 + ln x b) I 5 = x 3 2 − ln x ∫ c) I 6 = ∫ x Hướng dẫn giải: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18 ln x = t 2 − 1  ln x dx t 2 − 1 .2tdt ( ) a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x  →  dx  → I4 = = ∫ ∫ 2  = 2tdt 1 + ln x x t x  t3   (1 + ln x)3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  → I4 = − 2 1 + ln x + C . 3   3  3   ln x = 2 − t 3  ln 2 x dx (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x  →  dx → = = ∫ ∫ 3 3 I 5 .  = 3t dt 2 3 2 − ln x x t  x  t 8 4t 5  3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5  2 = 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt = 3  − 7 4 + 2t  + C = 3  − + 2 3 (2 − ln x)2  + C 8 5   8 5     t2 − 3  ln x = c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x  → 2  2dx = 2tdt  x ln x 3 + 2ln x dx  t2 − 3  ∫ (t ) dx 1 Từ đó ta có I 6 = ∫ ∫ = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = ∫ − 3t 2 dt 4 x x  2  2 1  t5  t5 t3 ( 3 + 2 ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 ( 3 + 2ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 =  − t3  + C = − + C = − + C  → I6 = − + C. 2 5  10 2 10 2 10 2 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx e 2 x dx dx dx a) I 7 = ∫ b) I8 = ∫ c) I 9 = ∫x d) I10 = ∫x ex −1 ( ) x +4 x4 + 1 3 2 ex + 1 Hướng dẫn giải: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1  a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1  x 2 x → x ← → 2tdt e dx = 2tdt dx = 2  t −1 dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi đó I 7 = e −1 x = ∫ t.(t − 1) 2 = 2 t −1 = ∫ (t − 1)(t + 1) = ∫ ∫ (t − 1)(t + 1) dt = t −1 − t +1 ∫ ∫ ∫ t −1 ex −1 −1 ex −1 − 1 = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln + C = ln + C  → I 7 = ln + C. t +1 ex − 1 + 1 ex −1 + 1 e x = t 2 − 1 e 2 x dx e x .e x dx (t 2 ) − 1 .2tdt b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1  → x  → I8 = ∫ = ∫ = ∫ x 2 x e dx = 2tdt (e ) (e ) 3 3 3 t x +1 x +1 (t 2 − 1 .2tdt) t2 −1  dt   1  x 1  = ∫ t3 =2 ∫ t2 dt = 2   dt − ∫  t2  = 2 ∫  t  t +  + C = 2    e + 1 +  + C . ex + 1   x2 = t 2 − 4   x 2 = t 2 − 4  c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4  → ←→  dx xdx tdt 2 xdx = 2tdt  = 2 = 2 x x t −4 dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi đó, I 9 = x x2 + 4 = ∫ x2 + 4 x = . 2 t t −4 ∫ = 2 = ∫ t − 4 4 (t + 2)(t − 2) dt = ∫ 4 t −2 − t +2  ∫ ∫ ∫ 1 t−2 x2 + 4 − 2 x2 + 4 − 2 = 1 ( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln 4 t+2 1 + C = ln + C  → I9 = 1 ln + C. 4 4 x2 + 4 + 2 4 x2 + 4 + 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19  x4 = t 2 − 1   x 4 = t 2 − 1  d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1  → 3 ←→  dx x3 dx tdt 4 x dx = 2tdt  = 4 =  x x 2(t 2 − 1) dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi đó, I10 = x x +1 4 ∫ = x +1 x 4 ∫ . = . 2 = ∫ 2 = t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1) ∫ dt ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 x4 + 1 − 1  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 1 =  ∫ 4  t −1 − t +1 4 ∫ 4 t +1 + C = ln 4 x4 + 1 + 1 + C. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx x dx a) I11 = ∫ 1 + 2 − 5x b) I12 = ∫1− 2 + x2 x 3 dx 1 + 4ln 2 x ln x c) I13 = ∫ 3 4 + x2 d) I14 = ∫ x dx Hướng dẫn giải: 2tdt a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  → dx = − 5 2 1+ t −1 2  1   dt = − ( t − ln t + 1 ) + C dx 2 t dt 2 Khi đó, I11 = ∫ 1 + 2 − 5x =− 5 1+ t =− ∫ 5 1+ t dt = − 1 −∫ 5  1+ t  5 ∫  → I11 = − 2 5 ( 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . ) b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  → xdx = tdt x dx t dt 1 − (1 − t )  1  d (1 − t ) Khi đó, I12 = 1− 2 + x ∫ 2 = 1− t = ∫ 1− t ∫ dt =  − 1 dt = − 1− t  ∫ 1− t ∫ − dt = − ln 1 − t − t + C ∫  → I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . x2 = t3 − 4  2 = 3 −   ( ) x t 4 3 c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2  → 2 ← → 3t 2 dt  → x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt 3t dt = 2 xdx  xdx = 2  2 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 (4 + x )2 5 33 ( 4 + x2 ) 2 3 2 3 x 3 dx 3  t5 2 3 → I13 = ∫  = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t  + C = − + C. 3 4 + x2 2 t 2 2 5  10 4 dx ln x dx tdt d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← → 2tdt = 4.2ln x.  → = x x 4 (1 + 4 ln x ) 2 3 ln x dx tdt 1 2 t3  → I14 = ∫ 1 + 4ln 2 x x = t.∫ = 4 4 ∫ t dt = + C = 12 12 + C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx x3 dx 1 + 3ln x ln x 1) I1 = ∫ 1 + 1 + 3x 2) I 2 = ∫ 3 1 + x2 3) I 3 = ∫ x dx dx xdx 4) I 4 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 5) I 5 = ∫ 6) I 6 = ∫ x x3 + 1 2x + 1 x +1 xdx 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx 8) I 8 = ∫ dx 9) I 9 = ∫ x 1 + x −1 4 − 3x e 2 x dx 10) I10 = ∫ x 2 3 − 2 x dx 11) I11 = ∫ dx 12) I12 = ∫ x +1 1 + ex −1 DẠNG 3: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 Phương pháp giải: dt = adx  Nếu hàm f(x) có chứa (ax + b) thì đặt t = ax + b  n → t −b  x = a Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x2 + 2 a) I1 = x ( 3 x + 1) dx ∫ ∫ ∫ 19 b) I 2 = x 2 (2 − x)99 dx c) I 3 = dx ( x + 1) 2010 Hướng dẫn giải: dt = 3dx t − 1 19 ∫( )  t 21 t 20 → I1 = x ( 3x + 1) dx = ∫ ∫ 19 a) Đặt t = 3x + 1  → t − 1  .t .3dt = t 20 − t19 dt = − +C  x = 3 3 21 20  → I1 = ( 3 x + 1) 21 − ( 3 x + 1) 20 + C. 21 20 dt = −dx → I 2 = x 2 ( 2 − x ) dx = − ( 2 − t ) .t 99 dt = − 4t 99 − 4t100 + t101 dt ∫ ∫ ∫( ) 99 2 b) Đặt t = 2 − x  →  x = 2 − t  t100 t101 t102  t100 4t101 t102 (2 − x) 100 4(2 − x) 101 ( 2 − x )102 = −  4. − 4. + +C = + − +C = + − + C.  100 101 102  25 101 102 25 101 102 V ậy I 2 = ( 2 − x )100 + 4 ( 2 − x )101 − ( 2 − x )102 + C. 25 101 102 dt = dx ( t − 1)2 + 2 dt = t 2 − 2t + 3 dt =  1 − 2 + 3  dt c) Đặt t = x + 1  → x = t −1  → I3 = t 2010 ∫ t 2010 ∫  2008 t t 2009 t 2010  ∫ 1 1 3 1 1 3 =− + − +C = − + − + C. 2007 ( x + 1) 1004 ( x + 1) 2009 ( x + 1) 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2007t 1004t 2009t 1 1 3  → I3 = − + − + C. 2007 ( x + 1) 1004 ( x + 1) 2009 ( x + 1) 2007 2008 2009 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ∫ 1) I1 = x(1 − x) 20 dx ∫ 2) I 2 = x(3 x + 1)9 dx ∫ 3) I 3 = (2 x + 1)( x + 3) 4 dx x + 2x + 2 ( ) 2 ∫ ( 2 x − 1) 5) I 5 = ∫ x 2 + 3 x − 5 ( 2 x − 3) dx 6) I 6 = ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx 10 2 21 4) I 4 = 6 dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.