intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
92
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các phép biến đổi cơ bản và nâng cao', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

  1. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác BÀI 5. CÁC PHÉP I BI N S CƠ B N VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯ NG GIÁC I. CÁC D N G TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BI N I CƠ B N • tv n : ∫ Xét tích phân d ng I = R ( sin x,cos x ) dx 1. i bi n s t ng quát: 1− t2 2 dt 2t x ⇒ x = 2 arctg t ;dx = t t = tg ; sin x = ; cos x = 1+ t2 1 + t2 1 + t2 2   2 dt 2 Khi ó: I = R ( sin x,cos x ) dx = R  2t 2 , 1 − t 2  ∫ ∫  1 + t 1 + t  1 + t2 Ta xét 3 tr ư ng h p c bi t thư ng g p sau â y mà có th i bi n s b n g hàm s dư i d u tích phân nh n ư c ơn gi n hơn. cách khác theo sin: R ( −sinx, cosx ) = −R ( sinx, cosx ) 2 . N u R ( sinx, cosx ) l à hàm l i bi n t = c osx. thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép 3 . N u R ( sinx, cosx ) l à hàm l theo cosin: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx ) i bi n t = sinx. thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép 4 . N u R ( sinx, cosx ) t ho i u ki n: R ( −sinx, − cosx ) = R ( sinx, cosx ) mãn i bi n t = tgx. thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép II. CÁC BÀI T P M U MINH H A 1 . D ng 1: i bi n s t ng quát 3sin2x − 2cos2x − 1 ∫ 3cos2x + 4sin2x + 5 dx I= 2 1− t dt 2t t t = tg x ⇒ x = arctg t ; dx = ; sin 2x = ; cos 2x = 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t 3.2t − 2 (1 − t ) − (1 + t ) dt 1 ( t + 6t − 3) dt 2 2 2 2 1 t + 6t − 3 dt ∫ 3 (1 − t 2 ) + 4.2t + 5 (1+ t2 ) ⋅ 1+ t2 ∫ ∫ ⇒ I= = ⋅ = 2 ( t + 2)2 (1 + t 2 ) 2 2 2 t + 4t + 4 1 + t 1 69
  2. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương t 2 + 6t − 3 Ct + D A B = + + , ∀t Gi s ( t + 2 ) (1 + t 2 ) 2 2 1 + t2 t + 2 (t + 2) ⇔ t 2 + 6t − 3 = A ( t + 2 ) (1 + t 2 ) + B (1 + t 2 ) + ( Ct + D ) ( t + 2 ) , ∀t (*) 2 ⇔ t 2 + 6t − 3 = ( A + C) t 3 + ( 2A + B + 4C + D) t 2 + ( A + 4C + 4D) t + ( 2A + B + 4D) Thay t = − 2 vào (*) thì − 11 = 5B ⇒ B = − 11/5 A + C = 0 A + C = 0 A = −34 25    2A + B + 4C + D = 1 2A + 4C + D = 16 5 B = −11 5 (*) ⇔  ⇔ ⇔ A + 4C + 4D = 6 A + 4C + 4D = 6 C = 34 25 2A + B + 4D = −3 2A + 4D = −4 5 D = 12 25    2 t + 6t − 3 1 24t + 12 1 34 dt 11 dt ∫ ∫ ∫ ∫ I= dt = − − + dt 2 ( t + 2 ) (1 + t ) 2 2 25 1 + t 2 25 t + 2 5 ( t + 2 ) 2 12 d ( t ) 12 2 34 dt 11 dt dt ∫ ∫ ∫ ∫ =− − + + 2 2 25 1 + t 2 25 t + 2 5 ( t + 2 ) 25 1 + t 34 11 12 ( 12 ln 1 + t ) + 2 =− ln t + 2 + + arctg t + c 5 ( t + 2 ) 25 25 25 34 11 12 12 ln (1 + tg x ) + 2 =− ln tg x + 2 + + x+c 5 ( tg x + 2 ) 25 25 25 2 . D ng 2: R ( −sinx, cosx ) = −R ( sinx, cosx ) sin2xdx 2 sin x cos xdx ∫ cos ∫ = • J1 = 3 2 cos 3 x + cos 2 x − 2 x − sin x − 1 2 sin x cos x ⇒ R ( − sin x, cos x ) = −R ( sin x, cos x ) R ( sin x, cos x ) = 3 2 cos x + cos x − 2 A Bt + C  −2t dt −2t dt ∫t ∫ ( t − 1) ( t ∫ t t = cos x ⇒ J1 = = = −2  +2  dt + 2t + 2) 3 2  t − 1 t + 2t + 2  2 +t −2 Bt + C t A ⇔ t = A ( t + 2t + 2) + ( Bt + C) ( t − 1) 2 = +2 Ta có: ( t − 1) ( t + 2t + 2) t − 1 t + 2t + 2 2 A + B = 0 A = 1 5   2 ⇔ t = ( A + B ) t + ( 2A − B + C ) t + ( 2A − C ) ⇔ 2A − B + C = 1 ⇔ B = −1 5   2A − C = 0 C = 2 5 1 70
  3. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 21 t−2  1 2t + 2 − 6 2 dt ∫ ∫ ∫ J1 = −  t −1 − 2  dt = − 5 t − 1 + 5 2 dt 5 t + 2t + 2  t + 2t + 2 1 d ( t 2 + 2t + 2 ) 6 2 dt dt ∫ ∫ ∫ =− + − 2 5 ( t + 1) 2 + 1 5 t −1 5 t + 2t + 2 2 1 6 2 = − ln t − 1 + ln t + 2t + 2 − arctg ( t + 1) + c 5 5 5 2 1 6 2 = − ln (1 − cos x ) + ln cos x + 2 cos x + 2 − arctg (1 + cos x ) + c 5 5 5 −d ( cos x ) dx sin x dx dt ∫ ∫ ∫ (1 − cos ∫t = = = • J2 = x ) cos x ( t 2 − 1) 6 sin 2 x cos 6 x 2 6 6 sinxcos x t − ( t − 1) 1 t + t +1 6 6 4 2 t −1 1 1 1 ∫ ∫ dt =  2  dt = ln = − + + 3 + 5 +c t ( t − 1) 6  t −1  t + 1 t 3t 6 2 t 5t 1 − cos x 1 1 1 = ln + + + +c 1 + cos x cos x 3 cos3 x 5 cos5 x 4 sin x cos 2 x sinx + sin3x 2 sin 2 x cos x ∫ ∫ ∫ dx = dx = • J3 = dx 2 cos 2 x − 1 cos2x cos 2 x 2 2 4 cos xd ( cos x )   4t dt 2 dt ∫ ∫ 1 − 2t = ∫  1 − 2t ∫ 1 −t ∫ = = − 2  dt = − 2 dt  2 2 2  2 1 − 2 cos x 2 1 + 2t 1 + 2 cos x 1 1 = − 2t + c = − 2 cos x + c ln ln 1 − 2t 1 − 2 cos x 2 2 π2 π2 π2 4 (1 − cos 2 x ) 4sin 3 x 4 sin 2 x ∫ ∫ ∫ d ( cos x ) sin x dx = − • J4 = dx = 1 + cos x 1 + cos x 1 + cosx 0 0 0 4 (1 − t ) 0 1 2 1 dt = 4 (1 − t ) dt = ( 4t − 2t )0 =4−2=2 ∫ ∫ 2 =− 1+ t 1 0 π2 π2 π2 π2 sin 2 x sin 2 x dx sin x dx sin x dx ∫ ∫ ∫ ∫ dx = = = • J5 = 3 sin x − 4 sin x π 6 3 − 4 sin x π 6 4 cos 2 x − 1 3 2 sin3x π6 π6 π6 32 32 32 d ( cos x ) d ( 2t ) 1 2t − 1 dt 1 1 = ln ( 2 − 3 ) ∫ ∫ ∫ = = = = ln 2 2 2 ( 2t ) − 1 4 2t + 1 4t − 1 2 4 4cos x − 1 0 π2 0 0 1 71
  4. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 3 . D ng 3: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx ) (1 − sin 2 x )4 (1 − t 2 )4 cos 9 x cos8 x ∫ ∫ ∫ ∫ • K1 = d ( sin x ) = dx = cos x dx = dt sin 20 x sin 20 x sin 20 x t 20 1 − 4t 2 + 6t 4 − 4t 6 + t 8 −1 4 6 4 1 ∫ = dt = + − 15 + 13 − 11 + c 20 19 17 t 19t 17t 15t 13t 11t −1 4 6 4 1 = + − + − +c 19 17 15 13 11 19 ( sin x ) 17 ( sin x ) 15 ( sin x ) 13 ( sin x ) 11 ( sin x ) ( cos2 x + cos4 x ) ( cos2 x + cos4 x ) cos 3 x + cos5 x ∫ ∫ ∫ • K2 = d ( sin x ) dx = cos x dx = sin2 x + sin4 x sin2 x + sin4 x sin2 x + sin4 x 2 1 − t 2 + (1 − t 2 ) t 4 − 3t 2 + 2   2 6 ∫ ∫ ∫ = dt = dt =  1 + 2 −  dt (1 + t ) 2 4 1 + t2   2 2 t +t t t 2 2 − 6 arctg ( sin x ) + c =t− − 6 arctg t + c = sin x − t sin x 4 . D ng 4: R ( −sinx, − cosx ) = R ( sinx, cosx ) π6 π6 π6 d ( tg x) 3− 3 dx dx ∫ ∫ cos ∫ π6 • L1 = = = = ln tg x −1 0 = ln cosx ( sinx − cosx ) x ( tg x −1) 2 tg x −1 3 0 0 0 π3 π3 π3 π3 d ( tg x ) dx dx dx ∫ ∫ ∫ ∫ = = = • L2 = 3 4 3 5 3 8 2 3 4 cos x . 4 tg x ( tg x ) 4 sin xcos x tg x cos x π π π π4 4 4 4 π3 1 π3 −3 = 4 ( 3 ) − 1 = 4 ( 8 3 − 1) 14 ∫ ( tg x ) 4 d ( tg x ) = 4 ( tg x ) 4 =   π4 π4 π4 π4 sin 2 xdx cos 4 x sin 2 x dx ∫ cosx ( 2sin ∫ = • L3 = x + 3cos 3 x ) cos x ( 2 sin3 x + 3 cos 3 x ) cos x 4 3 0 0 d ( 3 + 2 tg 3 x ) π4 π4 π4 tg 2 x tg 2 x 1 ⋅ dx = ∫ ∫ ∫ d ( tg x ) = = 3 + 2 tg x cos 2 x 3 3 3 + 2 tg 3 x 6 3 + 2 tg x 0 0 0 π4 1 1 15 ln ( 3 + 2 tg 3 x ) = ( ln 5 − ln 3) = ln = 6 6 63 0 1 72
  5. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác II. BI N I VÀ I BI N NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM S LƯ NG GIÁC dx ∫ ( sinx ) LÀ BI U TH C THU N N H T C A SIN 1. D NG 1: M U S n 2 ) d (tg 2 ) ( 1 + tg 2 x x dx 1 dx dx 2 ∫ ∫ ∫ ∫ = = = • A1 = sin3 x 3 3 6 3 ) ( )( ) (tg 2 ) ( 4 x cos x 8 tg x cos x x 2 sin 2 2 2 2 2x 4x 1 1 + 2 tg 2 + tg 2 1  −1  2 () () x1 d tg x =  + 2 ln tg + tg x  + c ∫ = 3 2 2 2 () () 4 4 22 tg x 2 tg x      2 2 d ( cos x ) d ( cos x ) dx sin x d x Cách 2: A1 = ∫ =∫ = −∫ = −∫ 3 4 2 [(1 + cos x ) (1 − cos x )] 2 (1 − cos 2 x ) sin x sin x 2 2 −1  (1 + cos x ) + (1 − cos x )  1  1 1 ∫ ∫  (1 + cos x ) (1 − cos x )  d ( cos x ) = 4  1 − cos x + 1 + cos x  d ( cos x ) =   4  −1  ( − cos x 1 1 + cos x 1 1 2 ∫ d cos x ) = = + + − ln +c  2 2 2 2sin 2 x 2 1 − cos x 4  (1 − cos x ) (1 + cos x ) 1 − cos x  dx dx dx ∫ sin ∫ ∫ = • A2 = = 5 5 5 10 ) ( )( ) ( x 2 sin x cos x 32 tg x cos x 2 2 2 2 4 1 + tg x ) d ( tg x ) 1( x + 6 tg 4 x + 4 tg 6 x + tg8 x 2 2 1 1 + 4 tg () 2 2 2 2 2 2 d tg x =∫ =∫ 5 5 2 ( tg x ) () 16 16 tg x 2 2 1  −1  2 4 + 6 ln tg + 2 ( tg x ) + ( tg x )  + c 2 x 1 = −  4 2 2 2 ( ) ( tg x ) 16  2 4 4 tg x      2 2 d ( cos x ) d ( cos x ) dx sin x dx ∫ sin ∫ ∫ ∫ Cách 2: A2 = = =− =− 5 6 3 3 (1 − cos2 x ) (1 + cos x ) (1 − cos x ) x sin x   3 3 −1  (1 + cos x ) + (1 − cos x )  1  1 1 ∫ ∫  (1 + cos x ) (1 − cos x )  d ( cos x ) = 8  1 − cos x + 1 + cos x  d ( cos x ) =   8  −1   − cos x 3 d ( cos x ) 1 1 3 ∫ (1 − cos = − + = −A  8  2 (1 − cos x )  4 sin 4 x 4 1 2 2 2 2 (1 + cos x ) x) 2 2   1 73
  6. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 3  − cos x 1 1 + cos x  − cos x − cos x 3cos x 3 1 + cos x = − − ln = + + ln +c  4 4  2 sin x 2 1 − cos x  4 sin x 8sin 2 x 8 1 − cos x 2 4 4 sin x dx dx ∫ ( sinx ) ∫ = • A3 = 2 n +1 2n+1 ) ( 2 sin x cos x 2 2 2n (1 + tg x ) d ( tg x ) 2 dx 1 2 2 =∫ ∫ = 2 n +1 4n+2 2 n +1 2n ( tg x ) ( cos x ) 2 ( tg x ) 2 n +1 2 2 2 2 n 2n C + C tg x + ... + C ( tg x ) + ... + C ( tg x ) 0 1 2 n 2 2n 2 d ( tg x ) 2n 2n 2n 2n 1 2 2 2 2∫ = 2 n +1 2n 2 ( tg x ) 2 1  −C  n −1 n +1 0 2n 2 2n ( tg x ) + ... + C2n ( tg x )  + c C xC n 2n 2n 2n 2n  = − ... − + C ln tg + 2n 2n 2n 2 2 2 2n ( tg x ) 2 ( tg x ) 2 2 2     2 2 dx n ∫ sin ∫ = − (1 + cotg 2 x ) d ( cotg x ) = • A10 = 2n+ 2 x   k n = − C0 + C1 cotg 2 x + ... + Cn ( cotg2 x ) + ... + Cn ( cotg 2 x )  d ( cotg x ) ∫ k n n n 0  1 k n Cn Cn Cn 2k +1 ( cotg x )2n +1  + c 3 = − Cn ( cotg x ) + ( cotg x ) + ... + cotg x + ... +   2k + 1 2n + 1 3 dx ∫ ( cos x ) 2. D N G 2: M U S LÀ BI U TH C THU N N H T C A C OSIN n ) ( d x+ π 2 = du = dx = du du B1 = ∫ cos 3 x ∫ sin 3 x + π ∫ sin 3 u ∫ =∫ ) ( 3 3 6 ) ( )( ) ( 2 sin u cos u 8 tg u cos u 2 2 2 2 2 2 ) d ( tg u ) = 1  −1 (1 + tg 2 u ( )  + c ; (u = x + π ) 2 2 2 + 2 ln tg u + 1 tg u =1∫ 4 3 2 4 22 2 2 tg u )  2 ( tg u ) (2   2 d ( sin x ) d ( sin x ) dx cos x d x Cách 2: B 1 = ∫ =∫ =∫ =∫ cos 3 x cos 4 x (1 − sin 2 x ) 2 [(1 + sin x ) (1 − sin x )] 2 2 2 1  (1 + sin x ) + (1 − sin x )  1  1 1 ∫  (1 + sin x ) (1 − sin x )  d ( sin x ) = 4 ∫  1 − sin x + 1 + sin x  d ( sin x ) =   4  1 74
  7. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 1 ( 1 1 + sin x 1 1 2 sin x ∫  (1 − sin x ) 2 + (1 + sin x ) 2 + 1 − sin 2 ) =  d sin x = 2 cos 2 x + 2 ln 1 − sin x + c  4 x ) ( d x+π dx du du 2 i B 2 = ∫ 2n+1 = ∫ =∫ =∫ ) ( 2 n +1 2 n +1 sin 2 n +1 x + π ) ( ( sin u ) cos x 2 sin u cos u 2 2 2 2n (1 + tg u ) d ( tg u ) 2 du 1 2 2 =∫ ∫ = 2 n +1 4n + 2 2 n +1 2 2n ( ) (cos u ) ( tg u ) 2 2 n +1 tg u 2 2 2 1  −C2n 2n  n− n+1 0 C 2n 1 2n 2 () () u C 2n C 2n tg u tg u n  +c = − ... − + C2n ln tg + + ... + 2 2n  2n 2 2 2 () () 2 2 2n  2n tg u 2 tg u     2 2 dx n = ∫ (1 + tg 2 x ) d ( tg x ) = iB3 = ∫ 2n+ 2 cos x = ∫ C n + C n tg 2 x + ... + C n ( tg 2 x ) + ... + C n ( tg 2 x )  d ( tg x ) k n 0 1 k n   0  C1 k n Cn Cn 2 k +1 ( tg x ) 2 n+1  + c = C n ( tg x ) + n tg 3 x + ... + ( tg x ) + ... +   2k + 1 2n + 1 3 dx ∫ a ( sinx ) C= 3. D N G 3: 2 2 + bsinxcosx + c ( cosx ) dx dx =∫ =∫ •C cos 2 3x ( 5 tg 3x + 2 ) − 21(1 + tg 2 3x )  2 2 ( 5sin3x + 2cos3x ) - 21   d ( tg 3x ) d ( tg 3x ) 2 tg 3x + 5 1 1 1 ∫ 4 tg 2 3x + 20 tg 3x − 17 = 12 ∫ = = +c arc tg 2 ) ( 3 42 6 42 42 tg 3x + 5 + 2 4 dx ∫ a sin x + b cos x + c D= 4. D N G 4: dx dx ∫ 2sinx + 5cosx + 3 = ∫ 4 sin x cos x + 5 • D1 = ( cos x − sin x ) + 3 ( cos x + sin x ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d ( tg x − 1) tg x −1 − 5 −1 dx 2 2 ∫ cos = −∫ = = +c ln 2) ( 2 2 5 tg x − 1 + 5 ( tg 2 ) x 4 tg x + 8 − 2 tg 2 x 2 2 x −1 − ( 5 ) 2 2 2 1 75
  8. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 5. D N G 5: TÍCH PHÂN LIÊN K T cosxdx sin x dx ∫ sinx + cosx . Xét tích phân liên k ∫ sin x + cos x * t v i E1 là: E1 = • E1 =  cos x + sin x ∫ ∫ * E1 + E1 = sin x + cos x dx = dx = x + ( c1 )  Ta có:  E − E* = cos x − sin x dx = d ( sin x + cos x ) = ln sin x + cos x + ( c ) ∫ ∫ 1 1 2  sin x + cos x sin x + cos x E = 1 ( x + ln sin x + cos x ) + c 1 2 Gi i h phươ ng trình suy ra:  E1 = 1 ( x − ln sin x + cos x ) + c *  2 sin3xdx cos 3 x dx ∫ 2cos3x − 5sin3x . Xét tích phân liên k ∫ 2 cos 3x − 5 sin 3x t là: E* = • E2 = 2 Ta có: * 2cos3x − 5sin3x ∫ 2cos3x − 5sin3x dx = ∫dx = x + ( c ) 2E2 − 5E2 = 1   1 d( 2cos3x − 5sin3x) * 5cos3x + 2sin3x ln 2cos3x − 5sin3x ∫ 2cos3x − 5sin3x dx = − 3 ∫ + ( c2 ) 5E2 + 2E2 = =−  2cos3x − 5sin3x 3 Gi i h phươ ng trình suy ra:  2 x −1  2 ln 2 cos 3x − 5sin 3x  E = 1 ⋅ ln 2 cos 3x − 5 sin 3x + c = 29  + 5x  + c  2   29 5 − 3  3   −5 x 1 5 ln 2 cos 3x − 5sin 3x   E* = 1 ⋅ ln 2 cos 3x − 5sin 3x +c=  2x − +c 2  29   29 − 3 2  3 ( cos x)4 ( sin x)4 dx . Xét tích phân liên k t là: E* = ∫ ∫ ( sin x)4 + ( cos x)4 • E3 = dx 3 ( sinx)4 + ( cos x)4 ( sin x ) 4 + ( cos x )4 ∫ ( sin x )4 + ( cos x )4 dx = ∫ dx = x + ( c1 ) (1). M t khác: Ta có: E* + E 3 = 3 ( cos 2 x + sin 2 x ) ( cos 2 x − sin 2 x ) ( cosx )4 − ( sin x )4 ∫ ( sin x )4 + ( cos x )4 dx = ∫ E* − E 3 = dx 3 ( cos 2 x + sin 2 x )2 − 2 cos 2 x sin 2 x 1 76
  9. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác d ( sin 2x ) 2 + sin 2x cos 2x 1 ∫ ∫ ( 2) + c ( 2) = dx = = ln 2 12 2 − sin 2x 22 2 − sin 2x 1 − sin 2x 2 T ( 1) và (2) suy ra: 1 2 + sin 2x  1 2 + sin 2x  1 1 * x −  + c ; E3 =  x + +c E3 = ln ln    2 − sin 2x  2 2 2 − sin 2x   22 22 π2 π2 ( cosx )99 ( sin x )99 ∫ ( sinx ) ∫ ( sin x ) dx . Xét tích phân: E* = • E4 = dx 4 99 99 99 99 + ( cosx ) + ( cos x ) 0 0 π π π − u ⇒ dx = −du. V i x = thì u = 0 và x = 0 thì u = t x= . Ta có: 2 2 2 99 () sin π − u  ( −du) π2 π2 99 0 ( cosu )99 du   ( sinx ) dx   2 ∫ ∫ ∫ * E4 = = = = E4 ( sinx)99 + ( cosx )99 π 2  π 99 99 )99 + ( sinu )99 ( () ()  + cos π − u  0 cosu sin − u 0         2 2 π2 π2 π2 ( sin x )99 + ( cos x )99 π π ∫ dx = ∫ dx = x * * = ⇒ E4 = E4 = Ta có: E 4 + E 4 = 99 99 ( sin x ) + ( cos x ) 2 4 0 0 0 π2 π2 ∫ ∫ ( sin 3x ) ( cos3x ) 2 ( cos6x ) 2 dx . Xét tích phân: E5 = 2 ( cos 6 x )2 dx ∗ • E5 = 0 0 π2 π2 ( cos 3x )2 + ( sin 3x )2  ( cos 6x )2 dx = ∫ ∫ ( cos 6x ) 2 E∗   Ta có: E 5 + = dx 5 0 0 π2 π2 (1 + cos12x ) dx = 1  x + sin12x   π 1 ∫  = = . M t khác: 2 0 2 12 4 0 π2 π2 ( cos 3x )2 − ( sin 3x )2  ( cos 6x )2 dx = ∫ ∫ cos 6x ( cos 6x ) 2 E 5 − E∗ =   dx 5 0 0 π2  )3  π2 ( π 1 1 − ( sin 6x )2  d ( sin 6x ) = 1 sin 6x − sin 6x  ∫ = 0 ⇒ E 6 = E* =   = 6 6 0 6 3 8 0 π2 π2 sinx dx cos x dx ∫ ( sinx + cosx ) ∫ ( sin x + cos x ) * = • E6 = . Xét tích phân: E6 3 3 0 0 1 77
  10. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π2 π2 ( cos x + sin x ) dx dx ∫ ∫ ( sin x + cos x ) E∗ + E6 = = Ta có: 6 3 2 ( sin x + cos x ) 0 0 π2 π2 π2 ) ( −1 dx 1 dx 11 cotg x + π ∫ ∫ sin = = = = + =1 ) ( 2 4 x+ π 2 2 22 ) (  2 sin x + π  2 0 0 0  4 4   π2 π2 ( cos x − sin x ) dx d ( sin x + cos x ) ∫ ∫ M t khác: E∗ − E 6 = = 6 3 ( sin x + cos x )3 ( sin x + cos x ) 0 0 π2 −1 1 = 0 ⇒ E 6 = E* = = 6 2 2 ( sin x + cos x ) 2 0 a sin x + b cos x ∫ m sin x + n cos x dx F= 6. D N G 6: a . Phương pháp: Gi s : a sin x + b cos x = α ( m sin x + n cos x ) + β ( m cos x − n sin x ) , ∀x ⇔ a sin x + b cos x = ( mα − n β ) sin x + ( nα + mβ ) cos x , ∀x  am + bn α = m 2 + n 2  mα − n β = a   ⇔ ⇔ . Khi ó ta có:  nα + m β = b  bm − an   β = m2 + n2  am + bn m sin x + n cos x bm − an m cos x − n sin x ∫ ∫ F= dx + 2 dx 2 2 m + n 2 m sin x + n cos x m + n m sin x + n cos x bm − an d ( m sin x + n cos x ) am + bn ∫ ∫ = dx + 2 2 2 m + n2 m sin x + n cos x m +n am + bn bm − an = x+ 2 ln m sin x + n cos x + c 2 2 m + n2 m +n b. Các bài t p m u minh h a: 1 4sin 2x − 7 cos 2x 1 4sin u − 7 cos u 4sin2x − 7cos2x ∫ 5sin2x + 3cos2x dx = 2 ∫ 5sin 2x + 3cos 2x d ( 2x ) = 2 ∫ 5sin u + 3cos u du • F1 = 4 sin u − 7 cos u = α ( 5 sin u + 3 cos u ) + β ( 5 cos u − 3 sin u ) , ∀u Gi s ⇔ 4 sin u − 7 cos u = ( 5α − 3β ) sin u + ( 3α + 5β ) cos u , ∀u 1 78
  11. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 5α − 3β = 4 α = −1 34   ⇔ ⇔ . Khi ó ta có: 3α + 5β = −7 β = −47 34   1 4 sin u − 7 cos u −1 5sin u + 3 cos u 47 5 cos u − 3sin u ∫ ∫ ∫ F1 = du = du − du 2 5 sin u + 3cos u 68 5sin u + 3 cos u 68 5 sin u + 3cos u 47 d ( 5 sin u + 3cos u ) −1 −1 ∫ ∫ = ( u + 47 ln 5 sin u + 3cos u ) + c = du − 5 sin u + 3 cos u 68 68 68 −1 = ( 2x + 47 ln 5 sin 2x + 3 cos 2x ) + c 68 c. Các bài t p dành cho b n ct gi i: 4sin 3x + 5cos 3x 2sin 5x − 7 cos 5x 4sin 9x + 5cos 9x ∫ 7 cos 3x − 8sin 3x dx ; F = ∫ 3sin 5x − 4 cos 5x dx ; F = ∫ 7 cos 9x − 3sin 9x dx F1 = 2 3 a sin x + b cos x + c ∫ m sin x + n cos x + p dx G= 7. D N G 7: a . Phương pháp: a sin x + b cos x + c = α ( m sin x + n cos x + p ) + β ( m cos x − n sin x ) + γ , ∀x Gi s ⇔ a sin x + b cos x + c = ( mα − n β ) sin x + ( nα + mβ ) cos x + pα + γ , ∀x  mα − n β = a α = ( am + bn ) ( m 2 + n 2 )    ⇔  nα + mβ = b ⇔  β = ( bm − an ) ( m2 + n 2 ) . Khi ó ta có:   γ = c − am + bn p  pα + γ = c    m2 + n2 am + bn msin x + ncos x + p bm − an mcos x − nsin x ∫ ∫ G= dx + 2 2 dx + 2 2 m + n msin x + n cos x + p m + n msin x + n cos x + p  am + bn  dx ∫ + c − 2 2 p   m + n  msin x + n cos x + p bm − an d ( m sin x + n cos x + p )  am + bn  am + bn dx ∫ dx + m ∫ ∫ = + c − 2 p 2 2 2 2 2  m +n  m sin x + n cos x + p m sin x + n cos x + p m +n +n  am + bn  am + bn bm − an dx ∫ = x+ ln m sin x + n cos x + p +  c − 2 p 2 2 2 2 2  m +n  m sin x + n cos x + p m +n m +n b. Các bài t p m u minh h a: sinx + 2cosx − 3 ∫ sinx − 2cosx + 3 dx . • G1 = 1 79
  12. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương sin x + 2 cos x − 3 = α ( sin x − 2 cos x + 3) + β ( cos x + 2 sin x ) + γ , ∀x Gi s ⇔ sin x + 2 cos x − 3 = (α + 2 β ) sin x + ( −2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α + 2β = 1 α = −3 5     ⇔ −2α + β = 2 ⇔  β = 4 5 . Khi ó ta có:   3α + γ = −3 γ = −6 5   −3 sin x − 2 cos x + 3 sin x − 2 cos x 4 6 dx ∫ ∫ ∫ G1 = dx + dx − 5 sin x − 2 cos x + 3 5 sin x − 2 cos x + 3 5 sin x − 2 cos x + 3 4 d ( sin x − 2 cos x + 3) −3 6 dx ∫ ∫ ∫ = dx + dx − sin x − 2 cos x + 3 5 sin x − 2 cos x + 3 5 5 −3 4 6 = x + ln sin x − 2 cos x + 3 − J 5 5 5 dx dx ∫ sin x − 2 cos x + 3 = ∫ 2sin x cos x − 2 cos J= = )( ) ( x − sin 2 x + 3 cos2 x + sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 () d tg x dx 2 2 ∫ ) ∫( ) ( ) = = ( 2 2x 2 tg x + 1 + 5 tg 2x 5 tg x + 2 tg x + 1 cos 2 2 2 2 5 2 5 () x x 1 + 5 tg x d tg 1 + 5 tg 2 25 2 2 + c = arctg 2 +c ∫ = = ⋅ arctg 2 2 ) () ( 5 52 2 2 tg x + 1 + 2 25 5 5 tg x + 1 −3 4 6 2 ⇒ G1 = x + ln sin x − 2 cos x + 3 − arctg +c 5 5 5 2 π2 sinx − cosx + 1 ∫ • G2 = dx . sinx + 2cosx + 3 0 sin x − cos x + 1 = α ( sin x + 2 cos x + 3) + β ( cos x − 2 sin x ) + γ , ∀x Gi s ⇔ sin x − cos x + 1 = (α − 2 β ) sin x + ( 2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α − 2 β = 1 α = −1 5   ⇔ 2α + β = −1 ⇔  β = −3 5 . Khi ó ta có: 3α + γ = 1 γ = 8 5   1 80
  13. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác π2 π2 π2 sin x + 2 cos x + 3 cos x − 2 sin x 1 3 8 dx ∫ ∫ ∫ sin x + 2 cos x + 3 G2 = − dx − dx + sin x + 2 cos x + 3 sin x + 2 cos x + 3 5 5 5 0 0 0 π2 π2 π2 d ( sin x + 2 cos x + 3) 8 1 3 dx ∫ dx − 5 ∫ 5 ∫ sin x + 2 cos x + 3 =− + sin x + 2 cos x + 3 5 0 0 0 π2  −1  −π 3 5 8 3 8 =  x − ln sin x + 2 cos x + 3  + J = + ln + J  0 5 5 5 10 5 4 5 π2 π2 dx dx ∫ ∫ 2sin x cos x + 2 cos J= = )( ) ( sin x + 2 cos x + 3 x − sin 2 x + 3 cos2 x + sin 2 x 2 0 0 2 2 2 2 2 2 () x d tg π2 π2 dx 2 ∫ ∫ = =2 ) ( 2x + 2 tg x + 5 2x 2 tg x + 2 − 2 tg x + 3 + 3 tg x 2 2 0 tg 0 cos 2 2 2 2 2 2 π2 ) ( x x d 1 + tg 1 + tg π2 π 3π 3 5 8 1 1 2 2 ∫ = − arctg ⇒ G 2 = + ln − arctg =2 = arctg 2 ) ( 20 4 2 10 5 4 5 2 0 1 + tg x 2 +2 2 a sin x + b cos x ∫ ( m sin x + n cos x ) H= dx 8. D N G 8: 2 a . Phương pháp: a sin x + b cos x = α ( m sin x + n cos x ) + β ( m cos x − n sin x ) , ∀x Gi s ⇔ a sin x + b cos x = ( mα − n β ) sin x + ( nα + m β ) cos x , ∀x  am + bn α = m 2 + n 2 mα − n β = a   ⇔ ⇔ . Khi ó ta có: nα + m β = b  bm − an   β = m2 + n2  am + bn m sin x + n cos x bm − an m cos x − n sin x ∫ ∫ H= dx + 2 dx 2 2 2 m + n ( m sin x + n cos x )2 2 m + n ( m sin x + n cos x ) d ( m sin x + n cos x ) am + bn bm − an dx ∫ ∫ ( m sin x + n cos x ) = +2 m + n m sin x + n cos x m + n 2 2 2 2 am + bn bm − an dx 1 ∫ = −2 ⋅ +c 2 2 2 m + n m sin x + n cos x m + n m sin x + n cos x 1 81
  14. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 . Các bài t p m u minh h a: 7 sin x − 5 cos x ∫ ( 3 sin x + 4 cos x ) • H1 = dx . 2 7 sin x − 5 cos x = α ( 3 sin x + 4 cos x ) + β ( 3 cos x − 4 sin x ) ; ∀x Gi s ⇔ 7 sin x − 5 cos x = ( 3α − 4 β ) sin x + ( 4α + 3β ) cos x; ∀x α = 1 3α − 4β = 7   5 . Khi ó ta có: ⇔ ⇔ 4α + 3β = −5  β = −43   5 7 sin x − 5cos x 1 3sin x + 4 cos x 43 3cos x − 4sin x ∫ (3sin x + 4 cos x ) ∫ ∫ H1 = dx = dx − dx 2 2 5 ( 3sin x + 4 cos x )2 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 43 d ( 3sin x + 4 cos x ) 1 1 dx 43 ∫ ∫ = − = J+ 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 2 5 3sin x + 4 cos x 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 5 () d tg x dx dx 2 ∫ ∫ ∫ J= = =2 ) ( x + 4 − 4 tg 2 x 3 sin x + 4 cos x 2x x + 4 − 4 tg 2 x 6 tg cos 6 tg 2 2 2 2 2 x x −2 2 tg 2 − 4 −2 2 tg 2 − 4 43 + c ⇒ H1 = = + +c ln ln 2 tg x + 1 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 2 tg x + 1 5 25 2 2 3 . Các bài t p dành cho b n ct gi i: 2 sin 5x − 3cos 5x 5 sin 7x + 4 cos 7x ∫ ( 4 cos 5x + 9 cos 5x ) ∫ ( 2 sin 7x − 3cos 7x ) H1 = dx ; H 2 = dx 2 2 2 2 a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) ∫ I= dx 9. D N G 9: m sin x + n cos x a . Phương pháp: 2 2 Gi s : a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = = ( p sin x + q cos x ) ( m sin x + n cos x ) + r ( sin 2 x + cos 2 x ) , ∀x 2 2 ⇔ a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = 2 2 = ( mp + r ) ( sin x ) + ( np + mq ) sin x cos x + ( nq + r ) ( cos x ) ; ∀x 1 82
  15. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác  ( a − c ) m + bn p = m2 + n2   mp + r = a  mp + r = a    ( a − c ) n − bm    ⇔ np + mq = b ⇔  np + mq = b ⇔ q = . Khi ó ta có: m2 + n2     nq + r = c  mp − nq = a − c    2 2  r = an + cm − bmn   m2 + n2 2 2  ( a − c) m + bn  ( a − c) n − bm an + cm − bmn dx ∫ ∫ I=  sin x + cos x  dx + 2 2 2 2 2 2  m +n  msin x + n cos x m +n m +n 2 2 ( a − c) n − bm ( a − c) m + bn an + cm − bmn dx ∫ msin x + n cos x = sin x − cos x + 2 2 2 2 2 2 m +n m +n m +n b. Các bài t p m u minh h a: π3 ( cos x ) 2 dx ∫ • I1 = . sin x + 3cos x 0 ( cos x )2 = ( a sin x + b cos x ) ( sin x + 3 cos x ) + c ( sin 2 x + cos 2 x ) ; ∀x Gi s ⇔ ( cos x ) = ( a + c ) ( sin x ) + ( a 3 + b ) sin x cos x + ( b 3 + c ) ( cos x ) ; ∀x 2 2 2 a + c = 0 a = −1 4   π3 π3 1 3    1 1 dx ∫ ∫ ⇔ a 3 + b = 0 ⇔ b = 3 4 ⇒ I =  cos x − sin x  dx + 20 2   2 4 0 sin x + 3 cos x  c = 1 4 b 3 + c = 1   π3 π3   π π 1 1 dx ∫ ∫ =  cos cos x − sin sin x  dx +   π π 2 6 6 8 cos sin x + sin cos x 0 0 3 3 π3 π3 π3 1 x π  π  π 1 1 1 dx ∫ ∫ = cos  x +  dx + =  sin  x +  + ln tg  +    6  6 8 2 6  π sin  x +   2 8 2 0 0 0  3 1 1  1 1 11 1 =  + ln 3  −  − ln 3  = + ln 3 = (1 + ln 3 ) 2 8  4 8 44 4 1 83
  16. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương m sin x + n cos x ∫ a ( sin x ) J= dx 10. D N G 10: 2 2 + 2b sin x cos x + c ( cos x ) a . Phương pháp: a−λ b • G i λ1 , λ 2 là nghi m c a phương trình =0 c−λ b 2 a + c ± ( a − c ) + 4b 2 ⇔ λ 2 − ( a + c ) λ + ac − b 2 = 0 ⇔ λ1,2 = 2 2 2 i a ( sin x ) + 2b sin x cos x + c ( cos x ) = λ1 A12 + λ 2 A2 = 2 Bi n 2 2     λ1 λ2 b b =  cos x − a − λ sin x  +  cos x − a − λ sin x  b2 b2   1+   1 2 1+ 2 2 ( a − λ1 ) ( a − λ2 ) 1 1 b b t u1 = cos x − sin x ;u2 = cos x − sin x ; k1 = ; k2 = a − λ1 a − λ2 a − λ1 a − λ2 1 1 ( cos x − bk1 sin x ) ; A2 = ( cos x − bk2 sin x ) A1 = 2 k12 1 + b 2 k2 2 1+ b ý r ng A12 + A2 = 1 ⇒ λ1 A12 + λ 2 A2 = ( λ1 − λ 2 ) A12 + λ 2 = ( λ 2 − λ1 ) A2 + λ1 2 2 2     b b cos x  , ∀x m sin x + n cos x = p  sin x + cos x  + q  sin x + • Gi s a − λ1 a − λ2     p + q = m bm − n ( a − λ2 ) bm − n ( a − λ1 )  ( a − λ1 ) ;q = ( a − λ2 ) ⇔ p n ⇔ p= b λ −λ q ( 2 1) b ( λ1 − λ2 )  + =  a − λ1 a − λ2 b − pdu1 −qdu2 m sin x + n cos x ∫ a ( sin x) ∫ (λ − λ ) A ∫ (λ J= dx = + − λ1 ) A2 + λ1 2 2 2 2 + 2b sin x cos x + c ( cos x) + λ2 1 2 1 2 dA1 dA2 ∫ ( λ −λ ) A ∫ (λ = − p 1 + b2 k12 − q 1 + b2 k2 2 − λ1 ) A2 + λ1 2 2 + λ2 1 2 1 2 1 84
  17. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác b. Các bài t p m u minh h a: ( sinx + cosx ) dx ∫ 2sin • J1 = 2 x − 4sinxcosx + 5cos 2 x 2 − λ −2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ 2 = 6 λ1 , λ 2 là nghi m c a phươ ng trình −2 5 − λ 2 24   1 1 2 2 sin 2 x − 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = ( cos x + 2 sin x ) +  cos x − sin x  5  5 2  2 1 ( cos x + 2 sin x ) ; A 2 = 2  cos x − 1 sin x  ; A1 + A 2 = 1 2 A1 = 5  2 5 ) ⇔ p = −51 ; q = 6 ( sin x + cos x = p ( sin x − 2 cos x ) + q sin x + 1 cos x Gi s 2 5 ) −1 ( ( sin x − 2 cos x ) + 6 sin x + 1 cos x ⇒ sin x + cos x = 2 5 5 ( sin x + cos x ) dx 3 ( 2sin x + cos x ) dx 1 ( sin x − 2cos x ) dx ∫ 2sin ∫ ∫ J1 = = − 2 2 5 ( 2cos x − sin x )2 +1 5 6 − ( cos x + 2sin x )2 x - 4sin x cos x + 5cos x d ( sin x − 2 cos x ) d ( cos x + 2 sin x ) 3 1 ∫ ∫ = + 5 ( sin x − 2 cos x ) + 1 5 6 − ( cos x + 2 sin x ) 2 2 6 + cos x + 2 sin x 3 1 = arctg ( sin x − 2 cos x ) + +c ln 5 6 − cos x − 2 sin x 10 6 11. D N G 11: CÁC PHÉP I BI N S T NG H P sin [( x + a ) − ( x + b )] dx 1 ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) = sin ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) sin ( x + b ) dx ( a ≠ b) • K1 = sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b ) 1 ∫ = dx sin ( a − b ) sin ( x + a ) sin ( x + b ) sin ( x + b ) 1 1 ∫ cotg ( x + b ) − cotg ( x + a )dx = = +c   ln sin ( a − b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) sin [( x + a ) − ( x + b )] dx 1 ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) = sin ( a − b ) ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) dx • K2 = 1 85
  18. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b ) 1 ∫ = dx sin ( a − b ) cos ( x + a ) cos ( x + b ) cos ( x + b ) 1 1 ∫ tg ( x + a ) − tg ( x + b ) dx = = +c ln   sin ( a − b ) sin ( a − b ) cos ( x + a ) cos [ ( x + a ) − ( x + b ) ] dx 1 ∫ sin ( x + a ) cos ( x + b ) = cos ( a − b ) ∫ sin ( x + a ) cos ( x + b ) dx • K3 = cos ( x + a ) cos ( x + b ) + sin ( x + a ) sin ( x + b ) 1 ∫ = dx cos ( a − b ) sin ( x + a ) cos ( x + b ) sin ( x + a ) 1 1 ∫   cotg ( x + a ) + tg ( x + b ) dx = = +c ln cos ( a − b ) cos ( a − b ) cos ( x + b ) ( 3 + tg x ) cos x 3 cos x + sin x 3 + tgx ∫ ∫( ∫ dx = dx = • K4 = dx 3 − tg x ) cos x 3 cos x − sin x 3 - tgx 1 ( 3 cos x − sin x ) + 3 ( 3 sin x + cos x ) 3 sin x + cos x 1 3 =∫ 2 2 d x = ∫d x + ∫ 3 cos x − sin x d x 2 2 3 cos x − sin x 3 d ( 3 cos x − sin x ) x 3 x 2 2∫ = − =− ln 3 cos x − sin x + c 22 3 cos x − sin x π3 π3 π3 π3 sin x sin x 1 2 sin x ∫ ∫ ∫ ∫ tgxdx = dx = dx = • K5 = dx cos x 2 2 sin x cos x π 4 sin x cos x π4 π4 π4 1  ( cos x + sin x) d x ( cos x − sin x) d x  π3 π3 π3 ( cos x + sin x) − ( cos x − sin x) 1 ∫ ∫ −∫  = dx= 2  π 4 2sin x cos x 2sin x cos x  2 π4 2sin x cos x   π4 1 d ( sin x + cos x )  π3 π3 d ( sin x − cos x ) ∫ ∫   = − 2  π 4 1 − ( sin x − cos x )2 π 4 ( sin x + cos x )2 − 1    π3 1  2 arcsin ( sin x − cos x ) − ln ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) − 1  = 2 π4 1  1 3 +1) 4 3  ( 3 + 1) 4 3 ( 3 −1 3 −1 + ln (1 + 2 )  =  arcsin  arcsin  = − ln − ln    4+2 2  2 2 2  2  22 1 86
  19. Bài 5. Các phép i b i n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác π4 π4 π4 dx dx dx ∫ ∫ ( sin ∫ 1− 3sin = = • K6 = 6 6 3 2 x cos2 x x + cos2 x ) − 3sin 2 x cos2 x sin x + cos x 2 π8 π8 π8 (1 + tg 2 x ) d ( tg x ) = π4 π4 (1 + u 2 ) du 1 dx ∫ ∫ ∫ = =   tg 4 x − tg 2 x + 1 u4 − u2 + 1 2 cos 4 x (1 + tg 2 x ) − 3 tg 2 x  π8 π8 2 −1  1 + 1 du ( ) = arctg u −1 d u− 1 2  1 1 1 2 u  2 2 −1 u = arctg ( 3 + 2 ) ∫ ∫ = = = arctg 2 1 ( u − 1 ) +1 u 2 −1 2 2 −1 u + 2 − 1 2 −1 2 −1 u u π 12 π 12 cos2xcos6x cos 2 x cos 6 x cos 4 x sin 8 x ∫ ∫ dx = • K7 = dx sin 4 x sin 8 x + cos 4 x cos 8 x tg4x + cotg8x π 16 π 16 π 12 π 12 cos 2x cos 6x cos 4x sin 8x 1 ∫ ∫ ( cos 8x + cos 4x ) sin 8x dx = dx = ( 8x − 4x ) cos 2 π 16 π 16 π 12 π 12 −1  1  8 2 −7 1 1 1 ∫ ( sin16x + sin12x + sin 4x) dx = 4 16 cos16x + 12 cos12x + 4 cos4x  π 16 = 384 =   4 π 16 π2 π2 π2 1 + 2 cos x 1 + 2 cos x sin2x + sinx ∫ ∫ ∫ d ( cos x ) dx = − sin x dx = − • K8 = 1 + 3 cos x 1 + 3cos x 1 + 3cosx 0 0 0 (1 + 3cos x ) + 1 π2 π2 π2 d (1 + 3cos x ) −2 2 d ( cos x ) = −2 1 ∫ ∫ ∫ 1 + 3cos x d (1 + 3cos x ) − = 3 9 9 1 + 3cos x 1 + 3cos x 0 0 0 π2 −1  4 )3 2 + 2 1 + 3cos x  = 34 ( ( =  3 1 + 3cos x thi TS H kh i A 2005)  9 0 27 π2 π2 π2 (1− cos2 x) −1 sin x cos2 x  1 ∫ ∫ ∫ d ( cos x) = 2 1− cos x −  d ( cos x) dx = 2 • K9 = 2  1+ cos x  1+ cos x 1+ cos x 0 0 0 π2   cos2 x − ln (1 + cos x )  = 2ln 2 − 1 ( = 2 cos x − thi TS H kh i D 2005)  0 2 1 87
  20. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π6 π6 π6 dx dx dx ∫ cosxcos ∫ ∫ ( cos x − sin x ) cos x =2 =2 • K 10 = (x + π) ) ( 2 cos x + π cos x 0 0 0 4 4 π6 π6 d ( tg x ) 3+ 3 dx π6 ∫ (1 − tg x ) cos ∫ 1 − tg x =2 =2 = − 2 ln 1 − tg x = 2 ln 2 2 x 0 0 0 π4 π4 π4 dx dx 1 dx ∫ ∫ ∫ sin = = • K 11 = ) ( ) ( 2 1 − cos x + π  x+π 2 + sinx − cosx 22 2 0 0 0  4   28 ) ( d x+π π4 π4 ) ( −1 −1  1 28 cotg x + π 1 − ( 2 + 1)  = 1 ∫  = = = ) ( 28 π 2x 2 2 2 + sin 0 0 28 π4 π4 π4 ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) sinxdx sin x dx 1 ∫ ∫ ( sin x + cos x ) ∫ = = • K 12 = dx 2 ( sin x + cos x )2 1 + sin2x 2 0 0 0 π4 π4 π4 π4 d( sinx + cosx ) d( sinx + cosx) 1 dx 1 1 dx 1 ∫ ∫ ( sinx + cosx) 2 ∫ sin x + π ∫ ( sinx + cosx) = − = − ( 4) 2 2 sinx + cosx 2 2 2 2 0 0 0 0 ( x + π) − 1 d(sinx + cosx) =  2 ln tg x + π  + 1  π 4 d cos π4 π4   1 4 ∫ cos x + π −1 2 ∫ ( sinx + cosx)  2  2 8  2(sinx + cosx)  = ( 4)   2   22 2 0 0 0 2− 2 1 1 − 2 ln ( 2 − 1) − = 2 ln (1 + 2 ) − = 2 4 22 π2 π2 π2 dx dx 1 sin x dx ∫ ∫ ∫ = = • K 13 = sin2x − 2sinx π 3 2 sin x ( cos x − 1) 2 π 3 sin x ( cos x − 1) 2 π3 1 du  π2 0 0 0 [(1 + u ) + (1 − u )] d ( cos x ) 1 1 du ∫ ∫ ∫ ∫ du =   = = + 2 π 3 (1 − cos x (1 − cos x ) 4 2) 4 1 − u2  (1 + u )(1 − u )2 (1 − u )2   32 32 32 0 1 1 1+ u  1 2+ 3 1 3+ 2 3 1 + ln ( 2 − 3 ) = ln ( 2 − 3 ) − = + ln =− (1 − u ) 8 1 − u  4  4 2 4 4 4 32 π2 π6 ( sin x )3 dx sin 2x dx ∫ (a ∫ 3sin 4x − sin 6x − 3sin 2x , ( ab ≠ 0 ) ; K 2 = K1 = sin 2 x + b 2 cos 2 x ) 2 0 0 1 88
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
332=>2