Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 1)

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:212

Thêm vào BST

Báo xấu

287
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải tích toán học (tiếng Anh: Mathematical analysis), còn gọi đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay. Phần 1 Tài liệu sau đây trình bày nội dung chương I - Chuỗi. Mời bạn đọc tham khảo nội dung Tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 1)

UM. muiKồ, A.K. BồHPMyK, H.r. >.rA$, T..n. rojioBA
CHƯƠNG í CHUỖI § 1 . CHUỖI SỐ. ĐẨU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUÔI CÓ ĐẨU KHÔNG ĐÔI 1. Khái niệm chung. Ta gọi chuỗi so\ầ biêu thức t oo «1 + «2 + ••• + «n + ... = ^ a. n (1) n=l à các số a được gọi là các số hạng của chuỗi số đó. n Nếu lòn ìại giới hạn hữu hạn của dãy nông riêng S của chuỗi (1) : lim S = S, n D ' ~~ n—>oo n rong đ ố Su = Ok, thì chuỗi (1) được gọi ìkhộitụ. Nếu lim Sn = o ° hoặc không ' n—í-oo k=l . 5n tại thì chuỗi (1) đuọ-c gọi là phận kỳ. Nếu ơn > 0 thì chuỗi (1) được gọi là chuỗi dương ; nếu a > 0 (n = í, 2,...) n lì chuỗi (1) được gọi là chuỗi dương thực sự. 2. P h à n dư của chuối sổ sau số hạng thú- Vỉ. Chuỗi £ aỵ (2) k=n+l ợc gọi là phân dư tiiứji của chuỗi (1) hay là" phần dư sau sô hạng thứ /ỉ và ực kỷ hiệu là (j,. Nếu chuỗi (1) hời tụ thì phàn d ư T n - > 0 khi n -> oe. Chuỗi (1) ờ i l ự hay phân kỳ đòng_thời với phần dư cua nó và vì vậy khi nghiên cửu sự ôi tụ của chuỗi ta thường ihay nó bẵng phần dư thứ n. 3. Đ i ề u k i ệ n càn vè s ự hội tụ của chu i . Đế chuỗi (1) hời tụ, điều kiện cần thỏa mẫn đẳng thức lim a = 0 n (3) 3
4. Tiêu chuằn CôBi. biền kiện cai) và đủ đê chuồi ( í ) hội tụ là V e > 0 3í\ 58*0 cho y / Ị > . N và với mọi số lự nhiên p bai đẳng thức sau đ à y được thỏa mãn • I Ắ' P — n + Vi -•- I fl l n+ + a n + 2 + ••• + "n+p I < e - 5. C h u ỗ i đ i ê u hòa tồng q u á t . Chuỗi số 4 ỳ. 1—1 ~ fit> /ỈP > Ì và phân kẢ k.ụ p < Ị li Nếu /> = Ì thì chuỗi này được gọi là chuỗi điều hòa, 6. Chuôi t r ộ i . Nếu « n < c (/ỉ = n 1,2,...), fl > n 0 thi chuỗi 00 ĩ , ( í n=l đ ư ợ c g ọ i là CẢUỖÍ / r ồ i c ủ a c h u ỗ i (1). T ừ sự h ộ i tạ c ủ a c h u ỗ i t r ộ i ( 5 ) suy r a sự h( tụ của c h u ỗ i (1) v à từ sự p h â n k Ả c ì i ạ chu*ỗi (1) suy ra sự p h â n k Ả c ủ a ỷhiiỗi tn bai kẢ của nó. 00 7. D á n h i ệ u so s á n h chung. Nếu chuỗi ( ] ) là chuỗi (luông và chuôộ' bn ị n=l d ư ơ n g , t h ự c sự v ù tợn tại l i m — = c, trong đ ỏ c — C o n s t , c ^ HỊ^lhì t ừ s ự hi ^ li fUH n—»00 I^n tụ của chuỗi với các số hạng ba suy ra sự hội lự của chuỗi (1), và từ sự phân k của chuỗi ( Ì ) suy ra sự phân kẢ của chuỗi vời các số hạng b . Đặc biệt nếu a — í n n khi n -* 00 thì các chuỗi với các số hạng a và ta đòng thời hội tụ hoặc đ ô n g thí n átiân kẢ: 8 D ầ u h i ệ n so t á n h v ờ i lay thừa. Nếu khi n —»• 00 On " t e ) - thì với p > Ì chuỗi (1) hòi tụ, với p < Ì chuồi (1) phân kẢ (dấu hiệu này đ ú t stoỵ từ dấu hiệu so sảnh chung của chuỗi). 9. D i u h i ệ u Đ a l a m b e . Nếu (1) là chuỗi đương thục,sự và lim •«n 1 + n—*• 0» (In thì với L < Ì chuỗi đó hội tụ, v à với L > Ì thi nó phân kỳ. Với L — ĩ thì sự lì tụ của (1) chưa xác định được, bởi vi có nhũng chuỗi hội tụ hoặc những chv^ phầnJỉẢ mà L a i ,
10. Dâu hiệu Côsi. Nếu (1) là chuỗi d ư ơ n g và n l i m Víía = (J, Tí—*-o» hì v ớ i q < Ì chuỗi đ ó h ộ i l ạ , và nếu q > • Ì thì nó p h â n kỳ. V ờ i q = Ì t h ì sự l ỉ ộ i ụ của chuỗi c h ư a xác định đ ư ợ c . 11. Dâu hiệu Raabe. N ế u (1) là chuỗi d ư ơ n g thực sự và lim n l] ^ p hì v ó i p ^> Ì n ộ h ộ i tụ và v ờ i p < Ì nó p h â n kỳ- Vó i p — Ì , sự b ộ i t ụ hay phân :ỳ của chuỗi (1) c h ư a xác định đ ư ợ c . - 12. Dâu hiệu Gao xơ. Nếu (1) là chuỗi d ư ơ n g thực sự và long đ ó e > í), ị 0 I < c thì v ớ i X > ỉ chuỗi (1) hội l ự và v ớ i X < Ì chuỗi (1) n ịihân kỳ. Nếu X = Ì t h ì c,hnỗi h ộ i tụ k h i ọ. > Ì vá p h â n kỹ k h i ụ. < 1. C h ú ý r ằ n g lẩu hiệu Gaoxơ tọng hợp d ấ u hiệu Đ a l a m b e và Raabe. 13. Dấu hiệu tích phan Côsi. Nếu h à m f(x) > 0 k h i X > 0 v à không t ă n g DO hì chuỗi / ( / / ) h ộ i tụ hay p h â n ky đồny thời v ọ i tích p h â n suy rộng .n=l 1 í f{x)d± Chứng m i n h trực (lốp sự h ộ i tụ của các chuỗi sau đ â y v à ú m tốngcủa c h ú n g :\ r ..+ ... ' + - . 1 . 4 4 . 7 ' (3/1 - 2) (3/1 + 1) Girĩi. Ta cần chửng minh r ằ n g dãy tọng r i ê n g .Vu cùa chuỗi n à y h ộ i l ạ : 1 s =-J— n + + ... + 1.4 4.7 ( 3 n - 2 ) ( 3 n + 1) Muốn v ậ y , bằng phép b i ế n đôi hiến n h i ê n l ạ đira s' về dạng : n : + + -H[0 Ì) (I-I) -(^-ÌT)] 3 \ 3/1 + Ì /
Bầy g i ờ đễ thấy rằng dãy s n h ộ i t ụ , tức là c h u ỗ i số đã cho h ộ i t ụ (theo dịu] n g n í a ) . Tống của. c h u ỗ i là s — lim in = lim — íÌ ——\ = — . n-tl 3 l 3/1 + 1 ; 3 2 n 2. a) gsina + Ợ sin2a 4- ... + g sin/ỉa + ... 2 n b)ạcosa + aa = 2 — Y . Chủ ỷ đ ổ i đ i ề u k i ệ n I q Ị
4 . Xét sự hội tụ của chuỗi s'mnx. n=l Giải. Giả sử X =f= kít Ợí nguyên) và chuỗi hội tụ. Khi đ ó phải thỏa mãn điều kiện cần của chuỗi hội t ạ : lim s i n / ĩ E = 0 (x =jỂ= kĩz). (1) n—>oo V f T ừ đ ó suy ra lim sin (li + 1) X = 0 hay lim (sinnxcosx 4- cớsnxsinx) =ạ 0» n—»oa Chủ ý đến ( 1 ) , từ hệ thức trên ta thấy rẫng lim cosna; =F= 0(33 =f= ICK). (2) l í - * co Các đẳng thức (1) và (2) tương đương với đẳng thức 2 2 lim (cos /7.r -ị- s i n / J X ) — 0 n—>oc 2 z điều đó mâu thuẫn với cồng thức đã biết s i n a + 6os a = 1. Nguồn gốc cùa m â u thuẫn đó chính là còng thức (1). Do đó nếu X =JÍ= k-K thì chuỗi đã cho phân kir. S ự hội tụ của chuỗi khi X = kĩi (k nguyên) là hiến nhiên và trong trường hợp đ ó tòng cua chuỗi bẫng khống. ŨO 5. Chửng minh rẫng nếu chuỗi ^ cn hội tụ thi chuỗi A , trong đ ổ n n=l Pn+l-1 l n = ai (Pi = 1. Pi < Pz < . . . ) • "hận được bẫng cách nhóm các sổ hạng i=Pn của chuỗi đ ã cho m à không thay đ ồ i thử tự trước sau của chúng, cũng h ộ i tụ và cũng c ó tồng như vậy. 00 . ' Chứng minh. Từ sự hội tụ đ ì a chuỗi ^ tín suy ra sự tòn tại giới hạn của d ã y con bất kỳ của dãy tồng riêng của chuỗi, và giới hạn đó bẫng tòng 5 của khoải, Ta c ó thè chọn dãy con đ ó dưới dạng (lị = s„ . d i + ơi + ... + 0L 1 , = s „ 1 1 • Pi P2 - P2 «1 + « + ... + « p _ ! + a 2 2 ? 2 + ... + « p _ Ị = Sp .... 3 3 a i + a ĩ + , . . + a ỉ r= s.
Khi đỏ theo đàu bài lim ốp = s. Nhưng vi dãy tòng riêng của chuỗi thứ hài A l -f A 4- ... + A . bằng Ắp z n nên,lim (Aị + A 2 + ... + An) cũng bằng s, ằô là điều phải chứng minh. Điều khẳng định Ịigivợc lại không đứng vì từ sự hội tỳ của dãy con không suy ra đ ư ợ c sự hội tỳ của dãy chính. Ta có thê lấy ví dỳ. Giả sử ạ = (— n 00 00 ' n + 1 — l Chuỗi ^ (— l ) hiên nhiên là phân kỳ, mặc dù chuỗi 0 )> chẳng hạn, n=l n=l nhậu được từ chuỗi irèn bằng cách nh
Giải. Hiền nhiên dãy tông riêng của chuỗi đã cho là dãy tăng. T a sẽ n chửng minh rằng nó không bị chặn. Muốn vậy ta chỉ càn xét một dãy con ò'2 của nỏ (/ỉ = ì, 2, ...) : Soi = s = Ì + -ị-';S 2 = S = Ì + — + — + — 22 22 A 2 3 3 5 7 1 ... ; ố 2 n = Ì + ... + - n + 1 3 •'• 2 — Ì Đo các ư ớ c lượng : 1 + 3 T + 7 8. ~ 4 ' 9 li + 13 lõ lĩ ~ T >..._!_+ _ _ L _ - X - , ứ > = Ị n n + 1 U + 1 2 + Ì 2» + 3 "' 2 - Ì 2 4 * ta có bất đẳng thức : ^ ( ' + r)+(T+!MI+Tr+i7+iirH + ••• +1 +- + — r ) > + n n + 1 1 ^ V2 + Ì 2 — Ì / T ừ đó suy ra rằng dãy con s a 2 không bị chặn, nghĩa là dã y .S'n cũng k h ô n g bị chặn. Như vậy chuỗi đã cho phân kỵ. + + + + + ' VT 2V3 3 ÍT - I, V/T+T Giai. Xét chuỗi vW^vT ' T V T ) + + (TVT + TvT "eVT + + .Tvr) + + + 4 - + + (ivr + ••' + 15 VTĨT) "* (l^+T"' •'• + = ) + ••• (1) n + 1 n + 1 (2 — 1) V 2 / í ' nhận được bằng cách nhỏm các số hạng của chuỗi đã cho.
Chủ ỵ rằng —1_Ị + = 2Vã" ^ 3VĨ" 1/5- ~ Ì ^ Ị. 2V2 3V3 2 22 2 1 I I 1 1 + ...+ < 7 < _3\2 2 4Võ ' "' 7V8 4V4 V7 2 í í < — + . . . + ! — — ; < - J x + - + — rt n n n+1 s5ri n 2 n + 1 2 2 ' 2 V2 + Ì (2 —Ì >V2 (2 ) (2 -J) \2 B ở i vậy đ ố i v ờ i dẫv tống r i ê n g của chuỗi (1) ta có ư ớ c l ư ợ n g S n + n+1 < " ỹ F + '*• (2 - ĩ) ' 2 n V2 V2" (V2) '*• (V2) Vã V2^1 • T ừ đ ó , l ư u Ý tinh đ ơ n đ i ệ u của s , la k ế t l u ậ n r ằ n g chuỗi (1) h ộ i t ỳ . K h i đ ỏ t r ê n n cơ sở ví dỳ 6 chuỗi đ ã cho cũng h ộ i t ỳ . xQ, — \ _| * ... _J Ị _ | _ , -Ị * 4. , ^ Vi.3 V3.5 Vỹ. 7 V(2/ỉ - 1) (2n +1) 7 Ì Ì " Ì Gùi,. Do u*c ta** s„ = - J ^ J - + + ... + V ( 2 , , _ , ; ( 2 n + 1 ) > + ln2 >1 ì +. - ir> Ỳ( +
Giải. a) N ế u G f < fen v ớ i m ọ i n thì m i n (a , ôn) — án. Do đ ó theo đ ầ u bài n n oo oo c h u ỗ i a) p h â n kỳ. Nếu n h ư các chuỗi «2n+i> jjp b n, chẳng hạn, p h â n kỳ, còn 2 r#=0 n=l các c h u ỗ i ^ a n, 2 ỉ>2n l + co n=l n=0- h ộ i t ụ ( đ i ê u này có t h ê xảy ra, đặc b i ệ t trong t r ư ờ n g hợp « 2 n + i ' ^2n - * + n+1 t i ế n t ó i k h ô n g khá nhanh, n h ư n g v ẫ n d ư ơ n g ) , thì bồt 2 2 đ ầ u t ừ m ộ t chỉ số n n à o đó ta sẽ có : m i n (a , ỉ) tỳ = c (n > n ) / t r o n g đ ó c là 0 n n 0 n d ã y đ ư ợ c t h à n h l ậ p từ n h ữ n g số hạng l u â n p h i ê n c ủ a c á c d ã y ctzn v à Òịn+I (n > /ỉ ). 0 Ví d ụ , d ã y đ ó có thê đ ư ờ i dạng : c b n n = í«2i V hn 0 + Ì, «2n - + 2, 2n D 0 + 3 - ỉ ( > "ó) T r o n g t r ư ờ n g hợp n à y d ã v tồng r i ê n g của chuỗi 2 c„ là tống của các dãy tồng r i ê n g của các chuỗi h ộ i tụ (1), do đ ó n ó h ộ i tụ. N h ư v ậ y chuỗi £ m i n ( ữ v b ) có t h è h ộ i tụ và cũng có thê p h â n kỳ. n b) Vì max (a„, ba) > ơ n ' > 0 nên S' > + o o (theo g i ả thiết) khi / ỉ - > o o a n ( ở đ à y S' , s t ư ơ n g ứ n g là các d ã y tống r i ê n g của >các chuỗi b) và 2 ơn). Do đ ó a n t r o n g , t r ư ờ n g hợp này c h u ỗ i b) luôn luôn phân kỳ. li. Chứng minh rằng nếu chuỗi ^ ơ (on n > 0) h ộ i t ạ thi chuỗi ^ ạ 2 1 n=l " n=1. ' oiìng h ộ i tụ. Chứng minh. Hiêu n h i ê n r ằ n g dãy tồng r i ê n g c cua chuỗi t h ứ hai đơn điệu n và k h ô n g g i ả m . Ngoài ra do ơ n > 0 và chuỗi t h ứ n h ấ t h ộ i tụ n ê n la có b ồ t đẳng t h ứ c : - . 2 Cn = a* + a\ + ... + ai < («! + a + z ... + ơ n ) = sị < const. B ở i v ậ y , dựa vảo định lý về dãy đ o n đ i ệ u và g i ớ i n ộ i , suy ra tòn t ạ i l i m C; n—>oo (ức là c h u ỗ i t h ứ hai h ộ i tụ theo đ ị n h nghĩa. n
Chủ ỷ r ằ n g đ i ề u khẳng đính ngược l ạ i không đủng. Thật vậy g i ả sử 00 __ — L _ Khi dó c h u ỗ i — — - — _ h ộ i tụ (theo d ấ u li í (Mỉ so sảnh v ờ i chuỗi (2/1-ly n=l 00 đ i ề u hòa tống q u á t ) m á c d ù chuỗi p h â n kỳ (xem bài 7). Ỉ-J 2n — Ì n=l 00 00 12. Chửng minh r ằ n g n ế u ' c á c chuỗi ^ « 2 và ^ b2 h ộ i tụ thì c á c c h u ỗ i ' n=l 11=1 sau đ â y cũng h ộ i tụ n=l n=l n=l Ì 2 Chứng minh. Sử d ụ n g b ấ t đẳng thỈc sơ c á p Ị Ỉ / \ I < n — (a 4" " ) và theo đ i ê n k i ệ n đ a u bài ta nhận đ ư ợ c ' t i n n k=l k=i k=l < T (ĩ;-Ỉ + Ễ *:) = '• " • -n = l n=l 00 T ừ đ ó suy ra chuỗi ị aj) n I h ộ i t ụ . K h i đ ó c h u ỗ i t h Ỉ hai, do ư ớ c l ư ợ n g n=l 00 co 00 00 00 2 £ (an + bn) = 2 £ a /; k B + £ bị < 2 + £ I flifr. I ) n=l n=l Ỉ1=1 n=l n=l Ị õng là chuỗi bội tụ. Tính h ộ i tụ của chuỗi thỈ ba được suy l ử tinh l ộ i t u của c h u ỗ i ; t h ử ' nhất n ế u trong đ ó ta đ ặ t ủn ' = — và d ù n g k ế t q u ả l à s h u ỗ i ị . tị ị 00 ' ì 2 £ n h ộ i tụ. n = l .'• 12
Í 3 . Chứng minh rằng nen lim /ỉ«n = u =ỉ={) thi chuỗi tín phân kỳ. n=l Chứng minh." 6 ( ) ( 6 a c h o v à . Theo định nghĩa giời hạn : V > (> < < í I )3N sao V" > N với sỗ tự nhiên p > 0 bất kỳ. các bất đẳng thức sau được thỏa mãn a — e < (lì + m ) a n + m < ơ + e (m = 1. 2 />) hay các bất đẳng Ihúc a — H ^ ^ a + e I < an+m T Ui - , /J + /n n+ m L ấ y lông các bất đẳng thức này theo m từ Ì đến /> ta nhận được p p p e e > ^ T T -\- £—1 /ỉ + m m 00 1 4 . Chứng mình rằng nếu chuỗi Í7n(«n > 0 ) với các số hạng đ ơ n điệu n=l • giảm hội. tụ thi lim na — 0 . n n-+cc Chứng minh. Theo tiêu chuần Còsi, từ sự hội tụ cảa chuỗi suy ra.rằng.' Ỵ/e > í) 3N sao cho \/ n > N và mọi p > 0 c ỏ bấc đẳng íhức a + a + a+1 n + 2 + ••• + O n p < -— • Vì ơn là dãy dương đơn điệu, nên l ừ bất đẳng thức trên t'ạ suy + 2, > g ra / ) 0 n + p < —-. Tiếp theo ta lần lượt đặt p= n và p~n-\- ì, từ đ ó ta thấy rằng 7 2na 2n< 6 và (2/ỉ + 1 ) aán+1 < e khi /ỉ > N. Do đ ó na < e v ớ i n > n 2A bất kỳ (chẵn và l ẻ ) . Đ ó là điều cần phải chứng minh. 13
Sử đụng tiêu chuẳn Cốsi, chửng minh sự hội tụ của các chuỗi sau: cosx — cos2u; . cos2a; — cos3.i; cosnx — cos(n -ị- l)x . 1 5 + + + r ~ + ^T~. - n - Chứng minh. Ta (ấy e > 0 tùy ý. Tìm được số N sao cho với mọi n~>N và p > 0 tùy ý, có ước lượng Ị S — S ị < e, trong đó s lài dây n+? n n tồng riêng của chuỗi đẵ cho. Ta có ị„ ỏ ít ì . cos (n + 1) X 1 — cos {lì + 2) X COS (/ỉ + 2) X — COS ( / ỉ + 3) X l^n+p — n ] = • I : — — i - v + . /ẩ -Ị- Ì /ẩ + 2 í cos(« + p ) X — cos(j? + p + Ị) X ị Ị COS (/?-Ị- Ị ) £ c o s (fl + 2) X _ n + p : ị Ị li + ĩ (/ỉ + ì ) (#1+2) _ cos (y;-f- 3)~g: COS ( / I + p) X _ COS (/ẩ + p + l ) x ^ ( n - + 2 j (/1 + 3) ~ ••' ~ (n + p - i ) (n + p) 7i + / , 1 Ì Ì , Ì ^ 2 /ỉ + 1 (n+1) (/ỉ+2) '•• (ii + . p - l ) (JJJ p) / ỉ + ;> /ỉ Từ đó suy ra rằng ị S n+P - S n ị < e, nếu ta chọn số N là — + V i vậy g theo tiêu chuẩn cỏsi chuỗi đã cho hội tụ. n ,,, cosa: , . cosar , , cos:r . lo. —-— -T —-— + ... + — + . . . 2 2 2 Ì 2 n Chứng minh. Ta tim số N sao cho với mọi n > iY và với p > 0 tùy ý bất thức sau được thỏa mãn : I ố'n p — S a I 0. + 1 n+2 1 coax** cos.x , coscc"** Ta có : I
Chứng minh. G i ả sử 8 = — . Ta l ẩ y p «a /ỉ. K h i đ ỏ \. 4 , .. . Ì , Ị , , Ì . Ì •__ Ì . Ò n —ỏn 2 = -—- + ... ~j — > lít,—— = —- > 8 2 n+l n + 2 2/1 2/1 2 ' i m ọ i /ỉ. Do đ ó theo tiêu chuần Côsỉ c h u ỗ i đ ã cho p h â n k ỳ . Ì Ì Ì ổ* Ì # Ì 18. Ì + 4- — + — +• — 4 4 + ••• 2 3 4 5 _) 6 t Chứng minh. Vì ư n — 0> 6 3n — 3/ỉ+l + 3/1 — + 2 -—3 — / 1— +—3- + ... + 6—/ Ĩ - 2 -f- 6/ỉ-l 6«. )ng đ ó s 6a và s 3n là c á c d ã y con của dãy tổng r i ê n g của chuối đ ã cho, o nên thế, theo tiêu chuần Còsi, c h u ỗ i đ ã cho phân kỳ. 19. '-pL= + -Ậ=- + ... + 7 1 : + ... Vi. 2 V2.3 . V / 1 ( / I + 1) Chứng minh. G i ả sử e«= — . Ta c ó irớc lượng. 4 1 - Sa I = — ===== . = + + ,. . =} • = + - + l/(lì + 1) (n + 2) V(/I + 2) (n + 3) x 1 2 ••••v_; : n •-••_ n : Ị T > - ị V 2/J (2/ỉ + 1) /ỉ+2 /ỉ+3 2/ỉ + l 4 ri m ọ i a;. Do đỏ, theo t i ê u chuện Côsi, chuỗi đ ã cho p h â n k ỹ . ^ Ị'Sử dụng các d â u h i ệ u khảồ nhau, nghiên cưu tinh EọỊ~ĩự~cuã~^c~*j uỗi s a i l ) : ' " " ~ " ' 8 l õ
Giòi. Chủ Ỷ r ằ n g số hạng t ô n g q u á i í/ của chuỗi cỏ dạng n , _ 4 . 7 .10 ... (3/1-Ị- ĩ ) ữ n ~ 2 . 6.10 ... (in-2) ' T ừ đ ỏ tạ nhận Ui ấy 3 4 lim £E±L = lim " + = Ì . n-í-oe a n 4/ỉ + 2 . 4 Do đ ó , theo d ấ u h i ệ u Đ a l a m b e , chuỗi đ ã cho h ộ i tụ. L — nếu lĩ — m lĩ Ợ*- 22. £ an trong đó (lu = ị ' (ni là số lự n h i ê n ) nr=l Ì * „ , ™2 / /ì 2 nếu / i =jỂ= m Ợiời. Ta chớng minh r ằ n g chuỗi 2 2 2 U ( n+ĩ) (n2 + 2 ' "' ' [(n+í)2-ĩ) n h ậ n đ ư ợ c bằng cách n h ó m các số hạng của chuỗi đ ã cho, là h ộ i tụ. M u ố n v ậ j t r ư ớ c tiên la đ á n h giá l ừ n g số hạng của chuỗi (í). Ta có 1 + < 1 + 2 < 2 U * + 3 Ì - Ặ - 2 ; 4 5 2 + -55.< 8 Z74 + -54 < - 44 Z 2 n 1 1 , 1 , , Ị
Giải Dễ thấy rằng 'fr'fe < - Ị v é (Ì) k=l Giải thiết rằng X 0 (khi X *= 0 thì chuỗi hiến nhiên là hội tụ) và lưu -ỳ lời chuối 00, nx y (1+3 ) 2 (2) ta tỉ bấy rằng chuỗi (2) hội tụ thèo dẫu hiệu Đalambe; Bây g i ờ ta sử dụng bất đẳng thăc
n _ 1 n - ỉ \ s Mái. Một cảch không khó khăn ta tìm đươc lim ' ị— \ n~*00 \ n,+ Ì / n-1 n+ Ì Ị = lim {Ì - • ' = lim e = —— < 1. Bởi vậy chuỗi đã ch ooV ft~>ooV n /ỉ + + Ìĩ // n->00 í' itội tạ theo dầu hiệu Gôíi. 27. V2 + Ị/2 - V2 + V2 - 1/2 + Ì2 + Giải. Chú ỷ rằng sổ hạng tồng quát cửa chuỗi đẵ cho có dáng = ~ V 2 + , V 2 + . . . + ]Ỉ2 (rt » Ị, 2,...) Tỉ — Ì-Cồn y * ỷ đậy la đốt V2 = 2ÒOS - J . te "bận được a =s "Ự2. - n = 2sini^j- < . Đối vi ehụỗi y* —^- hội tụ nên chuôi, dã. ch o bội tụ theo dâu hiệu s n=l sằiũíh chung. 58. Chửng minh rằng nếu lim - ^ ì ì . = Ợ{a > ,0) thì cr = 0(9°) trong ậ n n ỡ n—>00 n . i?i >«?. Chứng minh. Giẳ sử e > 0 và đủ nhỏ đễ cho 8 « c g g. Thẹo đỉnh ngl^s t .giời hạn, Tới 8 dtósta tìiíã được sổ N £SUE> cho các bất đầữg thức sấu ti trợ ộ -r é <
29. Giả sử đ ố i Vố"! các sổ hạng của chuôi" đ ư ơ n g ì hực sợ £). ór^ttìỗa m í t ! " ặtt đẳng thức. •^±L < P < 1 khiv>••«„. ơn thừng minh rằng đìu v ớ i phần dư của chuỗi /ụa = Ơ 1 + fl 2 + n+ n+ ta cở VCỚ.V • '• ' pti-no + l • • • mm Rn'-< 0n o • ' - nếu /ỉ > /7o. Ị - p Chứng minằ. Do giá thièt ta c ó : < p «n +l v 0 %+2< p \ a ữ n+l n < p ~ * n 0+1 V n n n + 1 lì- đ ỏ ĩ ? n < ơ n p T o + l (í - ị - p -|_ 2 _ị_ ..,.) . = . « p p*~~~ ° k h ỉ TI > / I , dó' i ả . đ ị ế à 0 ền ehứqg mình 30: Cần p b i i láy bao nhiêu số hạng của chuỗi y ^ ^ ụ ụ i l ầ đ ủ đề cho ÌiệW M (4/?)! ì • " n=ì - 6 lông tương ứng ố'a khác với t ô n ' s cụa chuối bẻ hơn e = l o ? Giải' Ta sẽ dùng kết quả' trong bài trước' Ở đây ta đ ạ i n' = Ị. Khi êệỊ ữ r n re ! fl == — VẠ v ớ i n > í .ty có: p < D o đ ó fí < n ^ij < 1 0 , tộr d & t ạ 6 - I g ị Itèỵ: n •>••!, , r J. k • •~ 12,3. Như vậy đê đạt tóc] độ chíph xốc đã c h ợ ta b ồ i ầu cTiòĩụ 13 sổ hạng cửa chuỗi. -ma 31. Chứng minh rằng nếu l i m -2$±M="g < l ( « n > 0) thi chuỗi .T^x ộ i tụ. Chừng-minh. Ta chọn e > 0 sao cho thỏa mẫn bặt đẳng tbửc 8 < , Ì g.f)p: ự tdiHẹÌ.gréri hẹtì irêfl hữu hạn, v ớ t « đ ấ c h ở n ta tim đựiỵc số N mà bắt ( 1 lòa mần bất đ ằ n g thức a < -5ỉ±ụ- < ạ 4 , 8 (ì = Ì, .... « - - 1). ụhán các bất' đắng ttiửc này tã đorộ-đ .1»
B$i vi chaỗi (q 4 - 6 ) " hội tự. nên theo đấu hiệu so sảnh chung, taa bỗl hận râữgchuỗi £ Oi, cưng hội tụ. Điều khẳng định ngược l ạ i khổng đúng. Chẳng hạn ta xét chuỗi i - + 2 - + J L l i + : * : * : + .... + * ủ ý pẵng lim V- On* ì * • = lim, . _ Ì /3 0© 0 0 ÍT"* %igf thời chuỗi 0 0 °? ZJ á ữ 2 IF")' n±rl n==i PậịịỉíluỊệạ là hộ3 tụ. Như vậy, tờ điều'kiện lOhuỗỉ £ ớn hội tụ,nổi chung tehônị -Síi. = ọ < ì. D-*OÒ Ôn . ịO ' 33: Chửng íỂbtoH rằng nếu đ ố i vở* chuỗi JJ 0) tj&k;. tại %4£ẻ}< ĩ ự V t t é t ấ & t ò n tai te | | ề u ^ i ì j t f đỊo^^nkự^ ; ỉ^ờníg