YOMEDIA
ADSENSE
Bài tập về hệ phương trình và lời giải chi tiết
Thêm vào BST
Báo xấu
163
lượt xem 20
download
lượt xem 20
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Sau đây là Bài tập về hệ phương trình và lời giải chi tiết giúp các em học sinh ôn tập và biết cách giải quyết những bài toán dạng hệ phương trình này. Chúc các em học tập hiệu quả.
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
.jpg){kind=small}
Lưu
Nội dung Text: Bài tập về hệ phương trình và lời giải chi tiết
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP HỆ PHƢƠNG TRÌNH Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256 Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm. MỤC LỤC I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 4 III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 6 IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN 8 V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 9 VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I 11 VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II 13 VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 14 IX. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 15 X. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 16 BÀI TẬP TỔNG HỢP (~ 200 Bài) 18 ~1~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP I. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT a 1 x y a 1 1 Ví dụ 1. Cho hệ phương trình: (a là tham số). x a 1 y 2 2 a) Giải hệ phương trình với a 2 . b) Giải và biện luận hệ phương trình. c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên. d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. a) Viết lại hệ phương trình đã cho với a 2 và giải hệ phương trình mới: 5 x 3x y 3 4 x 5 4 x y 2 y 2 x y 2 5 3 4 4 5 3 Vậy với a 2 hệ phương trình có nghiệm x; y ; . 4 4 b) Giải và biện luận: Từ phương trình 1 ta có: y a 1 x a 1 3 thế vào phương trình 2 ta được: x a 1 a 1 x a 1 2 x a 2 1 x a 2 1 2 a 2 x a 2 1 4 a2 1 Nếu a 0 , phương trình 4 có nghiệm duy nhất x . Thay vào 3 ta có: a2 a2 1 a 1 a 2 1 a 2 a 1 a3 a a 2 1 a3 a 2 a 1 y a 1 . 2 a 1 2 . a a2 a2 a a2 1 a 1 Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 . a a Nếu a 0 , phương trình 4 vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm. a2 1 a 1 Vậy: a 0 hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 . a a a 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm. a2 1 a 1 c) Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 . a a ~2~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP a2 1 x a 2 Hệ phương trình có nghiệm nguyên: a . y a 1 a 2 a2 1 1 1 Điều kiện cần: x 2 1 2 2 a 2 U 1 1 a 2 1 a 1 a a a Điều kiện đủ: 1 1 a 1 y 0 (nhận) 1 2 11 a 1 y 2 (nhận) 12 Vậy a 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên. a2 1 a 1 d) Với a 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2 ; 2 . a a a2 1 a 1 a2 a 2 1 2 1 Ta có: x y 2 2 2 1 2 . Đặt t ta được: a a a a a a 1 1 1 2 7 2 1 7 7 x y 2t 2 t 1 2 t 2 t 2 t 2 t 2 2 4 16 4 8 8 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t , khi đó a 4 . 4 7 Vậy a 4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y đạt giá trị nhỏ nhất bằng . 8 x x y y 2015 1 Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: (k là số cho trước). x x y y k 2 Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt x; y a; b ; c; d . Tính tổng a b c d theo k. Giải. Trừ vế theo vế của 1 cho 2 ta có: 2 x 2 y 2015 k 2 x y 2015 k 3 . Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có: 2 x y a b c d 4 . Từ 3 và 4 suy ra: a b c d 2015 k . Vậy a b c d 2015 k . ~3~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG I mx 2 y 1 Bài I.1. Cho hệ phương trình: (m là tham số). 3 x m 1 y 1 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m. b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên. x my m 2 z 0 Bài I.2. Biết x; y; z thỏa mãn hệ phương trình: x ny n 2 z 0 . Trong đó m; n; p đôi một khác nhau. x py p 2 z 0 Chứng minh rằng: x y z 0 . mx y 3 Bài I.3. Cho hệ phương trình: . 2 x my 9 a) Giải hệ phương trình khi m 1 . b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y sao cho biểu thức A 3x y nhận giá trị nguyên. ax by c Bài I.4. Cho hệ phương trình: bx cy a ( a; b; c là tham số). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ của cx ay b hệ phương trình đã cho có nghiệm là: a3 b3 c3 3abc . II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất trong hệ, ta biểu diễn ẩn bậc nhất theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. 2 x y 1 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 2 . x 2 xy y 7 2 Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta dễ dàng thấy được phương trình thứ nhất là phương trình bậc nhất của cả x và y. Tuy nhiên, hệ số của y nhỏ hơn nên ta sẽ rút y theo x để tiện cho việc tính toán. Rồi sau đó thế vào phương trình thứ hai. ~4~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP Giải. 2 x y 1 y 2x 1 y 2x 1 2 2 2 x 2 xy y 7 x 2 x 2 x 1 2 x 1 7 x 4x 2x 4x 4x 1 7 0 2 2 2 2 x 4 x 4 y 2 x 1 y 2x 1 y 2 x 1 y 2. 4 1 y 9 2 x 4 . x 2 x 8 0 x 4 x 2 0 x 2 x 2 x 2 y 2.2 1 y 3 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 4; 9 ; 2;3 . x y 1 x y 1 3x 4 x 1 2 2 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: . xy x 1 x 2 Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy rằng phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất đổi với ẩn y. Theo cách giải của dạng này ta sẽ biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ nhất. Giải. x y 1 x y 1 3x 4 x 1 1 2 2 xy x 1 x 2 2 x2 1 Ta thấy x 0 không thỏa mãn phương trình 2 . Với x 0 , từ phương trình 2 ta có: y 1 thay x vào phương trình 1 ta được: x2 1 x2 1 x2 . . x 3x 4 x 1 x 1 2 x 1 3x 4 x 1 x 1 2 x 1 x 1 3x 1 2 2 2 2 2 2 x x x 1 2 x3 2 x2 x 1 x 1 3x 1 0 x 1 2 x3 2 x 2 4 x 0 2 x x 1 x 2 x 2 0 x 1 2 x x 1 x 2 0 (vì x 0 ). 2 x 2 12 1 Với x 1 thì y 1 1 . 1 2 1 2 5 Với x 2 thì y 1 . 2 2 5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 ; 2; . 2 ~5~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG II xy 12 Bài II.1. Giải hệ phương trình: . x 2 y 2 0 x 2 4 y 2 3x 2 0 Bài II.2. Giải hệ phương trình: . 2 x 3 y 5 x y 1 0 Bài II.3. Giải hệ phương trình: 2 . 2 x xy 3 y 7 x 12 y 1 0 2 x 3y 9 2 Bài II.4. Giải hệ phương trình: 4 . y 4 2 x 3 y 2 48 y 48 x 155 0 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA ĐƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình tích. Sau đó tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Để nhận ra nhanh phương trình có thể đưa về phương trình tích các bạn nên làm nhiều bài tập “phân tích đa thức thành nhân tử” theo chương trình lớp 8 và thêm các bài “phân tích đa thức thành nhân tử có chứa căn thức” theo chương trình lớp 9. Bên cạnh những hệ ta có thể nhận ra ngay phương trình đưa được về phương trình tích ta còn có những bài cần phải biến đổi một vài bước mới có, thông thường sử dụng phương pháp cộng đại số,… xy 2 x y 2 0 Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 2 . x 5 xy y 15 2 Giải. x 1 x 1 2 xy 2 x y 2 0 x 1 y 2 0 1 5.1. y y 15 0 2 2 2 y 2 y 2 x 5 xy y 15 x 5 xy y 15 2 2 2 x 5 xy y 2 15 x 2 5.2.x 22 15 0 ~6~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP x 1 x 1 x 1 y 7 2 y 2 y 5 y 14 0 y 7 y 2 0 . y2 y 2 y 2 x 10 x 11 0 2 x 1 x 11 0 x 1 x 11 Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm x; y 1;7 ; 1; 2 ; 1;2 ; 11;2 . xy x y x 2 y 2 2 Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: . x 2 y y x 1 2 x 2 y Giải. ĐKXĐ: x 1; y 0 . xy x y x 2 y 2 2 x 2 y 2 xy x y y 2 0 x y x y y 1 x y 0 x 2 y y x 1 2x 2 y x 2 y y x 1 2x 2 y x 2 y y x 1 2x 2 y x y x y y 1 0 x y x 2 y 1 0 x 2 y 1 0 (vì x y 0 ) x 2 y y x 1 2 x 2 y x 2 y y x 1 2 x 2 y x 2 y y x 1 2 x 2 y x 2 y 1 x 2 y 1 x 2 y 1 2 y 1 2 y y 2 y 2 2 y 1 2 y 2y y 2y 2y 2 2 y y 1 2 y 1 0 x 2 y 1 x 2 y 1 x 2 y 1 y 1 (vì y 0 ) y 1 2 y 2 0 y 2 y 2 y 2 y 2 (nhận, thỏa mãn ĐKXĐ). x 2.2 1 x 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5; 2 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG III x 2 xy 2 y 2 3x 3 y 0 Bài III.1. Giải hệ phương trình: 2 . 2 x 15 xy 4 y 12 x 45 y 24 0 2 x 5x y 3 Bài III.2. Giải hệ phương trình: 3 . y 5 y x ~7~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP x 2 y 2 x y 18 Bài III.3. Giải hệ phương trình: 2 . x y x y 6 2 2 x 2 x xy y 0 2 Bài III.4. Giải hệ phương trình: 2 . 2 y 2 y xy x 0 x 4 y xy 5 y 1 2 2 Bài III.5. Giải hệ phương trình: 2 . x 3 y xy 4 y 1 2 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH LÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình bậc hai theo một ẩn bằng cách coi ẩn kia là tham số và biểu diễn ẩn theo tham số rồi sau đó thế vào phương trình còn lại. xy x y x 2 y 2 2 Ví dụ 7 (Cách làm khác của Ví dụ 6). Giải hệ phương trình: . x 2 y y x 1 2x 2 y Giải. ĐKXĐ: x 1; y 0 . Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn x tham số y sau: x2 y 1 x 2 y 2 y 0 1 . y 1 4. 2 y 2 y y 2 2 y 1 8 y 2 4 y 9 y 2 6 y 1 3 y 1 0 y 0 3 y 1 . 2 2 y 1 3y 1 4 y 2 x1 2 y 1 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt: 2.1 2 . x y 1 3 y 1 2 y y 2 2.1 2 Với x 2 y 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 2 y 1 2 y y 2 y 2 2 y 1 2 y 2 y y 2 y 2 y 2 2 y y 1 2 y 1 0 y 1 y 1 2y 2 0 y 2 y 2 (vì y 0 ) x 2.2 1 5 (thỏa mãn x 1) Với x y x y 0 , không tồn tại điều này vì x 1; y 0 x y 1 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 5; 2 . ~8~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IV y 5 x 4 4 x 2 Bài IV.1. Giải hệ phương trình: . y 5 x 4 xy 16 x 8 y 16 0 2 2 x x y y 2 4 x 1 Bài IV.2. Giải hệ phương trình: . 2 2 x x y 2 y 7 x 2 x y x y 1 0 2 Bài IV.3. Giải hệ phương trình: 2 . x 1 x y 2 y 0 V. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Với dạng này ta cần tìm được lượng thích hợp để đặt ẩn phụ (phát hiện ẩn phụ), ẩn phụ có thể thấy ngay hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi, thông thường sẽ là biến đổi hằng đẳng thức hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. Sau khi đặt ẩn phụ hệ phương trình sẽ đưa về các dạng đã biết cách giải. Lưu ý có những bài đặt ẩn phụ không hoàn toàn! x 2 xy y 2 x 2 y 2 185 Ví dụ 8. Giải hệ phương trình: . x 2 xy y 2 x 2 y 2 65 Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy xuất hiện những lượng chung của hai phương trình là xy và x 2 y 2 , ta nghĩ đến đặt ẩn phụ để đơn giản hệ phương trình đã cho. Giải. a 2 b a 185 a 3 ab 185 a x 2 y 2 0 Đặt . Hệ phương trình đã cho trở thành: 2 3 b xy a b a 65 a ab 65 2a3 250 a 125 3 a 5 a 5 a 5 3 3 3 (nhận, thỏa mãn điều kiện). a ab 185 5 5b 185 5b 60 a ab 185 b 12 x 2 y 2 5 x y 25 xy 12 2 2 Với a 5 và b 12 ta có hệ phương trình: 2 xy 12 2 xy 24 x 2 xy y 1 2 ~9~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP y x 1 y x 1 y x 1 xy 12 xy 12 2 xy 12 x x 1 12 x x 12 0 x 4 x 3 0 x y 1 y x 1 x y 1 x y 1 y x 1 y x 1 y x 1 y x 1 2 x x 1 12 x 4 x 3 0 x x 12 0 2 x 4 x 4 y x 1 y 4 1 y 3 x 3 x 3 x 4 x 3 y 3 1 y 4 (nhận) y x 1 x 4 x 4 y 4 1 y 3 x 4 x 3 x 3 x 3 y 3 1 y 4 Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm x; y 4;3 ; 3; 4 ; 4; 3 ; 3;4 . x 1 y y x 4 y 2 Ví dụ 9. Giải hệ phương trình: 2 . x 1 y x 2 1 Giải. Ta thấy y 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Với y 0 , chia hai vế của hai phương trình của hệ cho y ta được: x2 1 y yx4 x2 1 a 2 . Đặt y ta được hệ phương trình mới theo a và b: x 1 y x 2 1 y x 2 b y a b 2 b 2 a b 2 a b 2 a a 1 a 1 2 . ab 1 a 2 a 1 a 2a 1 0 a 1 0 b 2 1 b 1 2 x2 1 1 x2 1 y y 3 x y 3 x Với a b 1 , ta có hệ phương trình: y 2 y x 2 1 3 x y x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 1 y 3 x y 3 1 y 2 x 1 (nhận) x 2 x 2 x 2 y 3 2 y 5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 1;2 ; 2;5 . ~ 10 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG V x 2 3 y 2 1 10 xy 0 Bài V.1. Giải hệ phương trình: x y 3 . 2 2 0 x 3 y 1 20 xy x 3 y 2 6 Bài V.2. Giải hệ phương trình: 2 . x y 2 3 x 2 y 1 x y x y 1 0 2 Bài V.3. Giải hệ phương trình: 2 . x 1 x y 2 y 0 x xy 3x y 0 2 Bài V.4. Giải hệ phương trình: 4 . x 3 x 2 y 5 x 2 y 2 0 VI. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu mỗi phương trình không đổi khi ta thay đối vai trò x; y. Cách giải tổng quát: Tìm x + y và xy từ hệ phương trình. x y 11 2 2 Ví dụ 10. Giải hệ phương trình: . x xy y 3 4 2 Giải. x 2 y 2 11 x y 2 xy 11 2 . x xy y 3 4 2 x y xy 3 4 2 x y a Đặt I , ta được hệ phương trình mới theo a và b: xy b a 2 2b 11 a 2 2b 11 b 3 4 2 a b 3 4 2 a a b 3 4 2 2a 2b 6 8 2 a 2a 17 8 2 a 2a 1 18 8 2 2 2 b 3 4 2 a b 3 4 2 a b 3 4 2 a b 3 4 2 a 2 a 1 4 2 a 3 2 2 a 1 4 2 a 1 4 2 a 1 4 2 a 5 2 ~ 11 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP a 3 2 a 3 2 b 3 4 2 3 2 b 3 2 . a 5 2 a 5 2 b 3 4 2 5 2 b 8 5 2 a 3 2 x y 3 2 y 3 2 x Với , thay vào I ta được hệ phương trình: b 3 2 xy 3 2 x 3 2 x 3 2 x 3 x 3 y 3 2 x y 3 2 x y 3 2 3 y 2 2 x 3 . x 3 2 x 3 2 0 x 2 x 2 x 2 y 3 y 3 2 2 a 5 2 x y 5 2 Với , thay vào I ta được hệ phương trình: b 8 5 2 xy 8 5 2 y 5 2 x y 5 2 x x 5 2 x 8 5 2 2 x 5 2 x 85 2 0 (loại, x 2 5 2 x 8 5 2 0 ). Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 3; 2 ; 2;3 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VI x 2 y 2 17 Bài VI.1. Giải hệ phương trình: . x xy y 9 x y xy 15 2 2 Bài VI.2. Giải hệ phương trình: . 6 x y 3xy x xy y 7 2 2 Bài VI.3. Giải hệ phương trình: 3 . x y 3 3 x y x xy y 4 2 2 Bài VI.4. Giải hệ phương trình: 4 . x x y y 8 2 2 4 ~ 12 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP VII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu ta đổi vai trò x cho y thì phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại. Cách giải tổng quát: Trừ vế theo vế của hai phương trình để có nhân tử chung là (x – y). x 2 4 x 2 y 5 Ví dụ 11. Giải hệ phương trình: 2 . y 4 y 2 x 5 Nhận xét: Khi đổi vai trò của hai ẩn cho nhau ta thấy phương trình này biến thành phương trình kia. Hệ đã cho là hệ phương trình đối xứng loại II. Giải. x 4 x 2 y 5 2 x 4 x 2 y 5 2 Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ, ta được: 2 x y 2x 2 y 0 x y x y 2 0 2 x 2 4 x 2 y 5 y x y x x 2 4 x 2 y 5 2 2 y x x 6 x 5 0 x 6 x 5 0 x y 0 y 2 x y 2 x x y 2 0 x 2 4 x 2 y 5 y 2 x x 2 4 x 2 2 x 5 0 x 2 2 x 1 0 x 1 0 x 1 x 5 0 x 1 x 5 0 y x yx y 1 . x 5 x 1 0 2 y 2 x x 1 0 y 5 y 2 x Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 1;1 ; 5;5 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VII x3 6 y 13x Bài VII.1. Giải hệ phương trình: 3 . y 6 x 13 y xy x 2 a y 1 Bài VII.2. Cho hệ phương trình: . Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có nghiệm duy nhất. xy y a x 1 2 x y 4 y 8y 2 3 2 Bài VII.3. Giải hệ phương trình: 2 . y x 3 4 x 2 8 x ~ 13 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP VIII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ax 2 bxy cy 2 d Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng 2 . a ' x b ' xy c ' y 2 d ' Có hai cách giải tổng quát cho dạng này: Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số, sau đó biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Cách 2: Xét xem x 0 có là nghiệm của hệ hay không. Sau đó xét x 0 , đặt y kx rồi thay vào hai phương trình của hệ, khử ẩn x rồi tìm giá trị của k. Từ đó suy ra x và y. x 2 xy y 2 1 Ví dụ 12. Giải hệ phương trình: 2 . 2 x 3xy 4 y 3 2 Giải. + Cách 1: x xy y 1 2 2 3x 2 3xy 3 y 2 3 x2 y 2 0 x y x y 0 2 2 x 3xy 4 y 3 2 x 3xy 4 y 3 x xy y 1 x xy y 1 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 x y 1 1 y x x x y 0 y x 2 2 2 3 2 2 2 x 1 x xy y 1 x x x 1 1 y x y . x y 0 y x 3 x 2 xy y 2 1 x 2 x 2 x 2 1 x 2 1 1 3 x 3 1 y 3 1 1 1 1 Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm x; y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; . 3 3 3 3 + Cách 2: Ta thấy x 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Xét x 0 , đặt y kx , thay vào hệ phương trình đã cho ta được hệ phương trình mới theo x và k là: x kx k x 1 * 1 k k 2 2 2 2 2 1 2 3 3k 3k 2 2 3k 4k 2 0 k 2 1 k 1 . 2 x 3kx 4k x 3 2 3k 4k 2 3 2 2 2 1 1 1 Với k 1 , thay vào * ta được: x 2 x 2 x 2 1 x 2 x y . 3 3 3 Với k 1 , thay vào * ta được: x2 x2 x2 1 x2 1 x 1 y 1 . ~ 14 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP 1 1 1 1 Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm x; y 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; . 3 3 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VIII x 2 xy 3 y 0 2 2 Bài VIII.1. Giải hệ phương trình: 2 . 2 x 13 xy 15 y 2 0 3x 2 5 xy 4 y 2 38 Bài VIII.2. Giải hệ phương trình: 2 . 5 x 9 xy 3 y 15 2 x 4 xy y 1 2 2 Bài VIII.3. Giải hệ phương trình: 2 . x 3 xy 4 IX. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với dạng này ta cần lưu ý, phát hiện các biểu thức âm hoặc dương trong hệ và cần nắm vững cách vận dụng các bất thức cơ bản như Bất đẳng thức Cauchy, Bất đẳng thức Bunyakovsky. x 12 y y 12 x 2 12 1 Ví dụ 13 [ĐH – A – 2014] Giải hệ phương trình: . x 8 x 1 2 y 2 3 2 Giải. ĐKXĐ: 2 3 x 2 3; 2 y 12 . + Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy. x 2 12 y y 12 x 2 Ta có: x 12 y và y 12 x 2 . 2 2 x 2 12 y y 12 x 2 x 0 Nên: x 12 y y 12 x 2 12 . Do đó: 1 . y 12 x 2 2 2 + Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky. x 0 Ta có: x 12 y y 12 x 2 x 2 12 x 2 12 y y 12 . Do đó: 1 . y 12 x 2 Thay vào phương trình 2 ta được x3 8x 1 2 10 x 2 x3 8 x 3 2 1 10 x 2 0 2 x 3 2 x 3 x 3 x 2 3 x 1 x 3 0 (vì x 0 nên x 2 3x 1 0 ). 1 10 x 2 1 10 x 2 ~ 15 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP Với x 3 y 3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x; y 3;3 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IX 2 xy x 3 2 x2 y x 2x 9 Bài IX.1. Giải hệ phương trình: . y 2 xy y x 2 3 y2 2 y 9 y x 3x 4 3 Bài IX.2. Giải hệ phương trình: . x 2 y 6 y 2 3 2 x 2 y xy 3 Bài IX.3. Giải hệ phương trình: . 3x 1 3 y 1 4 xy 1 y y Bài IX.4. Giải hệ phương trình: . 2 xy y y 1 X. MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC xy 12 Ví dụ 14. Giải hệ phương trình: xz 15 . yz 20 Giải. Dễ thấy x 0; y 0; z 0 . Nhân theo từng vế với ba phương trình của hệ, ta được: x2 y 2 z 2 3600 , suy ra xyz 60 1 . Chia từng vế của phương trình 1 cho lần lượt từng phương trình của hệ đã cho được: z 5; y 4; x 3 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y; z 3;4;5 ; 3; 4; 5 . 2 x y 1 Ví dụ 15. Giải hệ phương trình: . 4 x y 2 xy z 3 2 ~ 16 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP Giải. Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta có: y 2 x 1 . Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 x 2 x 1 2 x 2 x 1 z 2 3 4 x 2 8x 4 z 2 0 4 x 1 0 x 1 2 4 x 2 z 0 y 1 2 2 z 2 0 z 0 Vậy hệ phương trình đã cho nghiệm duy nhất x; y; z 1;1; 0 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG X x 2 xy xz 48 Bài X.1. Giải hệ phương trình: xy y 2 yz 12 . xz yz z 2 84 x y z 5 Bài X.2. Giải hệ phương trình: y x z 8 . z x y 9 x y 5z Bài X.3. Giải hệ phương trình: x 2 y 2 13z . x3 y 3 35 z 2 x y xy Bài X.4. Giải hệ phương trình: xy yz zx 108 . xyz 180 x y z 13 Bài X.5. Giải hệ phương trình: x 2 y 2 z 2 91 . y 2 xz x y z 2 Bài X.6. Giải hệ phương trình: x 2 y 2 z 2 6 . x3 y 3 z 3 8 ~ 17 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP x2 4 y 7 0 Bài X.7. Giải hệ phương trình: y 2 6 z 14 0 . z2 2x 7 0 BÀI TẬP TỔNG HỢP x3 x x 2 y y 1. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2011] Giải hệ phương trình: . 2 x 4 1 5 x y 2 0 2 x y xy y 5 x 2 0 2 2 2. [Chuyên Hƣng Yên, 2012] Giải hệ phương trình: 2 . x y x y 4 0 2 4 1 2 x y 3x y 2 3. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2012] Giải hệ phương trình: . 4 x 12 y 7 2 x y 3x y x 4 y 5 2 2 4. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2012] Giải hệ phương trình: . x 2 y 5 4 xy 27 x 3 y 2 2 5. [Chuyên Bắc Ninh, 2012] Giải hệ phương trình: 2 . 9 y 8 x 8 xy x y 3 6. [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2012] Giải hệ phương trình: 1 1 2. x 2x y 2 y 3 2 2 7. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2013] x x 2 2012 y y 2 2012 2012 Giải hệ phương trình: . x 2 z 2 4 y z 8 0 x 2 x y 8. [Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2013] Giải hệ phương trình: 2 . y y x ~ 18 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP x 1 y 1 2 9. [Chuyên Lý Tự Trọng, Nghệ An, 2013] Giải hệ phương trình: 1 1 . x y 1 x xy 4 x 6 2 10. [Chuyên Quảng Nam, 2013] Giải hệ phương trình: 2 . y xy 1 x2 2 y 3 y 2 4x 11. [Chuyên Bình Phƣớc, 2013] Giải hệ phương trình: 2 . x y 5 2 x 2 y xy 2 y x 0 2 2 12. [Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định, 2013] Giải hệ phương trình: 2 . x y 2 6 x 12 0 x xy x y 4 2 13. [Chuyên Hùng Vƣơng, Bình Dƣơng, 2013] Giải hệ phương trình: . x 11 xy 4 x 1 y 1 17 xy 1 2 2 14. [Chuyên Quảng Trị, 2013] Giải hệ phương trình: . 3 xy x y 1 3x 2 2 y 1 2 z x 2 15. [Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP.HCM, 2014] Giải hệ phương trình: 3 y 2 2 z 1 2 x y 2 . 2 3z 2 x 1 2 y x 2 2 x xy y 3 y 2 2 2 16. [Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình: 2 . x y 2 3 5 x y 2 251 2 2 2 xy x y 2 5 17. [Chuyên Bắc Giang, 2014] Giải hệ phương trình: . x 2 2 xy y 2 1 5 x y x y xy 3x 2 y 6 18. [Chuyên Lƣơng Văn Chánh, Phú Yên, 2014] Giải hệ phương trình: 2 . x y 2 x 4 y 53 2 ~ 19 ~
- onthicunghocsinhCSP@gmail.com www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP x 2 y m 19. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2014] Cho hệ phương trình: . 2 x y m 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y sao cho x; y là độ dài cách cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. x 2 y 2 5 20. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2014] Giải hệ phương trình: . xy x y 6 2 2 1 4 3x y 2 x y 2 21. [Chuyên Lào Cai, 2014] Giải hệ phương trình: . 12 y 4 x 7 2 x y 3x y 3x 7 1 y x 3 22. [Dự bị Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình: . y 4 x 2 4 3x 7 1 2 x y 2 m 23. [Chuyên An Giang, 2014] Cho hệ phương trình: . 3x 4 y 8 7m 2 x 2 xy 3 y 2 2 y 4 0 24. [Chuyên TP.Hà Nội, 2014] Giải hệ phương trình: 2 . 3x 5 y 4 x 12 0 2 5 x 2 y 3 y 2 2 25. [Chuyên Khánh Hòa, 2014] Giải hệ phương trình: . 6 x 4 y 1 x y 1 2 x 2 y 1 3 x 2 y 2 x y 2 1 26. [Chuyên Bắc Ninh, 2014] Giải hệ phương trình: 2 y z 2 1 2 z x 2 1 xy x y 1 27. [Chuyên Vĩnh Phúc, 2014] Giải hệ phương trình: yz y z 5 . zx z x 2 x2 y 2 2 y 4 28. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2014] Giải hệ phương trình: . 2 x y xy 4 ~ 20 ~
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
257 Bài tập về hệ phương trình năm 2014 - Kèm hướng dẫn giải
151 p | 
686
| 
229
-
Giáo trình toán học - hệ phương trình chứa căn thức - mũ và lôgarit
1 p | 952
| 176
-
Tổng hợp các phương pháp giải bài tập Toán học Phương trình và hệ phương trình - Nguyễn Văn Huy
382 p | 673
| 144
-
Ôn thi Đại học - Chuyên đề: Hệ phương trình (Đặng Thanh Nam)
112 p | 378
| 69
-
Tài liệu về hệ phương trình - Hồ Văn Diền
51 p | 178
| 45
-
Tài liệu ôn thi Toán học - 50 bài tập hệ phương trình
8 p | 379
| 44
-
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
8 p | 278
| 40
-
Một số bài toán về hệ phương trình – THCS Thái Thịnh
13 p | 239
| 34
-
Luyện thi Đại học - Chuyên đề: Điều kiện để phương trình có nghiệm, hệ phương trình có nghiệm (Đặng Thanh Nam)
39 p | 151
| 24
-
Các phương pháp giải hệ phương trình 2
13 p | 214
| 21
-
41 câu hệ phương trình đặc sắc - GV. Đặng Việt Hùng
9 p | 96
| 11
-
Một số bài tập về hệ phương trình và phương pháp thế
10 p | 108
| 11
-
Chuyên đề 4: Giải hệ phương trình
7 p | 151
| 9
-
Tài liệu ôn thi Toán học: 50 hệ phương trình
8 p | 72
| 8
-
260 hệ phương trình trong các đề thi
95 p | 77
| 4
-
Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
30 p | 92
| 4
-
Chuyên đề Hệ phương trình: Bài 3 - GV. Phạm Tuấn Khải
2 p | 67
| 2
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
