zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy trình bày phép phân tích theo giá trị kì dị SVD; Mối liên hệ giữa POD và SVD; Phương trình Fredholm; Các tính chất của các hàm riêng cơ sở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các phương pháp xấp xỉ nghiên cứu cấu trúc dòng chảy

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC DÒNG CHẢY Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG  0, k1  k 2   1 k (x)  k 2 (x) dx   k k 1 2   Phép phân tích trực giao theo giá trị riêng  1, k1  k 2 hay Proper Orthogonal Decomposition ở đó: k 1 k 2 là kí hiệu Kroneker. (POD) là một kĩ thuật hiệu quả để phân tích dữ liệu, nó cho phép xấp xỉ một hệ cỡ lớn Dùng tích vô hướng ta nhận được: thành một hệ cỡ nhỏ hơn. Nói chung phương al  t    u  x,t  l  x  dx   u  x,t  ,  l  x   pháp này là một quá trình tuyến tính, bằng  việc xác định một hệ cơ sở các modes riêng Nghĩa là với một họ các hàm trực chuẩn, trực chuẩn phù hợp nhất. Các modes đó thu hệ số ak (t) chỉ phụ thuộc và hàm k . được sau khi giải một phương trình tích phân Bài toán xấp xỉ sẽ dẫn đến việc xác định Fredholm ở đó nhận được xây dựng từ một K tập hợp các dữ liệu ban đầu là các kết quả số họ trực chuẩn k  x k 1 với K  N t để bài hay kết quả thực nghiệm. Từ đó ta có thể toán cực tiểu sau xảy ra chọn được hệ các hàm riêng một cách tối ưu Nt K nhất để có thể xây dựng lại hệ dữ liệu xấp xỉ min  || u  x, t i     u  x, t i  ,  k  x   k  x  || tốt nhất. Để tiếp cận với phương pháp POD i 1 k 1 trước tiên ta đề cập đến trường hợp chung đó là phương pháp xấp xỉ. Bài toán được phát 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU biểu như sau: Làm sao để xấp xỉ một hàm u 2.1. Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD phụ thuộc vào các biến không gian x và biến thời gian t theo một tổng hữu hạn có dạng: Cho A là một ma trận thực cỡ M  Nt , K Phép phân tích theo giá trị kì dị SVD u  x,t    a k  t   k  x  (Singular Value Decomposition) của A được k 1 định nghĩa như sau A = U  VT, ở đó U và V Rõ ràng xấp xỉ trên trở thành là phép tính là các ma trận vuông góc với nhau, có cỡ lần đúng khi cho K ra vô cùng. Tuy nhiên trong lượt là M  M và Nt  Nt và  là một ma trận thực tế với mỗi K cho trước chúng ta sẽ tìm đường chéo với các phần tử trên đường chéo: cách xây dựng lại một cách tốt nhất. Việc này được thực hiện với nghiệm của bài toán phân  1 , …, r là các giá trị riêng của A (và AT) sao tích kì dị với chuẩn Euclide trên không gian cho  1  2  …  r, trong đó r = min (M, Nt). L2 . Nói chung, để giải bài toán xấp xỉ trên, ta Hạng của ma trận A bằng số các giá trị xét các hàm cơ sở k là các hàm đa thức riêng khác không của nó. Mặt khác, r cột Chebychev hay Legendre, hoặc là các hàm lượng giác. Cách tiếp cận này dẫn đến phép  đầu tiên tương ứng của V  v1 , v 2 ,..., v N t và  phân tích trực giao theo các giá trị riêng. U = (u1 , u2 , …, uM) được gọi là các véc tơ kì Một khó khăn của phép xấp xỉ là mỗi một dị phải và trái của A. hệ các hàm cơ sở k tương ứng với một tập Để tính toán các véc tơ kì dị phải và trái hợp các hàm thời gian ak (t). Liệu rằng các của ma trận vuông A ta sẽ giải bài toán giá ak (t) là tồn tại và duy nhất? Giả sử chúng ta trị riêng tương ứng với các ma trận ATA và chọn các hàm k là một hệ trực chuẩn: AAT. Ta có: 172
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 A TA  V  U T U  V T  V  2 V T . ở đó cơ sở hàm riêng POD k (x) k 1 chứa K T Do A A là một ma trận Hermite, nó có thể trong không gian véc tơ sinh bởi các hàm chéo hóa được trong một cơ sở vuông góc của n n  j các véc tơ riêng và do đó dạng phân tích của  (x) j1 là  j  k (x)    kj   (x). nó là A T A  WW 1  WW T , ở đó W là j 1 một ma trận vuông có số chiều là Nt . Từ đó Chúng ta lựa chọn một ma trận thực  cỡ K suy ra 2 =  và W = V. Mặt khác t   t n  K các hàm riêng k (x) k 1 - hệ cơ sở hữu µ cỡ n  N và (V, ) biểu diễn phép phân tích véc tơ riêng hạn. Đối với tất cả các ma trận A t của ma trận ATA. Tương tự ta cũng thu được Nt AAT  U  VT V  U T  U  2 U T  W W T , || Aµt ||22 || Aµ||F t 1 ứng với (U, ) biểu diễn phép phân tích giá trị ở đó || . ||F là chuẩn Frobenius. riêng của ma trận AAT. Bài toán cực tiểu trở thành Khi mà Nt rất bé so với M việc giải bài toán véc tơ riêng của ATA đơn giản hơn về µ T¶ min | | A  ZZ A | | với điều kiện ZT Z  IK , Z mặt tính toán so với bài toán giá trị riêng của T T AAT. Điều đó đẫn đến hai cách tiếp cận khác  1  1 µ  M 2  A và Z   M 2   . trong đó A nhau đối với POD. Về sau chúng ta sẽ thấy         bài toán đối với ma trận ATA có liên hệ với Như vậy ta cần phải tìm một không gian phương pháp snapshots và bài toán liên hệ con có số chiều K sao cho X = ZZTA và là với ma trận AAT là bài toán đối với phương µ. Từ đó dẫn đến pháp cổ điển. Như vậy khi Nt rất lớn so với xấp xỉ tốt nhất của A M thì chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cổ µK  U  VT ở đó U và V tương ứng A K K K K K điển còn khi Nt rất bé so với M thì việc tính là K cột đầu tiên của U và V. toán sẽ thực sự nhẹ nhàng so với việc khi ta Khi so sánh biểu thức của AµK và chuẩn sử dụng SVD đối với A. của X chúng ta thấy rằng ma trận  là 2.2. Mối liên hệ giữa POD và SVD nghiệm của hệ tuyến tính sau đây T Giả sử các tệp ta xét là u trong tập hợp U .  1  M 2    U K . Trong biểu thức này, các véc Tất cả các hàm u có thể được phân tích dạng   n   u  x,t i   u n  x, ti    u j (ti )  j  x µ  U  V T có thể nhận tơ kì kị trái U của A j 1 được trực tiếp bởi các véc tơ riêng của ma Tích vô hướng hai hàm u và v được xác µµT . Từ đó các véc tơ kì dị được xác T trận AA định bởi  u, v  M  u Mv , ở đó M là một ma định sau bởi công thức U   1 µ AV . trận vuông cấp n . Theo chuẩn Cholesky T 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1  1 M M2  M 2  hay: 3.1. Phương trình Fredholm     Cho X = (x, t n ) là biến không gian và thời T 1  1  gian, {u(X)} là tập hợp kết quả gọi là các || u ||  u, u  2 ||  M 2  u || 2 snapshot tại Nt thời điểm tn và trên không     gian. Kí hiệu là X. Chúng ta sẽ tìm một hàm Bài toán cực tiểu lúc này có thể được viết  sao cho giá trị |(u, )| 2 được cực tiểu hóa lại thành một bài toán cực tiểu mới: với   L2 (D). Từ đó dẫn đến bài toán cực Nt K |  u,   | 2 min  || u n  x,t i     un  x, ti  , k  x   ||2M tiểu hóa . i 1 k 1  173
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 trong đó  là nghiệm của bài toán tối ưu ở đó n và nj lần lượt là các giá trị riêng và |  u,   |2 |  u,   |2 các hàm riêng POD. Các hàm riêng này vuông max  góc với nhau và có chuẩn bằng 1 đơn vị. L2 D    2 b) Toán tử R có các giá trị riêng là các số ở đó  ,   ||  ||  1 . thực dương. Ta có thể sắp xếp chúng lại theo Xét toán tử: R : L 2  D   L2  D  thứ tự tăng dần 1   2  ...     0 . Mặt Xác định bởi:  R  X    R  X, X'    X'  dX ' khác chuỗi sau hội tụ n . D n 1 c) Các hàm riêng POD tạo thành một cơ sở ở đó: R  X, X '   u  X   u *  X '  hoàn chỉnh, tất cả u có thể được xây dựng lại Ta có:    từ cơ sở này u u  X    a n in  X  .  R ,      u  X   u *  X'    X'  dX',   X  n 1 D  d) Các hàm riêng POD vuông góc với  u  X   u *  X '   X'  dX '. *  X dX nhau từng đôi một: DD nC    im  X  i*n  X  dX  mn .   u  X   *  X  dX  u *  X'    X'  dX' i 1 D D D e) Các hệ số an của u theo  được xác 2  | u,   | 0 nC định bởi an   u,      u i  X  i*n  X  dX . Làm tương tự ta thu được: i 1 D  RX,     , R  với  ,    L22  D  . f) Ma trận tương quan được xác định bởi Theo lý thuyết phổ của Riesz bài toán cực  đại hóa có một nghiệm là giá trị riêng lớn Ri j  X,X '     n ni  X   nj*  X '  . n 1 nhất của R   . g) Các hệ số thỏa mãn tính chất Viết dưới dạng phương trình tích phân a n a n *  mn n . Fredholm: nC h) Tính chuẩn hóa của các hàm riêng POD nC   Ri j  X, X '  j  X '  dX '   t  X   j1 D   Ri i  X, X  dX    n  E i 1 D n 1 n C là số thành phần của u . Bài toán cực đại hóa ở trên liên quan đến 4. KẾT LUẬN việc cực đại thương Rayleigh xác định bởi: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về  R ,   các phương pháp xấp xỉ SVD và POD. Bài r    báo đã chỉ ra được mối liên hệ của hai ||  || phương pháp trên và đưa ra được các tính Điều kiện cần thiết là: chất của phương pháp POD. Từ đó chúng ta 2 nhận thấy rằng có hai cách tiếp cận khác  r     T R  r      0 nhau đối với POD: bài toán đối với ma trận   ATA có liên hệ với phương pháp snapshots Từ đó dẫn đến R  r     . và bài toán liên hệ với ma trận AAT là bài toán có liên hệ với phương pháp cổ điển. 3.2. Các tính chất của các hàm riêng cơ sở 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO a) Phương trình tích phân Fredholm có [1] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D., Pham một tập hợp rời rạc các nghiệm thỏa mãn Van Bang D., Chauchat J. (2012), “Simulation nC of dredged sediment releas es into   R i j  X,X'   nj  X ' dX '  n  ni  X  homogeneous water using a two-phase model”. j1 D Advances in Water Resources 48, 102-112. 174

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.