Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Phụ lục

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học dùng trong cơ học chất lỏng 1. Các đạo hμm Thông thờng cách viết g/gx vμ g/gt đợc sử dụng để biểu thị những thay đổi theo không gian vμ thời gian của những tham số liên quan. Xét một biến: z = f(x,y). Một ví dụ của biến nμy lμ độ cao bề mặt của trái đất trên một mặt chuẩn. Mặt phẳng S trong hình 1 lμ một ví dụ khác của hμm số z = f(x,y).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương - Phụ lục

Phô lôc Phô lôc A: C¸c c«ng thøc C¬ b¶n du du øng suÊt trît do nhít:      dz dz ¸p suÊt thñy tÜnh: p = g(h - z), z = chiÒu cao ë trªn ®¸y Lùc thñy tÜnh: F = 1/2g(h-z)2 L u lîng: Q = A u L u lîng ®Æc trng: q = h u §éng lîng trªn ®¬n vÞ bÒ réng ®i qua mÆt c¾t: m  qu Qu §éng lîng ®i qua toµn bé mÆt c¾t ngang: M  u2 p P h¬ng tr×nh Bernoulli däc theo mét ®êng dßng: H e   z  const  2 g g A B¸n kÝnh thñy lùc: R   uR Sè Reynolds: Re = (> 600 ®èi víi dßng ch¶y rèi)  Lùc c¶n: FD = 1/2u02CDA Lùc n©ng: FL = 1/2u02CLA Dßng ch¶y s«ng øng suÊt trît t¹i ®¸y: b = ghib b = gRib 2 u  b  g 2 C  b  u*2 296
vËn tèc trît t¹i ®¸y: u*  ghie u*  gRie u u*  g C ks ku  s * 5 Dßng ch¶y tr¬n thñy lùc:  / u*  ks ku  s *  70 Dßng ch¶y nh¸m thñy lùc:  / u*  ks ku  s *  70 Dßng ch¶y qu¸ ®é: 5   / u*  u* z P h©n bè vËn tèc tæng qu¸t: u z  ln( ) k z0  Mùc vËn tèc kh«ng: z0  0,11  0,33ks u* C«ng thøc Chezy: u  C hie q  Ch hie u = C(Rie )0,5 Q = CA(Rie )0,5 12 R C«ng thøc White-Colebrook hoÆc hÖ sè Chezy: C  18 log( ) ks  3,3 / u* R 1/ 6 C«ng thøc Strickler: C  25( ) ks u Fr   1 (< 1 cho dßng díi ph©n giíi) Sè Froude: gh u A (víi h  Fr  ) bs gh q 2 )1 / 3 §é s©u ph©n giíi: hc  ( g g §é dèc ph©n giíi: ic  C2 q )2 /3 §é s©u c©n b»ng: he  ( C ib 297
dh h 3  he3 ib  P h¬ng tr×nh Belanger: dx h 3  hc3 Q2 ib  dh C 2 AR  b Q 2 dx 1 s 3 gA ( 1 u 1   2 u 2 ) 2 P h¬ng tr×nh Carnot: H L  2g §Ëp trµn ®Ønh réng kh«ng hoµn chØnh: q  mh3 2 g ( H  h3 ) 2 2 m( g )1 / 2 H 3 / 2  1,71mH 3 / 2 §Ëp trµn ®Ønh réng hoµn chØnh: q  3 3 Nh÷ng sãng mÆt dµi 2 VËn tèc lan truyÒn (kh«ng cã ma s¸t): c  gh0 c c ˆ  cos(t  kx)   VËn tèc dßng ch¶y cña sãng tiÕn: u  h0 h0 4l Lres  Bíc sãng céng hëng : víi n = 0, 1, 2, 3… 2n  1 4l Chu kú sãng céng hëng : Tres  víi n = 0, 1, 2, 3… (2n  1) gh0 VËn tèc lan truyÒn sãng lò trong s«ng: c = 1,5 u HÖ sè Coriolis: f = 2sin gh0 B¸n kÝnh Rossby: R  f  VËn tèc lan truyÒn dßng mËt ®é: c  0,5 gh   g z Sè Richardson: Ri   u ( )2 z Nh÷ng sãng mÆt ng¾n Quan hÖ ph©n t¸n:  2  gk tanh kh 298
2h L  L0 tanh( ) L 2h c  c 0 tanh( ) L 2h L gL ( )2  tanh( ) 2 T L k 0 h  gk tanh kh k 0 = 2/g = 2 /L0 c' T T T Tr    c'v 1  v / c' 1  ( v cos  / L' )T 2h L' gL'  v cos  ) 2  ( tanh 2 T L' H ˆ VËn tèc quü ®¹o lín nhÊt t¹i ®¸y: U   2 sinh kh ˆ ˆ U TU  H ˆ   DÞch chuyÓn quü ®¹o lín nhÊt t¹i ®¸y: A  2 sinh kh  2 ˆ A  0,25 W  0,072( ) BÒ dµy líp biªn sãng: ˆ ks A 1 ˆ f wU 2  b ,w  øng suÊt trît t¹i ®¸y trung b×nh thêi gian: 4 1 ˆ f wU 2 ˆ øng suÊt trît lín nhÊt t¹i ®¸y:  b , w  2 ˆ A  0,19 HÖ sè ma s¸t: fw  exp( 6  5,2( ) ks fw,max = 0,3 1 gH 2 N¨ng lîng sãng trªn diÖn tÝch ®¬n vÞ: E  8 Dßng n¨ng lîng sãng: F  cn E  c g E 2kh 1 n (1  ) sinh 2 kh 2 n1 c1 HÖ sè níc n«ng: K s  n2 c 2 299
b1 HÖ sè khóc x¹: K r  b2 sin   const §Þnh luËt Snell: c H §é dèc sãng giíi h¹n: ( )br  0,14 tanh kh L H §é cao sãng giíi h¹n:   br  0,88 h 2 H br 1   H br Sãng rót t¹i ®êng sãng ®æ: h' br   16hbr 16 5 3 H br  H Sãng d©ng t¹i ®êng bê: h'  16 8 VËn tèc dßng ch¶y däc bê: v  1,17 gH br sin  br cos  br Sãng ngÉu nhiªn: H1/10 = 1,8 Hrms 2 Hrms = 1,41 Hrms H1/3 = 1  Hrms = 0,89 Hrms H= 2 2 H rms  0,8 M0, H H1/32 = 16H0,M H1/3 = 4  H i2  1 gH 2 1 E  g rms N 8 8 ˆ U  2 rms u ˆ U 1 / 3  2 u 300
Phô lôc B : To¸n häc dïng trong c¬ häc chÊt láng 1. C¸c ®¹o hµm T h«ng thêng c¸ch viÕt / x vµ /t ®îc sö dông ®Ó biÓu thÞ nh÷ng thay ®æi theo kh«ng gian vµ thêi gian cña nh÷ng tham sè liªn quan. XÐt mét biÕn: z = f(x,y). Mét vÝ dô cña biÕn nµy lµ ®é cao bÒ mÆt cña tr¸i ®Êt trªn mét mÆt chuÈn. MÆt ph¼ng S trong h×nh 1 lµ mét vÝ dô kh¸c cña hµm sè z = f(x,y). H×nh 1. §¹o hµm riªng cña z(x,y), (Geidof, 1978) §¹o hµm riªng cña f(x,y) theo x t¹i ®iÓm (x1, y1) lµ: z  d  f ( x1  x, y1 )  f ( x1 , y1 ) lim     x  0 . x1  dx  x1 x T¬ng tù, ®¹o hµm riªng cña f(x,y) theo y t¹i ®iÓm (x1, y1) lµ: z  d  f ( x1 , y1  y )  f ( x1 , y1 ) lim   dy   y  0 .  y1  y  y1 ¸p dông  cong thay cho d th¼ng chØ ra mét hµm cña hai biÕn hoÆc h¬n. Trong ý nghÜa h×nh häc ®¹o hµm riªng z/x t¹i ®iÓm (x1, y1) b»ng tan 1 (xem h×nh 1). T¬ng tù, z/ y = tan 2 . T am gi¸c CAB trong h×nh 1 ®îc thÊy râ h¬n ë h×nh 2. 301
H×nh 2. §¹o hµm riªng z/x = tan 1 (Geldof, 1978) T rong giíi h¹n x 0, nh÷ng tam gi¸c CAB vµ B*A* B lµ ®ång d¹ng, dÉn ®Õn: BA* BA lim x  0  B* A* CA z1  z * lim  tan  1 x  0 x z  z1 lim x  0 *   tan 1  tan(   )  tan  1 x z  tan  1 . x1 §¹o hµm cña hµm sè z = f(x,y) theo mét híng tuú ý (vÝ dô tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 3, h×nh 3) cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng viÖc xÐt vi ph©n cña z theo híng x vµ y. H×nh 3. §¹o hµm cña z(x,y), (Geldof, 1978) Vi ph©n toµn phÇn cña z gåm hai thµnh phÇn: 302
z x øng víi dÞch chuyÓn trªn kho¶ng c¸ch x, 1. Vi ph©n  x z y øng víi dÞch chuyÓn trªn kho¶ng c¸ch y. 2. Vi ph©n  x z z y  tan  1 . Nh vËy z13  x  y víi x y x Sau khi lÊy giíi h¹n: z z dx  dy dz  y x ®îc gäi lµ vi ph©n toµn phÇn cña z. §¹o hµm cña hµm sè z = f(x,y) theo híng tõ ®iÓm 1 ®Õn ®iÓm 3 b»ng tan3, nh trong h×nh 3. Nã còng ®îc gäi lµ ®¹o hµm theo híng dy/dx = tan1. Gi¸ trÞ cña tan3 cho b»ng: dz tan  3  dx 2  dy 2 tan  3  cos  1 tan  1  sin  1 tan  2 z z vµ tan  2  víi tan  1  . y x Mét trêng hîp ®Æc biÖt lµ ®¹o hµm ®èi lu (còng gäi lµ ®¹o hµm vËt chÊt hoÆc ®¹o hµm thÓ chÊt). Nã biÓu thÞ sù thay ®æi theo thêi gian cña mét tham sè t¹i ®iÓm P mµ mét ngêi quan s¸t chuyÓn ®éng víi vËn tèc vµ híng cña ®iÓm P thÊy ®îc. VÝ dô xÐt nång ®é c¸t c t¹i ®iÓm P trong mét dßng s«ng (c = F(x,y,z,t)). §¹o hµm toµn phÇn theo thêi gian b»ng: dc c c dx c dy c dz     dt t x dt y dt z dt vµ gåm mét ®¹o hµm côc bé theo thêi gian c/t (c thay ®æi theo thêi gian t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh) vµ ba ®¹o hµm theo kh«ng gian. §Þnh nghÜa nh÷ng vËn tèc dÞch chuyÓn cña nång ®é t¹i ®iÓm P lµ u = dx/dt, v = dy/dt vµ w = dz/dt, dÉn ®Õn: c dc c c c  u v w z dt t x y ®îc gäi lµ ®¹o hµm ®èi lu. Mét c«ng cô to¸n häc thêng ®îc øng dông lµ chuçi Taylor. NÕu mét hµm liªn tôc z = f(x,y) cña hai biÕn ®éc lËp x vµ y ®îc biÕt t¹i x = x0 , th× nã cã thÓ xÊp xØ ë vÞ trÝ x = x0+ x kh¸c b»ng chuçi Taylor: 2 f x 2 n f x n f f ( x0  x, y)  f ( x0 , y)  ( ) x 0 x  ( 2 ) x 0  .....  ( n ) x0 x n! 2! x x víi nh÷ng ®¹o hµm cña f(x,y) lÊy t¹i x = x0. §èi víi nh÷ng gi¸ trÞ nhá cña x, c¸c sè 303
h¹ng chøa x2 vµ cao h¬n thêng ®îc bá qua (chuçi Taylor c¾t côt). 2. Nh÷ng ®¹i lîng v« híng vµ vect¬ Mét ®¹i lîng v« híng lµ mét biÕn kh«ng cã híng (khèi lîng, thÓ tÝch, n¨ng lîng). Mét vect¬ lµ mét biÕn cã híng (vËn tèc, lùc, ®éng lîng, gia tèc). Vect¬ a trong mét hÖ täa ®é trùc giao cã thÓ biÓu thÞ nh sau: a  a1 i  a2 j  a3 k víi nh÷ng vect¬ ®¬n vÞ i , j , k vµ nh÷ng ®é dµi h×nh chiÕu a1, a2, a3 (h×nh 4). H×nh 4. Vect¬ trong hÖ täa ®é trùc giao §é lín cña a , ®îc biÓu thÞ b»ng | a |, theo ®ã: a  a12  a 2  a 3 . 2 2 Híng cña a theo cos cña c¸c gãc gi÷a a vµ nh÷ng trôc to¹ ®é. VÝ dô, a1 cos   . a a) TÝch v« híng T Ých v« híng cña hai vect¬ b»ng: a.b  a b cos  víi  = gãc gi÷a a vµ b (0 <  < ). TÝch v« híng cña hai vect¬ lµ mét ®¹i lîng v« híng víi ®é lín phô thuéc vµo híng cña c¸c vect¬ (h×nh 5). 304
Gi¸ trÞ lín nhÊt lµ | a || b | nÕu  = 0. Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -| a || b | nÕu  = . H×nh 5. TÝch v« híng cña hai vect¬ T Ých v« híng còng cã thÓ viÕt nh sau: a.b  (a1 i  a 2 j  a3 k ).(b1 i  b2 j  b3 k )  a1b1  a 2 b2  a3b3 v× i.i  j. j  k .k  1 i. j  j.k  k .i  0 . vµ b) TÝch cã híng T Ých cã híng cña hai vect¬ lµ: a.b  a b sin  e n víi vect¬ ®¬n vÞ e n th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng ®i qua a vµ b ; híng cña e n x¸c ®Þnh theo quy t¾c xo¸y. Nh vËy, tÝch cã híng lµ mét vectÐ cã gi¸ trÞ b»ng diÖn tÝch bÒ mÆt cña a vµ b (h×nh 6). H×nh 6. TÝch vÐc t¬ cña hai vect¬ T Ých cã híng còng cã thÓ viÕt nh sau: axb  (a1 i  a 2 j  a 3 k ) x(b1 i  b2 j  b3 k )  ( a 2 b3  a 3b2 )i  ( a 3b1  a1b3 ) j  (a1b2  a 2 b1 )k ix j   jxi  k j xk   k x j  i v× k x i  i x k  j 305
i xi  j x j  k x k  0 . vµ c) Nh÷ng ®¹o hµm kh«ng gian §¹o hµm kh«ng gian cña mét ®¹i lîng v« híng F cã thÓ biÓu thÞ b»ng mét vect¬, x¸c ®Þnh lµ: F F F F F F gradF  i j k ( , , ). x y z x y z VÐc t¬ gradF gåm ba vect¬ thµnh phÇn theo nh÷ng trôc to¹ ®é trùc giao, víi c¸c gi¸ trÞ b»ng ®¹o hµm kh«ng gian theo híng t¬ng øng. C¸ch viÕt gradF ®«i khi ®îc thay thÕ bëi F. To¸n tö  (nabla) lµ mét to¸n tö vect¬, x¸c ®Þnh nh sau:    i j k.  x y z Nh vËy: F = grad F TÝch v« híng cña to¸n tö  vµ vect¬ vËn tèc v = u i + v j + w k , ph¸t sinh mét biÕn v« híng gäi lµ div cña v (rót ng¾n lµ: div v ). u v w .v  divv    . x y z TÝch vÐc t¬ cña to¸n tö  vµ vect¬ v lµ x v , vµ gäi lµ rot v hoÆc curl v : w v u w v u    xv  ( i j  k ) x(u i  v j  wk )  (  )i  (  ) j  (  )k . x y z y z z x x y C¸c vÝ dô: F = grad F : thÕ dßng ch¶y . v = div v : b¶o toµn thÓ tÝch x v = rot v : d ßng ch¶y quay. d) §¹o hµm ®èi lu §¹o hµm ®èi lu cña biÕn v« híng c lµ: dc c c c c u v w  dt t x y z cã thÓ ®îc biÓu thÞ nh sau: d() ()  ( v. )() .  dt t Nh vËy lµ 306
dc c  ( v. )c .  dt t To¸n tö còng cã thÓ ¸p dông cho vect¬ a . §¹o hµm ®èi lu ®îc cho b»ng: d a a  (v.)a  dt t a     (u  v  w ) a  t x y z a a a a w )  (u v  z y x t 3. Sè phøc vµ vect¬ Mong muèn cña nh÷ng nhµ to¸n häc cã thÓ lÊy c¨n nh÷ng sè ©m lµ nguån gèc cña sè phøc. Euler (1707-1783) ®a ra mét sè i míi (sè 1 ¶o) vµ liªn hÖ nã víi nh÷ng sè thùc b»ng yªu cÇu r»ng: i2 = -1  1 lµ c¨n bËc hai d¬ng cña -1. VÝ dô, biÓu thøc x2 = -1 cã nh÷ng c¨n x1 = i do vËy i  vµ x2 = - i. Mét sè phøc z tuú ý cã d¹ng: z = a + ib trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng sè thùc. Th«ng thêng, a gäi lµ phÇn thùc cña z vµ b lµ phÇn ¶o cña z, viÕt t¾t lµ a = Re(z) vµ b = Im(z). Gi¶ sö z1 = a + bi vµ z2 = c + di, th×: z1 = z2 nÕu a = c vµ b = d z1 + z2 = (a + c) + i(b + d) z1 - z2 = (a - c) + i(b - d) z1z2 = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac - bd) + i(ad + bc) z1 a  ib (ac  bd )  i (bc  ad )   . c2  d 2 z 2 c  id Mét sè phøc cã thÓ vÏ nh mét vect¬ trong mét mÆt ph¼ng gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. PhÇn thùc cña sè phøc ®îc sö dông trªn trôc x n»m ngang vµ phÇn ¶o trªn trôc y th¼ng ®øng (h×nh 7). Nh vËy, trôc hoµnh lµ trôc thùc vµ trôc tung lµ trôc ¶o. §¹i lîng |z| = (a2 + b2)0,5 gäi lµ m« ®un cña vect¬ z. Gãc  lµ ®èi sè cña z. Bëi v× a = r cos  vµ b = r sin , dÉn ®Õn: z = r (cos  + i sin ). 307
H×nh 7. H×nh vÏ vect¬ cña sè phøc T Ých sè vµ th¬ng sè cña hai sè phøc z1 = r1 (cos 1 + i sin 1) vµ z2 = r2 (cos 2 + i sin 2) lµ: z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2) + i sin (1 + 2)]. TÝch sè lµ mét sè phøc míi víi m« ®un|z1 z2| = r1r2 vµ ®èi sè arg (z1 z2) = 1 + 2 = arg z1 + arg z2. z1 r1  [cos (1 - 2) + i sin (1 - 2)]. z 2 r2 Mét hÖ qu¶ cña nã lµ (®èi víi mäi gi¸ trÞ thùc cña n): zn = rn [cos n + i sin n] = rn [cos  + i sin ]n . VÒ mÆt to¸n häc, cã thÓ chøng minh r»ng (b»ng khai triÓn chuçi): cos  + i sin  = ei cos  - i sin  = e-i . T õ ®ã dÉn ®Õn: e i  e  i e i  e  i cos   sin   vµ . 2i 2 308
Phô lôc C: Rèi 1. Më ®Çu HÇu hÕt nh÷ng dßng ch¶y trong tù nhiªn lµ rèi. Mçi ngêi tõng quan s¸t dßng ch¶y trong mét dßng s«ng, ®· thÊy hiÖn tîng c¬ b¶n cña rèi lµ sù t¨ng trëng vµ ph©n huû nh÷ng xo¸y níc xuÊt hiÖn mét c¸ch rÊt kh«ng ®Òu vµ ngÉu nhiªn. Tuy vËy, ®Æc biÖt khã ®Ó ®a ra mét ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c cña rèi. Th«ng thêng, nãi r»ng rèi lµ mét chuyÓn ®éng chÊt láng kh«ng ®Òu, trong ®ã c¸c biÕn cho thÊy sù biÕn ®æi ngÉu nhiªn theo kh«ng gian vµ thêi gian. Nh÷ng ®Æc trng quan träng nhÊt cña rèi lµ: • TÝnh kh«ng theo quy luËt hoÆc tÝnh ngÉu nhiªn, yªu cÇu mét c¸ch tiÕp cËn ngÉu nhiªn, • KhuÕch t¸n g©y ra sù x¸o trén nhanh cña ®éng lîng, nhiÖt vµ khèi lîng, • TÝnh ba chiÒu víi nh÷ng nhiÔu ®éng trong tÊt c¶ c¸c híng, • Tiªu t¸n ®éng n¨ng do t¸c ®éng nhít. 2. Nguån gèc cña rèi T rong dßng ch¶y ph©n tÇng lóc ban ®Çu, rèi ®îc ph¸t sinh bëi c¸c bÊt æn ®Þnh trong dßng ch¶y. Dßng ch¶y ph©n tÇng trong èng trë thµnh rèi khi sè Reynolds ( U D/) vµo kho¶ng 2000, trõ phi rÊt cÈn träng ®Ó tr¸nh ph¸t sinh nh÷ng bÊt æn ®Þnh cã thÓ thóc ®Èy sù h×nh thµnh c¸c xo¸y lín h¬n. Rèi kh«ng thÓ tù nã duy tr× mµ phô thuéc vµo dßng ch¶y bao quanh ®Ó nhËn ®îc n¨ng lîng cho nh÷ng chuyÓn ®éng xo¸y. Mét nguån n¨ng lîng chung cho nh÷ng nhiÔu ®éng rèi lµ sù trît dßng ch¶y trung b×nh. §ã cã thÓ lµ sù trît tù do bëi nh÷ng kh¸c biÖt vËn tèc trong nh÷ng líp chÊt láng, hoÆc cã thÓ lµ sù trît ph¸t sinh t¹i biªn (ma s¸t têng). NÕu rèi xuÊt hiÖn trong m«i trêng kh«ng cã s¶n sinh n¨ng lîng, nã ph©n huû v× nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc sÏ mÊt ®i. 3. C¸c lo¹i rèi P hô thuéc vµo nh÷ng ®iÒu kiÖn h×nh häc, ph©n biÖt nh÷ng lo¹i rèi sau ®©y: - rèi ®ång nhÊt, trong ®ã nh÷ng thuéc tÝnh rèi kh«ng ®æi trong kh«ng gian - rèi ®¼ng híng t¹i ®ã nh÷ng thuéc tÝnh rèi t¹i mét ®iÓm kh«ng ®æi trong tÊt c¶ c¸c híng - rèi tù do, ph¸t sinh bëi nh÷ng chªnh lÖch vËn tèc khi kh«ng cã biªn cè ®Þnh (dßng tia, dßng rÏ sau vËt c¶n, dßng líp x¸o trén, xem h×nh 1) - rèi têng ph¸t sinh bëi sù trît däc têng hoÆc biªn cè ®Þnh (dßng líp biªn,dßng 309
tia däc têng, xem h×nh 1). H×nh 1. C¸c lo¹i dßng ch¶y rèi kh¸c nhau 4. Cêng ®é vµ n¨ng lîng rèi Mét hiÖn tîng tiªu biÓu cña dßng ch¶y rèi lµ ®Æc tÝnh nhiÔu ®éng cña vËn tèc t¹i mét ®iÓm. H×nh 2 cho thÊy sù biÕn thiªn cña vËn tèc tøc thêi theo thêi gian t¹i mét ®iÓm. Reynolds ®Ò xuÊt c¸ch thÓ hiÖn vËn tèc tøc thêi U, V, W nh sau: U = u + u' V=v+v' vµ W= w+ w' trong ®ã: 1 Udt theo híng x T u = vËn tèc trung b×nh thêi gian, x¸c ®Þnh b»ng u' = nhiÔu ®éng vËn tèc tøc thêi theo híng x. Nh÷ng biÕn t¬ng tù cã thÓ x¸c ®Þnh cho c¸c híng y vµ z. H×nh 2. BiÕn thiªn vËn tèc tøc thêi theo thêi gian Cêng ®é rèi t¹i mét ®iÓm lµ sè ®o søc m¹nh hoÆc cêng ®é cña nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc t¹i ®iÓm ®ã vµ x¸c ®Þnh b»ng c¨n bËc hai trung b×nh b×nh ph¬ng rms cña nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc. ¸p dông ®Þnh nghÜa nµy, cêng ®é rèi lµ ®é lÖch chuÈn cña 310
ph©n bè vËn tèc so víi vËn tèc trung b×nh thêi gian. Nh vËy, nh÷ng cêng ®é rèi (ký hiÖu ) theo ba híng lµ:  u  u '2  v  v '2  w  w '2 . Nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc ®îc b×nh ph¬ng, lÊy trung b×nh thêi gian (g¹ch ngang trªn) vµ sau ®ã lÊy c¨n. N¨ng lîng rèi (k) t¹i mét ®iÓm x¸c ®Þnh nh sau:  u2   v2   w 2 u '2  v ' 2  w ' 2 k  . 2 2 Nh÷ng ®o ®¹c trong lßng dÉn hë cho thÊy r»ng u, v vµ w cã cïng bËc nh vËn tèc trît t¹i ®¸y u* . H×nh 3 cho thÊy nh÷ng ph©n bè th¼ng ®øng cña tû sè u/u*, vµ w/u* trong dßng ch¶y tr¬n, nh¸m vµ qu¸ ®é. ¶nh hëng cña ®é nh¸m ®¸y chØ ®¸ng chó ý ®èi víi z/h < 0,2. GÇn s¸t ®¸y, cã thÓ quan s¸t nh÷ng gi¸ trÞ sau: u= (2 – 3)u* w = u*. 5. Nh÷ng quy m« chiÒu dµi rèi Cã thÓ ph©n biÖt nhiÒu quy m« chiÒu dµi cña nh÷ng chuyÓn ®éng rèi. Nh÷ng quy m« chiÒu dµi nµy cã thÓ gi¶i thÝch lµ nh÷ng quy m« chiÒu dµi tiªu biÓu cña nh÷ng xo¸y ph¸t sinh vµ ph©n hñy trong dßng ch¶y rèi. Mét phæ réng cña nh÷ng quy m« chiÒu dµi xo¸y thÓ hiÖn tõ nh÷ng quy m« rÊt nhá víi chuyÓn ®éng chÊt láng ph©n tÇng, cho ®Õn nh÷ng quy m« lín xÊp xØ b»ng ®é s©u níc. Trong dßng ch¶y rèi, nh÷ng xo¸y lín h¬n liªn tôc vì thµnh nh÷ng xo¸y nhá h¬n cho ®Õn khi nh÷ng xo¸y nhá ®Õn møc chuyÓn ®éng chÊt láng trë nªn ph©n tÇng lÇn n÷a, lµm cho n¨ng lîng tiªu t¸n bëi t¸c ®éng nhít (chuyÓn thµnh nhiÖt). Quy m« chiÒu dµi xo¸y nhá nhÊt liªn quan ®Õn tiªu t¸n n¨ng lîng gäi lµ quy m« chiÒu dµi Kolmogorov víi nh÷ng gi¸ trÞ nhá h¬n 1 milimet. §Ó x¸c ®Þnh nhiÒu quy m« chiÒu dµi râ h¬n, cÇn ®a ra hÖ sè t¬ng quan (R), x¸c ®Þnh nh sau: u i' ( A, t )u ô ( B, t   ) ' R A,B ( )   ui ( A) uô ( B) trong ®ã: u’i(A, t) = nhiÔu ®éng vËn tèc theo híng i t¹i ®iÓm A ë thêi gian t u’j(B, t + ) = nhiÔu ®éng vËn tèc theo híng j t¹i ®iÓm B ë thêi gian t +  ui(A) = cêng ®é rèi theo híng i t¹i ®iÓm A uj(B) = cêng ®é rèi theo híng j t¹i ®iÓm B 311
 = chu kú trît. H×nh 3. Cêng ®é rèi vµ øng suÊt trît (Grass, 1971) Mét ®Æc trng cña xo¸y lµ nh÷ng vËn tèc bªn trong xo¸y cã t¬ng quan víi nhau. Quy m« chiÒu dµi cña c¸c xo¸y cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸ch so s¸nh vËn tèc ®ång thêi ( = 0) ë hai ®iÓm A vµ B ë kho¶ng c¸ch x. H·y gi¶ thiÕt mét nhiÔu ®éng vËn tèc u’A theo híng x t¹i ®iÓm A, vµ mét nhiÔu ®éng vËn tèc u’B theo híng y t¹i ®iÓm B. u’A  u’B -------------------------- A x B HÖ sè t¬ng quan RA,B lµ: u 'Au B ' R A, B  u u A B §iÒu ®ã cho thÊy RA,B = 1 ®èi víi x = 0, cã nghÜa lµ hoµn toµn t¬ng quan, vµ RA,B  0 ® èi víi x >> 0, cã nghÜa lµ kh«ng t¬ng quan. H×nh 4 cho thÊy hÖ sè t¬ng quan lµ mét hµm cña x. H×nh d¹ng chÝnh x¸c cña ®êng cong phô thuéc vµo cÊu tróc rèi. Khi cã nh÷ng xo¸y lín h¬n hiÖn h÷u trong dßng ch¶y, ®êng cong sÏ tiÖm cËn trôc hoµnh víi nh÷ng gi¸ trÞ x lín. Mét sè ®o ®èi víi quy m« chiÒu dµi cña nh÷ng xo¸y lín nhÊt, chØ ra 312
mèi t¬ng quan gi÷a nh÷ng vËn tèc xo¸y, lµ quy m« tÝch ph©n (A), x¸c ®Þnh nh sau:  A   Rdx 0 H×nh 4. HÖ sè t¬ng quan Nh÷ng xo¸y víi quy m« chiÒu dµi b»ng quy m« tÝch ph©n chøa kho¶ng 50 % ®éng n¨ng liªn quan ®Õn nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc. Nh÷ng gi¸ trÞ A xÊp xØ b»ng 0.1 ®é s©u níc, A = 0,1 h. VËn tèc xo¸y tiªu biÓu cña nh÷ng xo¸y u thÕ gÇn b»ng cêng ®é rèi vµ kho¶ng 0,1 vËn tèc trung b×nh ®é s©u u = 0,1 u . Dùa vµo ®iÒu nµy, quy m« thêi gian tiªu biÓu liªn quan ®Õn sù tiÕn triÓn mét xo¸y xÊp xØ b»ng T = h/ u , ph¸t sinh nh÷ng gi¸ trÞ tõ 1 tíi 10s ®èi víi nh÷ng lßng dÉn hë. Nh÷ng tÇn sè tiªu biÓu n»m trong ph¹m vi tõ 0,1 ®Õn 1 herz. 6. CÊu tróc cña nh÷ng líp biªn rèi Biªn tr¬n N¨ng suÊt cña ®éng n¨ng rèi ®ãng vai trß c¬ b¶n. N¨ng suÊt tËp trung trong khu vùc gÇn biªn. Ph©n tÝch nh÷ng sè liÖu ®o ®¹c cho thÊy 50% n¨ng suÊt x¶y ra bªn trong 5 % bÒ dµy líp biªn vµ 80% n¨ng suÊt lµ trong 20 % bÒ dµy líp biªn. Nh÷ng nghiªn cøu trùc quan chØ ra r»ng bøc tranh dßng ch¶y gÇn biªn tån t¹i nh mét qu¸ tr×nh tùa tuÇn hoµn, ®îc gäi lµ qu¸ tr×nh bïng ph¸t. Chu tr×nh cã ®Æc tÝnh ®ãng- më vµ ph©n bè ngÉu nhiªn trªn mÆt biªn. Nã cã tÇn sè trung b×nh dÔ x¸c ®Þnh. Qu¸ tr×nh bïng ph¸t cã thÓ m« t¶ nh sù thµnh t¹o cña 3 giai ®o¹n: 1. n©ng chÊt láng ®éng lîng thÊp tõ líp con nhít lªn trªn (xem h×nh 5) 2. t¨ng trëng nhiÔu ®éng cña gãi chÊt láng ®îc n©ng (= bïng ph¸t) vµ pha trµn ®Õn têng cña chÊt láng ®éng lîng cao (= quÐt). H×nh 6 chØ ra nh÷ng ph©n bè vËn tèc tøc thêi tiªu biÓu cho qu¸ tr×nh bïng ph¸t 3. ph¸ vì nh÷ng nhiÔu ®éng, trõ nh÷ng bïng ph¸t ®· râ, thµnh c¸c chuyÓn ®éng ngÉu nhiªn h¬n hoÆc hçn lo¹n h¬n cïng dßng trë l¹i biªn cã vËn tèc nhá. §ã lµ b¾t ®Çu qu¸ tr×nh lµm cho c¸c xo¸y trë nªn nhá h¬n (nh÷ng tÇn sè cao h¬n) vµ dÉn tíi sù ph©n 313
bè l¹i n¨ng lîng trªn c¸c xo¸y vµ cuèi cïng tiªu t¸n ë quy m« xo¸y nhá nhÊt. H×nh 5. ChÊt láng vËn tèc thÊp n©ng lªn tõ líp con nhít (Kim vµ nnk., 1971) H×nh 6. Profil vËn tèc tøc thêi trong qu¸ tr×nh bïng ph¸t (Kim vµ nnk., 1971) Biªn nh¸m T rong trêng hîp nµy chu tr×nh quÐt – bïng ph¸t ®Æc biÖt m·nh liÖt víi viÖc chÊt láng bÞ ®Èy lªn gÇn nh th¼ng ®øng tõ gi÷a nh÷ng khe cña c¸c phÇn tö nh¸m. Trong thêi gian nh÷ng pha trµn, chÊt láng bÞ chËm l¹i chñ yÕu bëi søc c¶n h×nh d¹ng (c¸c ¸p lùc). C¬ chÕ bïng ph¸t ¶nh hëng trªn toµn bé ®é s©u dßng ch¶y nh ®· quan s¸t thÊy lµ do cã sù s«i trªn mÆt tù do cña dßng ch¶y. 7. øng suÊt rèi vµ m« h×nh hãa nã L Êy trung b×nh thêi gian ph¬ng tr×nh Navier-Stokes xuÊt hiÖn nh÷ng sè h¹ng míi cã thÓ gi¶i thÝch nh nh÷ng øng suÊt ph¸p tuyÕn vµ tiÕp tuyÕn (trît). VÝ dô, øng suÊt trît do rèi trong mét dßng ®Òu lµ nh sau: 314
 xz    u ' w' . Nh÷ng øng suÊt rèi bæ sung ®îc gäi lµ øng suÊt Reynolds. H×nh 7. Ph©n bè nhít xo¸y 2 Gi¶ thiÕt u' = w' = 0,1 u , øng suÊt trît do rèi xÊp xØ b»ng  t  0.01 u . Nh÷ng 2  t /    0.01u h / , dÉn ®Õn øng suÊt nhít lµ      u / h . Tû lÖ cña hai øng suÊt lµ  t /    100 ®èi víi u h/  10 000. Nh vËy, hÇu nh trong tÊt c¶ c¸c trêng hîp quan t©m, øng suÊt rèi lín h¬n øng suÊt nhít rÊt nhiÒu. H×nh 3 cho thÊy ph©n bè øng suÊt trît do rèi trong mét dßng ®Òu. VÊn ®Ò khÐp kÝn rèi lµ thÓ hiÖn nh÷ng øng suÊt trît do rèi. Boussinesq (1877) ®a ra kh¸i niÖm ®é nhít rèi () t¬ng tù nh ®é nhít ®éng häc(). Nh vËy, ®èi víi dßng ®Òu: 315