Bài tập giải Phương trình vi phân

Chia sẻ: Xuan Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

853
lượt xem 193
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Bài tập giải Phương trình vi phân" được soạn làm tài liệu cho các sinh viên ngành Toán ôn tập và hệ thống kiến thức, đồng thời có thể hỗ trợ cho các cán bộ giảng dạy trong các giờ chữa bài tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải Phương trình vi phân

www.VNMATH.com 1 . . ` ˆ BAI TAP PHU O NG TR` . ˆ INH VI PHAN . . 1) ' Gia i phu o ng tr nh: 2xy y” = y 2 − 1 ’ HD giai: - Dat . y =p: 2xpp = p2 − 1 . 2 2pdp dx √ V i x(p − 1) = 0 ta co : o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1 p2 − 1 x dy √ 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 . . √ 2) ' Gia i phu o ng tr nh: y.y” = y dp . . √ dp ’ HD giai: - Dat . y = p ⇒ y” = p (ham theo y). Phu o ng tr '. nh tro thanh: yp =p dy dy . . . . . dy √ dy √ V i o p=0 ta d u o c phu o ng tr . nh: dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ = 2 y + C1 ⇒ y dx dy dx = √ 2 y + C1 . ' √ C1 √ T d nghi^m t^ ng qua t: u o e . o x= y− ln |2 y + C1 | + C2 2 Ngoai ra y = c: ~ h ng cu ng la nghi^m. a e . . . 3) ' Gia i phu o ng tr nh: a(xy + 2y) = xyy ’ HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay . . . . . . . a−y 2a N^ u e y = 0, ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i o dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x Ngoai ra y=0 ~ cu ng la nghi^m. e . . . 4) ' Gia i phu o ng tr nh: y” = y ey dp . . dp ’ HD giai: - Dat . y = p ⇒ y” = p thay vao phu o ng tr nh: p = pey dy dy . dp dy dy V ip o =0: = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 . dy 1 ey + C1 − ey 1 ey dy y V i o C1 = 0 ta co: = dy = (y − ) = − ey + C1 C1 ey + 1 C1 ey + C1 C1 1 ln(ey + C1 ) C1  dx −e−y ´ nˆ u C1 = 0 e . nhu v^y: a . = 1 ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) ´ nˆ u C1 = 0. e C1 Ngoai ra y = C : h ng la m^ t nghi^m a o e . . . . . 5) ' Gia i phu o ng tr nh: xy = y(1 + ln y − ln x) v i o y(1) = e
2 www.VNMATH.com - . . . y y ’ HD giai: Du a phu o ng tr nh v^: e (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z y = . . x x dz dx y • z ln z = 0 ⇒ = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx z ln z x x y(1) = e → C = 1. V^y y = xex a . . . 6) ' Gia i phu o ng tr nh: y”(1 + y) = y 2 + y - dz . . dz dy ’ HD giai: Dat . y = z(y) ⇒ z = z thay vao phu o ng tr nh: = dy z+1 y+1 dy ⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ = dx (∗) C1 y + C1 − 1 • C1 = 0 ⇒ (∗) cho y =C −x 1 • C1 = 0 ⇒ (∗) cho ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 Ngoai ra y=C la nghi^m. e . 1 e o' To m lai nghi^m t^ ng qua t: y = C, y = C − x; ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 . . C1 . . 2 7) ' Gia i phu o ng tr nh: y = y2 − x2 HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗) ’ e ^' e . - at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: D . dz dx z−1 xz = z 2 + z − 2 ⇔ = ⇔ 3 = Cx z2 +z−2 x z+x xy − 1 V^y TPTQ: a . = Cx3 . xy + 2 . . 8) ' Gia i phu o ng tr nh: yy” + y 2 = 1 - dz ’ HD giai: Dat . y = z(y) ⇒ y” = z. dy . . z dy C1 ' Bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e 2 dz = ⇔ z2 = 1 + 2 1−z y y dy C1 dy ⇒ =± 1+ 2 ⇔± = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ 2 y ' 2 2 Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 ) e . o . . √ 9) ' Gia i phu o ng tr nh: 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0 3x + 4 1 ’ HD giai: y − .y = − √ ; x = 0, x = −1 2x(x + 1) x+1 ' ' . . Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh thu^ n nh^ t: a a dy 3x + 4 2 1 Cx2 = dx = ( − )dx ⇔ y = √ y 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1
www.VNMATH.com 3 1 1 Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o C =− 2 ⇒ C = − + ε. x x x2 1 . e . o' V^y nghi^m t^ ng qua t: a y=√ ( + ε) x+1 x . . y(0) = 0 10) ' Gia i phu o ng tr nh: y” = e2y ' thoa y (0) = 0 dz . . dz z2 e2y ’ HD giai: - Dat . z = y → y” = z. phu o ng tr '. nh tro thanh z. = e2y ⇔ = +ε dy dy 2 2 1 y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d : a . u o 2 dy √ 2y dy √ z= = e −1⇒ √ ’ ´ = x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1 ¯o e dx e2y − 1 √ arctg e2y − 1 = x + ε 1 y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1). a . e . e ' e e . ^ e 2 . . 11) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: xy + 2y = xyy ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(−1) = 1. ’ . . - . HD giai: Vi^ t phu o ng tr e nh lai: . x(1 − y)y = −2y ; do y(−1) = 1 n^n e y ≡ 0. Du a v^ e . . 1−y dx phu o ng tr nh ta ch bi^ n: e dy = −2 y x . . 1 t ' ch ph^n t^ ng qua t: a o x2 ye−y = C . Thay d i^u ki^n vao ta d u o c e e . . C= . V^y t a . ch ph^n a e e ri^ng c^n t a m la: x2 ye1−y = 1. . . 12) B ng ca ch d a t a . y = ux, ~ ' ha y gia i phu o ng tr nh: xdy − ydx − x2 − y 2 dx = 0. (x > 0) ’ - . . . . √ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va . nh ' gia n u o c x: xdu − 1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng ~ e . tr nh v^ ta ch bi^ n: e e du dx = . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0). 1 − u2 x . . y ' V^y NTQ cu a phu o ng tr a . nh: y = ±x; arcsin = ln x + C . x . . 13) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: xy = x2 − y 2 + y ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(1) = 0. ’ HD giai: y2 y xy = x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− + x2 x y d at . u= hay y = ux y = xu + u suy ra x . . √ du dx phu o ng tr nh thanh: xu = 1 − u2 ⇐⇒ √ = 1 − u2 x
4 www.VNMATH.com ⇐⇒ arcsin u = ln Cx ' ~ thoa ma n d i^u ki^n d u e e . a ^ y(1) = 0 khi C = 1. V^y nghi^m a . e . y = ±x. . . 14) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: y sin x = y ln y π ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y( ) = e. 2 ’ HD giai: dy dx y sin x = y ln y ⇐⇒ = y ln y sin x x x C tan ⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2 2 x π tan ' ~ thoa ma n d i^u ki^n e e . d u y( ) = e khi C = 1. V^y y = e a ^ a . 2. 2 . . 15) T ' m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e . e nh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(0) = 1. ’ HD giai: - Dat x + y = z =⇒ dy = dz − dx . . . phu o ng tr nh thanh: (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; ' gia i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . V^y a . x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C ' ~ thoa ma n d i^u ki^n d u y(0) = 1 khi C = 2. e e a ^ . 1 16) B ng ca ch d a t a . y= r^i d a t z = ux,ha y gia i o . ~ ' . . z phu o ng tr nh: (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 1 . . . . ’ HD giai: - Dat . y = d u o c: . (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; r^i d at o . z = ux, du o c . z (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 dx u2 − 1 ⇐⇒ + 3 du = 0 x u +u u2 + 1 x(u2 + 1) ⇐⇒ ln |x| + ln = ln C ⇐⇒ =C |u| u 1 . . thay u= d u o c nghi^m . e . 1 + x2 y 2 = Cy . xy . . 17) m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr T e . o' ' nh sau: y − xy = x + x3 ’ HD giai: - ^ . . ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e . o x2 x2 y = Ce 2 . +1 2 .
www.VNMATH.com 5 . . 18) T e . o' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr nh sau: y − y = y2. ’ - ^ . . ' HD giai: Day la phu o ng tr nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la e e . o y ln | | = x + C. y+1 . . y 19) T ' m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e . nh sau: y + = ex x ’ HD giai: - ^ . . C x ex Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e ' nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e o y = +e − . . x x . . 20) T ' m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e . nh sau: y − y = y3. ’ - ^ . . ' HD giai: Day la phu o ng tr nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la e e . o C + x = ln |y| − arctgy. . . y y . π 21) ' Gia i phu o ng tr nh: y = + sin , v i o y(1) = x x 2 ’ . . '. HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z , nh tro thanh: phu o ng tr dz dx z z z x = sin x ⇔ = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx sin z x 2 2 y π a e o' V^y nghi^m t^ ng qua t: tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1. . . 2x 2 y V^y: a . tg = x. 2x . . y y 22) ' Gia i phu o ng tr nh: (x − y cos )dx + x cos dy = 0 x x - y . . . . . ’ HD giai: Dat . =z ⇒y =zx+z nh d u o c d u a v^ dang: phu o ng tr . e . x dx x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C x y V^y TPTQ: a . sin = − ln |x| + C x . . 23) ' Gia i phu o ng tr nh: (y 2 − 1)x2 y 2 + y (x4 − y 4 ) = 0 ’ . . ' . . HD giai: La phu o ng tr a ' nh d a ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap. u .
6 www.VNMATH.com . . . y2 x2 Xem phu o ng tr nh b^ c hai d o i v i a . ^ o y: = (x4 + y 4 )2 ⇒ y1 = 2 ; y2 = − 2 . x y . x 3 3 u o e o' T d co hai ho nghi^m t^ ng qua t: y= ; x + y = C2 . . C1 x + 1 . . 24) ' Gia i phu o ng tr nh: y 2 + x2 y = xyy y2 ’ . . x2 . . HD giai: Vi^ t phu o ng tr e nh lai . y = y d ay la phu o ng tr ^ ' nh thu^ n nh^ t, gia i a a x −1 y . . e . o' ra d u o c nghi^m t^ ng qua t: . y 2 = Cxe x . . 25) T ' m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e . e nh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(1) = 0. - x =u−1 . . . . ’ HD giai: Dat . thay vao phu o ng tr nh d u o c: . y = v + 3. . . ' (u + v)du + (u − v)dv = 0, d ay la phu o ng tr ^ a nh thu^ n nh^ t co t a ch ph^n t^ ng qua t la: a o u + 2uv − v 2 = C . 2 . . V^y t a . a o' ' nh ban d u la: ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a ^ x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C . . 26) ' Gia i phu o ng tr nh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. - x =X −1 . . ’ HD giai: Dat . , phu o ng tr nh thanh: y =Y +3 (X + Y )dX + (X − Y )dY = 0 . . . dX 1−u d at . Y = uX d u a phu o ng tr nh v^ e + du = 0. X 1 + 2u − u2 ' Gia i ra X 2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C . . . 2xy 27) m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr T a o' ' nh sau: b) y = . x2− y2 - ^ . . y . . ’ HD giai: Day la phu o ng tr ' nh d a ng c^ p, ta d a t a . z= . Khi d phu o ng tr o nh tr^n e z z(1 + z 2 ) 1 2z dx '. tro thanh xz = . Hay ( − )dz = . Suy ra nghi^m e . ' . . cu a phu o ng tr nh 1−z 2 z 1+z 2 x z nay la = Cx, C = 0. 1 + z2 . . 2 2 . e . ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a nh d ~ cho la x + y = C1 y, C1 = 0. a . . 2x + y − 1 28) T ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr e . o nh sau: y = . 4x + 2y + 5 ’ - . . . HD giai: Dat . u = 2x + y phu o ng tr nh d u a v^ dang e . du 5u + 9 = . dx 2u + 5
www.VNMATH.com 7 . . . . ' Gia i phu o ng trnh nay ta d u o c nghi^m 10u + 7 ln |5u + 9| = . e . 25x + C. . . ~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y . . ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a e nh d a = 9| − 5x = C. . . 29) T a o' ' m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr nh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 ’ - ^ . . . ' . . HD giai: Day la phu o ng tr nh d u a v^ dang d a ng c^ p d u o c b ng ca ch d a t e . a . a . x = . . dv u+v . . . . u + 1, y = v − 3, ta d u o c . = . ' Gia i phu o ng tr ' nh ta co nghi^ m cu a phu o ng e . du −u + v tr nh la v 2 − 2uv − v 2 = C. . . . e . ' nh d ~ cho la V^y nghi^m cu a phu o ng tr a a y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 . . . 30) a) T o e . ' ' m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr e √ nh ^ o . sau d ay t^ n tai va duy nh^ t a y = x − y. . . a o' ' m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr b) T nh sau: (x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0. ’ HD giai: a e . a) Bai toa n Cauchy co duy nh^ t nghi^m trong mi^n e 2 . D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v i δ > 0 tuy . o y - . . . dy xy - ^ . . b) Du a phu o ng tr nh v^ dang e = 2 . Day la phu o ng tr ' nh d a ng c^ p, ta d a t a . . dx x − y2 y . . z= . Khi d phu o ng tr o '. nh tr^n tro thanh e x z(1 + z 2 ) xz = . 1 − z2 1 2z dx Hay ( − 2 )dz = . z 1+z x . . z . ' Suy ra nghi^m cu a phu o ng tr e nh nay la = Cx, C = 0. 1 + z2 . . 2 2 . e . ' nh d ~ cho V^y nghi^m cu a phu o ng tr a a la x + y = C1 y, C1 = 0. . . 2x 2x 2 31) a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto u a e . {e , xe , x } la h^ d oc l^p tuy^ n t nh. e ^ . . a . e . . a o' ' m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr b) T nh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0; ’ HD giai: i ~ e' e ^ a a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t e nh . . . . - . . . x+y - ^ . . b) Du a phu o ng tr nh v^ dang e y = . Day la phu o ng tr ' nh d a ng c^ p, ta d a t a . . x−y y . . z= . Khi d phu o ng tr o '. nh tr^n tro thanh e x 1 + z2 xz = . 1−z ' . . . . Gia i phu o ng tr nh nay ta d u o c . y x2 + y 2 = Cearctg x . . . 2 2 32) a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto u a e . {cos 2x, sin 2x, 2} e . . o . la h^ phu thu^ c tuy^ n t nh. e . i u ' T nh d .nh th c Wronski cu a chu ng. . . b) T a o' ' m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
8 www.VNMATH.com ’ HD giai: 2 2 . . o . a) H^ nay phu thu^c tuy^ n t e e nh v 2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0. . . ' . ' . . b) Phu o ng tr nh nay co th^ d u a v^ dang d a ng c^ p, ta d u o c e e . a . x+y y = . x − 2y + 1 1 1 . . - Dat . u=x− , v =y+ , khi d phu o ng tr o '. nh tr^n tro thanh e 3 3 u+v v = . u − 2v . . . . √ 1 √ arctg( √ 2u) ' Gia i phu o ng tr nh nay ta d u o c . u2 + 2v 2 = Ce √ 2 v . √ arctg( 2 3x−1 ) 1 Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2 3y+1 . . . 33) ' Gia i phu o ng tr nh: y 2 + x2 y = xyy ’ . . HD giai: Phu o ng tr y = zx → y = z x + z nh thu^ n nh^ t: d a t a a . . . z−1 dx '. nh tro thanh Phu o ng tr dz = → z − ln |z| = ln |x| + C z x y y − ln | | = ln |x| + C x x . . 34) ' Gia i phu o ng tr nh y 2 + x2 y = xyy . y2 ’ . . x2 . . HD giai: Vi^ t phu o ng tr e nh lai . y = y d ay la phu o ng tr ^ ' nh thu^ n nh^ t, gia i a a x −1 y . . e . o' ra d u o c nghi^m t^ ng qua t: . y 2 = Cxe x . . 35) ' Gia i phu o ng tr nh: y” cos y + (y )2 sin y = y ’ HD giai: y = C : h ng la m^ t nghi^m. a o . e . - dp y=C (h ng). Dat a . y = p ⇒ y” = p (ham theo y) dy dp . . thay vao (2): cos y + p sin y = 1: phu o ng tr nh tuy^ n t e nh. dy . . ' Phu o ng tr nh thu^ n nh^ t co nghi^m t^ ng qua t: a a e . o p = C cos y. n thi^n h ng s^ d u.o.c C = tgy + C1 . bi^ e e a . o . dy dy t d u o p= = sin y + C1 cos y ⇔ = dx dx sin y + C1 cos y y 1 1 tg + 1 + 2 − 1 2 C1 C1 t ch ph^n a d i d^ n: e ln = x + C2 2 C1 + 1 y 1 1 −tg + 1 + 2 + 2 C1 C1 . . 1 36) ' Gia i phu o ng tr nh: y + =0 2x − y 2 1 . . ’ HD giai: Coi x = x(y) ' la ham cu a y ta co : y = thay vao phu o ng tr nh: x
www.VNMATH.com 9 1 1 . . + = 0 ⇔ x + 2x = y 2 : phu o ng tr nh tuy^ n t e nh. x 2x − y 2 . . e . o' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: a a x = Ce−2y 2 2y 1 1 1 Bi^ n thi^n h ng s^ : C (y) = y e e e a o ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C 2 2 4 . . −2y 1 2 1 1 ' ' nh: x = Ce V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e o + y − y+ . . 2 2 4 . . 37) ' Gia i phu o ng tr nh: xy” = y + x2 ’ HD giai: - Dat . y = p, '. (1) tro thanh: xp − p = x2 tuy^ n t e nh ' . . . ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^ n nh^ t: a a p = Cx Bi^ n thi^n h ng s^ → e e a o C(x) = x + C1 dy x3 x2 Suy ra: = x(x + C1 ) →y= + C1 . + C2 dx 3 2 . . 38) ' Gia i phu o ng tr nh: y 2 + yy” = yy . . . . . . . dp ’ HD giai: - Dat . p = y (p = 0), phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i: o p2 + yp = yp dy dp . . . dp p ⇔p+y = y, xe t y=0 d u a phu o ng tr nh v^: e + =1 (tuy^ n t e nh) dy dy y . . C ' NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: a a p= , bi^ n thi^n h ng s^ e e a o y y2 ⇒ C(y) = + C1 2 . y 2 + 2C1 dy y 2 + 2C1 2ydy Nhu v^y: a . p= ⇒ = ⇒ 2 = dx 2y dx 2y y + 2C1 ⇒ y 2 = A1 ex + A2 . x x 2 x Chu : V^ tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2 y e . . . 39) ' Gia i phu o ng tr nh: yey = y (y 3 + 2xey ) v i o y(0) = −1 1 . . 2 ’ HD giai: yx = ' bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e x − x = y 2 e−y xy y e . o' Nghi^m t^ ng qua t: x = y 2 (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. 2 −y V^y x = y (e − e a . ) . . 40) ' Gia i phu o ng tr nh: xy” = y + x . . 1 ’ HD giai: - Dat . y = p; '. nh tro thanh: phu o ng tr p − p=1 x o' Nghi^m t^ ng qua t: e p = Cx bi^ n thi^n h ng e e a : C = ln |x| + C1 s^ o .
10 www.VNMATH.com dy ⇒p= = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = (ln |x| + C1 )xdx + C2 dx x2 x2 = C1 x2 + ln |x| − + C2 2 4 . . 41) ' Gia i phu o ng tr nh: y + xy = x3 x2 . . ’ HD giai: ' ' Nghi^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh thu^ n nh^ t a a y = Ce− 2 x2 2 − bi^ n thi^n h ng s^ : C(x) = (x − 2)e 2 + ε e e a o x2 . e . o' V^y nghi^m t^ ng qua t: a y = εe− 2 + x2 − 2. . . 42) ' Gia i phu o ng tr nh: (x2 − y)dx + xdy = 0 ’ . . 2 . . HD giai: nh vi^ t lai: xy − y = −x , phu o ng tr Phu o ng tr e . nh thu^ n nh^ t: a a xy − y = 0 e o' co nghi^m t^ ng qua t: y = Cx bi^ n thi^n h ng s^ suy ra C = −x + ε e e a o . V^y nghi^m t^ a e o'ng qua t : y = −x2 + εx . . . . 2 3 . 43) ' Gia i phu o ng tr nh: y − y= 2 v i o y(1) = 1 x x . . 3 1 ’ HD giai: Phu o ng tr nh tuy^ n t e nh: y = Cx2 ; C = 4 ⇒C =− 3 +ε x x 1 y = εx2 − ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2 x 1 . e . o' V^y nghi^m t^ ng qua t: a y = 2x2 − x . . 44) ' Gia i phu o ng tr nh: (x + 1)(y + y 2 ) = −y . . 1 ’ HD giai: Xe t y = 0, ' bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^ dang e . y + .y = −y 2 x+1 1 z . . . 1 - Dat . = z ⇒ y = − 2 = −y 2 z d u a phu o ng nh v^ z − tr e .z = 1. y z x+1 ' . . e . o ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh thu^ n a nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^n a e e h ng s^ a o C1 = ln |x + 1| + ε. V^y nghi^m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) a. e . ~ ngoai ra y = 0 cu ng la nghi^m. e . 1 o' V^y nghi^m t^ ng qua t: a e y= va y=0 nghi^m k di . e . . . . (x + 1)(ln |x + 1| + ε) . . 1 45) ' Gia i phu o ng tr nh: 2xy + y = 1−x - . . . 1 1 . . ’ HD giai: Du a phu o ng tr nh v^ dang e . y + y = phu o ng tr nh tuy^ n e 2x 2x(1 − x) t nh c^ p 1 a
www.VNMATH.com 11 C . o' Nghi^m t^ ng qua t: e y=√ , bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o x √ √ x 1 x+1 C (x) = ⇒ C = ln | √ |+ε 2x(1 − x) 2 x−1 √ 1 1 x+1 a . e . o' V^y nghi^m t^ ng qua t: y = √ ln | √ |+ε x 2 x−1 . . 46) ' Gia i phu o ng tr nh: xy − y = x2 sin x y . . ’ HD giai: y − = x sin x, phu o ng tr nh tuy^ n t e nh. NTQ: y = Cx bi^ n thi^n h ng e e a x s^ : o e o' Nghi^m t^ ng qua t: y = (C − cos x)x . . . 47) ' Gia i phu o ng tr nh: y cos2 x + y = tgx ' thoa y(0) = 0 . . ’ HD giai: Phu o ng tr nh tuy^ n t e nh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^t nghi^m o . e . ri^ng) e ⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^y nghi^m a . e . ri^ng c^n t e a m: y = tgx − 1 + e−tgx . . . √ 48) ' Gia i phu o ng tr nh: y 1 − x2 + y = arcsin x ' thoa y(0) = 0 . . ’ HD giai: e . o' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh tuy^ n t e nh thu^n nh^ t: a a y = Ce−arcsinx ~ e D^ th^ y nghi^m ri^ng: a e . e y = arcsinx − 1 −arcsinx ⇒ NTQ: y = Ce + arcsinx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ e . e nghi^m ri^ng c^n t a m: y = e−arcsinx + arcsinx − 1 . . 1 49) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: y = 2x − y 2 ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(1) = 0. 1 . . ’ HD giai: Xem x ' la a n ham, thay ^ y = , phu o ng tr nh thanh x 1 1 = 2 ⇐⇒ x − 2x = −y 2 x 2x − y - ^ . . ' ' . . Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p m^t, nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a o . e . o nh tuy^ n e . . . −2y ng s^ d u.o.c NTQ: nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la x = Ce t a a . Bi^ n thi^n h e e a o . y2 y 1 x = Ce−2y + − + 2 2 4 3 ' thoa ~ ma n d i^u ki^n d u y(1) = 0 khi C = e e a ^ . . 4 3 −2y y2 y 1 V^y a . e . ' ~ nghi^m tho a ma n d i^u ki^n d u: x = e e . a ^ e + − + . 4 2 2 4
12 www.VNMATH.com . . z . . 50) ' Gia i phu o ng tr e nh sau d ay, bi^ t r ng sau khi d a t ^ a . y= , ta nh^n d o c a. u . x2 . . ∗ 1 x m^t phu o ng tr o . nh vi ph^n c^ p hai co m^ t nghi^m a a o . e . ri^ng y = e e : 2 x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex . z x − 2z z x2 − 4z x + 6z . . ’ HD giai: - Dat . y = zx2 =⇒ y = ;y = . Phu o ng tr nh thanh x3 x x4 ∗ e . . : z + z = ex , co m^ t nghi^m o . e . ri^ng la y = e ' , NTQ cu a phu o ng trnh thu^ n a nh^ t: a 2 . . z = C1 cos x + C2 sin x. a . ' nh ban d u la: V^y NTQ cu a phu o ng tr a ^ cos x sin x ex y = C1 2 + C2 2 + 2 x x 2x . . 51) T ' m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr e . e nh: yey = y (y 3 + 2xey ) ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(0) = −1. 1 . . 2 ’ HD giai: Xem x ' la a n ham, thay ^ y = , phu o ng tr nh thanh x − x = y 2 e−y . x y . . . . . C ' NTQ cu a phu o ng tr nh tuy^ n t e nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la a a x= ; bi^ n thi^n h ng e e a y . . . C 1 s^ d u o c o . C(y) = −e−y + C . Nhu v^y NTQ la a . x= − y. Thay d i^u ki^n d u xa c d. nh e e . a ^ i y ye . . 1 . du o c . C= . T d KL. u o e . . 52) T ' m nghi^m cu a phu o ng tr e . nh y − y = cos x − sin x. tho a d u ki^n ' i^ e e . y bi chn khi . a . x→∞ . . ’ HD giai: ' Gia i phu o ng tr nh tuy^ n t e nh ra y = Cex + sin x ' tho a d i^u ki^n e e . y bi chn khi . a . x→∞ khi C=0 . . 53) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: y + sin y + x cos y + x = 0 π ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(0) = . 2 ’ HD giai: y y y y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin cos + x.2 cos2 = 0 2 2 2 y y ⇐⇒ y + tan 2 + x = 0 2 cos2 2 y y . . . . d at z = tan =⇒ z = . 2 y , phu o ng tr nh thanh phu o ng tr nh tuy^ n t e nh 2 cos2 2 −x z + z = −x. ' Gia i ra: z = 1 − x + Ce π ' ~ thoa ma n d i^u e ki^n d u y(0) = e . a ^ khi C = 0. V^y nghi^m ri^ng y = 2 arctan(1 − x). a . e . e 2
www.VNMATH.com 13 . . x 54) T e . o' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr nh sau: y − x tan y = cos y ’ - . . '. - ^ HD giai: Dat . z = sin y, o nh d ~ cho tro thanh khi d phu o ng tr a z − xz = x. Day la x2 . . ' phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e . o z = Ce − 1. 2 x2 . . . e . ' V^y nghi^m cu a phu o ng tr a nh d ~ cho la sin y = z = Ce 2 a −1 . . 55) T e . o' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr nh sau: y − xy = x ’ HD giai: . . 1 2 - ^ Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e ' nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e . o y = Ce 2 x − 1. . . y √ 56) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr T e . o' ' nh sau: y + = x y. x ’ - ^ . . ' HD giai: Day la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la e . o √ C 1 y = √ + x2 . x 5 . . y 57) m nghi^m cu a ca c phu o ng tr T e . ' nh sau: y − = x3 x ’ HD giai: - ^ . . ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e . o 1 y = Cx + x4 . 3 . . 58) T ' m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e . nh sau: y − y = y2. ’ HD giai: - ^ . . ' Day la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la e . o 1 y2 = . Ce−2x −1 . . y 59) T ' m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e . nh sau: y + = sin x x ’ HD giai: - ^ . . ' Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la a e . o C sin x y= + − cos x. x x
14 www.VNMATH.com . . √ 60) T ' m nghi^m cu a ca c phu o ng tr e . nh sau: y − y = x y. ’ HD giai: - ^ . . ' Day la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la e . o √ 1 y = Ce 2 x − x − 2. 2 61) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr T e . o' ' . . nh sau: y + 2xy = xe−x ’ HD giai: - ^ . . Day la phu o ng tr nh vi ph^n tuy^ n t a e nh c^ p 1. a x2 −x2 e o' Nghi^m t^ ng qua t la y = (C + )e . . 2 . . y √ 62) T ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr e . o nh sau: y −4 = x y. x ’ - ^ . . HD giai: Day la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ m la e . √ 1 y= ln x + Cx2 . 2 . . 63) o e . ' m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr a) T e ' nh sau ^ o . d ay t^n tai va duy nh^ t a  = y + 3x. y 1 y” − y = x  b) T e . ' m nghi^m cu a bai toa n Cauchy sau d ay ^ x y(x = 1) = 1 va y (x = 1) = 2. ` ’ HD giai: - ^ . . a) Day la phu o ng tr nh tuy^ n t e ' nh c^ p 1 tho a d. nh ly d i^u ki^n t^n tai duy nh^ t a i e e . o . a 2 nghi^m tr^n R . e . e . . y . . ' b) Gia i phu o ng tr nh y” − = x, ' ta d u o c nghi^m t^ ng qua t . e o . x x2 y = C1 + C2 x + . 2 a . e . ' V^y nghi^m cu a bai toa n Cauchy la 1 x2 y =− +x+ . 2 2 . . 64) m nghi^m cu a phu o ng tr T e . ' nh sau: y + ytgx = cos x ’ HD giai: - ^ . . Day la phu o ng tr nh vi ph^n tuy^ n t a e nh c^ p 1. a o' Nghi^m t^ ng qua t la: e . y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com 15 . . y ex 65) ' m nghi^m cu a phu o ng tr T e . nh sau: y + = x( x )y 2 . x e +1 ’ HD giai: - ^ . . ' ' . . Day la phu o ng tr nh vi ph^n Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a e . o nh la 1 y= . Cx − x ln(ex + 1) . . 66) ' Gia i phu o ng tr nh: (x + 1)y” + x(y )2 = y ’ - . . '. . . . HD giai: Dat . y = p, phu o ng tr nh tro thanh phu o ng tr nh Bernouili (v i o x = −1) 1 x 2 p − p=− p (∗) x+1 x+1 . . . - Dat . z = p−1 = 0, du a (∗) v^ phu o ng tr e nh tuy^ n t e nh c^ p m^t: a o . 1 x z + z= 1+x x+1 . . C e o' ' Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: a a z= . x+1 . . x2 + C1 1 2(x + 1) e e a o Bi^ n thi^n h ng s^ cu^ i cung d u o c: o . z= ⇒y = = 2 2(x + 1) z x + C1 ' ' . . Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh:  ln |x2 + C | + √2 arctg √x + C ´ nˆ u C1 > 0 e  1 2 C1 C1√  ln |x2 + C1 | + √ 1 ln | x − √−C1 | + C2  ´ nˆ u C1 < 0 e −C1 x + −C1  Chu y y=C la NKD . . 67) ' Gia i phu o ng tr nh: x2 y = y(x + y) 1 1 HD giai: x2 y = y(x + y) ⇔ y − ’ = 2 y 2 : phu.o.ng tr nh Bernouilli y x - −1 1 1 Dat z = y . (y = 0) : −z − z = 2 . x x . . ' NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: a a z = Cx 1 1 bi^ n thi^n h ng s^ C: C(x) = ε − e e a o . V^y z = x(ε − 2 ) a . 2x 2 2x 2x e o' V^y nghi^m t^ ng qua t la: y = a . . εx2 − 1 . . 68) ' Gia i phu o ng tr  nh: yy” − (y )2 = y 3 1 y(0) = −  ' thoa 2 y (0) = 0
16 www.VNMATH.com ’ - . . HD giai: Dat . y = p(y); y = p.py thay vao phu o ng tr nh dp py − p2 = y 3 , dy . . . d at ti^ p: . e p(y) = y.z(y) d u a phu o ng tr nh v^ e dz 1 dy = ⇒ z 2 = 2(y + C1 ) ⇔ =y |2y + C| dy z dx 1 Do d i^u ki^n e e . y(0) = − ; y (0) = 0 ⇒ C = 1. T. d suy u o ra: 2 dy |2y + 1| − 1 = y |2y + 1| ⇒ ln = x + C2 . dx |2y + 1| + 1 1 do y(0) = − ⇒ C2 = 0. 2 |2y + 1| − 1 a. e . e V^y nghi^m ri^ng c^n t a m thoa : ln ' = x. |2y + 1| + 1 √ . . 2y x 69) ' Gia i phu o ng tr nh: ydx + 2xdy = dy ' thoa d i^u ki^n e e . y(0) = π cos2 y - . . . 2 2 1 ’ HD giai: Du a phu o ng tr nh v^ dang e . x + x= 2y .x 2 (Bernoulli) (∗) y cos 1 1 1 - Dat . z = x2 ta co z = x + x− 2 x thay vao (∗) 2 1 1 z + z= y cos2 y c o' Nghi^m t^ ng qua t: e z= bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o . y y C = ⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε cos2 y 1 ε V^y a . Z = tgy + ln | cos y| + y y . . 1 ε √ ' Va TPTQ cu a phu o ng tr nh: tgy + ln | cos y| + = x y y 1 √ y(0) = π ⇒ ε = 0 v^y TPR : a . tgy + ln | cos y| = x y . . 70) ' Gia i phu o ng tr nh: xydy = (y 2 + x)dx ’ ' . . HD giai: Do y=0 ' kh^ng pha i la nghi^m, chia hai v^ cho o e . e xy bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh 1 . . . v^ dang: e . y − y = y −1 - Bernouilli; Dat . z = y2 d u a phu o ng tr nh v^ dang: e . x 2 z − z = 2 → z = −2x + Cx2 x 2 2 V^y TPTQ: a . y = −2x + Cx . . √ 71) ' Gia i phu o ng tr nh: (y + xy)dx = xdy
www.VNMATH.com 17 - . . . 1 1 1 ’ HD giai: Du a phu o ng tr nh v^ dang e . y − y = √ .y 2 ; x = 0 x x 1 1 √ z = √ phu.o.ng tr 1 - Dat z = y2 : z − nh tuy^ n t e ' nh gia i ra z= x(ln x + C) . 2x x ' 2 V^y nghi^m a . e . t^ ng qua t: y = x(ln x + C) o . . √ 72) ' Gia i phu o ng tr nh: xy − 2x2 y = 4y . . √ 1 ’ HD giai: Phu o ng tr nh Bernouilli, d a t . z = y 1−α = y⇒z = √ 2 y . . 4 phu o ng tr '. nh tro thanh: z − z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2 x . e . o' V^y nghi^m t^ ng qua t: a y = (Cx2 − 1)2 x4 . . . 73) ' Gia i phu o ng tr nh: 2x2 y = y 2 (2xy − y) HD giai: Xem x la ham theo bi^ n y : x y 3 − 2xy 2 = −2x2 Bernouilli ’ e 1 . . 2z 2 - Dat z = . , phu o ng tr '. nh tro thanh: z + = 3 → TPTQ: y 2 = x ln Cy 2 , nghi^m e . x y y ky di y = 0. . . . 74) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr T e . e ' nh: x2 y = y(x + y) ~ thoa ma n d u ki^n d u ' i^ e e . ^ a y(−2) = −4. ’ HD giai: Do y(−2) = −4 n^n y ≡ 0. e - . . . Du a phu o ng tr . . nh v^ phu o ng tr e nh Bernouilli: y2 1 1 y − 1y = 2 . Ti^ p tuc d at z = y −1 d u.a e . . . . phu o ng tr nh v^ PT tuy^ n t e e nh z + z = − 2. x x x . . . . . . . ' NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng: a a z = Cx, bi^ n thi^n h ng s^ d u o c e e a o . 1 . . . 2x - C(x) = Cx − . . ' nh ban d u . Nhu v^y nghi^m cu a phu o ng tr a e a ^ la: y= . Di^u ki^n e e . 2x Cx2 − 1 1 4x d u cho a ^ C = . V^y nghi^m ri^ng c^n t la y = 2 a . e . e a m 2 x −1 . . 75) ' Gia i phu o ng tr nh: y − xy = −xy 3 HD giai: Phu.o.ng ’ tr nh: y − xy = −xy 3 . . la phu o ng tr ' . . nh Bernouilli, gia i ra d u o c . y (1 + Ce−x ) = 1 2 . . 76) ' Gia i phu o ng tr nh: xy + y = y 2 ln x. HD giai: Phu.o.ng ’ tr nh xy + y = y 2 ln x . . la phu o ng tr ' . . nh Bernouilli, gia i ra d u o c . 1 y= . 1 + Cx + ln x . . y √ 77) T ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr e . o nh sau: y −4 =x y x
18 www.VNMATH.com - ^ . . √ . . . ’ HD giai: Day la phu o ng tr nh Bernoulli, b ng ca ch d a t a . z = y ta d u a phu o ng 2 x tr nh v^ dang e z − z= ' va co nghi^m t^ ng qua t la e o . . x 2 1 z = x2 ( ln |x| + C). 2 ' ' . . V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr a . e . o nh la 1 y = x4 ( ln |x| + C)2 . 2 . . y 78) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr T e . o' ' nh sau: y + = y 2 xtgx. x ’ - ^ . . ' HD giai: Day la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la e . o 1 y= . Cx + x ln | cos x| . . 79) ' Gia i phu o ng tr nh: y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0 ∂P ∂Q HD giai: P (x, y) = y 2 , Q(x, y) = 2xy + 3; ’ = = 2y ∂y ∂x (1) ⇔ d(xy 2 + 3y) = 0. V^y a . xy 2 + 3y = C . . 80) ' Gia i phu o ng tr nh: ex (2 + 2x − y 2 )dx − yex dy = 0 ∂P ∂Q . . . . . . . ’ HD giai: = = −2yex suy ra phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i: o d ex (2x − y 2 ) = ∂y ∂x 0. V^y a . ex (2x − y 2 ) = C. . . 3 81) ' Gia i phu o ng tr nh: (y 2 + 1) 2 dx + (y 2 + 3xy 1 + y 2 )dy = 0 3 ∂P ∂Q HD giai: p = (y 2 + 1) 2 ; Q = y 2 + 3xy ’ 1 + y2 ⇒ = = 3y 1 + y2 (∗) ∂y ∂x e o' ' Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a (∗) la: . x y P (x, 0)dx + Q(x, y)dy = C 0 0 y3 3 ⇔ + x(1 + y 2 ) 2 = C 3 . . 82) ' Gia i phu o ng tr nh: (y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx ∂P ∂Q ’ HD giai: = = y sin 2x + cos x ∂y ∂x
www.VNMATH.com 19 NTQ: y x y2 P (x, y0 )dx + Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x − cos2 x = C x0 =0 y0 =0 2 . . 83) ' Gia i phu o ng tr nh: (2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy . . ’ HD giai: Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n: a a x2 + x3 y − y 3 = C . . x (x2 + 1) cos y 84) ' Gia i phu o ng tr nh: ( + 2)dx − dy = 0 sin y 2 sin2 y ∂P ∂Q x cos y ’ HD giai: = =− ∂y ∂x sin2 y TPTQ: x y π x2 (x2 + 1) 1 P (x, )dx + Q(x, y)dy = C ⇔ + 2x − ( − 1) = C 2 2 2 sin y 0 π 2 . . 85) ' Gia i phu o ng tr nh: (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 . . ’ HD giai: Phu o ng tr a a e . o' nh vi ph^n toan ph^ n, nghi^m t^ ng qua t: xy + ex sin y = C. . . 86) ' Gia i phu o ng tr nh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 . . ’ HD giai: Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n: NTQ a a x2 + 2(x sin y − cos y) = C. . . x3 87) ' Gia i phu o ng tr nh: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − )dy y . . ’ HD giai: Phu o ng tr a a e . o' nh vi ph^n toan ph^ n: Nghi^m t^ ng qua t: x3 (1 + ln y) − y 2 = C . . x3 88) T ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh vi ph^n: a 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − )dy y ’ - ^ . . ' HD giai: Day la phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n co t a a ch ph^n t^ ng qua t la: a o x3 (1 + ln y) − y 2 = C . . 89) ~ Ha y t ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 ’ HD giai: PTVPTP co t ' ch ph^n t^ ng qua t: a o x2 + 2(x sin y − cos y) = C
20 www.VNMATH.com . . 90) ~ Ha y t ' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e . o nh: 1 y2 x2 1 − dx + − dy = 0 x (x − y)2 (x − y)2 y x xy ’ HD giai: PTVPTP co t ' ch ph^n t^ ng qua t: a o ln + =C y x−y . . 91) T e . o' ' m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr nh vi ph^n: a (sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0 ’ . . ' HD giai: Phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n co nghi^m t^ ng qua t la a a e . o x sin(xy) = C . . . . 92) ~ Ha y t ' m th a s^ t ch ph^n cu a phu o ng tr u o a nh: (x + y 2 )dx − 2xydy = 0 ' . . o ' suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e nh. . . . . 1 ’ HD giai: u Th a s^ t ' o ch ph^n cu a phu o ng tr a nh la µ(x) = . ' Nh^n hai v^ cu a a e x2 y2 . . . phu o ng tr nh cho th a s^ t u ' o ch ph^n r^ i gia i ra a o x = Ce x . . . 93) ' Gia i phu o ng tr nh: 2xy ln ydx + (x2 + y 2 y 2 + 1)dy = 0 - ^ . . . 1 ’ HD giai: Day la phu o ng tr a a u nh vi ph^n toan ph^ n, th a s^ t o ch ph^n: a µ(y) = nh^n a y . . . . . 1 3 u th a s^ t ' o ch ph^n vao hai v^ cu a phu o ng tr a e ' nh r^i gia i ra d u o c: o . x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0 3 . . 94) m nghi^m cu a phu o ng tr T e . ' nh (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0. tho a d u ' i^ e ki^n y(0) = 1. e . ’ - ^ . . HD giai: Day la phu o ng tr nh vi ph^n toan ph^ n NTQ la: a a x4 + 2x2 y 2 + y 4 = C . ' tho a d i^u ki^n e e . y(0) = 1 khi C = 1. . . 95) T a o' ' m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr nh sau: a) − 2xydy + (y 2 + x2 )dx = 0 . . . 1 - . . . ’ HD giai: Ta t . u m d u o c th a s^ t o ch ph^n a µ(x) = 2 . Du a phu o ng nh d ~ cho v^ tr a e x ' 2 2 . a dang vi ph^n toan ph^ n. Khi d nghi^ m t^ ng qua t a o e . o la x − y = Cx.