Bài giảng "Xử lý số tín hiệu - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, chuỗi fourier rời rạc, biến đổi fourier rời rạc, biến đổi fourier nhanh. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Xử lý số tín hiệu: Chương 4 - ĐH Sài Gòn
- Chương 4:
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN
TẦN SỐ RỜI RẠC
4.1 KHÁI NIỆM
4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC (DFS)
4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.4 BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
1
- 4.1 KHÁI NIỆM
j
Biến đổi Fourier dãy x(n): X ( e ) x( n )e j n
n
X(ej) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
Tần số liên tục
Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞
Khi xử lý X(ej) trên thiết bị, máy tính cần:
Rời rạc tần số -> K
Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 N -1
Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần
số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT
(Discrete Fourier Transform)
2
- 4.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC CỦA TÍN HIỆU
TUẦN HOÀN (DFS)
n ) tuần hoàn với chu kỳ N:
Xét tín hiệu x(
n ) x(
x( n lN )
n ) được biểu diễn bởi tổng các
Khi đó tín hiệu tuần hoàn x(
hàm mũ phức.
2
j nk
N
Xét hàm mũ phức ek ( n ) e tuần hoàn với chu kỳ N:
2 2
j ( n rN )k j nk
ek ( n rN ) e N e N ek ( n )
2 2
j ( k lN )n j nk
ek lN ( n ) e N e N ek ( n )
3
- n ) có thể biểu diễn bởi một chuỗi
Tín hiệu tuần hoàn x(
Fourier dưới dạng:
N 1 2
1 j nk
n)
x(
N
X ( k )e N
k 0
2 N 1 2 2
j mn 1 j nk j mn
n )e
x( N
N
X ( k )e N e N
k 0
N 1 2 N 1 N 1 2
j mn 1 j k m n
n )e
x( N
N
X ( k )e N
n0 n 0 k 0
2 2
N 1 j mn N 1 1 N 1 j k m n
n )e
x( N X ( k ) e N
n 0 k 0 N n 0
4
- 2
1 N 1 j k m n 1: k m
Do: e N
N k 0 0 : k m
2 2
N 1 j mn N 1 1 N 1 j k m n
n )e
x( N
X ( k ) e N
X ( m )
n0 k 0 N n 0
n) :
Hay ta có cặp phân tích và tổng hợp của chuỗi x(
2
N 1 j kn
X ( k ) x( n )e N
n0
N 1 2
1
j kn
x( n ) N n X ( k )e N
0
5
- 4.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
4.3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:
2
N 1 j kn
x( n )e N : 0 k N 1
X ( k ) n0
0 : k còn lại
2 N 1 kn
j
N x( n )W N : 0 k N 1
WN e X ( k ) n 0
0 : k còn lại
WN tuần hoàn với độ dài N:
2 2
j ( r mN ) j r
W N( r mN ) e N e N W Nr
6
- • X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:
X ( k ) X ( k ) e j ( k )
X ( k ) - phổ rời rạc biên độ
Trong đó:
( k ) arg[ X ( k )] - phổ rời rạc pha
1 N 1 2
j kn
IDFT:
x( n ) N X ( k )e N : 0 n N 1
k 0
0 : n còn lại
Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
N 1
kn
X ( k ) x( n )W N : 0 k N 1
n0
N 1
x( n ) 1 kn
N k 0
X ( k )W N : 0 n N 1
7
- Ví dụ 4.3.1: Tìm DFT của dãy: x( n) 1,2,3,4
3
2
j
X ( k ) x( n )W4kn W41 e 4 j;W42 1;W43 j
n 0
3
X ( 0 ) x( n )W40 x( 0 ) x( 1 ) x( 2 ) x( 3 ) 10
n0
3
X ( 1 ) x( n )W4n x( 0 ) x( 1 )W41 x( 2 )W42 x( 3 )W43 2 j 2
n0
3
X ( 2 ) x( n )W42 n x( 0 ) x( 1 )W42 x( 2 )W44 x( 3 )W46 2
n 0
3
X ( 3 ) x( n )W43 n x( 0 ) x( 1 )W43 x( 2 )W46 x( 3 )W49 2 j 2
n 0
8
- Ví dụ: 4.3.2:
a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/
- Biến đổi DFT của x(n):
N 1 N 1 n 1 aN
X(k ) n
N
a W kn
aW Nk
1 aW Nk
n0 n 0
1 aN
X( k )
2
1 2a cos k a2
N
2
a sin k
arg X ( k ) arctg N
2
a cos k 1
N
10
- /X(ej)/
4
a=3/4
0 2
/X(k)/
4
a=3/4
8 N=16
0 8 16 k
11
- arg[X(ej)]
/2
a=3/4
0
8 2
-/2
arg[X(k)]
a=3/4
N=16
0 8
8 16 k
12
- 4.3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA DFT
a. Tuyến tính
DFT DFT
Nếu: x1(n)N
X1(k ) N x2 ( n)N X2 ( k )N
DFT
Thì: a1 x1(n)N a2 x2 ( n)N
a1X1( k )N a2 X2 ( k )N
Nếu: Lx1 N1 N2 Lx2 Chọn: N max{ N1 , N 2 }
b. Dịch vòng
DFT
Nếu: x( n )N
X( k ) N
DFT
Thì: x( n n0 )N WNkn0 X( k ) N gọi là dịch vòng của
x(n)N đi n0 đơn vị
n n0 )N rect N (n)
Với: x( n n0 )N x(
13
- Ví dụ 4.3.1: Cho: x ( n) 1,2,3,4
a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2)
b)Tìm dịch vòng: x(n+3)4, x(n-2)4
x(n)
4
3
2
1 n
0 1 2 3
x(n+3) x(n-2)
4 4
3 3
a) 2 2
1 n 1 n
-3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 5
14
- x(n) x(n-1)4
b) 4 4
3 3
2 2
1 1 n
n
0 1 2 3 0 1 2 3
N
x(n+1)4
4
3
2
x( n 2 )4 3 , 4 ,1, 2
1 n
0 1 2 3 x( n 3 )4 4,1, 2,3
15
- c. Chập vòng
DFT DFT
x(n)
Nếu: 1 N X1(k)N x2(n)N X2(k)N
DFT
x
Thì: 1 ( n )N x2 ( n )N X1( k )N X2 ( k )N
N 1
Chập vòng 2 dãy
Với: x1( n)N x2 (n)N x1(m )N x2 (n m )N
m0
x1(n) & x2(n)
Dịch vòng dãy
Và: x2 ( n m )N x 2 ( n m )N rect N ( n )
x2(-m) đi n đ/vị
Chập vòng có tính giao hoán:
x1( n)N x2 ( n)N x2 ( n)N x1( n)N
Nếu: Lx1 N1 N2 Lx2 Chọn: N max{ N1 , N 2 }
16
- Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy x1 ( n) 2,3,4
x2 (n ) 1 , 2 , 3 , 4
N 1
x3 ( n)N x1(n)N x2 ( n)N x1(m )N x2 (n m )N với N-1n 0
m0
Chọn độ dài N: N1 3,N 2 4 N max{ N1 ,N 2 } 4
3
x3 ( n )4 x1 ( n )4 x2 ( n )4 x1 ( m )4 x2 ( n m )4 : 0 n 3
m 0
Đổi biến n->m: x1 ( m ) 2 ,3, 4,0
x2 ( m ) 1 , 2 , 3 , 4
Xác định x2(-m)4: x2 ( m )4 x2 ( m )4 rect4 ( n ) 1, 4 ,3, 2
17
- x2(m) x2(-m)
4 4
3 3
2 2
1 m 1 m
0 1 2 3 -3 -2 -1 0
x 2 ( m ) x2 ( m )4 x 2 ( m )rect 4 ( n )
4 4
3 3
2 2
1 m 1 m
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3
18
- Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị
với 3 n 0
x2(-m)4 x2(1-m)4
4 4
3 3
2 2
1 m 1 m
0 1 2 3 0 1 2 3
x2(2-m)4 x2(3-m)4
4 4
3 3
2 2
1 m 1 m
0 1 2 3 0 1 2 3
19
- Nhân các mẫu 3
x1(m) & x2(n-m) x3 ( n )4 x1 ( m )4 x2 ( n m )4 : 0 n 3
m 0
và cộng lại:
3
n=0: x3 ( 0 )4 x1 ( m )4 x2 ( 0 m )4 26
m 0
3
n=1: x3 ( 1 )4 x1 ( m )4 x2 ( 1 m )4 23
m 0
3
n=2: x3 ( 2 )4 x1 ( m )4 x2 ( 2 m )4 16
m 0
3
n=3: x3 ( 3 )4 x1 ( m )4 x2 ( 3 m )4 25
m 0
Vậy: x3 ( n )4 x1 ( n )4 x2 ( n )4 26,23,16,25
20
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
