zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Bất đẳng thức luyện thi đại học

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

366
lượt xem 121
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức luyện thi đại học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức luyện thi đại học

Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . TÌM L I GI I CÁC BÀI TOÁN B T ð NG TH C, GTLN – GTNN NH D ðOÁN D U B NG Lê Anh Dũng (G/v THPT chuyên Huỳnh M n ð t – Kiên Giang) Các em h/s và các b n thân m n, trong các ñ thi TSðH thư ng có m t câu V là câu khó (ñ ch n các cao th võ lâm) câu này nh ng năm g n ñây thư ng cho dư i d ng các bài toán BðT. Và thư ng thì các sĩ t không bi t b t ñ u t ñâu ñ gi i quy t nó. Bài vi t này tôi s truy n ñ t cho các b n m t “tuy t chiêu” võ công ñ c ñáo (ch c n m t chiêu thôi). Sau khi h c ñư c “tuy t chiêu” này các b n s th y các v n ñ tr nên r t ñơn gi n. ð lĩnh h i ñư c “tuy t chiêu” mà tôi t ng h p t vô s các chiêu th c c a các môn phái khác thì trư c tiên các b n ph i n m ñư c m t s “chiêu th c” b n ñã. 1. B t ð ng th c Côsi (các chiêu này xem trong “ð i s 10”) a. B t ð ng th c Cauchy cho 2 s : Cho 2 s a, b ≥ 0 .Khi ñó: a + b ≥ 2 ab . D u ‘=’ x y ra khi a = b. b. B t ð ng th c Cauchy cho 3 s : Cho 3 s a, b, c ≥ 0 . Khi ñó ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c. Nh n d ng: + Tìm nh nh t c a t ng khi bi t tích. + Tìm l n nh t c a tích khi bi t t ng, t ng bình phương. + Ch ng minh t ng l n hơn tích, tích chia t ng (t ng bình phương, . . .) + Dùng nh p các t ng, t ng ngh ch ñ o, . . . thành m t. Các BðT cơ b n liên quan hay dùng : 1. a2 + b2 ≥ 2ab. 2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc .D u ‘=’ khi a = b = c. 1 3. a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 ≥ ab + ac + bc . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c. 3 1 1 1 1 4 4. V i a, b > 0. Ta có : (a + b)( + ) ≥ 4 . D u ‘=’ x y ra khi a = b (hay : + ≥ ) a b a b a+ b 1 1 1 5. V i a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)( + + ) ≥ 9 . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c (hay : a b c 1 1 1 9 + + ≥ ). a b c a+ b+ c Ý nghĩa c a các b t ñ ng th c 4, 5 là cho phép ta nh p các phân s thành m t do ñó r t thu n l i cho vi c xét hàm v i m t n. 2. B t ð ng Th c Bunhiacopxki –BðT Tr Tuy t ð i : Trong chương trình thi ð i H c chúng ta ch ñư c áp d ng BðT Cauchy cho 2 và 3 s không âm và b t ñ ng th c Bunhiacopxki cho 2 c p s . a1 .b1 + a2 .b2 ≤ (a1 + a2 )( b1 + b 2 ) 2 2 2 2 a1 a2 D u ‘=’ x y ra khi = (N u b d u thì c n thêm ≥ 0 n a) b1 b 2 LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 1
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . b. Nh n d ng: + T ng các c p s có tích không ñ i. + T ng bình phương b ng m t s không ñ i. c. ng d ng + Nh p các t ng bình phương thành m t. 3. Kh o sát hàm s Trên ñây là các v n ñ mà ð i H i Anh Hùng thư ng ra ñ ch n cao th . Hi v ng các sĩ t n m ñư c các chiêu th c cơ b n này ñ lĩnh h i cho t t. Khi tìm GTNN, GTLN các em thư ng m c ph i sai l m ph bi n trong vi c tìm giá tr c a bi n t i các ñi m ñ t max, min ñó là : th c hi n liên ti p nhi u bư c ñánh giá nhưng d u ‘=’ t i m i bư c là không như nhau do ñó không có d u ‘=’ ñ x y ra ñ ng th c cu i. Xét bài toán: Tìm GTLN c a f(x) = sin5x + 3 cosx, có b n ñã gi i như sau: Ch c n xét trong x ∈ [0 ; π ].Ta có:sin5x ≤ sinx suy ra : f(x) ≤ sinx + 3 cosx 2 π M t khác : sinx + 3 cosx = 2sin(x + )≤ 2 . 3 V y f(x)max = 2. Nh n xét : bài gi i trên sai (bài gi i ñúng xem dư i) do ñã vư ng sai l m trong tìm d u ‘=’. f(x) không th ñ t giá tr b ng 2 ñư c vì ñ t i BðT cu i chúng ta ñã th c hi n 2 phép bi n ñ i : + l n 1: sin5x ≤ sinx ; d u ‘=’ khi x = 0, π /2. + l n 2: 2sin(x + π / 6 ) ≤ 2 ; d u ‘=’ khi x= π / 6 Như v y, khi th c hi n m i bư c bi n ñ i ta thư ng t ñ t ra câu h i: + Khi th c hi n các bư c bi n ñ i như v y thì li u d u ‘=’ có ñ t ñư c bư c cu i cùng không ? + ðánh giá như th nào ñ có th ñưa v v còn l i ñư c hay không ? M c dù bài toán có th th c hi n liên ti p nhi u bư c bi n ñ i nhưng ñ d u ‘=’ ñ t ñư c thì m i bư c d u ‘=’ cũng ph i gi ng như d u ‘=’ ñ ng th c cu i cùng. V y thì t i sao ta không d ñoán trư c d u ‘=’ c a BðT (ho c giá tr mà t i ñó bi u th c ñ t max, min) r i t ñó m i ñ nh hư ng phương pháp ñánh giá ?. ðây là m t cách phân tích tìm l i gi i mà tôi mu n gi i thi u. ð có hư ng suy nghĩ ñúng chúng ta th c hi n các bư c phân tích sau: I.Phân tích –tìm l i gi i: 1.D ñoán d u ‘=’ c a BðT hay các ñi m mà t i ñó ñ t GTLN, GTNN. 2.T d ñoán d u “=”, k t h p v i các BðT quen thu c d ñoán phép ñánh giá. M i phép ñánh giá ph i ñ m b o nguyên t c “d u ‘=’ x y ra m i bư c này ph i gi ng như d u ‘=’ d ñoán ban ñ u”. ð làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm l i gi i trong m t vài ví d sau: II. Các thí d : LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 2
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . Thí d 1: (ðH 2003-A) Cho x, y, z > 0 th a mãn : x + y + z ≤ 1. Cmr: 1 1 1 P= x2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 x y z Phân tích: B1. D ñoán d u ‘=’: x = y = z = 1/3 B2. ð làm m t d u căn, ta có th suy nghĩ theo 2 hư ng: m t d u căn t ng s h ng ho c nh p d u căn m i s h ng thành m t. 1. N u suy nghĩ theo hư ng m t d u căn t ng s h ng ta dùng BðT Bunhiacopxki: )([?] + [?]) ≥ . . D u 1 1 + x2 + d ng t ng hai bình phương → BðT BCS → ta c n tìm: (x 2 + x2 x2 ‘=’ c a d ñoán ban ñ u là x = 1 và d u ‘=’ c a ñánh giá BðT BCS là 1 / x = ? .Như v y 2 s 3 x ? còn l i c n ñi n s có t l 3 : 1 = 9 : 1. Ta ñư c : (x 2 + 12 )(12 + 9 2 ) ≥ x + 9 . Tương t v i y, z 3 x x 9 9 9 và c ng l i, ta ñư c: P. 82 ≥ + + + x+ y+ z. x y z + V ph i là t ng các phân s quen (BðT Côsi ) 1 1 1 9 81 81 → + + ≥ . (D u ‘=’ v n ñ m b o) → 82 P ≥ x + y + z + = f (t ) = t + x y z x+y+z x+y+z t (v i t = x + y + x (0 < t ≤ 1 ). Kh o sát hàm ta ñư c ñpcm. (T i ñây có em dùng BðT Côsi 81 t+ ≥ 18 không thu ñư c k t qu vì ñã vi ph m nguyên t c d u ‘=’) t 2. N u suy nghĩ theo hư ng nh p các d u căn: + m i d u căn là d ng bình phương → t ng 3 ñ dài c a ba vectơ . 1 1 1 1 + D ñoán d u ‘=’ khi x = y = z = . Khi ñó 3 vectơ u = (x ; ), v = (y ; ) và w= (z ; ) 3 x y z cùng hư ng ñư c t c ñ ng th c sau x y ra ñư c : P = 1 1 1 u + v + w ≥ u + v + w = ( x + y + x) 2 + ( + + ) 2 x y z + T i ñây th c hi n các bư c phân tích như 1. Khi thay d ki n x + y + z ≤ 1 b ng d ki n khác, ch ng h n: x + y + z ≤ 2 thì v ph i bài toán như th nào ? Thí d 2: (DBðH - 2003) Tìm GTNN, GTLN c a : P = sin5x + 3 cosx. Phân tích: Ta th y P ch a m t n x suy nghĩ ñ u tiên c a ta thư ng là dùng ñ o hàm. Th ñ o hàm : f’(x) = 5sin4x.cosx – 3 x LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 3
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . + Chúng ta th y có m t nghi m là sinx = 0 nhưng các nghi m còn l i ta không th tìm ñư c. Như v y hư ng gi i quy t khi ñ o hàm tr c ti p là không kh thi. Nhưng qua ñây cho ta có d ñoán ñư c các ñi m mà t i ñó ñ t NN, LN s là các ñi m làm sinx = 0.(thư ng thì các ñi m ñ t max, min là các ñi m t i h n c a hàm s ) + T ñi u này, khi ta bi n ñ i và s d ng các b t ñ ng th c ñ ñánh giá ph i luôn luôn có d u ‘=’ t i các ñi m làm sinx = 0. + Mu n ñưa v m t n t, ta ñ t t = cosx, nhưng sin5x không chuy n v t ñư c → ñánh giá sin5x ñ h m t b c (sin2x, sin4x, . . . thì ñưa v t = cosx ñư c). Ph i ñánh giá như th nào ñ d u ‘=’có ñư c khi sinx = 0 → sin5x ≤ sin4x → Khi ñó : sin4x = (1 – t2)2 f(x) ≤ g(t) = (1 – t2)2 + 3 t , t ∈[-1 ; 1]. + g’(t) = 3 - 4t(1 – t2) → hàm b c 3 nhưng ta không nh m nghi m ñư c (th b m máy xem có nghi m trong [-1 ; 1] → không có nghi m → g’(t) ch mang d u) ñánh giá g’(t) ñ ch ng minh g’(t) có m t d u → dùng BðT ho c ñ o hàm : + g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = 0 ⇔ t = ±1/ 2 . L p BBT ho c ñ ý r ng g’( ± 1), g’( ± 1 / 2 ) > 0 ⇒ g’(t) > 0, ∀t ∈ [ −1;1] . Suy ra : max g(t) = g(1) (v n ñ m b o d u ‘=’ như trên). Thí d 3: (ðH 2004-A) Cho tam giác không tù ABC, th a mãn ñi u ki n: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính các góc c a tam giác ABC. Phân tích: Bài toán yêu c u tính 3 góc trong khi ñó ch cho m t ñ ng th c ràng bu c như v y ch có cách dùng BðT ñ ñánh giá m t v l n hơn ho c b ng v còn l i. + D ñoán d u ‘=’: B = C = 450 và A = 900. (B, C ñ i x ng nên d ñoán B = C, h s cosB là 2 t ñây d ñoán B = 450 th vào th y th a.) + Ta th c hi n bi n ñ i bi u th c quen thu c : cosB + cosC = 2cos B − C .cos B + C , v i d 2 2 ñoán B = C thì cos B − C = 1, ta có th ñánh giá cosB + cosC ñ chuy n v m t n : cosB + 2 B−C cosC = 2cos .sin A ≤ 2 sin A 2 2 2 + V y : cos2A + 4 2 sin A − 3 ≥ 0 . 2 ðây là bài toán m t n ta có th H1: ð t t = sin A (t ∈ (0 ; 2 ]) chuy n 2 2 f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + 4 2t –1= 8t4 –8t2 +4 2t -1 2 f’(t)=32t3–16t + 4 2 → không gi i ñư c nghi m. (b m máy tìm nghi m t ∈ (0 ; ] th y không 2 2 có nghi m → f’(t) ch có m t d u ) → f”(t) l p BBT suy ra ñư c f’(t) ≥ 0 , ∀t ⇒ f(t) ≤ f ( ) = 3( 2 bài toán thư ng g p l p 12) LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 4
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . H2: ðánh giá cos2A ñ gi m b t b c, có th phân tích theo hư ng : cos2A = 2cos2A – 1.V i d ñoán d u ‘=’ khi A = 900 trên, ta có th ñánh giá cos2A như th nào?ðánh giá :cos2A ≤ cosA (ñ ñ m b o d u ‘=’ x y ra khi A = 900) A + Thu ñư c : cosA + 4 2 sin −3≥ 0 2 A hay: –2sin2 A + 4 2 sin − 4 ≥ 0. 2 2 A A 2 Suy ra: − ( 2 sin − 2) 2 ≥ 0 ⇒ sin = → 2 2 2 Thí d 4: (ðH M ð a Ch t - 99) Gi s A, B, C là 3 góc m t tam giác. Tìm GTNN : 1 1 1 P= + + 2 + cos2A 2 + cos2B 2 − cos2C Phân tích: + D ñoán ñi m ñ t GTNN: th m t s giá tr ñ c bi t và d ñoán A = B (A, B ñ i x ng) A,B 150 300 450 600 P 4 + 2 6/5 4/3 26/15 4+ 3 3 0 0 V y d ñoán A = B= 30 , C = 120 + V i giá tr d ñoán ta ñ ý : 2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và c n ñánh giá ≥ . ði u này trùng v i cách nh p các phân s trongBðT Côsi : 9 +V y:P ≥ = Q 6 + cos2A + cos2B − cos2C + M c tiêu bây gi là ñi ch ng minh: R = cos2A + cos2B – cos2C ≤ 3/2 (giá tr t i ñi m d ñoán, chi u ≤ ñ ñ m b o Q ≥ 6/5) + Bi u th c c a R ch a t ng quen thu c c a tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A + B) = - 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos2C – 1. V y : R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + 1 + T i ñây, có 2 suy nghĩ : 1 1 H1 : Khi A = B = 300 x y ra thì cos(A – B) = 1 và cosC = − = − cos(A − B) . T l này gi ng 2 2 t l phân tích thành bình phương trong bi u th c c a R. 1 Ta th phân tích: R = - 2(cosC + cos(A − B) ) 2 + 1 + 1 cos2(A – B) ≤ 3 . ðây là m c tiêu c n ñi 2 2 2 t i. H2 : ðánh giá R ñưa v m t n. Theo d ñoán thì cos(A – B) = 1 x y ra ñư c. V y ta có ñánh giá quen thu c : cos(A – B) ≤ 1 . N u nhân cosC vào 2 v ta g p sai l m vì chưa bi t d u cosC. Ta tránh b ng cách : LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 5
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . - cos(A – B).cosC ≤ cos(A − B) cosC ≤ cosC (d u ‘=’ ñ t ñư c t i các ñi m d ñoán.). V y : R ≤ -2cos2C + 2 cosC + 1= -( cosC − 1 )2 + 3 ≤ 3 (ho c xét hàm ) 2 2 2 Thí d 5: (ðHSP Hà N i – 99) Cho x, y, z ∈ [0 ; 1]. Ch ng minh r ng : 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Phân tích: + D ñoán d u ‘=’: hai s b ng 1còn 1 s b ng 0 ho c x = y = z = 1. + V i d ñoán trên làm th nào ñ xu t hi n ñư c v trái ? ð làm xu t hi n x2y ta th xét tích : ( 1- x2)(1 - y) ≥ 0 (ñ m b o d u ‘=’ như d ñoán) hay : x2y + 1 – x2 – y ≥ 0 . Th c hi n tương t trên ta có : y2z + 1 – y2 – z ≥ 0 z2x + 1 – z2 – x ≥ 0 + N u c ng 3 v ta g n ñư c bñt c n ch ng minh, ch thay 2(x3 + y3 + z3) b ng t ng : x2 + y2 + z2 + x + y + z. V i gi thi t x, y, z ∈ [0 ; 1] thì ta có th so sánh các lũy th a v i b c khác nhau, do ñó có th so sánh hai t ng trên: x3 ≤ x2 ≤ x ; y3 ≤ y2 ≤ y và z3 ≤ z2 ≤ z. C ng các bñt ta ñư c ñích c n ph i t i. Thí d 6: (ðH- A- 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các s dương th a mãn + + = 4. Ch ng minh r ng x y z 1 1 1 : + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Phân tích: + D ñoán d u ‘=’ x = y = z = ¾ + V i d ñoán ñó thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; m i phân s v ph i bây gi gi ng v ph i c a BðT nh p phân s quen thu c th c th 4 c a chiêu “Côsi”. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ðánh giá: ≤ .( + ); ≤ ( + ); ≤ ( + ) 2x + y + z 4 2x y + z x + 2y + z 4 2y x + z x + y + 2z 4 2z y + x +V id ñoán x = y =z ta có th ñánh giá : 1 ≤ 1 ( 1 + 1 );... c ng các BðT này ta ñư c ñpcm. x+y 4 x y Thí d 7: 1 + x3 + y3 1 + x 3 + z3 1 + y 3 + z3 Cho x, y, z > 0 th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng : + + ≥3 3 xy xz yz Phân tích: + D ñoán d u “=” : x = = = z = 1 + V i d ñoán này thì 1 = x3= y3, m i phân s ta th y ñ u có d ng t n chia tích, ta dùng Côsi ñ ñánh giá t ng ñưa v tích: 1 + x3 + y3 3xy 3 1 + x3 + y3 ≥ 3 3 x 3 y3 = 3xy ⇒ ≥ = xy xy xy LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 6
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . 3 3 1 + y3 + z3 ≥ ; 1 + z3 + x 3 ≥ zy zx 3 3 3 Suy ra : VT ≥ + + xy yz zx + K t h p v i gi thi t và v i d ñoán d u ‘=’thì xy = yz = zx . ði u này trùng v i d u hi u c a BðT Côsi, do ñó dùng BðT Côsi ta ñư c: VT 3 3 3 3 3 3 ( 3 )3 ≥ + + ≥ 33 . . = 33 =3 3 xy yz zx xy yz zx xyz Qua các ví d trên chúng ta th y ñư c t m quan tr ng c a vi c ñánh giá, d ñoán d u ‘=’x y ra các BðT.Ngoài vi c tránh cho ta nh ng sai l m thư ng g p trong quá trình tìm GTNN, GTLN thì vi c d ñoán d u ‘=’còn cho chúng ta ñ nh hư ng ñư c phương pháp ch ng minh(các cách ñánh giá là hoàn toàn t nhiên ch không ph i ‘t trên tr i rơi xu ng’).Xin m i các em v n d ng vào các bài t p sau: III.Bài t p ñ ngh : 1> Tính các góc c a tam giác ABC bi t r ng : 9 a. sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C 4 b. cosA+cosB – cosC= - 7 + 2 sin C + 4 cosA cosB 2 2 2 2 2>Tìm GTNN c a : P = 3sinx + 8cos7x 3> Cho x, y, z > 0. Ch ng minh r ng : 3x + 2y + 4z ≥ xy + 3 yz + 5 zx a b c 3 3 4> Cho a, b, c > 0 th a mãn a2 + b2 + c2 = 1. Ch ng minh: + 2 + 2 ≥ b +c2 2 a +c 2 a +b 2 2  1  1  1  5> Cho tam giác nh n ABC. Ch ng minh: 1 + 1 + 1 +  ≥ 27  cosA  cosB  cosC  6> Cho 3 s x, y, z > 0 sao cho xy + yz + zx = xyz. 2x 2 + y 2 2y 2 + z 2 2z 2 + x 2 Ch ng minh r ng : + + ≥ 3 xy yz zx 7> (ðH – A- 2005) 1 1 1 Cho x, y, z > 0 th a mãn : + + =4. Ch ng minh r ng : x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 8> (ðH – D – 2005) 1 + x3 + y3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 Cho x, y, z > 0 th a : xyz=1. Cmr: + + ≥3 3 xy yz zx Trên ñây cũng ch là m t trong s r t nhi u cách suy nghĩ và dĩ nhiên nó cũng ch gi i quy t ñư c m t vài d ng BðT c th mà thôi. Nhân ñây tôi xin chân thành c m ơn Th.S Nguy n LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 7
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . Qu c Lu n ñã ñóng góp nhi u ý ki n quý báu giúp tôi hoàn thành bài vi t này. R t mong s trao ñ i c a các b n. ð a ch E-mail : rubidragon2005@yahoo.com LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 8
Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 9

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022

304 tài liệu

922 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.