Các quy tắc đạo hàm

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

370
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các quy tắc đạo hàm', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các quy tắc đạo hàm

C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm I. Õn thøc c¬ b¶n Ki 1. §¹o hµm cña mét sè hµm sè thêng gÆp. (Ký hiÖu U=U(x)) ( C ) ′ =0 (C lµ h»ng sè) ( x ) ′ =1 ( x n )′ =n.xn1 (n∈ N, n ≥ 2) (U n )′ =n.Un1.U ′ ′ ′  1  = U ′  1  = 1 (x ≠ 0)   x2  U  U 2  x ′ U′ 1 () ( x )′ = (x>0) U =2 U 2x 2. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm (Ký hiÖu U=U(x), V=V(x)). (U ± V ) ′ = U ′ ± V ′ (UV ) ′ = U ′V + UV ′ kU ′ ( . ) = k .U ′ (k lµ h»ng sè) ′  U  = U ′.V − U .V ′  V2 V  ′  1  = 1  V2 V  3. §¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)]. ′ g ' x = f 'u . U x II. ü n¨ng c¬ b¶n K VËn dông thµnh th¹o c¸c c«ng thøc, quy t¾c tÝnh ®¹o hµm cña tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng c¸c hµm sè. TÝnh ®îc ®¹o hµm hµm sè hîp. III. ét sè vÝ d M ô A.VÝ dô tù luËn VD1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè
1 1/ y=2x53x4+x3 x2+1 2 1 4 1 2/ y= x4 x3+ x2+3x2 2 3 4 3/ y=2x2 (x3) mx + 2 4/ y= víi m lµ tham sè kh¸c 1 m +1 Gi¶i 1/ Ta cã: y ' = 10x412x3+3x2 –x 2/ Ta cã: 1 y ' = 2x3 4x2+ x+3 2 3/ Ta cã: y= 2x3 6x2 ⇒ y ' = 6x212x 4/ Ta cã: m 2 y= x+ Do m lµ tham sè kh¸c (1), m +1 m +1 nªn m y ' = m +1 VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 3/ y= 3x + x + 1 1 2 1/ y= x +1 4x − 1 x−2 y=(3x2)(x2+1) 2/ y= 4/ x +1 Gi¶i: 1/ Ta cã:
( x + 1)' 1 ∀ x ≠ 1 y ' = 2 = ( x + 1) ( x + 1) 2 2/ Ta cã: ( x − 2)'.( x + 1) − ( x − 2).( x + 1)' ( x + 1) − ( x − 2) 3 y ' = = = ∀ ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 2 2 x ≠ 1 3/ Ta cã: (3x 2 + x + 1)' (4 x − 1) − (3 x 2 + x + 1)(4 x − 1)' y ' = (4 x − 1) 2 (6 x + 1)(4 x − 1) − (3x 2 + x + 1).4 = (4 x − 1) 2 12 x 2 − 6 x − 5 1 ∀x≠ = (4 x − 1) 2 4 4/ Ta cã: y ' = (3 x − 2)' (x2+1) (3x2) ( x 2 + 1)' = 3(x2+1)(3x2).2x = 3x2+3 6x2+4x = 3x2+4x+3 VD3. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/ y= x 1 + x 2 2/ y= x (x2 x +1) 1+ x 3/ y= 1− x Gi¶i: 1/ Ta cã: ) ( y ' = ( x)′ . 1 + x 2 +x 1 + x 2 ′
1 + 2x 2 x2 = 1 + x 2 + = 1+ x2 1+ x2 2/ Ta cã: y ' = ( x )′ (x2 x +1) + x ( x 2 − x + 1) ′ 1 x2 − x +1 = + x (2x ) 2x 2x x2 − x +1 1 = + 2x x ∀ x > 0 2 2x 3/ Ta cã: ( )′ y ' = (1 + x)′ 1 − x − (1 + x) 1 − x 1− x 1+ x 1− x + = 2 1− x 1− x 2(1 − x) + 1 + x − x+3 = = ∀ x
= 20(x2+3x2)19.(2x+3) 3/ Ta cã: y ' = ( x )' x + a − x ( x + a )′ 2 2 2 2 2 2 x2 + a2 x3 x 3 − 2 xa 2 2x x 2 + a 2 − = x 2 + a 2 = (x 2 + a 2 )3 x +a 2 2 VD5. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C ): y=x3 3x+7 1/ T¹i ®iÓm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Gi¶i: Ta cã: y ' = 3x23 1/ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i A lµ k = y ' (1) = 0 ⇒ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn viÕt lµ: y = 5. 2/ Gäi tiÕp ®iÓm lµ M(x0;y0) y0= x033x0+7 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn lµ k = 6 ⇒ y ' (x0) = 6 ⇔ 3x023 = 6 ⇔ x0 = ± 3 Víi x0 = 3 ⇒ y0=7. ⇒ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7 6 3 Víi x0 = 3 ⇒ y0=7
⇒ Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=6x+7+6 3 VD6. Cho hµm sè y= x + x + 1 2 x +1 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh khi y ' ≥ 0 Gi¶i: Ta cã: ( x 2 + x + 1)' ( x + 1) − ( x 2 + x + 1)( x + 1)' + y ' = ( x + 1)2 (2 x + 1)( x + 1) − ( x 2 + x + 1) = ( x + 1) 2 x 2 + 2x ∀ x ≠ 1 = ( x + 1) 2 x 2 + 2x Do ®ã: y ' ≥ 0 ⇔ ≥0 ( x + 1) 2 x ≠ −1  x ≤ −2 ⇔  ⇔ x ≥ 0 x + 2x ≥ 0 2 B. VÝ dô tr¾c nghiÖm Chän nh÷ng ph¬ng ¸n ®óng trong vÝ dô sau: 1 VD7. Cho hµm sè y= , khi ®ã y ' (2) b»ng 2x + 1 −1 1 1 1 D. − A. B. C. 5 5 25 25 VD8: Cho hµm sè y= 2 x , khi ®ã y ' (4) b»ng 1 C. 2 D. 2 A. 2 2 B. 22 2 4 VD9. Cho hµm sè y=(x+1)5, khi ®ã y ' (−2) b»ng
A.5 B.5 C.1 D.1 VD10. Cho hµm sè y=2x x , khi ®ã y'1) b»ng ( 1 3 A. B. C. 1 D. Kh«ng 2 2 tån t¹i x +1 , khi ®ã y'−1) b»ng ( VD11. Cho hµm sè y= x−2 1 1 A.0 B.1 C. D. 2 3 VD12. Cho hµm sè y=2x33x2+3, khi ®ã ph¬ng tr×nh y'=0 cã nghiÖm A. x=0 vµ x=1 B. x=0 vµ x=1 C. x=1 vµ x=3 D. x=1 vµ x=3 1 . §¹o hµm y' VD13. Cho hµm sè y= b»ng ( 2x + 3) 2 −4 −1 −2 −4 A. B. C. D. ( 2x + 3) 4 ( 2x + 3) 3 ( 2x + 3) 3 ( 2x + 3) 3 x+4 , ®¹o hµm y' VD14. Cho hµm sè y= b»ng 2x + 1 −7 −5 7 5 A. B. C. D. ( 2x + 1) 2 ( 2x + 1) 2 ( 2x + 1) 2 ( 2x + 1) 2 x2 + 1 VD15. Cho hµm sè y= , khi ®ã tËp nghiÖm cña x ph¬ng tr×nh y'>0 lµ A. S =( ∞; 1] ∪ [1;+ ∞ ) C. S =( ∞; 1)∪ ( ; ) − 1 +∞ − B. S =( ∞; )) ∪ [1;+ ∞ ) D. S = ( − ∞; 1)∪ ( ; ) − 0 +∞ 0 x−3 VD16. Cho hµm sè y= , khi ®ã bÊt ph¬ng 4x + 1 < tr×nh y' 0 cã tËp nghiÖm lµ:
−1 −1 +∞ +∞ A. S =( ;) B. S =[ ;) C. S 4 4 D. S ≠ φ =[3;+ ∞ ) §¸p ¸n: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 VD16 C D A B D A D B C D IV. Bµi tËp. A. Bµi tËp tù luËn. Bµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè: 1/ y=x3 2x2+x x +1 7/ y= x + 3 + 4 − x x +1 8/ y= ( x 2 − 3) 7 2/ y= 2x − 3 x 2 + 2x + 2 3/ y= 9/ y=(x2) x 2 + 1 x+2 1+ x 10/ y= ( x 2 − 2) 2 + x 2 + 4 4/ y= 1− x 5/ y= 2x 2 + 3x + 4 11/ y= ( x + 1) x2 + x + 1 x x2 + x + 3 6/ y= 12/ y= 9 − x2 2x + 1 ng dÉn: Hí 1 1/ y' 3x − 4x + 1 − =2 , ∀x > 0 7/ 2x 1 1 = − y' víi3
x 2 + 4x + 2 2x 2 − 2x + 1 = = ∀x ≠ −2 3/ y' 9/ y' ( x + 2) 2 x2 + 1 x 2 , x ≥ 0 10/ y' 4x(x − 2)+ = 2 4/ Ta cã: y=1 1− x x2 + 4 1 ⇒ y' − = ∀x > 0 ( ) 12/ 2 x 1− x − 11 = y' 2( x + 1) x 2 + x + 3 2 2 4x + 3 = 5/ y' 2 2x 2 + 3x + 4 9 − 2x 2 6/ y ' = víi 3
9 ⇔ m≥ 2 3/ Ta ph¶i cã:  g ( )< 0 2m < 0 0 ⇔ ⇔ m 0  + HoÆc  g (0) > 0 HÖ v« nghiÖm S  y0=2 => ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ: y=3x+1 x +1 Bµi 4. Cho ®êng cong (c)): y= . T×m to¹ ®é giao x−3 ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn cña (c) víi trôc ox. BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®êng th¼ng y =x+1 ng dÉn: Hí −4 + Ta cã y ′ = (x − 3)2
+ HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = 1 x0 + 1 + Gäi (x0; y0) lµ tiÕp ®iÓm, y0= x0 − 3 Ta ph¶i cã:  x0 = 1 −4 = −1   x0 = 5 ( x 0 − 3) 2 + Ta cã 2 tiÕp tuyÕn lµ y = x vµ y = x+8 + Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ B. Bµi tËp tr¾c nghiÖm Chän ph¬ng ¸n ®óng trong c¸c bµi tËp sau: 1 , y ′(1) b»ng Bµi 4. Cho hµm sè y = 2x −1 1 A. B. C. 1 D. 1 2 2 2x + 1 , y ′( 1) b»ng − Bµi 5. Cho biÕt hµm sè y = x −1 −3 −1 3 1 A. B. C. D. 4 4 2 2 ′( ) b»ng Bµi 6. Cho hµm sè y = x + 1 , y 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 23 23 Bµi 7. Cho hµm sè y =(13x)6, y ′( )b»ng 0 A. 1 B. 1 C. 18 D. 18 Bµi 8. Cho hµm sè y = 2x + 1 , Khi ®ã tËp nghiÖm cña 2 bÊt ph¬ng tr×nh y ′ ≥ 0 lµ: D. S = φ A. S =IR B. S =[0; C. S =(0; + ∞)
+ ∞) 2 Bµi 9. Cho hµm sè f(x)= x +3x1 vµ g(x) = 2x3. BÊt ph¬ng tr×nh f ′( )≥ g ′(x) cã tËp nghiÖm lµ: x −1 −1 A. S = φ D. –S = φ +∞ +∞ B. S = ( ;) C. S = [ ;) 2 2 2x − 3 Bµi 10. Hµm sè y= cã x+4 −5 11 5 − 11 A. y ′ = C. y ′ = D. y ′ = B. y ′ = ( x + 4) 2 (x + 4) (x + 4) (x + 4) 2 2 2 Bµi 11. Hµm sè y = x x cã 1 3 3x A. y ′ = C. y ′ = B. y ′ = 1 + D. y ′ = x 2x 2x 2 Bµi 12. Hµm sè y = x +2x mx+1 cã y ′ > 0∀x ∈ IR, khi ®ã 3 2 tËp c¸c gi¸ trÞ cña m lµ: −4 −4 C. T = ( − ∞;] D. T= ( − ∞; ) A. T= ( ∞ ; − B. T= ( − ∞; 1 1 ] ) 3 3 mx cã y ′ < 0∀x ∈ IR \{ }Khi ®ã tËp 2 Bµi 13. Hµm sè y = x−2 c¸c gi¸ trÞ cña m lµ: −1 −1 C. T = ( − ∞; ) D. T= ( − ∞; ] +∞ B. T= ( − ∞; 0 0 A. T= ( ;) ) 2 2 Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3)10 cã A. y ′ = 10 2x + 3) B. y ′ = 10( x + 3) C. y ′ = 20 2x D. y ′ = 20 2x + 3) + 3) 9 10 9 10 ( 2 ( ( Bµi 15. Hµm sè y = x 2 − 3x + 5 cã 2x A. y ′ = x 2 − 3x + 5 2x − 3 B. y ′ = 2 x 2 − 3x + 5 x C. y ′ = − x 2 − 3x + 5 2x − 3 D. y ′ = x 2 − 3x + 5
§¸p ¸n: B4. B5. B6. B7. B8. B9. B10. B11. B12. B13. B14. B15. B A C D B C A D B A C B