Chương 1: Tập Hợp

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm tập hợp là một trong những khái niệm đầu tiên của toán học không được định nghĩa, do đó người ta có thể hiểu một cách đơn giản tập hợp là một gom góp các vật thể mà ta gọi là phần tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Tập Hợp

T PH P I. Khái ni m t p h p 1. T p h p và ph n t Khái ni m t p h p là m t trong nh ng khái ni m u tiên c a toán h c không ư c nh nghĩa. Do ó ta có th hi u m t cách ơn gi n t p h p là m t gom góp các v t th mà ta g i là ph n t . Ngư i ta kí hi u t p h p b i các ch in hoa A, B, C, …, X, Y… Các ph n t c a t p h p ư c kí hi u b i các ch in thư ng a, b, …,x, y… y Ví d 1: ◘ T p h p các s t nhiên t 1 n 10. n ◘ T p h p ngư i Vi t Nam. A .v ◘ T p h p nh ng ngư i yêu nhau. x ◘ T p h p nh ng b n nam trong l p cao trên 1,65m. h • N u x là m t ph n t c a t p h p A , ta kí hi u x ∈ A . • N u y không là ph n t c a t p h p A kí hi u y ∉ A . 4 Bieåu ñoà Ven cuûa taäp hôïp A 2 2. Cách xác nh t p h p { }. c a) Li t kê ph n t : Li t kê các ph n t c a t p h p gi a hai d u Ví d 2: a) T p h p A nh ng s t nhiên t 1 h o n 5 ư c kí hi u là A = {1, 2, 3, 4, 5} . b) T p h p B nh ng nghi m th c c a phương trình x 2 − x = 0 là B = {0, 1} . u a) Không có gì quý hơn i Ví d 3: Li t kê các ph n t c a m i t p h p sau. c l p t do. V b) T p h p A các s chính phương không vư t quá 100. b) Ch ra tính ch t c trưng cho các ph n t Trong vài trư ng h p, ch ng h n như cho A là t p h p các s nguyên dương, thì vi c li t kê ph n t tr nên r t khó khăn. Khi ó thay vì li t kê ph n t ta có th ch ra tính ch t c trưng c a các ph n t ó là A = { x x là s nguyên dương }. Ví d 4: T p h p B các nghi m c a phương trình 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 ư c vi t theo tính ch t c trưng là { B = x ∈ » 2x2 − 5x + 3 = 0  }  3 T p h p B ư c vi t theo cách li t kê ph n t là: B = 1, .  2 B môn Tóan- Th ng kê 1 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Ví d 5: Cho t p h p C = {−15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15} . Vi t t p C b ng cách ch rõ các tính ch t c trưng cho các ph n t c a nó { } Ví d 6: Xét t p h p D = n ∈ » 3 ≤ n ≤ 20 . Hãy vi t t p D b ng cách li t kê ph n t c a nó  3. T p h p r ng • T p h p không ch a ph n t nào là t p h p r ng, kí hi u là ∅ { } Ví d 7: Cho E = x ∈ » x 2 + x + 1 = 0 thì E = ∅ vì phương trình x 2 + x + 1 = 0 vô nghi m  II. T p h p con 1) nh nghĩa: T p A ư c g i là t p con c a t p B và kí hi u là A ⊂ B , n u m i ph n t c a t p h p A u là ph n t c a t p h p B . Hay; A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) n A B Thay cho A ⊂ B , ta cũng có th vi t B ⊃ A ( c là B ch a A ) N u A không ph i là t p con c a B , ta vi t A ⊄ B h .v 4 2) Tính ch t: T nh nghĩa ta suy ra a) A ⊂ A , v i m i t p h p A b) N u A ⊂ B, B ⊂ C thì A ⊂ C c) ∅ ⊂ A , v i m i t p h p A c 2 A B C { h o } ▲ Câu h i: Cho A = x ∈ » − 1 ≤ x ≤ 3 . Hãy cho bi t:  u i ◘ Các t p con c a A có ch a ph n t 2 và 3. ◘ Các t p con c a A không ch a 0, 1. ◘ Hãy cho m t t p h p C tho C ⊄ A và {−1, 2, 3} ⊂ C . III. T p h p b ng nhau V Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói t p h p A b ng t p h p B và vi t là A = B . Như v y A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) { Ví d 8: Xét hai t p h p A = n ∈ » n là b i c a 4 và 6}  B = {n ∈ » n là b i c a 12}  1) Hãy ki m tra các k t lu n sau: a) A ⊂ B b) B ⊂ A B môn Tóan- Th ng kê 2 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
2) A có b ng B không? IV. Các phép toán trên t p h p 1. Giao c a hai t p h p Cho hai t p h p A và B . Giao c a A và B , kí hi u là A ∩ B là t p h p các ph n t v a thu c A v a thu c B A T c là C x ∈ A B x∈ A∩ B ⇔  x ∈ B Ví d 1: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} { B = x∈» − 2 ≤ x ≤ 3  } C = {x ∈ » 2 x  2 − 3x = 0 a) Li t kê các ph n t c a t p h p B và C } .v n b) Tìm A ∩ B, B ∩ C và A ∩ C 2. H p c a hai t p h p 4 h Cho hai t p h p A và B , h p c a hai t p h p A và B , kí hi u A ∪ B là t p h p các ph n t thu c c 2 A ho c thu c B T c là h o i A x ∈ A x∈ A∪ B ⇔  B V x ∈ B u Ví d 2: V i các t p h p A, B và C trong ví d 1 thì ◘ A ∪ B = {................................} ◘ B ∪ C = {.................................} ◘ ( A ∩ B ) ∪ C = {..................................} 3. Hi u và ph n bù c a hai t p h p Cho hai t p h p A và B . Hi u c a hai t p h p A và B , kí hi u là A \ B là t p h p các ph n t ch A B thu c A nhưng không thu c B . T c là: x ∈ A x∈ A\ B ⇔  x ∉ B B môn Tóan- Th ng kê 3 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
c bi t: Khi B ⊂ A thì ph n hi u A \ B ư c g i là ph n bù c a B trong A . Kí hi u là C A B Ví d 3: Cho A là t p h p các h c sinh l p 10 ang h c trư ng em và B là t p h p các h c sinh ang h c môn Ti ng Anh c a trư ng em. Hãy di n t b ng l i các t p h p sau a) A ∩ B c) A \ B . b) A ∪ B d) B \ A 4. M t s các t p con c a t p h p s th c Trong các chương sau, ta thư ng s d ng các t p con sau ây c a t p s th c » Tên g i và kí hi u T ph p Bi u di n trên tr c s T p s th c ( −∞; + ∞ ) o n [ a; b] Kho ng ( a; b ) » {x ∈ » a ≤ x ≤ b} .v n N a kho ng [ a; b ) 4 h .......................................... ....................................... ....................................... N a kho ng ( a; b ] N a kho ng ( −∞; a ] c 2 ...................................... ...................................... N a kho ng [ a; + ∞ ) o ....................................... h Kho ng ( −∞; a ) Kho ng ( a; + ∞ ) Trong các kí hi u trên, kí hi u −∞ u i ....................................... ....................................... c là âm cô c c, kí hi u +∞ c là dương vô c c; a và b ư c g i là các Bài t p V u mút c a o n, kho ng hay n a kho ng . 1. a) Cho A = { x ∈ » x < 20 và x chia h t cho 3}. Hãy li t kê các ph n t c a t p h p A  b) Cho t p h p B = {2, 6, 12, 20, 30} . Xác nh B b ng cách ch ra m t tính ch t c trưng cho các ph n t c a nó c) Hãy li t kê các ph n t c a t p h p các h c sinh l p em cao dư i 1m60 2. Trong hai t p h p A và B dư i ây, t p h p nào là t p h p con c a t p h p còn l i? Hai t p h p A và B có b ng nhau không? a) A là t p h p các hình vuông B là t p h p các hình thoi B môn Tóan- Th ng kê 4 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
b) A = { n ∈ » n là m t ư c chung c a 24 và 30}  B = { n ∈ » n là m t ư c c a 6}  3. Tìm t t c các t p con c a t p h p sau a) A = {a, b} b) B = {0, 1, 2} 4. Li t kê các ph n t c a các t p h p sau: { a) A = n ∈ » 2n + 1 < 16 .  } { b) B = n ∈ » n 2 < 16 .  } c) C =  x x =   1 2 n 1 , n ∈ », và x ≥  . 8 { d) D = x ∈ » x ( 2 x + 1) ( x 2 − 2 ) = 0 .  } { e) E = x ∈ » x = 2k , k ∈ », k ≤ 3 .  } { f) F = x ∈ » x 2 − 4 = 0 .  } { g) G = x ∈ » x > x 2 .  }   h) H =  x ∈ »    .v n  x 2 − 7 x + 10 = 0   x − 5x = 0  2  .  { i) K = x ∈ » x < 4 . } 4 h { } j) L = x ∈ » x (1 − x ) ( x 2 − 2 ) = 0 . 2 5. Xác nh các t p h p sau b ng phương pháp nêu tính ch t c trưng: a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} . 1 c) C =  ,  1 1 , , 1 , 1 . o c b) B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} . d) D = {0, 3, 6, 9, 12, 15} 4 8 16 32 64  6. T p h p A có bao nhiêu t p con, n u: i h a) A có 2 ph n t . V c) A có 4 ph n t . u b) A có 3 ph n t . 7. Cho A = ∅; B = {a} ; C = {a, b} ; D = {a, b, c} . Hãy vi t ra t t c các t p h p con c a A, B, C, D. 8. Cho hai t p h p: { A = 3k + 1 k ∈ »  } Ch ng t r ng B ⊂ A . B = {6l + 4 l ∈ »} .  9. Cho t p h p A , hãy xác nh A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, C A A, C A∅ . 10. Cho 3 t p h p A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6} C = {1, 3, 5} B môn Tóan- Th ng kê 5 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Tìm A ∪ B, A ∩ B, ( A ∪ B ) ∩ C , ( A ∩ B ) ∪ C , A \ B, ( B \ C ) ∩ A . 11. Cho A = {0 ; 2; 4; 6; 8; 10} , B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} và C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} . Hãy tìm a) A ∩ ( B ∩ C ) b) A ∪ ( B ∪ C ) c) A ∩ ( B ∪ C ) d) ( A ∪ B ) ∩ C e) ( A ∩ B ) ∪ C 12. Cho t p h p A các s t nhiên là ư c c a 18, t p h p B các s t nhiên là ư c c a 30. Xác nh các t p h p A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A. 13. Cho { A = x∈» x ≤ 2  } { B = x ∈ » 4 < x2 < 9 .  } a) Li t kê các ph n t c a A, B. c) Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A. .v n b) Tìm t t c các t p con c a B. 14. Tìm t t c các t p X sao cho {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} . 4 h { { } } 15. Cho E = x ∈ »1 ≤ x ≤ 10 và các t p con c a E: A = x ∈ » 1 < x < 6 , B = {1, 3, 5, 7, 9} .  c 2 h o a) Vi t các t p E, A b ng cách li t kê các ph n t . b) Tìm ph n bù trong E c a A và B. u i c) Tính s t p con có m t ph n t và 9 ph n t c a E. 16. Cho: { { V A = x ∈ » ( x − 3) ( x 2 + x − 2 ) = 0  } { B = x ∈ » x 2 < 5 và C = x ∈ » x ≤ 4 .   } } a) Li t kê các ph n t c a A, B, C. b) Xác nh B \ ( A ∩ C ) ; ( B ∪ C ) \ A; ( A \ B ) ∩ ( B \ A ) . c) So sánh B \ ( A ∪ C ) và ( B \ A ) ∩ ( B \ C ) . B môn Tóan- Th ng kê 6 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
HÀM S I. Khái ni m v hàm s Trong giáo trình này chúng ta ch xét trư ng h p c bi t c a hàm s ó là hàm s th c. 1. Ánh x Gi s X, Y là hai t p h p tùy ý khác r ng cho trư c. M t phép liên k t f tương ng m i ph n t x ∈ X v i duy nh t ph n t y = f ( x ) ∈ Y ư c g i là m t ánh x t X vào Y. Kí hi u: f :X→ Y x → y = f (x) Khi ó: X g i là t p h p ngu n ( t p xác nh) . Y g i là t p h p ích ( t p giá tr ). Ngư i ta thư ng kí hi u t p xác Ví d 1: nh là Df, t p giá tr là Rf .v n a) Gi s f :X→ Y X ={1, 2} và Y={a, b, c}. Tương 4 h ng 1 → a, 2 → b cho ta m t ánh x m t ánh x f : Z → T c 2 b) Gi s Z={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. Tương ng 1 → a,2 → b,3 → c, 4 → a cho ta ph i là m t ánh x h o c) Gi s Z ={1, 2, 3, 4} và T={a, b, c}. Tương ng 1 → a,1 → b,3 → c, 4 → a không 2. nh nghĩa hàm s u i Ánh x f sao cho v i m i giá tr x ∈ D f có m t và ch m t giá tr tương ng y ∈ » thì ta có m t hàm s th c. Kí hi u: V f :X→ » x → y = f (x) • Ta g i là x là bi n s và y = f ( x ) là hàm s c a x . • T p h p Df ư c g i là t p xác nh c a hàm s M t hàm s có th ư c cho dư i d ng b ng, bi u ho c b ng công th c. Ghi chú: Khi cho hàm s b ng công th c mà không ch rõ t p xác nh c a nó thì ta có quy ư c sau: B môn Tóan- Th ng kê 7 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
T p xác nh c a hàm s y = f ( x ) là t p h p t t c các s th c x sao cho bi u th c f ( x ) có nghĩa Ví d 2: Xét các bi u th c sau, bi u th c nào là hàm s ? Hãy tìm t p xác nh c a chúng f :X→ » f :X → » a) b) x 2 −1 x → y = f (x) = x + 1 x → y = f (x) = x −1 f :X→ X f :X → » c) d) x → y = f (x) = x x → y = f (x) = c f :X → » e) 2x + 2  khi x ≥ 1 x → y = f (x) =  2   x   khi x
Ví d 4: 1 2 a) V th hàm s f(x)=2x+1; g(x)= g(x) = x 2 y y 1 1 -1 O x -1 O x Ñoà thò haøm soá f(x)=x+1 b) V f :X→ » th hàm s sau 2x + 2  khi x ≥ 1 .v n Ñoà thò haøm soá g(x)=1/2x2 x → y = f (x) =  2 III. Các phép toán   x   i v i hàm s khi x
là D f ∩ Dg = [ 0, ∞ ) ∩ [ −2, 2] = [ 0, 2] . D a trên cách hình thành các hàm s m i t hai hàm s f(x) và g(x) ta có (f ± g)(x) = x + 4 − x 2 ; Df +g = Df ∩ D g = [ 0, 2] (f .g)(x) = x * 4 − x 2 = 4x − x 3 ;D fg = D f ∩ Dg = [ 0, 2] f  x x   (x) = = ;D f = [ 0, 2 ) g 4−x 2 4 − x2 g Ví d 5: b) Cho hàm s f (x) = 1 + x − 2, g(x) = x − 3 . Tìm ( f ± g ) (x); ( f .g )( x ) ; ( f / g )( x ) ;7.f . Tìm t p xác nh tương ng c a các hàm s v a tìm ư c? c) Cho hàm s f (x) = x; g(x) = x . Tìm (f.g)(x) và t p xác n nh c a hàm s m i . 2. Hàm s h p Ví d 6: Cho hàm s f (x) = x 2 + 3; g(x) = x. Ta có: f 0g = f (g(x)) = h ( x) 2 .v +3= x +3 và g 0 f = g(f (x)) = x 2 + 3 24 Ví d 7: o c a) Cho hàm s f (x) = x 2 + 3; g(y) = y + 1. Tìm f 0g = f (g(y)) ?. i h b) Cho f (x) = x ,g(x) = 1/ x, h(x) = x 3 . Tìm (f 0 g 0 h )( x ) = f (g(h(x))) ?. V y n u bi n s c a m t hàm s này ư c thay b ng hàm s c a m t bi n s m i nào ó thì ta có “hàm h p”. T p xác V u (f 0g )( x ) = f (g(x)) nh c a hàm h p là t p h p t t c các giá tr c a bi n s sau cùng sao cho bi u th c thu ư c có ý nghĩa. Ví d 8: Gi s nhu c u c a m t m t hàng ư c cho b i hàm P = 80 − 0, 2Q , hàm t ng doanh thu có d ng như th nào ? Gi i: Vì doanh thu ( TR ) ư c tính b ng t ng s ti n ki m ư c khi bán s n ph m nên TR = P.Q . V y TR là m t hàm s h p. Thay P = 80 − 0, 2Q , ta có TR = ( 80 − 0, 2.Q ) .Q = 80Q − 0, 2Q 2 . B môn Tóan- Th ng kê 10 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Ví d 9: Cho hàm s F(x) = cos 2 (x + 9) . Tìm các hàm s f(x), g(x) và h(x) sao cho F=f g h 3. Hàm ngư c Hàm s ngư c c a m t hàm s là s o ngư c m i quan h c a hàm s ó. Do ó, n u hàm s f: X ⊂ » → » sao cho y = f ( x ) thì hàm ngư c x ư c cho b i công th c x = g ( y) . Ví d 10: Cho hàm s : y = 4 + 5 x thì hàm s ngư c c a nó là x = 0, 2 y − 0,8 . Lưu ý: Không ph i t t c các hàm s u có hàm s ngư c. i u ki n c n thi t m t hàm s có hàm s ngư c là hàm s ó ph i “ ơn i u”. i u này m b o r ng v i m i giá tr c a x ta có m t giá tr duy nh t c a y và ngư c l i. Ví d 11: Xét hàm s .v n y = 9 x − x v i x ∈ [ 0;9] . M i giá tr c a x tương ng v i m t giá tr duy nh t 2 4 h c a y, nhưng có m t vài giá tr c a y l i tương ng v i hai giá tr c a x, ch ng h n như y = 14;18; 20 . Do ó hàm s này không ơn i u và nó không có hàm ngư c. Ví d 12: Trong các hàm s sau hàm s nào có hàm s ngư c? f :X→ » c 2 f :» → » a) x → y = f (x) = x + 1 h o b) x → y = f (x) = x 2 + 1 c) f : » → [0, +∞) x → y = f (x) = x 2 Ví d 13: i nhi t t u i F sang d) f : (−∞;0] → [0, +∞) x → y = f (x) = x 2 C, ngư i ta dùng công th c: C= 0 5 0 9 IV. Hàm s sơ c p V ( F − 32 ) . Hãy tìm công th c Hàm s sơ c p là nh ng hàm s it C sang F? ư c t o thành b i m t s h u h n các phép toán s h c( c ng, tr , nhân, chia), các phép l y hàm h p c a các hàm s sơ c p cơ b n và các h ng s , hàm ngư c. Ví d 14: a) B môn Tóan- Th ng kê 11 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
π y = 3x + x 2 − 4; y = cos2x + sin(3x- ) + 5 4 x + 1 − x 2 + sinx y = 3 x − lg(2x − 7) + 2; y= là nh ng hàm s sơ c p x −3 y = arccosx y=arctg( 2x+1)  x 2 −1, khi x ≥ 0  b) f (x) =   không ph i là hàm s sơ c p 2x − 8, khi x < 0   Chú ý: Trong các lo i hàm s sơ c p ngư i ta c bi t chú ý n hai lo i hàm s : các a th c và các phân th c h u t (còn g i là hàm s h u t ). Ví d 13: Pn (x) = a 0 + a1x + ... + a n x n ,a k ∈ » P3 (x) = 2 + lg(5) + sin π 3 + 3x + x 2 − 5x 3 .v n a + a1x + ... + a n x n F( x ) = 0 b0 + b1x + ... + b m x m 4 h 1. Hàm s lũy th a y = f (x) = x α , α ∈ » T p xác nh c a hàm s lũy th a ph thu c vào α . c 2 V i α ∈ » : t p xác V i α nguyên âm: t p xác nh D f = » h o nh D f = » \ {0} … th c a hàm s u i y = x α luôn i qua i m (1,1) và qua O(0,0) n u α > 0 , không i qua O(0,0) n u α > 0 V B môn Tóan- Th ng kê 12 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
y = x2 y=x y = x1/ 2 y = x −1 2. Hàm s mũ y = f (x) = a x ,a > 0,a ≠ 1 T p xác nh c a hàm s là D f = », R f = ( 0, +∞ ) .v n th c a hàm s y = a x luôn i qua i m (0,1) x 4 hy = 2x 1 y=  2 c 2 h o u i V 3. Hàm s logarit y = f (x) = log a x,a > 0,a ≠ 1 T p xác nh c a hàm s logarit là D f = ( 0, +∞ ) th c a hàm s luôn i qua i m (1,0) B môn Tóan- Th ng kê 13 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
y = log 2 x y = log1/ 2 x 4. Hàm s lư ng giác y = f (x) = s inx, cosx,tgx,cotgx T p xác nh c a hàm s y=sinx, y= cosx là D f = » , R f = [-1,1] .v n th c a hàm s y = sinx, y=cosx 4 h y = sin x c 2 y = cosx π 2 h o π u i − π 2 π 2 V − 2  π  T p xác nh c a hàm s y= tgx là D f = » \ (2k + 1) , k ∈ »  , R f = »  2  th c a hàm s y= tgx B môn Tóan- Th ng kê 14 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
y = tgx π 2 π − 2 T p xác nh c a hàm s y= cotgx là D f = » \ {kπ,k ∈ »}, R f = » th c a hàm s y=cotgx .v n 4 h c 2 h o π y = cotgx u i − π 2 2 V 5. Hàm lư ng giác ngư c 5.1 Hàm s y = f (x) = arcsin x π π T p xác nh c a hàm s là D f = [-1,1], R f = [- , ] 2 2 th c a hàm s y= arcsinx B môn Tóan- Th ng kê 15 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
π 2 −1 1 π − 2 5.2 Hàm s y= f(x)=arccosx T p xác nh c a hàm s là D f = [-1,1], R f = [0,π] th c a hàm s y= arccosx .v n π 4 h c 2 h o u −1 i T p xác V 5.3 Hàm s y=f(x)=arctg(x) π π nh c a hàm s là D f = », R f = [ − , ] th c a hàm s y=arctg(x) 2 2 B môn Tóan- Th ng kê 16 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
π 2 π − 2 5.4 Hàm s y=f(x) =arccotgx nh c a hàm s là D f = », R f = [0,π] n T p xác .v th c a hàm s y=arccotg(x) V. M t vài tính ch t c a hàm s 1. Hàm s ơn i u: Cho hàm s 4 f : X ⊂ » →»: h • Hàm s y = f ( x) g i là ng ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) 2 bi n c (tăng) trên kho ng ( a; b ) n u • Hàm s y = f ( x) o g i là ngh ch bi n (gi m) trên kho ng h ( a; b ) n u Ghi chú: T i ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) u nh nghĩa, ta suy ra: f ( x2 ) − f ( x1 ) V f tăng trên ( a; b ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 ≠ x2 , f gi m trên ( a; b ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 ≠ x2 , x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 >0
 x1 < −2 o Trên ( −10; − 2 ) , ta có  ⇒ x1 + x2 < −2 − 2 = −4  x2 < −2 ⇒ −3 ( x1 + x2 ) > 12 f ( x1 ) − f ( x2 ) T (1), trên kho ng ã cho > 18 > 0 x1 − x2 Và do ó hàm s ng bi n. x b) y = trên ( −∞; 7 ) và ( 7; + ∞ ) . x−7 2. Hàm s b ch n Hàm s g i là b ch n ( b ch n trên ho c ch n dư i) n u t p giá tr c a nó b ch n ( b ch n trên ho c b ch n dư i). Ví d 15: Xét tính b ch n c a hàm s sau 3. Hàm s ch n và l Cho hàm s f xác nh trên D .v n • − x ∈ D  f là hàm ch n ⇔ ∀x ∈ D thì   f (−x) = f ( x)  4 h • − x ∈ D  f là hàm l ⇔ ∀x ∈ D thì   f (−x) = − f ( x)  c 2 Ví d 15: Xét tính ch n, l c a các hàm s sau h o Gi i: a) y = −2 x a) T p xác u i nh c a hàm s là D = » . V y hàm s b) y = 3 x 2 − 1 V Ta có: ∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = 3 ( − x ) − 1 = 3x 2 − 1 = f ( x ) ã cho là hàm s ch n c) y = 2 x + 9 2 d) y = −5 x 2 − 3 x + 8 4. Hàm s tu n hoàn Hàm s f g i là hàm s tu n hoàn n u t n t i s m ≠ 0 sao cho ( ∀x ∈ D f ) f (x + m) = f (x) S dương bé nh t trong các s m th a mãn ng th c trên g i là chu kì c a hàm s tu n hoàn B môn Tóan- Th ng kê 18 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM
Ví d 16: Hàm sinx là hàm tu n hoàn v i chu kì là 2π . Nhưng hàm s f(x) =c là hàm tu n hoàn nhưng l i không có chu kì. .v n 4 h c 2 h o u i V B môn Tóan- Th ng kê 19 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM