Chương 2: Nguyên hàm và tích phân - Bài 1 : Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Chia sẻ: Chao Hello | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

1.668
lượt xem 398
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Chương 2: Nguyên hàm và tích phân - Bài 1 : Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Nguyên hàm và tích phân - Bài 1 : Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Định nghĩa: • Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng ( a, b), khi đó hàm số y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b). • Nếu y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y = f(x) là tập hợp I = { F( x ) + c c ∈ R} và tập hợp ∫ f ( x )dx = F( x ) + c này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định I = 2. Vi phân: Giả sử y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x∈(a,b). 2.1 Cho x một số gia ∆ x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:  dy = y ′ ( x ) ∆x  • Công thức vi phân theo số gia:   df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x  • Công thức biến đổi vi phân: Chọn hàm số y = x ⇒ dy = dx = x’.∆ x = ∆ x ⇒ dx = ∆ x.  dy = y ′ ( x ) ∆x  dy = y ′ ( x ) dx   ⇔ Vậy ta có:   df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x  df ( x ) = f ′ ( x ) dx   • Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x. Do df ( x ) = f ′ ( x ) ∆x nên f(x) khả vi tại điểm x ⇔ f(x) có đạo hàm tại điểm x Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó: 2.2. Tính chất: () udv − vdu d ( u ± v ) = du ± dv ; d ( uv ) = udv + vdu ; d u = v v2 2.3 Vi phân củ a hàm hợ p y = f (u ) và f, g khả vi thì dy = f ′ ( u ) du = f ( u ) u′ ( x ) dx Nếu  u = g( x ) 1
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 3. Quan hệ giữa đạo hàm − nguyên hàm và vi phân: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ⇔ F ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ dF ( x ) = f ( x ) dx 4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì 4.1. ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx ′ ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x) ; d Nếu F(x) có đạo hàm thì: 4.2. ∫ d ( F ( x) ) = F ( x) + c 4.3. Phép cộng: N ếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx   Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì: 4.4. Phép trừ: ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx   4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∀k ≠ 0 4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x). ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = F ( u ) + c ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c Nếu thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c 5. Nhận xét: Nếu với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích ∫ f ( x ) dx biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét: phân bất định Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn bất định tồ n tại các tích phân sau 2
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân dx sin x cos x ∫e ∫ ln x ; ∫ ∫ ∫ − x2 dx ; sin x dx ; dx ; dx x x nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. 3
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương II. TÍCH PHÂN XÁC Đ ỊNH 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch π bất kì của đoạn [ a, b], tức là chia đoạn [ a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia: a = x0 < x1 < ... < xn −1 < xn = b . Trên mỗi đoạn [ xk −1 , xk ] lấy bất kì điểm ξk ∈ [ xk −1 , xk ] và gọi ∆ k = xk − xk −1 là độ dài của [ xk −1 , xk ] . Khi đó: n ∑ f (ξ ) ∆ = f ( ξ1 ) ∆1 + f ( ξ 2 ) ∆2 + ... + f ( ξ n ) ∆n gọi là tổng tích phân của hàm k k k =1 f(x) trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch π , số khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm ξ k. n ∑ f (ξ ) ∆ lim Nếu tồ n tạ i (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là k k Max∆k →0 k =1 b ∫ f ( x ) dx tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là: a Khi đó hàm số y = f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b] 2. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b]. 3. Ý nghĩa hình học: b ∫ f ( x ) dx Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì là diện tích của hình thang cong a giới hạn bởi các đường: y = f(x), x = a, x = b, y = 0 y C3 N k1 C 2 B2 Bk Ck Nk C n Bn B k+1 Nn C 1 B1 N1 C n1 O ξ1 x1 ξ2 x2 .. .. ξk1 xk1 ξk xk .. .. .. .. ξn1 xn1ξn xn =b x .. .... a=x0 4
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân 4. Các định lý, tính ch ất và công th ức của tích phân xác đ ịnh: 4.1. Định lý 1: N ếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b] f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b] 4.2. Định lý 2: N ếu b b ∫ ∫ f ( x ) dx ≤ g ( x ) dx . Dấu bằng xảy ra ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b] thì a a 4.3. Công thức Newton Leipnitz: b f ( x ) dx = F ( x ) + c thì ∫ f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) − F ( a) b ∫ Nếu a a b b b  f ( x ) + g ( x )  dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ 4.4. Phép cộng:   a a a b b b  f ( x ) − g ( x )  dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ 4.5. Phép trừ:   a a a b b ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∀k ≠ 0 4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0: a a b a a f ( x ) dx = − f ( x ) dx ; ∫ f ( x ) dx = 0 ∫ ∫ 4.7. Công thức đảo cận tích phân: a b a b c b f ( x ) dx = f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ∫ ∫ 4.8. Công thức tách cận tích phân: a a c 4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [ a, b] và hàm x = ϕ (t) khả vi, liên tục trên đoạn [m, M] và t∈[ m,M ] ϕ ( t ) = a; t∈[ m,M ] ϕ ( t ) = b ; ϕ ( m ) = a;ϕ ( M ) = b . Min Max b M f ( x ) dx = ∫ f [ ϕ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) dt ∫ Khi đó ta có: a m 4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi đó: b b b ∫ ∫ u ( x ) v ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − v ( x ) u ′ ( x ) dx a a a 5
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng α +1 ( ax + b ) α dx = 1  ax + b  1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) ∫ +c + c ,α ≠ − 1   a α +1  −1 dx 1 ∫ ax + b = a ln ax + b + c ∫ sin ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) + c +c a 1 ax +b 1 ∫e ∫ tg ( ax + b ) dx = − a ln cos ( ax + b ) ax + b dx = +c +c e a 1 1 ∫m ∫ cotg ( ax + b ) dx = a ln sin ( ax + b ) ax + b m ax + b + c dx = +c a ln m −1 dx dx 1 x ∫ sin ∫a = cotg ( ax + b ) + c = arctg + c ( ax + b ) a 2 2 2 +x a a a+x dx 1 dx 1 ∫ cos tg ( ax + b ) + c ∫a = = +c ln ( ax + b ) 2 2a a − x a 2 2 −x = ln ( x + x 2 + a 2 ) + c dx x x ∫ ∫ arcsin a dx = x arcsin a + a2 − x2 + c 2 2 x +a dx x x x ∫ ∫ arccos a dx = x arccos a − = arcsin +c a2 − x2 + c a 2 2 a −x dx 1 x x x a ∫ arctg a dx = x arctg a − 2 ln ( a + x2 ) + c ∫x = arccos + c 2 a a 2 2 x −a 1 a + x2 + a2 x xa dx ∫ arc cotg a dx = x arc cotg a + 2 ln ( a + x2 ) + c ∫ 2 = − ln +c a x x x2 + a2 ax + b  b dx 1 ∫ ln ( ax + b ) dx =  x + a  ln ( ax + b ) − x + c ∫ sin ( ax + b ) = a ln tg +c   2 ax + b dx 1 x a2 − x2 a2 x ∫ sin ( ax + b ) = a ln tg ∫ +c a 2 − x 2 dx = + arcsin + c 2 2 2 a eax ( a sin bx − b cos bx ) e ax ( a cos bx + b sin bx ) ∫ ∫ eax sin bx dx = +c e ax cos bx dx = +c a 2 + b2 a2 + b2 6
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng ph ải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm x−a a+x dx 1 dx 1 ∫x ∫a = +c; = +c ln ln Chứng minh: 1. Ví dụ 1: 2a x + a 2a a − x 2 2 2 2 −a −x x−a 11 1 1  dx dx  1 dx ∫x ∫ ∫ ∫ = −  dx =  −  = ln +c  Chứng minh: 2a  x − a x + a  2a  x − a x + a  2a x + a 2 2 −a d ( a − x) 1  dx 1 a+x 11 1 dx ∫a ∫ ∫ ∫ = +  dx = − = +c ln   2a  a + x a − x  2a  a + x a−x  2a a − x 2 2 −x = l ( x + x2 + a2 ) + c dx ∫ n 2. Ví dụ 2: Chứ ng minh rằng: x +a2 2 ( )′ ′ 1 + x2 + a2 ( ) Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:  ln x + x 2 + a 2 + c  = =   x + x2 + a2 x + x2 + a2   1 x 1 1 = 1+ = ⋅ = 2  2 x2 + a2  x + x2 + a2 x2 + a2 x2 + a2 x+ x +a  dx 1 x ∫a = u + c (với tg u = ) Chứng minh rằng: 3. Ví dụ 3: 2 2 a +x a d ( a tg u ) ) ( dx 1 1 x ππ ∫ ∫ ∫ =2 = du = u + c , u∈ − , Đặt tg u = ⇒2 a ( 1 + tg u ) a 2 a a +x 2 22 a dx = u + c (với sin u = x , a > 0) ∫ Chứng minh rằng: 4. Ví dụ 4: 2 2 a −x a d ( a sin u ) dx x ∫ ∫ ∫ ππ ,u∈  − ,  ⇒ = = du = u + c Đặt sin u = a 2 ( 1 − sin 2 u )  2 2   a2 − x2 a Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm Bình luận: dx x dx 1 x ∫ ∫a = arcsin + c (a > 0) nhưng sau đó không = arctg + c và a 2 2 +x a a 2 2 a −x giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. 7
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương V. CÁC DẠ NG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢ N V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: m m 1 x = xn ; nk n xm = x n ; x m = x nk n −m 1 −m 1 −1 1 1 =x nk = x−n ; n = x n ; =x n ; xn n nk xm x xm 2. Biến đổi vi phân: dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p) adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p) )( ) ( x± p 1 dx = d x ± 1 = d x ± 2 = L = d   a a a a V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ ( x 3 − 1) + 1 x3  1 dx = ∫ dx = ∫  x 2 + x + 1 + ∫ x −1 1.  dx x −1 x −1  d ( x − 1) 13 12 ∫( x ) + x + 1 dx + ∫ = = x + x + x + ln x − 1 + c 2 x −1 3 2 1 ( 4 x + 7 ) − 7  4 x + 7 dx ∫x 4∫ 4 x + 7 dx =  2. 1 2 3 1 2  3 5 1 ∫ ( 4 x + 7 ) 2 − 7 ( 4 x + 7 ) 2  d ( 4 x + 7 ) = 16  5 ( 4 x + 7 ) 2 − 7 ⋅ 3 ( 4 x + 7 ) 2  + c =   16 d ( 2 x)  10  dx 1 1 3. I 17 = ∫ ∫ = = x + c arctg  ( 2 x) + ( 5 ) 2x + 5 2 2 2 2 5  10 d ( 2x ) 2x 1 1 dx 1 1 1 () ∫ 2 x + 5 ln 2 ∫ 2 x ( 2 x + 5) 5 ln 2 ∫  2 2 + 5  = =  x− x d 2 = +c x ln x 4. 5 ln 2 2 + 5 cos 5 x ∫ 1 − sin x dx = ∫ cos x ( 1 + sin x ) dx = ∫ ( 1 − sin x ) cos x + cos x sin x  dx 3 2 3 5.   sin 3 x cos 4 x = ∫ ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x ) − ∫ cos 3 xd ( cos x ) = sin x − − +c 3 4 8
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân V.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢ I ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) 7x − 3 3x 2 − 7x + 5 J1 = ∫ dx ; J 2 = ∫ dx ; J 3 = ∫ dx 2x + 5 x−2 xx 2x 3 − 5x 2 + 7x − 10 4x 2 − 9x + 10 2x 2 − 3x + 9 J4 = ∫ dx ; J 5 = ∫ dx ; J 6 = ∫ dx ( x − 1) 10 x −1 2x − 1 x 3 − 3x 2 + 4x − 9 2x 3 + 5x 2 − 11x + 4 J7 = ∫ dx ; J8 = ∫ dx ( x − 2 ) 15 ( x + 1) 30 ∫ (x ) ∫ ( x + 3) ( x − 1) ∫ ( x − 1) ( 5x + 2) + 3x − 5 ( 2x − 1) dx 100 3 2 15 33 J9 = dx ; J 10 = dx ; J 11 = 2 x 2 − 3x + 5 ( ) ( ) 4 J12 = ∫ 2x 2 + 3 . 5 ( x − 1) dx ; J13 = ∫ 3 dx ; J14 = ∫ x 4 .9 2x 5 + 3 dx ( 2x + 1) 4 7 x9 x3 x J15 = ∫ dx ; J16 = ∫ dx ; J17 = ∫ dx ( 2 − 3x ) 4 x + x2 −1 x − x2 −1 10 5 dx dx dx J18 = ∫ ; J19 = ∫ 2 ; J 20 = ∫ 2 ( )( ) ( )( ) ( x − 2) ( x + 5) 2 x − 2 x2 + 3 x +2 x +6 x dx dx dx J 21 = ∫ ; J 22 = ∫ ; J 23 = ∫ (x )( ) ( 3x )( ) ( 2x )( ) 2 − 3 x2 − 7 2 + 7 x2 + 2 2 + 5 x2 − 3 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 e 2x dx 1 − ex dx ∫ ∫ ∫ ∫ e x + 1 dx ; J 27 = J 24 = ; J 25 = ; J 26 = dx 1 + ex ex − 1 ex + 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 2 2 1 1 + ex 1 1 + ex dx 1 1 e − x dx dx =∫ ; J 29 = ∫ ; J 30 = ∫ 2x ; J 31 = ∫ J 28 dx −x 1 + e 2x + ex e3x 0 1+ e 0e 0 0 ln 2 ln 4 1 e e−3x dx 1 + ln x dx dx ∫ ∫ ; J 34 = ∫ ; J 35 = ∫ J 32 = ; J 33 = dx e x +3 −x −x x e − 4e 0 1+ e x 0 0 1 3 1 1 ( ) 6 ∫ x 5 1 + x 2 dx ; J 37 = ∫ x 5 1 − x 3 dx ; J 38 = ∫ x 3 1 − x 2 dx J 36 = 0 0 0 ( ) 2 1 2 x + 1 dx 1 1 1 dx dx =∫ x ; J 40 = ∫ x ; J 41 = ∫ ; J 42 = ∫ e 2x 1 + e x dx J 39 −x 4− x 0 4 +3 0 4 +2 0 0 9