Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

636
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN: 1. Một trƣờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai ngƣời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nhƣ trên? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? 3. Có...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN

Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN: 1. Một trƣờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai ngƣời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nhƣ trên? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? 3. Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9? 4. Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau? 5. Từ các sô 0,1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9? HOÁN VỊ. 1. Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 ta lập đƣợc . a. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3? c. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1. d. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ? 2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế? 3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau? 4. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn? 5. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý? CHỈNH HỢP. 1. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?? 3. Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau a. Chia hết cho 5 b. Không chia hết cho 5? 4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẵn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? 5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?? 6, Giải các phƣơng trình và bất phƣơng trình sau: a. Px .Ax + 72 = 6(A·2 + 2Px ) 2 x 3 2 b. Ax + 5Ax £ 21x 10 9 c. Ax + Ax = 9Ax 8 TỔ HỢP. 1. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?? 2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? 3. Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thƣ và 3 bì thƣ và dán 3 tem thƣ lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ thế? 4. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngƣời đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? 1
5. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 6. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau? b. Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá một nam? 7. Có hai đƣờng thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy? 8. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a. sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu? b. Không có đủ ba màu? 9. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?? 10. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?? 11. Đội TNXK của một trƣờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhƣ vậy?? 12. Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Cử 8 em đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em đƣợc chọn. Hỏi có bao nhiêu cách cử nhƣ vậy? 13. (ĐH Y-2000) Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ngƣời cần có cả nam và nữ ,có cả toán và lý .Hỏi có bao nhiêu cách 14. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. 15. Bill Gate có 5 ngƣời bạn thân.Ông muốn mƣòi 5 trong số họ đi chơi xa .Trong 11 ngƣời này có 2 ngƣời không muốn gặp mặt nhau.Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời 16. ĐH-CĐ khối B/2004 : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2? 17. ĐH-CĐ khối B/2005: Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngƣời,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ 18. ĐH-CĐ khối B/2002: Cho đa giác đều A1,A2,....A2n(n  N và n  2) nội tiếp đƣờng tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n đỉnh A1,A2,....A2n.tìm n RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC 1/ Rút gọn các biểu thức sau: 1 2 1 3 1 3 æP P4 P7 ç 8 P9 ÷ö 6 An + An 5 C6 - C8 + C ç ÷ 3 28 65 15 a. A = - ÷ b. B = c.C = P10 çP3P5 P2P7 ø ç è ÷ ÷ 4 An P3A5 3 2/ . Chứng minh : n 1 1 a. = + b. An + k + An + k = k 2An + k c. Pk An + 1An + 3An + 5 = n .k ! An + 5 n+2 n+1 n 2 2 2 5 Pn Pn - 1 Pn - 2 PHƢƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC TỔ HỢP: Giải các PT – BPT – HPT sau: 1.C x + 6C x + 6C x = 9x 2 - 14x 1 2 2 2 ( 2 2. Px Ax + 72 = 6 Ax + 2Px ) 2 2 3. 2Ax + 50 = A2x 7 2 2 4. Ax + C x = 14C x - 3 2 x 1 1 2 3 5.C x + C x + C x = x 3 2 6.C x -1 - C x -1 = A 2 3 x -2 2
1 1 7 7. - = 8. An + C n -2 = 14n 3 n 3 4 2 9. An - 2C n = 3An 1 2 1 Cx Cx + 1 6C x + 4 2 2 1 x 2 6 3 x !- (x - 1) ! 1 10. 2C x + 1 + 3Ax < 30 11. A2x - Ax £ C x + 10 12 . = x Î ¥ *. 2 x (x + 1) ! 6 í 2A y + 5C y = 90 ï í ï 5C y - 2 = 3C y - 1 Pn + 4 15 ï x ï 13. < ï 14. ì y x 15. ï y x ì x Pn .Pn + 2 ï 5A - 2C = 80 Pn - 1 ï x y ïC = C ï x y- 1 ï î x ï î x CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: 1.Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên ,mỗi số có 6 chữ số Và thỏa đk :sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số Đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị 3. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau . 4. Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam .Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để : a) 3 hs nữ ngồi kề nhau b) 2 hs nam ngồi kề nhau 5. Xếp 6 ngƣời A,B,C,D,E,F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao Cho: a)A và F ngồi ở hai đầu ghế b) A và F ngồi cạnh nhau c) A và F không ngồi cạnh nhau 6.Một cuộc họp có 13 ngƣời, lúc ra về mỗi ngƣời đều bắt tay ngƣời khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba ngƣời. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? 7. Từ 9 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? 13. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8? 8. Một đội văn nghệ có 15 ngƣời gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 ngƣời, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ? 9. Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhƣ vậy? 10. Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất? 11. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau? 12. Cho hai đƣờng thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n? Nhị thức Newton Áp dụng công thức khai triển. æ ö10 çx + 1 ÷ 1. Tìm hệ số của số hạng thứ tƣ trong khai triển ç ÷ ÷ ç è x÷ø æ ö40 çx + 1 ÷ 2. Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển ç ÷ ç ÷ ÷ è x2 ø æ ö12 çx + 3 ÷ 3. Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau: ç ÷ ç3 x ø ÷ ÷ è 25 4. Tìm hệ số của x 12y 13 trong khai triển của (2x - 3y ) II. Khai triển với giả thiết có điều kiện. 3
æ 2 1 ön 1/ Biết khai triển çx + ÷ . Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x? ç ÷ ÷ ç è xø÷ æ 2 2÷ön çx - ÷ là 97. Tìm hạng tử của khai triển 2/Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển ç ÷ ç è x÷ ø 4. chứa x æ 1÷ ön 3/ Cho khai triển ççx - ÷ = C 0x n - 1 C 1 x n - 1 + .......(- 1)n 1 C n . Biết hệ số của số hạng thứ ba trong ÷ ç è 3÷ ø n 3 n 3n n khai triển là 5. Tìm số hạng chính giữa?? 2 n n 2 4/ Cho (x 3 + ) = C n (x 3 )n + ........ + C n ( )n . Biết tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số của x2. 0 x2 x2 n 6/ Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2 - 3x ) trong đó n thoả mãn hệ thức sau 1 3 2n + 1 C 2n + 1 + C 2n + 1 + ....... + C 2n + 1 = 1024 æ1 ön 7/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 ç - x 7 ÷ biết n thoả mãn hệ thức trong khai triển ç ÷ çx 4 ÷ ÷ è ø C 2n + 1 + C 2n + 1 + C 2n + 1 + ....... + C 2n + 1 = 220 - 1 . 1 2 3 2n + 1 n 9/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 khi khai triển (2 + x ) biết 3n C n - 3n - 1C n + 3n - 2C n + .... + (- 1)n C n = 2048 . 0 1 2 n n ( 12/.Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức A = 1 - x - 3x 2 ) thành đa thức. Trong đó n là số nguyên 2 ( 2 2 2 2 ) dƣơng thỏa mãn: 2 C 2 + C 3 + C 4 + ... + C n = 3 An + 1 . n 13/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhị Niu tơn của (2 + x ) biết: n 3n C n - 3n - 1C n + 3n - 2C n - 3n - 3C n + ... + (- 1) C n = 2048 0 1 2 3 n III. CHỨNG MINH HOẶC TÍNH TỔNG BIỂU THỨC TỔ HỢP: 16 1/ Khai triển (3x - 1) . Từ đó chứng minh: 316C 16 - 315C 16 + .......... + C 16 = 216 0 1 16 é 0 1 1 1 2 1 nù 2/ Chứng minh rằng: 3n ê n + C n + C C n + .......... + C ú= 4n ê 3 3 n n ú ë 3 3 û 3/ Chứng minh rằng: a. C 2004 + C 2004 + ........ + C 2004 = 21002 0 2 2004 32004 + 1 b. C 2004 + 22C 2004 + 24C 2004 + .......22004C 2004 = 0 2 4 2004 . 2 k 1 6/Chứng minh rằng : C2001  C2001  C2001  C2001 k 1000 1001 ,0  k  2000 7/Chứng minh rằng: C2 nk .C2 n k   C2 n  , k  0, n n n n 2 8/ k và n là hai số tự nhiên sao cho 4  k  n chứng minh rằng: Cn  4Cn 1  6Cn 2  4Cn 3  Cn 4  Cn4 k k k k k k 4