Báo cáo khoa học: "MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đưa ra một phương pháp tìm nghiệm gần đúng bậc cao của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến có nhiều ứng dụng trong hệ động lực, vật lý, điều khiển, cơ học, ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN"

MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN TS. LÊ HỒNG LAN Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa học Cơ bản Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đưa ra một phương pháp tìm nghiệm gần đúng bậc cao của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến có nhiều ứng dụng trong hệ động lực, vật lý, điều khiển, cơ học, ... Summary: In this paper, the author proposes a method to solve approximately a class of nonlinear differential equations that has many applications in dynamical system, physics, cybernetics, mechanics,… with the high - grade accuracy solution. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vi phân nói chung, không giải được, ngay cả đối với dạng tuyến tính, dạng tiền định hay ngẫu nhiên. Vì vậy việc tìm lời giải gần đúng (tốt nhất có thể) của phương trình, đặc biệt lời giải của các bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn được mô tả bởi phương trình vi CT 2 phân là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, với kết quả phải tiến bộ không ngừng. II. NỘI DUNG Xét hệ phương trình phi tuyến: & + ω 2 x = εf1 ( x, x) + ε 2 f 2 ( x, x) + εσξ (t ) & x (1) & & & Trong đó, ω , σ là các hằng số dương, ε là tham số bé, còn f1 và f là các hàm phi 2 tuyến theo x và x , ξ (t ) là kích động ngẫu nhiên. && Nghiệm của hệ (1) sẽ được tìm bằng cách sử dụng phép biến đổi: ⎧ x = a cos ϕ + εu1 (a, ϕ ) + ε 2 u 2 (a, ϕ ), ⎪ ∂u1 ∂u ⎪ ⎨ x = −aω sin ϕ + ε +ε2 2 , (2) & ∂t ∂t ⎪ ⎪ϕ = ωt + θ ⎩ Phương trình vi phân Ito có dạng:
⎧da = α (a, ϕ )dt + β (a, ϕ )dξ (t ), ⎨ (3) ⎩dθ = μ (a, ϕ )dt + γ (a, ϕ )dξ (t ) với α , β , μ và γ là các hàm cần tìm của a và ϕ . Vi phân (2) theo t bằng cách sử dụng quy tắc vi phân Ito, ta nhận được: ∂u ∂u ⎤ ⎡ dx = ⎢− aω sin ϕ + ε 1 + ε 2 2 + (l1 + l 2 )(a cos ϕ + εu1 + ε 2 u 2 )⎥ dt + ∂t ∂t ⎦ ⎣ + l 3 ( a cos ϕ + εu1 + ε 2 u 2 ) dξ (t ), (4) ⎡ ∂u ⎤ ∂ 2u ∂ 2u2 ∂u dx = ⎢− aω 2 cos ϕ + ε 21 + ε 2 + (l1 + l 2 )(−aω cos ϕ + ε 1 + ε 2 2 )⎥ dt + & ∂t ∂t ⎦ ∂t ∂t 2 ⎣ ∂u1 ∂u + l3 (−aω sin ϕ + ε + ε 2 2 )dξ (t ) (5) ∂t ∂t Ở đây: ∂ ∂ ⎧ ⎪l1 = α ∂a + μ ∂α ⎪ ∂2 ∂2 ∂2 ⎪ 1 1 CT 2 l 2 = β 2 2 + βγ + γ2 ⎨ (6) ∂a∂ϕ 2 ∂α 2 ∂a 2 ⎪ ⎪ ∂ ∂ ⎪l3 = β +γ ∂α ∂a ⎩ Phương trình (1) có thể được xét như hệ sau đây của phương trình vi phân ngẫu nhiên : ⎧ ∂u1 ∂u ⎞ ⎛ ⎪dx = xdt = ⎜ − aω sin ϕ + ε + ε 2 2 ⎟dt & ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎨ (7) ⎪dx = (εf + ε 2 f − ω 2 x)dt + εσdξ (t ) ⎩& 1 2 Từ (4), (5), (7) ta có: ⎧ ⎪(l + l )(a cos ϕ + εu + ε 2 u ) = 0 ⎪1 2 1 2 ⎪ ⎨l3 (a cos ϕ + εu1 + ε u 2 ) = 0 2 ⎪ ⎪(l1 + l 2 )⎛ − aω cos ϕ + ε ∂u1 + ε 2 ∂u 2 ⎞ = εF1 (a, ϕ ) + ε 2 F2 (a, ϕ ) + ε 3 F3 (a, ϕ ) + ε 4 ... ⎜ ⎟ ⎪ ∂t ∂t ⎠ ⎝ ⎩ (8)
Trong đó: ⎛ ∂ 2 u1 ⎞ F1 (a, ϕ ) := f1 (a, ϕ ) − ω 2 ⎜ u1 + ⎟, (9) ⎜ ∂ϕ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ u2 ⎞ 2 F2 (a, ϕ ) := g 2 (a, ϕ ) − ω 2 ⎜ u 2 + ⎟, (10) ⎜ ∂ϕ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂f ∂f ∂u ⎞ g 2 (a, ϕ ) := f 2 (a, ϕ ) + ⎜ 1 u1 + 1 u1ω 1 ⎟ (11) ⎜ ∂x ∂ϕ ⎟ ∂x ⎝ ⎠ & 2 ∂f1 ∂f1 ∂u 2 1 2 ∂ 2 f1 1 ⎛ ∂u1 ⎞ ∂ 2 f 1 F3 (a, ϕ ) = ω + ⎜ω u2 + + u1 ⎟ + ∂x 2 2 ⎜ ∂ϕ ⎟ ∂x 2 ∂x ∂ϕ 2 ∂x ⎝ ⎠& ∂f ∂u ∂u1 ∂ 2 f1 ∂f 2 +ω u1 + 2 ω 1 + (12) ∂ϕ ∂x∂x ∂x ∂x ∂ϕ & & Hàm u1 (a, ϕ ) được xác định bởi phương trình ⎛ ∂ 2 u1 ⎞ f1 (a, ϕ ) − ω 2 ⎜ u1 + ⎟=0 (13) ⎜ ∂ϕ 2 ⎟ ⎝ ⎠ Do đó: 1⎧ ⎫ ∞ 1 f 1 ( a , ϕ ) + 2∑ u1 (a, ϕ ) = [ f1 sin nϕ sin nϕ + f1 cos nϕ cos nϕ ]⎬ (14) 2⎨ ω⎩ n=2 1 − n 2 ⎭ Chuỗi Fourier của g 2 (a, ϕ ) có dạng: g 2 (a, ϕ ) = g 2 (a, ϕ ) + 2 g 2 cos ϕ ) cos ϕ + 2 g 2 sin ϕ ) sin ϕ + CT 2 ∞ + 2∑ [ 2 g 2 cos nϕ cos nϕ + 2 g 2 sin nϕ sin nϕ ] (15) n=2 Hàm u 2 (a, ϕ ) xác định bởi điều kiện: ⎛ ∂ 2u2 ⎞ ∞ 1 ⎟ = g 2 ( a , ϕ ) + 2∑ ω 2 ⎜ u2 + [2 g 2 cos nϕ cos nϕ + 2 g 2 sin nϕ sin nϕ ] (16) ⎜ 2⎟ ∂ϕ ⎠ n=2 1 − n 2 ⎝ Từ (16) suy ra rằng: 1⎧ ⎫ ∞ g 2 (a, ϕ ) + 2∑ [ g 2 cos nϕ cos nϕ + g 2 sin nϕ sin nϕ ]⎬ u 2 ( a, ϕ ) = 2⎨ (17) ω⎩ ⎭ n=2 Như vậy, hàm F2 (a, ϕ ) trong (10) được quy về dạng: F2 (a, ϕ ) = 2 g 2 cos ϕ cos ϕ + 2 g 2 sin ϕ sin ϕ (18) Từ (6) và (8) ta nhận được hệ phương trình với các hàm phải tìm của α , β , μ và γ : ∂u 2 ∂u 2 ⎞ ∂u 2 ∂u 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ cos ϕ + ε 1 + ε ⎟ β + ⎜ − a sin ϕ + ε 1 + ε ⎟γ = 0, (19.1) ⎜ ∂ϕ ⎟ ∂ϕ ∂a ∂a ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
⎛ ∂ 2u2 ⎞ ⎛ ∂ 2u2 ⎞ ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ⎟ β + ⎜ − aω cos ϕ + εω ⎟γ = εσ , (19.2) ⎜ − ω sin ϕ + εω +ε2 + ε 2ω ⎜ ∂ϕ 2 ⎟ ⎜ ∂a∂ϕ ⎟ ∂a∂ϕ ∂ϕ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂u 2 ∂u 2 ⎞ ∂u 2 ∂u 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ cos ϕ + ε 1 + ε ⎟α + ⎜ − a sin ϕ + ε 1 + ε ⎟μ = (19.3) ⎜ ∂ϕ ⎟ ∂ϕ ∂a ∂a ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎡ σ2 ε 2σ 2 σ2 ∂u σ 2 ∂u ∂ 2u cos ϕ (1 + sin 2 ϕ ) + ε 3 ⎢ 2 sin 4 ϕ 1 + sin 2 ϕ . sin 2ϕ 1 − 2 sin 2 ϕ 21 + = ∂ϕ ω 2aω 2 ⎣ aω ∂a 2aω 2 ∂a ∂ 2 u1 ⎤ σ2 cos 2 ϕ (1 + 2 sin 3 ϕ ) + ε 4 ..., + 2⎥ 2a ω ∂ϕ ⎦ 22 ⎛ ∂ 2u2 ⎞ ⎛ 2 ∂ u2 ⎞ ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 2 ⎟α + ⎜ − aω cos ϕ + εω ⎟μ = ⎜ − ω sin ϕ + εω +ε +ε ω 2 (19.4) ⎜ ∂ϕ 2 ⎟ ⎜ ∂a∂ϕ ⎟ ∂a∂ϕ ∂ϕ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎡ σ2 ⎤ ⎡ σ2 σ2 ∂u ∂u =ε2⎢ sin ϕ cos 2 ϕ + F2 (a, ϕ ) ⎥ + ε 3 ⎢ F3 (a, ϕ ) − sin 2ϕ cos ϕ 1 − 2 cos 3 ϕ 1 + ⎣ 2 aω 2aω ∂ϕ ∂a a ω ⎦ ⎣ σ2 σ2 ∂ 2 u1 σ 2 σ2 ∂ 3u1 ∂ 3u1 ∂ 2 u1 cos ϕ sin 2 ϕ + 2 sin 2ϕ cos ϕ sin 2 ϕ − 2 cos 2 ϕ + ε 4 ... − + aω ∂a∂ϕ 2a ω ∂ϕ 2 ω ∂a∂ϕ 2 a ω ∂ϕ 3 Nghiệm của hệ (19) có dạng: ε 2σ 2 σ2 α ( a, ϕ ) = cos ϕ − F2 sin ϕ + 2 ω 2aω 2 ⎧⎡ F ⎤ ∂u σ2 + ⎨⎢ 2 sin ϕ cos ϕ + ( 2 cos ϕ sin 4 ϕ + cos 3 ϕ + 2 sin 2 ϕ cos ϕ ⎥ 1 + ⎩⎣ ω 2 aω ⎦ ∂a 2 CT 2 ⎡ F cos 2 ϕ ⎤ ∂u σ2 + 2 2 sin ϕ cos 2 ϕ (1 + cos ϕ + sin 2 ϕ )⎥ 1 − +⎢ 2 ⎣ aω ⎦ ∂ϕ aω σ ∂ u1 ⎡ σ 2 2 2 − 2 cos ϕ sin 2 ϕ (2 sin 3 ϕ cos ϕ − 3 sin ϕ cos 2 ϕ − 2 sin 3 ϕ cos 2 ϕ ) + 2⎢ ω ∂a ⎣ 2aω 2 ⎤ ∂ u1 ⎡ σ 2 2 F2 sin 2 ϕ ⎥ − ⎢ 2 2 (2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ − 3 cos 3 ϕ − 2 sin 2 ϕ cos ϕ ) − + ω ⎦ ∂a∂ϕ ⎣ 2a ω ⎤ ∂ u1 σ 2 σ2 ∂ 3 u1 ∂ 3u1 2 F2 sin ϕ cos ϕ ⎥ + 2 sin ϕ 2 sin ϕ sin 2ϕ − + + 3 aω ⎦ ∂ϕ ω ∂a ∂ϕ 2aω 2 ∂a∂ϕ 2 2 ∂ 3 u1 F3 sin ϕ ⎫ σ2 sin ϕ cos 2 ϕ ⎬ + ε ..., − + 4 ω⎭ aω ∂ϕ 22 3 σ ⎛ 1 ∂u1 σ ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 1 2 ∂u1 1 sin ϕ + ε 2 ⎜ β ( a, ϕ ) = ε − sin 2 ϕ − sin ϕ − sin 2ϕ + ω ⎜ a ∂ϕ ω ∂a∂ϕ a ∂ϕ 2a ∂ϕ 2 ⎝ ∂u ⎞ 1 + sin 2ϕ 1 ⎟ + ε 3 ..., ∂a ⎠ 2
ε 2 F2 ε 2σ 2 μ (a, ϕ ) = − 2 2 sin 2ϕ − − aω 2a ω ⎧ 3 ⎪ ⎡ F2 sin ϕ ⎤ ∂u σ2 2 − ε ⎨⎢ + 2 2 (2 sin 5 ϕ − 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ − sin ϕ cos 2 ϕ )⎥ 1 + ⎪⎣ aω ⎦ ∂ϕ 2a ω ⎩ ⎡ F sin 2ϕ σ2 σ2 ⎤ ∂u ∂ 2 u1 + 3 3 cos ϕ (sin 4 ϕ + sin 2 ϕ − cos 3 ϕ )⎥ 1 − sin 3 ϕ + +⎢ 2 2 ∂ϕ aω 2 2a ω aω ∂a 2 ⎣ ⎦ ⎡ F sin 2ϕ σ ⎤ ∂ 2 u1 2 + 2 2 cos ϕ (3 sin 3 ϕ + 2 sin 4 ϕ + 2 cos ϕ − 1)⎥ + +⎢ 2 ⎣ 2 aω ⎦ ∂a∂ϕ 2a ω σ2 ε 2σ 2 σ2 ∂ 3 u1 ∂ 3 u1 ∂ 3u cos ϕ sin 2 ϕ 2 1 − 2 2 sin 2ϕ cos ϕ − 3 2 cos 3 ϕ + − aω 2 ∂a ∂ϕ 2a ω ∂a∂ϕ 2 a ω ∂ϕ 3 F 3 cos ϕ ⎫ ⎪ ⎬ + ε ..., +4 aω ⎪ ⎭ σ ⎛ 1 ∂u1 sin 2ϕ ∂ u1 sin 2ϕ ∂u1 cos ϕ ∂ u1 2 2 2 γ (a, ϕ ) = −ε cos ϕ − ε 2σ ⎜ + + +2 − aω ⎝ aω ∂a 2aω ∂a∂ϕ 2a 2ω ∂ϕ a ω ∂ϕ 2 cos 2 ϕ ∂u1 ⎞ ⎟ + ε 3 ..., − (20) aω ∂a ⎟ ⎠ III. KẾT LUẬN CT 2 Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1) có ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán của hệ động lực, điều khiển, vật lý, … Nghiệm nhận được ở đây có độ chính xác cao trong đó có thể nghiên cứu đầy đủ ảnh hưởng của các hàm phi tuyến f1 ( x, x) và f 2 ( x, x) mà với cách giải & & thông thường các tác động này bị bỏ qua. Bài báo được hoàn thành với sự giúp đỡ về chuyên môn và một phần kinh phí của chương trình nghiên cứu khoa học tự nhiên 121.304. Tài liệu tham khảo [1]. Mitropolskii Yu. A., Nguyen Van Dao, Nguyen Dong Anh, Nonlinear oscillations in the systems of arbitrary order. Kiev, 1992. [2]. Nguyen Dong Anh, Extend first order stochastic averaging method for a class of nonlinear systems, V. I. Math., 1993. [3]. R. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise, V.1, Gordon and Breach, New York, 1963. [4]. R. Khasminskii, Averaging principle for the parabolic and elliptic diff .eqs. and Markovian processes with small diffusion, Theory Probability Appl. 9, 1963. [5]. Le Hong Lan, Second order approximate solution in the extended stochastic averaging method. VNU, Journal of Science, Mat. Sci., 2002♦