Các phương pháp tính truyền nhiệt - P2

Chia sẻ: Nguyen Van Dau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

315
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Quá trình truyền nhiệt trong thiết bị là một quá trình phức tạp xảy ra đồng thời của ba dạng trao đổi nhiệt cơ bản: trao đổi nhiệt bằng dẫn nhiệt, trao đổi nhiệt bằng đối lưu, trao đổi nhiệt bằng bức xạ. Trong giáo trình này sẽ trình bày phần lý thuyết cơ bản của từng dạng nêu trên, phương pháp tính toán, những yếu tố cơ bản ảnh hưởng đến quá trình truyền nhiệt nhằm giúp cho sinh viên hiểu biết kỹ bản chất vấn đề và có thể tính toán thiết kế các thiết bị trao đổi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp tính truyền nhiệt - P2

nhiÖt sÏ kÕt hîp c¶ 3 ®iÒu kiÖn biªn dtije 3. ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p xÊp xØ , sÏ ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh dτ ®¹i sè cña tije, k+1, víi n Èn sè. Z α α α Zl+1 ∆z Zl ∆z ∆ϕ ϕ j+1 Zl-1 ϕ j+1 ϕj q ∆r r o ri ri ri+1 R H31. Sai ph©n bµi to¸n trô t(π,ϕ,z,τ) Dïng xÊp xØ Euler: tijek+1 = tijek + dtije ⎢k∆τ, dτ ∆ ∆ a∆τ ®Æt = δi, = δ, ∆ϕ = γ vµ F = , ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: ri R ∆2 ⎧ δi δi 2 1 δ2 tijek+1 = F ⎨(1 − ) ti-1je+ ( ) tij-1e+tije-1+( -4-2 2 )tije ⎩ 2 γ F γ + tije+1+( δi ) tij+1e+ (1+ δi )ti+1je ⎫ ⎬ ∀(ije)∈ V γ 2 ⎭k ⎧ ⎪ δ2 1 2 (t) tijek+1 = F⎪ 2−δ ⎨ δi tR-ije+ δ tRj-1e+tRje-1+[ F −4− δ . ⎪1 − γ 2 (1 − ) (1 − ) ⎪ ⎩ 4 4 4 ( δ2 - δ δ2 tRj+1e ⎫ + 2BF tf, 2 -B)]tRje+tRje+1+ δ ⎬ ∀(ije)∈ W3 γ 4 γ 2 (1 − ) ⎭k (1 − δ ) 4 4 vµ c¸c ph−¬ng tr×nh cã nót trªn biªn, c¹nh, gãc, kh¸c. D¹ng ma trËn:[t]k+1 = F{A[t]+[tw1]+[ 2∆ q]+[2Btf]+[ ∆ qv]}k nh− trªn 2 a λ víi A lµ ma trËn hÖ (nxn), c¸c ma trËn kh¸c lµ ma trËn cét (nx1). 65
5.8. FDM cho bµi to¸n biªn phi tuyÕn: 5.8.1. §iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn tÝnh: - §Þnh nghÜa: 1. Ph−¬ng tr×nh F(Tn, Txm ) = 0 cã n ≠ 1 hoÆc m ≠ 1 gäi lµ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn tÝnh 2. §iÒu kiÖn biªn ®−îc m« t¶ bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn gäi lµ ®iÒu kiÖn biªn phi tuyÕn - VÝ dô: ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, khi mÆt v¸ch tiÕp xóc chÊt khÝ hoÆc ch©n kh«ng, trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng chñ yÕu b»ng bøc x¹, x¸c ®Þnh nhê ®Þnh luËt Stefan-Boltzmann, th× ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt trªn biªn cã d¹ng: -λTx (W,τ) = εwσ0[T4(W,τ)- Tf ] 4 §ã lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n (hay ®iÒu kiÖn biªn) phi tuyÕn tÝnh. NÕu W tiÕp xóc m«i tr−êng ch©n kh«ng v« h¹n ngoµi vò trô th× coi Tf = 3.K hoÆc gÇn ®óng, coi Tf = O.K Ch¼ng h¹n, tr−êng hîp mÆt W cã nhiÖt ®é TW lín, trao ®æi nhiÖt phøc t¹p víi kh«ng khÝ hoÆc ch©n kh«ng, hay v¸ch T§N phøc t¹p víi s¶n phÈm ch¸y cã Tf lín, lµ c¸c bµi to¸n biªn phi tuyÕn 5.8.2. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng réng ∞, dµy δ = L cã (a, λ) kh«ng ®æi (hoÆc phô thuéc (M,τ)), nhiÖt ®é ban ®Çu T(x,0) = Ti[K], mÆt x = δ ®−îc c¸ch nhiÖt , mÆt x = 0 tiÕp xóc ch©n kh«ng cã nhiÖt ®é Tf vµ T§N bøc x¹ ra m«i tr−êng nµy. T×m ph©n bè t(x,τ) khi τ > 0. 2. M« h×nh to¸n häc cña bµi to¸n lµ: 66
Tτ = aTxx t T(x,0) = Ti δT = 0 (t) Tf δx − εσ 0 4 s a λ Tx(0,τ)= [ Tf -T4(0,τ)] q = ε∂(Tf4 - T o ) 0 λ 4 1 2 3 4 S Tx(0,τ) = 0 x NhËn xÐt: bµi to¸n nµy cã cïng O L mét m« h×nh TH víi bµi to¸n biªn H32. Bµi to¸n biªn phi tuyÕn thuÇn nhÊt, khi v¸ch dµy 2δ vµ T§N bøc x¹ víi hai m«i tr−êng khÝ ®ång chÊt, cã cïng nhiÖt ®é Tf. 3. Gi¶i b»ng FDM. L L 1. Chia chia chiÒu dµy δ = L ra c¸c kho¶ng ∆x = , vÝ dô ∆x = n 4 t¹o ra 5 phÇn tö cã 5 nót lµ i, (i = 0÷4) 2. Sai ph©n theo x: ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt lµ: - Trªn biªn bøc x¹ xi = 0: ρcS ∆x dTo = εσ0( Tf4 - T04 )S - λ (T0-T1)S → 2 2dτ ∆x dTo = 2εσ 0 ( Tf4 - T04 ) - 2λ2 (T0-T1) 2dτ ρc∆x ρc∆ x T NÕu chuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt θ= Ti x ∆x X= → ∆X = L L λτ aτ F= = 2 cρL2 L ∂T ∂T ∂θ ∂F Ti a ∂θ Th× do = . . = . nªn: ∂τ ∂θ ∂F ∂τ L2 ∂F dθ0 L2 dT0 2εσ0 L2 2λL2 (T0 − T4 ) = . = (Tf − T0 ) − 4 4 hay dF aTi dτ λ T a (L∆x ) λ (L∆x ) 2 aTi i a a 67
dθ 0 1 ⎡ εσ 0 .LTi3 ⎤ εσ 0 .LTi3 4 ∆Xθ 0 )θ0+2θ1 ⎥ +2 3 .θ f dF (∆X) 2 ⎢ = -2(1+ ⎣ λ ⎦ λ∆X εσ 0 .LTi3 NÕu ®Æt R= lµ ®¹i l−îng kh«ng thø nguyªn, ta cã: λ 1 2R θ0F= 2 [-2(1+R∆X. θ 0 )θ0+2θ1]+ 3 θ f4 , ∈ W6 ( ∆X ) ∆X 1 θiF= [θ - 2θ1+θ2] (∆X) 2 0 (θF) θ2F= 1 [θ - 2θ2+θ3] ∈V ( ∆X ) 2 1 1 θ3F= [θ - 2θ3+θ4] ( ∆X ) 2 2 1 θ4F= [2θ3- 2θ4] ∈W20 ( ∆X ) 2 ∆F 3. XÊp xØ Euler θk+1= θk+θFk∆F, ®Æt = p ta cã hÖ ph−¬ng ( ∆X ) 2 tr×nh ®¹i sè, viÕt ë d¹ng ma trËn nh− sau: θ0,k+1= [1-2p(1+R∆X θ 3 ]θ0,k+2pθ1,k+2pR∆X θ f4 0 (θi) θi,k+1= pθi-1k+(1-2p)θik+pθ1+1,k víi i = 1,2,3 θ4,k+1= 2pθ3,k+(1-2p)θ4,k ( Víi biªn c¸ch nhiÖt θX = 0, do ®èi xøng, coi θi-1 = θi+1) 4. ChuyÓn hÖ (θi) sang d¹ng ma trËn, cã: θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ] 0 2p θ0 2pR∆X θ f4 θ1 p (1-2p) p θ1 0 θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0 θ3 p (1-2p) p θ3 0 θ4 k+1 2p (1-2p) k θ4 k 0 Thay ®iÒu kiÖn ®Çu lóc τ = 0 (tøc F = 0) theo θ(X,0) = 1 vµo 68
[θ]k=0 tÝnh phÇn tö bøc x¹ cña ma trËn [1-2p(1+R∆X θ3 k ] theo θ0,0 = 1, 0 ta tÝnh ®−îc [θ]k=1. LÆp l¹i chu tr×nh nµy, tÝnh ®−îc [θ]k=2, ...v. v 5.8.3. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua v¸ch phi tuyÕn: NÕu thay §KB t¹i x = L cña bµi to¸n t¹i H.32 bëi ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3, ta cã bµi to¸n sau: Tτ = aTxx t T(x,0) = Ti Tf1 (t) − εσ 0 4 4 s a λ Tx(0,τ) = [ Tf 1 -T (0,τ)] q = ε∂(Tf1- T o ) 0 4 4 λ 1 2 3 4 α Tf2 α Tx(L,τ) = [T(L,τ)-Tf2] x −λ O δ Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, chØ kh¸c ph−¬ng H33. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt KOD tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho nót phi tuyÕn tÝnh biªn W2 lµ: ∆x λ α∆x αL pc T4τ = (T3-T4)-α[T4-Tf2] hay víi B = = ∆X → 2 ∆x λ λ 1 2B θF= [2T3-2(1-B)T4]+ T ( ∆X ) 2 (∆X ) 2 f2 XÊp xØ Euler dÉn tíi ph−¬ng tr×nh: θ4k+1= 2pθ3+[1-2(1-B)]θ4+2pBθf2 Do ®ã, d¹ng ma trËn cña hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè lµ: θ0 [1-2p(1+R∆X θ 3 ] 0 2p θ0 2pR∆X θ f4 θ1 p (1-2p) p θ1 0 θ2 = p (1-2p) p θ2 + 0 θ3 p (1-2p) p θ3 0 θ4 k+1 2p [1-2p(1-B) k θ4 k k 2B2pθf2 Ph−¬ng tr×nh nµy còng ®−îc gi¶i víi ®iÒn kiÖn ®Çu θ (X,0) = 1 Bµi to¸n nµy cã thÓ ¸p dông ®Ó tÝnh nhiÖt cho v¸ch èng sinh h¬i 69
cña lß h¬i, khi nã nhËn nhiÖt BX tõ buång löa vµ trao cho n−íc trong lß. ViÖc chän ∆τ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn æn ®Þnh lµ : min{[1-2p(1-B)],[1-2p(1+ R∆ θ 3 ]} > 0 0 tøc lµ: 1-2p(1+ R∆X θ 3 > 0 → 0 ∆F 1-2 θ3 2 (1+R∆X 0 ) > 0 tøc ph¶i chän; ( ∆X ) (∆X) 2 Tf 1 ∆F < , víi max θ0 = 2[1 + R∆X(max θ 3 )] 0 Ti ∆x 2 NghÜa lµ cÇn chän ∆τ < L2 ∆xεσ 0 3 , [s] 2a (1 + Tf 1 ) λ Khi gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn, ph¶i th−êng xuyªn tÝnh l¹i sè h¹ng ®Çu [1-2p(1+R∆ θ 3 )]k theo θ0, k sau mçi b−íc. 0 70
Ch−¬ng 6 ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n finite element method (FEM) 6.1. Néi dung vµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p ph©n tö h÷u h¹n 6.1.1. Néi dung FEM. T− t−ëng cña FEM lµ thay bµi to¸n gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) b»ng mét bµi to¸n biÕn ph©n t−¬ng øng, tøc lµ t×m hµm sè t lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t). Bµi to¸n biÕn ph©n ®−îc gi¶i gÇn ®óng nhê phÐp xÊp xØ tÝch ph©n b»ng c¸ch thay hµm t(x,y,z,τ) bëi mét hÖ M hµm thêi gian tn(τ) t¹i c¸c nót (®Ønh) cña mét sè h÷u h¹n E phÇn tö t¹o ra vËt cÇn xÐt. KÕt qu¶ cho biÕt, ®Ó cùc tiÓu biÕn hµm I, hµm t ph¶i t×m cÇn tho¶ m·n hÖ M ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 nh− sau: d C [t] = -(K+H)[t] + (h+q) dτ Trong ®ã C, K, H lµ c¸c ma trËn vu«ng (MxM) cña c¸c hÖ sè nhiÖt dung C, dÉn nhiÖt λ, to¶ nhiÖt α, cßn h, q lµ c¸c ma trËn cét (Mx1) cña c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é m«i tr−êng tf vµ dßng nhÞªt q qua biªn lo¹i 2, ⎡t1 ⎤ ⎢.. ⎥ [t] = ⎢ ⎥ lµ ma trËn cét (Mx1) cña c¸c nhiÖt ®é nót. ⎢t M ⎥ ⎣ ⎦ NÕu bµi to¸n (t) lµ æn ®Þnh , [& ] = 0, hµm t ®−îc x¸c ®Þnh theo hÖ t ph−¬ng tr×nh ®¹i sè: (K+ H) [t] = h + q. NÕu bµi to¸n (t) kh«ng æn ®Þnh, th× sau khi sö dông phÐp sai ph©n thêi gian, ta thu ®−îc mét hÖ M ph−¬ng tr×nh ®¹i sè, cho phÐp x¸c ®Þnh t theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu. 6.1.2. C¸c b−íc ¸p dông FEM §Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) theo FEM, cã thÓ tiÕn hµnh c¸c b−íc nh− sau: 71
1. X¸c ®Þnh phiÕm hµm I t−¬ng øng bµi to¸n (t). Tr−êng hîp bµi to¸n t víi biªn lo¹i 1, 2, 3 tæng qu¸t, phiÕm hµm I sÏ cã d¹ng tÝch ph©n sau: t2 I[t(x,y,z)] = ∫ f(x,y,z,t,tx,ty,tz) dV + ∫ (qt + α )dw v w 2 Víi W lµ biªn cña vËt V, cßn d¹ng hµm f x¸c ®Þnh theo bµi to¸n (t) vµ ®Þnh lý Euler-Lagrange vÒ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I lµ biÕn ph©n δI = 0. t t(x,y,τ =const) tζ 1 2 k fi f(e) y yk yj S yi 3 i e k O xi xj W xk x H. 32 Ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e hai chiÒu 2. M« t¶ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 ë d¹ng hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cÊp 1 cña c¸c nhiÖt ®é nót (hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè khi (t) lµ bµi to¸n æn ®Þnh). B−íc nµy cã thÓ chia ra c¸c b−íc nhá nh− sau: 2.1. Chia V (hoÆc S, hoÆc δ) ra mét sè h÷u h¹n phÇn tö cã d¹ng khèi tø diÖn (hoÆc tam gi¸c, hoÆc ®o¹n ∆x) bëi hÖ thèng M ®iÓm nót (coi lµ ®Ønh phÇn tö). §¸nh sè thø tù vµ ghi ®Þa chØ nót theo to¹ ®é (i, j, k) cña mçi nót. 2.2. Gi¶ thiÕt r»ng: T¹i mét thêi ®iÓm τ bÊt kú, ph©n bè nhiÖt ®é t(e) trong phÇn tö e lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c nhiÖt ®é nót (tøc cã d¹ng mÆt ph¼ng qua 3 ®iÓm ti, tj, tk), vµ x¸c ®Þnh ph©n bè t(e) nh− hµm tuyÕn tÝnh cña c¸c biÕn, cã d¹ng f(x,y,ti,tj, tk) = t(e) (xem H.32) 72
2.3. XÊp xØ tÝch ph©n I nh− lµ tæng c¸c tÝch ph©n I(e) trªn mçi ph©n E tö (e): I = ∑ I (e) e =1 Cho thÊy I = I(t1, t2,..., tM) lµ phiÕm hµm cña M hµm nhiÖt ®é nót ti(τ) vµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu δI = 0 trë thµnh dI = 0, d[ t ] ⎡t1 ⎤ dI E dI e víi [t] = ⎢.. ⎥ ⎢ ⎥ tøc d[ t ] = ∑ e =1 d[ t ] = 0 ⎢t M ⎥ ⎣ ⎦ 2.4. Dïng phÐp biÕn ®æi ma trËn ®Ó ®−a ®iÒu kiÖn trªn vÒ d¹ng: dI = K[t] + C[ & ] + H[t] - h - q = 0 t d[ t ] dt §ã lµ hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè cña t vµ & = t dτ 3. NÕu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh, [ & ] ≠ 0, tiÕp tôc dïng phÐp sai t ph©n thêi gian, chuyÓn hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n theo dτ thµnh hÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè vµ gi¶i theo ®iÒu kiÖn ®Çu. B−íc 1, 2 vµ 3 cã thÓ ch−¬ng tr×nh ho¸ cho m¸y tÝnh thùc hiÖn: 6.1.3. Ph¹m vi øng dông FEM: - Còng nh− FDM,FEM cã kh¶ n¨ng gi¶i mäi bµi to¸n biªn bÊt kú, cã ®iÒu kiÖn vËt lý vµ ®iÒu kiÖn ®Çu cho tïy ý, víi ®é chÝnh x¸c cao tuú ý. - FEM rÊt tiÖn lîi khi hÖ vËt cã biªn d¹ng kh«ng quy t¾c, v× khi ®ã chØ cÇn ghi ®i¹ chØ c¸c nót biªn, kh«ng cÇn tÝnh thÓ tÝch vµ diÖn tÝch mÆt c¸c phÇn tö nh− trong FDM. - Khi biªn di ®éng (bµi to¸n biªn lo¹i 5), c¶ FDM, FEM sÏ trë nªn phøc t¹p. 6.2. Cùc tiÓu cña hµm nhiÒu biÕn vµ phÐp xÊp xØ tÝch ph©n C¬ së cña FEM lµ ®iÒu kiÖn cùc tiÓu cña hµm sè vµ phiÕm hµm cïng phÐp xÊp xØ tÝch ph©n. 6.2.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu hµm sè u = u(x1, x2,...,xn) - Theo phÐp tÝnh vi ph©n, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm u = u(x) ®¹t 73
du d2u cùc tiÓu t¹i x lµ: = 0 vµ >0 dx dx 2 - §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó u = u(x,y) ®¹t cùc tiÓu t¹i (x,y) lµ: ⎧u x = 0, u y = 0 ⎪ ⎨ ⎪u xx > 0, (u xx u yy − u xy ) > 0 2 ⎩ - Tæng qu¸t, ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó hµm n biÕn u = u(x1, x2,...,xn) ®¹t cùc tiÓu lµ tÊt c¶ c¸c ®¹o hµm riªng u theo lÇn l−ît c¸c biÕn ®Òu triÖt tiªu, tøc: ∂u = 0, ∀i = 1 ÷ n. Sau ®©y sÏ dïng ký hiÖu "A ∆ B", cã nghÜa lµ " B ∂x i ®−îc ®Þnh nghÜa lµ A". ⎡ ⎤ ⎢x 1 ⎥ §Þnh nghÜa mét ma trËn cét [x] ∆ ⎢x 2 ⎥ , ®iÒu kiÖn trªn cã thÓ viÕt ë ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣x n ⎦ ⎡ ∂u ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂u ⎥ ⎢0 ⎥ ∂u ∂u ⎢ ⎥ d¹ng: = 0 hay cô thÓ , ∆ ⎢ ∂x 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ∂[ x ] ∂[ x ] ⎢ ⎥ ⎢... ⎥ ⎢...⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂xn ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Sau ®©y ta chØ quan t©m tíi ®iÒu kiÖn cÇn nãi trªn, cßn ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó ®¹t cùc tiÓu ®−îc x¸c ®Þnh bëi néi dung cña bµi to¸n biÕn ph©n cô thÓ. Trong kü thuËt, viÖc cùc tiÓu phiÕm hµm I[t], t−¬ng øng viÖc x¸c ®Þnh hµm t sao cho sai sè cùc tiÓu, so víi hµm t x¸c ®Þnh chÝnh x¸c theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng. 6.2.2. PhÐp xÊp xØ tÝch ph©n: - §Ó xÊp xØ mét tÝch ph©n, ta chia miÒn tÝch ph©n ra c¸c phÇn tö h÷u h¹n vµ gi¶ thiÕt r»ng, hµm tÝch ph©n thay ®æi tuyÕn tÝnh trong mçi phÇn tö. Cô thÓ, coi hµm F(x) lµ ®−êng th¼ng trong phÇn tö mét chiÒu 74
t ∆x = xj - xi , hµm F(x,y) lµ mÆt ph¼ng trong phÇn tö tam gi¸c 2 chiÒu ∆e, hµm 1 (Fi + fj) 2 F(x) F(x,y,z) lµ tuyÕn tÝnh víi c¸c biÕn täa ®é (xi, yj, zk) t¹i 4 ®Ønh cña tø diÖn. - Nhê c¸ch chia vµ gi¶ thiÕt nãi trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh tÝch ph©n I nh− (1) (2) (e) (E) x tæng c¸c gi¸ trÞ trung b×nh cña tÝch O x1 o xi xj xM E ∆x ph©n trªn mçi phÇn tö I = ∑ I (e) H.33. §Ó xÊp xØ tÝch ph©n I e =1 - VÝ dô: BiÓu thøc xÊp xØ tÝch ph©n trªn E = 5 phÇn tö ë h×nh H.33. E E Fi + Fj ∑ I(e) xM I= ∫ x1 F( x )dx lµ I = e =1 = ∑ e =1 2 (xj-xi) víi Fi = F(xi), Fj = F(xj), (Fi+Fj)/2 lµ trÞ trung b×nh cña F(x) trªn phÇn tö (e) cã kÝch th−íc ∆ex = xj-xi ∆ NÕu chän xij = xj - xi = ∆, M = 4, E = 5 th× ta cã: ∆ ∫ ∑ (Fi + Fj ) e = ∆ (F1+2F2 + 2F3 + 2F4 + F5) xM F( x )dx = x1 2 2 6.3. Lý thuyÕt biÕn ph©n (variation Theory) (Cã thÓ tham kh¶o tµi liÖu: Variationoe istrislenie cña L.E.Elgols). 6.3.1. PhiÕm hµm - Kh¸i niÖm: PhiÕm hµm lµ mét ®¹i l−îng biÕn thiªn mµ trÞ sè cña nã phô thuéc vµo mét hay mét vµi hµm sè nµo ®ã. Ký hiÖu: I = I[t(x)], I = I[t(x,y)] hay I = I[u1(x), [u2(x)] v.v - §inh nghÜa: ®¹i l−îng biÕn thiªn v ®−îc gäi lµ phiÕm hµm phô thuéc hµm sè y(x), (y(x) gäi lµ ®èi thøc), ký hiÖu lµ ν = ν[y(x)], nÕu øng víi mçi hµm y(x)thuéc mét líp hµm nµo ®ã, cã mét gi¸ trÞ ν x¸c ®Þnh. T−¬ng tù ®Þnh nghÜa phiÕm hµm ν = ν [t(x,y)] hoÆc ν = ν [u1(x),u2(x)], ...v.v - PhiÕm hµm th−êng lµ mét tÝch ph©n cña mét hµm F nµo ®ã trªn mét miÒn x¸c ®Þnh cho tr−íc. 75
VÝ dô: + C«ng mµ hÖ thùc hiÖn trong mét qu¸ tr×nh p = p(v) bÊt kú gi÷a v2 hai tr¹ng th¸i (p1, v2), (p2,v2) lµ phiÕm hµm l = l[p(v)] = ∫ v1 p( v) dv + NhiÖt l−îng do hÖ trao ®æi trong qu¸ tr×nh bÊt kú T = T(s) gi÷a s2 hai tr¹ng th¸i (T1,s1), (T2, s2) lµ phiÕm hµm q = q[T(s)] = ∫ s1 T (s) ds. + §é dµi ®−êng cong y(x) bÊt kú qua 2 ®iÓm (x0,y0) (x1,y1) lµ x2 phiÕm hµm l = l[y(x)] = ∫ x1 1 + y' 2 dx 6.3.2. Néi dung cña lý thuyÕt biÕn ph©n: - Lý thuyÕt biÕn ph©n lµ mét ngµnh cña to¸n häc chuyªn nghiªn cøu c¸c ph−¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña c¸c phiÕm hµm. Nã cho phÐp t×m ®−îc mét hoÆc mét sè hµm sè lµm cùc tiÓu mét phiÕm hµm ®· cho. - Bµi to¸n biÕn ph©n lµ bµi to¸n t×m cùc tiÓu cña mét phiÕm hµm cho tr−íc, phô thuéc mét vµi hµm sè ch−a biÕt. PhÐp tÝnh biÕn ph©n y t cho phÐp t×m ®−îc c¸c hµm sè nµy. - VÝ dô: c¸c bµi to¸n biÕn ph©n tiªu biÓu: 1. T×m mÆt cùc tiÓu: y(x) T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm x O xo S x1 (x0,y0) (x1,y1) cho tr−íc, ®Ó khi quay z quanh Ox t¹o ra mÆt cã diÖn tÝch cùc tiÓu. Ph¸t biÓu biÕn ph©n cña bµi to¸n H.34. Bµi to¸n t×m mÆt cùc tiÓu (1) lµ t×m cùc tiÓu cña phiÕm y hµm:S[y(x)] = ∫x 1 + y'2 dx x1 0 v y(x) ds 2. T×m ®−êng ®o¶n thêi: g dx T×m ®−êng cong y(x) nèi hai ®iÓm A(x0,y0), B (x1,y1) cho tr−íc ®Ó chÊt x ®iÓm l¨n kh«ng ma s¸t trªn nã tõ A ®Õn O xo x1 B tèn Ýt thêi gian nhÊt. H35. BT ®−êng ®o¶n thêi Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, t×m thÊy quan hÖ τ = τ[y(x)] 76
vµ bµi to¸n biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm nh− sau: m dx 2 + dy 2 2 2 mgy = ( ) → dτ 1 1 + ⎛ dy ⎞ dx → ⎜ ⎟ 2 dτ 2gy ⎝ dx ⎠ 1 x1 1 + y' 2 τ = τ[y(x)] = 2g ∫ x0 y dx 3. T×m ®−êng tr¾c ®Þa: T×m ®−êng cong f(x,y,z) nèi hai z ®iÓm A,B trªn mÆt cong ϕ(x,y,z) = 0 cho tr−íc, cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Theo ϕ(x,y,z)=0 ý nghÜa h×nh häc, bµi to¸n (3) theo biÕn ph©n lµ t×m cùc tiÓu phiÕm hµm B x l= l[y(x),z(x)] = ∫x 1 + y'2 + Z'2 dx 2 1 A y ⎧ y = y( x ) trong ®ã ⎨ lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh O ⎩z = z ( x ) x d¹ng tham sè cña ®−êng cong f(x,y,z)∈ϕ(x,y,z) = 0. H.36. BT t×m ®−êng y = y( x ) 6.3.3. BiÕn ph©n cña phiÕm tr¾c ®Þa ⎧ ⎨ ⎩z = z ( x ) hµm: 6.3.3.1. BiÕn ph©n cña ®èi thøc: - §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δu cña hµm u(x) (hay ®èi thøc u(x)) lµ hiÖu hai hµm sè δu = u (x) - u(x) trong u u(x) ®ã u (x ) thay ®æi tuú ý trong líp hµm δu u(x) u(x,ε) nµo ®ã, gÇn ®−êng cong u(x). T−¬ng tù ®Þnh nghÜa: δu(x,y) = u ( x, y ) - u(x,y) x - ý nghÜa h×nh häc: O x0 x1 u ( x ) thay ®æi trong líp ®−êng cong H.37. BiÕn ph©n δu(x) qua hai ®iÓm biªn (x0,y0) (x1,y1) phô thuéc th«ng sè ε nhá nµo ®ã: 77
u u ( x ) ∈ u ( x; ε) = u(x) + ε[ u (x) -u(x) u(x,y) δu u(x,y) = u(x) + εδu. u ( x, y ) thay ®æi trong líp mÆt cong qua s y chu tuyÕn S, phô th«ng sè ε nhá nµo ®ã: D u ( x, y ) ∈ u(x,y;ε) vµ u(x,y;ε) = u(x,y) + x ε[ u ( x , y) -u(x,y)] = u(x,y) + εδu(x,y). H.38. BiÕn ph©n δu(x,y) BiÕn ph©n δu lµ sù sai kh¸c nhá gi÷a hai hµm u cïng chung biªn nµo ®ã. 6.3.3.2. BiÕn ph©n cña phiÕm hµm: - §Þnh nghÜa: BiÕn ph©n δI cña phiÕm hµm I[u(x)] lµ ®¹o hµm cña phiÕm hµm I[u(x) + εδu(x)] theo tham sè ε, tÝnh t¹i ε = 0. δI[u(x)] = d I[u(x)] + εδu(x)]⏐ε=0 dε T−¬ng tù cã c¸c ®Þnh nghÜa δI[u(x,y)] = d I[u(x,y)] + εδu(x,y)]⏐ε=0 ,vµ dε δI[u1(x),..,un(x)] = d I[(u1(x) + εδu1),..,(un(x) + εδun)]⏐ε=0 dε - ý nghÜa: BiÕn ph©n δI lµ phÇn chÝnh bËc 1 (tuyÕn tÝnh) cña sè gia phiÕm hµm ∆I = I[u + δu] - I[u] khi max [δu] → 0 δI m« t¶ sai sè c¸c tÝch ph©n (phiÕm hµm) suy tõ mét ®Þnh luËt b¶o toµn nµo ®ã, so víi ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng. 6.3.4. §Þnh lý Euler -Lagrange x1 6.3.4.1. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm I[u(x)] = ∫x 0 F ( x, u, u ' )dx - CÇn t×m hµm u = u(x) qua 2 ®iÓm biªn cho tr−íc [x0, u0 = u(x0)] vµ [x1, u1 = u(x1)] lµm cùc tiÓu phiÕm hµm cã d¹ng: x1 I[u(x)] = ∫ x0 F (x,u(x), u'(x))dx. - TËp hîp c¸c ®−êng cong qua 2 ®iÓm biªn cã thÓ m« t¶ b»ng hµm 78
u u(x) u(x,ε) cña x vµ th«ng sè ε ∈ [0,1] bëi: δu u(x,ε) = u(x) + ε[ u (x) - u(x)] u(x) = u(x) + εδu(x) víi u (x) lµ ®−êng cong gÇn O x1 x x0 u(x) vµ δu(x) lµ biÕn ph©n cña hµm H.39. §Ó cùc tiÓu u(x). I[u(x)] - Víi ®−êng cong u(x;ε) th× phiÕm hµm I[u(x,ε)] lµ mét hµm chØ cña ε, do ®ã ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó cùc tiÓu phiÕm hµm cña hµm u(x), øng víi ε = 0, lµ: d I[u(x,ε)]ε=0 = 0 tøc lµ δI = 0 dε x1 ∫ d → δI = 0 tøc lµ δI = F(x,u(x;ε), u'(x;ε))dx|ε=0 dε x0 ⎡ ∂F ∂u ( x, ε ) ∂F ∂u'(x,ε ) ⎤ x1 = ∫x0 ⎢ ∂u . ∂ε + ∂u' . ∂ε ⎥ dx ⎣ ⎦ε =0 x1 = ∫ x0 ( Fu.δu + Fu ' δu ' )dx = 0 Ph©n ®o¹n tÝch ph©n sau, ta cã: x1 δI = ∫ Fu δu dx + Fu' δu | - ∫ x1 x0 x1 x0 ( d dx Fu ' ) δ udx x0 x1 d = ∫x0 ( Fu − dx Fu ' )δ udx = 0 (do δu | x1 = 0 - 0 = 0) x0 d V× δu (x) ≠ 0 ∀x ∈ (x0, x1) nªn Fu - Fu' = 0 dx → Suy ra ®Þnh lý Euler - Lagrange: - §Þnh lý E - L1: ∫ x1 §Ó cùc tiÓu phiÕm hµm I[µ(x)] = x0 F(x, u, u')dx, hµm u(x) cÇn 79
∂F d ∂F tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: − ( )= 0 ∂u dx ∂ u ' 6.3.4.2. Ph−¬ng ph¸p biªn ph©n: - Ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n lµ ph−¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cùc tiÓu ®Ó t×m ®−êng cong cùc trÞ. - §iÒu kiÖn cùc tiÓu I[y(x)] theo EL lµ: Fy- d Fy ' = 0 → suy ra: dx Fy- Fy'x- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 ,(E) Ph−¬ng tr×nh (E) gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler. - Ph−¬ng ph¸p t×m ®−êng cong cùc trÞ lµ: 1) TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh Euler thu ®−îc hµm y(x,c1, c2) 2) X¸c ®Þnh c1, c2 theo hai ®iÒu kiÖn biªn y0 = y(x0), y1 = y(x1) VÝ dô: Khi hµm F chØ phô thuéc y vµ y': F=F(y,y') → ph−¬ng tr×nh (E) cã d¹ng Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'' = 0 → Nh©n hai vÕ víi y' cã: y'(Fy- Fy'y.y'-Fy'y'.y'') = Fy.y'-Fy'yy'2-Fy'y'y'y'' = d = (F-Fy'.y')= 0, (d¹ng ®¹o hµm toµn phÇn theo x) dx TÝch ph©n ®Çu theo x cã F- Fy'y' = C1 lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng chøa x, gi¶i ®−îc b»ng c¸ch t¸ch biÕn hoÆc ®æi biÕn, vÝ dô * T×m mÆt cùc tiÓu (bµi to¸n 1) : y = c1ch x - c2 MÆt trßn xoay qua (o,y0), (x1,y1) c1 y cùc tiÓu khi phiÕm hµm S[y(x)] cùc y1 tiÓu. Do dS = 2πyds = yo ds dx x 2πy dx + dy nªn suy ra 2 2 O x1 x1 S[y(x)] = 2π ∫x = 0 y 1 + y ' dx . z 2 H.40. MÆt Catenoid Víi F = y 1 + y' = F (y,y'), ta cã tÝch ph©n ®Çu: 2 80
yy' 2 y F- y'Fy' = y 1 + y' - 2 = = C1 1 + y' 2 1 + y' 2 dy C1 shtdt §æi biÕn y' = sht th× y = C1cht vµ dx = = = C1dt y' sht → x = C1t + C2 ⎧ x = C1 t + C 2 x − C2 Khö t tõ ⎨ y = C cht cã y = C1ch lµ ®−êng d©y xÝch, quay ⎩ 1 C1 quanh ox t¹o ra mÆt Catenoid, víi C1, C2 t×m theo ®iÒu kiÖn biªn yo = y(0) , y1 = y(x1). * T×m ®−êng ®o¶n thêi: (bµi to¸n 2) Thêi gian chÊt ®iÓm l¨n trªn ®−êng cong y(x) tõ A→B lµ: 0 ≡A x1 x1 1 + y' 2 ∫ 1 +τ = τ[y(x)] = dx 2g x =0 y ds d y v = dτ g d ds 1 + y' 2 x Víi F = F(y,y') = y y1 B ta cã tÝch ph©n ®Çu: y 1 + y' 2 y' 2 H.41. §−êng ®o¶n thêi F- y'Fy' = - y y(1 + y' ) 2 ⎧x = C( t − sin t ) Cycloid ⎨ 1 ⎩ y = C(1 − cos t ) = =C y(1 + y' 2 ) → y(1 + y'2) = C1 lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 phi tuyÕn. C1 C1 §æi biÕn y' = cotg t cã y = = 1+ y '2 1 + cot g 2t 2 C1 = C1sin t = (1-cos2t) vµ : 2 dy 2C1 sin t cos t.dt dx = y' = cot gt = 2C1sin2t dt 81
= C1(1- cos2t)dt → x = C1(t- 1 sin2t) + C2 2 C1 hay x = (2t - sin2t) + C2 2 §−êng ®o¶n thêi cã d¹ng hä ®−êng cycloid ⎧ C ⎫ ⎪ x = 1 (2t − sin 2t ) + C 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ C1 ⎨ ⎬ qua A(0,0) → C2 = 0 ®Æt C = , ⎪ y = C1 (1 − cos 2 t ) ⎪ 2 ⎪ ⎩ 2 ⎪ ⎭ 2t = ϕ ta cã ®−êng ®o¶n thêi lµ ®−êng cycloid, m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh d¹ng tham sè sau: ⎧x = C(ϕ − sin ϕ) y y ⎨ hay x = c[arcos(1- ) - sin(arcos(1- ))] ⎩ y = C(1 − cos ϕ) c c víi C = b¸n kÝnh vßng trßn l¨n ®Ó vÏ ra Cycloid, x¸c ®Þnh theo y1 = y(x1). 6.3.4.3. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y)] I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy)dxdy D - CÇn t×m hµm u(x,y) trong miÒn D cã trÞ sè cho tr−íc trªn biªn W ∈ D, lµm cùc tiÓu phiÕm hµm ∂u ∂u I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u D , )dxdy ∂x ∂y - øng víi c¸c mÆt thay ®æi trong hä mÆt cong u(x,y,ε) = u(x,y) + ε[ u (x,y) - u(x,y) ] = u(x,y) + εδu(x,y) th× phiÕm hµm I[u(x,y,ε)] chØ phô thuéc ε, ®−îc cùc tiÓu khi: d I[u(x,y,ε)]ε=0 = δI = 0, tøc lµ khi: dε 82
⎡ ∂u ∂u ∂u ⎤ δI = ∫∫ ⎢ Fu + Fu x x + Fuy y ⎥ dxdy D ⎣ ∂ε ∂ε ∂ε ⎦ ε=0 = ∫∫ F δµ + F D u ux δu x + Fuy δu y )dxdy = 0 U u u(x,y U(x,y) δU u u(x,y U(x,y) ⎧∂ ∂Fu x ⎪ ∂x ( Fu x δu ) = δu + Fu x δu x ⎪ ∂x - V× cã: ⎨ ∂ ∂Fu y s ⎪ (Fu δu ) = δu + Fu y δu y y ⎪ ∂y ⎩ y ∂y D 0 nªn ∫∫ ( Fu δu D x x + Fuyδu y ) dxdy = W x ⎡∂ ∂ ⎤ = ∫∫ ⎢ ( Fu x δu ) + (Fu y δu )⎥ dxdy- H.42. §Ó cùc tiÓu D ⎣ ∂x ∂y ⎦ phiÕm hµm I[µ(x,y)] ∂Fu x ∂Fu y ∫∫ ( D ∂x + ∂y )δudxdy ∂Fu x ∂Fu y = - ∫∫ ( + )δudxdy D ∂x ∂y ∂ ∂ (do theo c«ng thøc Green cã: ∫∫[ D ∂x ( Fu x δu ) + ( Fu y δu )]dxdy ∂y = ∫ ( Fu x δu − Fu y δu )dx = 0 v× δu|W = 0) w - V× vËy, ®iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm lµ: ∂Fu x ∂Fu y δI = ∫∫ (Fu − − )δudxdy = 0, do δu|D ≠ 0 suy ra: D ∂x ∂y ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F → − ( )− ( )=0 ∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y §Þnh lý Euler-Lagrange N02: §Ó cùc tiÓu phiÕm hµm: I[u(x,y)] = ∫∫ F (x,y,u,ux,uy,)dxdy, D hµm 83
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F u(x,y) cÇn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: − ( )− ( )=0 ∂u ∂x ∂u x ∂y ∂u y 6.3.4.4. §iÒu kiÖn cùc tiÓu phiÕm hµm d¹ng I[u(x,y,z)]. C¸c bµi to¸n truyÒn nhiÖt 3 chiÒu kh«ng æn ®Þnh víi biªn lo¹i 2 vµ 3 th−êng t−¬ng øng víi phiÕm hµm d¹ng: 2 I[u(x,y,z)] = ∫∫∫ F (x,y,z,t,tx,ty,tz)dV+ ∫ (qt + α )ds t D S 2 - Khi cùc tiÓu phiÕm hµm I, cÇn cã δI = 0, tøc lµ: ⎡ ∂F ∂F ∂F ∂F ⎤ δI = ∫ ⎢ V ⎢ ∂t ⎣ δt + ∂t x δt x + ∂t y δt y + ∂t z ⎥ ⎦ ∫ δt z ⎥ dV+ (qδt + αtδt )ds = S 0 ∂t ∂ - Theo δtx = δ ( ) = (δt ) , v.v., ta cã: ∂x ∂x δI= z ⎡ ∂F ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∂ ⎤ ∫ ⎢ δt + . ( δt ) + . ( δt ) + . ( δt ) ⎥ d → ny V ⎢ ∂t ∂t x ∂x ∂t y ∂y ∂t z ∂z 0 ⎣ ⎥ ⎦ S V+ ∫ δt (q + αt )d s = 0 S V y - Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn (per partes) ta 0 cã: x ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t V . (δt )dV = ∫ x ∂x S ∂t x δt.l x dS - ∫ δt .( )dV V ∂x ∂t x H.43. MiÒn tÝch ph©n V,S cña bµi to¸n 3 chiÒu ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t y ∂y V . (δt )dV = S ∂t y ∫ V ∫ δt.l y dS - δt .( )dV ∂y ∂t y ∂F ∂ ∂F ∂ ∂F ∫ ∂t V . (δt )dV = ∫ z ∂z S ∂t z δt.l z dS - ∫ δt .( )dV V ∂z ∂t z víi lx, ly, lz lµ cosin chØ ph−¬ng cña ph¸p tuyÕn n phÝa ngoµi V t¹i M ∈ S. Do ®ã, ®iÒu kiÖn δI = 0 sÏ cã d¹ng: 84