Chương 5: Một số ứng dụng của phức trong hình học

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

321
lượt xem 100
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM. Chương 5: Một số ứng dụng của phức trong hình học. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 5: Một số ứng dụng của phức trong hình học

202 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c B1 P1 B2 P6 B6 A1 A2 P2 −π 3 A6 A3 O P5 A5 A4 B3 P3 B5 P4 B4 bk +bk+1 Do Pk là trung đi m c a Bk Bk+1 nên pk = 2 ∀k = 1, 2, . . . , 6 T đó bk + bk+1 bk+3 + bk+4 (bk + bk+3 ) + (bk+1 + bk+4 ) pk + pk+3 = + = =0 2 2 2 do đó l c giác P1 P2 P3 P4 P5 P6 nh n O làm tâm đ i x ng. Ký hi u f là phép quay tâm O góc quay − π . Ta có 3 b1 + b2 1 f (p1 ) = ω · ( ) = · ω · (ωa2 + ωa1 + ωa3 + ωa2) 2 2 1 = ω (a2 + ωa1 + ωa3) 2 1 = · a3 + ωa2 + ω 2 a1 2 1 = · (a3 + ωa2 + ωa4 ) = p2 2 Do đó, f (p1 ) = p2 . Tương t , cũng đư c f (p2 ) = p3 , f(p3 ) = p4 , đpcm. Ví d 5.4 (IMO 1977). Cho hình vuông ABCD. D ng v phía trong hình vuông các tam giác đ u ABK, BCL, CDM và DAN . Ch ng minh r ng trung
5.2. M t s ví d áp d ng 203 đi m các đo n th ng KL, LM, MN, N K, BK, BL, CL, DM, DN và N A là đ nh c a m t th p nh giác đ u. L i gi i. Gi s hình vuông ABCD đ nh hư ng dương. Ch n tâm O c a hình vuông làm g c, g i x là t a v c a đi m X trong m t ph ng ph c. Khi đó b = ia, c = −a, d = −ia. π Đ t ei· 3 = ω ta có k = (iω + ω)a, = (−ω + iω)a, m = (−iω − ω)a, n = (ω − iω)a Đ ý r ng đa giác P1 Q1S1 P2 Q2S2 P3 Q3S3 P4 Q4 S4 nh n O làm tâm đ i x ng, do đó v i f là phép quay tâm O, góc quay + π thì ch c n ch ng minh f (pk ) = 6 qk , f(qk ) = sk và f (sk ) = pk+1 (k = 1, 2) là đ D C K P1 S4 Q4 P4 Q1 S3 L N S1 Q3 P3 P2 Q2 S2 M A B T cách d ng, ta có 1 a a p1 = (k + ) = [(i − 1)ω + (i + 1)ω] , p2 = [−(i + 1)ω + (i − 1)ω] , 2 2 2
204 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c a a q1 = − [i(1 + ω) + ω] , s1 = [1 + iω + ω] 2 2 π Khi đó, v i ε = ei· 6 thì a f (p1 ) = εp1 = [(i − 1)εω + (i + 1)εω] = q1 2 a f (q1 ) = εq1 = [iε + iεω + εω] = s1 2 a f (s1 ) = εs1 = [ε + iεω + εω] = p2 2 M t cách tương t , cũng đư c f (p2 ) = q2 , f(q2) = s2 , f(s2) = p3 (ĐPCM) Nh n xét. Bài toán này hoàn toàn có th gi i b ng phương pháp t a đ như trong [5], hay phương pháp t ng h p như trong [6], tuy nhiên l i gi i quá dài. L i gi i đư c trình bày trên đư c xu t phát t ý tư ng s d ng phép quay véc-tơ, tuy nhiên b ng công c s ph c, đã làm gi m đi đáng k các đ ng tác bi n đ i ph c t p trên các véc-tơ Ví d 5.5 (SEA-MO 1998). Cho tam giác ABC. L y đi m P khác phía v i C đ i v i đư ng th ng AB, đi m Q khác phía v i B đ i v i đư ng th ng CA và đi m R cùng phía v i A đ i v i đư ng th ng BC sao cho các tam giác BCR, ACQ và BAP đ ng d ng. Ch ng minh r ng t giác AP RQ là m t hình bình hành. L i gi i 1. Gi s tam giác ABC đ nh hư ng dương và g i x là t a v c a BP AQ BR đi m X. Đ t BA = AC = BC = t, ∠ABP = ∠CAQ = ∠CBR = ϕ, ω = eiϕ . Khi đó, t gi thi t suy ra p = (tω + 1)b − tωa, q = (tω + 1)a − tωc và r = (tω + 1)b − tωc
5.2. M t s ví d áp d ng 205 Q A ϕ R P ϕ ϕ B C Khi đó p+q = (tω+1)(a+b)−tω(a+c) = (tω+1)b−tωc+(tω+1)a−tωa = a+r (ĐPCM) L i gi i 2. T gi thi t, suy ra các tam giác BCR, ACQ và BAP đ ng d ng cùng hư ng. V y r−b q−a p−b = = =z∈C r−c q−c p−a T đó b − za a − zc b − zc p= ; q= ; r= 1−z 1−z 1−z Suy ra b − zc + (1 − z)a p+q = = a+r 1−z Ví d 5.6. Trong m t ph ng cho b n tam giác ABC, AB1C1, A2BC2 và A3B3 C đ ng d ng, cùng hư ng. G i A0, B0 và C0 theo th t là trung đi m c a A2A3 , B1B3 và C1 C2. Ch ng minh r ng A0B0 C0 ABC L i gi i. G i x là t a v c a đi m X. Gi s phép đ ng d ng f1 (z) = α1 z + β1 bi n tam giác ABC thành tam giác AB1C1 , phép đ ng d ng f2 (z) = α2 z + β2 bi n tam giác ABC thành tam giác A2BC2, phép đ ng d ng f3 (z) = α3 z + β3 bi n tam giác ABC thành tam giác A3B3 C.
206 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Khi đó 1 1 b0 − a0 = (b1 + b3 − a2 − a3) = [(b1 − a) + (a − b) + (b − a2) + (b3 − a3)] 2 2 1 = (α1 + α2 + α3 − 1) (b − a) 2 1 Tương t , cũng đư c c0 − a0 = (α1 + α2 + α3 − 1) (c − a) 2 c0 − a0 c − a Vy = (ĐPCM) b0 − a0 b − a − − → → Nh n xét 5.3. N u đ t AB = t và α = (AC; AB), thì b ng cách làm tương t AC như l i gi i 1 bài toán 5, ta cũng ch ng minh đư c b0 − a0 = teiα(c0 − a0) và cũng đư c đi u ph i ch ng minh. B ng nh ng cách làm như trên, không nh ng ta ch ng minh đư c các tam giác đ ng d ng, mà còn ch ra đư c chúng đ ng d ng cùng hư ng, và cũng tìm đư c t s đ ng d ng theo các t s đã cho. Ví d 5.7 (Italy MO 1996). Cho đư ng tròn (O) và đi m A ngoài (O). V i m i đi m P trên đư ng tròn, d ng hình vuông AP QR, v i các đ nh theo ngư c chi u kim đ ng h . Tìm qu tích đi m Q khi P ch y kh p trên (O). L i gi i. Không m t t ng quát, coi đư ng tròn (O) có tâm t i g c, bán kính b ng 1, g i x là t a v c a đi m X trên m t ph ng. Khi đó, ta có π q = e−i· 2 (a − p) + p ⇐⇒ q = −ia + (1 − i)p Do đó, qu tích c a đi m Q là đư ng tròn có tâm t i đi m A (−ia) (t c là −π √ A = QO 2 (A)), bán kính R = |(1 − i)p| = 2 Ví d 5.8 (Bulgaria MO 1997). Cho hai hình vuông đơn v K1 , K2 v i tâm M, N trong m t ph ng sao cho MN = 4. Bi t r ng hình vuông K1 có hai c nh song song v i MN , hình vuông K2 có m t đư ng chéo n m trên đư ng th ng MN , tìm qu tích trung đi m XY , trong đó X là m t đi m trong c a K1 , Y là m t đi m trong c a K2
5.2. M t s ví d áp d ng 207 L i gi i. Không m t t ng quát, coi M(−2), N(2) và g i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Khi đó a1 = − 5 − 2 , b1 = − 3 − 2 , c1 = − 3 + 2 , d1 = 2 i 2 i 2 i −5 + 2 i 2 và a2 = 2 − 1 √ , b2 2 =2− i √ , c2 2 =2+ 1 √ , d2 2 =2+ √i 2 D2 D1 C1 X Z Y C2 M A2 N A1 B1 B2 Ta có X n m trong hình vuông A1B1 C1D1 khi và ch khi x = x1 + x2i, xk ∈ R v i |x2| < 1 , |x1 + 2| < 2 1 2 Và Y n m trong hình vuông A2 B2C2 D2 khi và ch khi y = y1 + y2 i, yk ∈ R v i 1 1 |y1 + y2 − 2| < √ 2 và |y1 − y2 − 2| < √ 2 x1 +y1 x2 +y2 V y, v i Z là trung đi m XY thì z = 2 +i· 2 = u + iv. √ 1 T −2 − 2 < x1 < −2 + 1 , 2 − 2 √1 2 < y1 ± y2 < 2 + √ 1 2 suy ra |u| < 2+1 2 √ √ 1+ 2 2+1 Tương t , cũng đư c |v| < 2 , |u + v|, |u − v| < √ 2 2 √ V y, qu tích đi m Z là mi n√ giác gi i h n b i các đư ng th ng |x| = √ bát √ 2+1 2+1 2+1 2+1 , |y| = , |x + y| = √ , |x − y| = √ 2 2 2 2 2 2 Nh n xét. V m t hình h c, qu tích đi m Z là mi n trong đa giác đ u có đ nh là trung đi m các đo n n i các đ nh c a hai hình vuông là nh c a −→ − A1B1 C1D1 , A2B2 C2D2 tương ng qua các phép t nh ti n theo các véc-tơ 1 MN 2 −→ − và 1 N M (hình v ) 2 Ví d 5.9 (Poland MO 1999). Cho l c giác l i ABCDEF có ∠A+∠C +∠E = 360◦ và AB · CD · EF = BC · DE · F A. Ch ng minh r ng AB · F D · EC = BF · DE · CA
208 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Đ t b − a = x, c − b = y, d − c = z, e − d = t, f − e = u, a − f = v. Do AB · CD · EF = BC · DE · F A nên |xzu| = |ytv| (1) x z u Do ∠A + ∠C + ∠E = 360◦ nên arg −v · −y · −t = 0 đi u này có nghĩa là x z u −v · −y · −t là m t s th c dương. (2) T (1),(2) suy ra xzu = −vyt hay xzu + vyt = 0 Do x + y + z + t + u + v = 0 nên xt(x + y + z + t + u + v) + (xzu + vyt) = 0 ⇐⇒x2 t + xty + xtz + xt2 + xtu + xtv + xzu + vyt = 0 ⇐⇒(xt2 + xtz + xtu + xzu) + (x2 t + xty + xtv + vyt) = 0 ⇐⇒x(t + z)(t + u) + t(x + y)(x + v) = 0 Do đó |x(t + z)(t + u)| = |t(x + y)(x + v)| (ĐPCM) Ví d 5.10. Cho t giác l i ABCD. D ng các hình vuông AMBN và CP DQ cùng hư ng. Ch ng minh r ng |MQ2 − N P 2 | = 4SABCD Gi i. Coi t giác ABCD đ nh hư ng âm (hình v ). G i X, Y, Z, T theo th t là trung đi m các c nh AB, BC, CD, DA c a t giác ABCD. G i w là t a −→ − v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Đ ý r ng MP 2 − N Q2 = (M P + −→ − → −→ − − − NQ)(MP − NQ) Ta có (p − m)2 − (q − n)2 = 2 < z − x; n − m + p − q > = 2 < z − x; i(a − b + d − c) > = −4i· < z − x; t − y > V y |(p − m)2 − (q − n)2 | = 4SABCD (Do SABCD = 2SXY ZT )
5.2. M t s ví d áp d ng 209 M B X A N Q T Y D Z C P Ví d 5.11. Xét t giác ABCD không có hai c nh nào song song. G i Ga , Gb , Gc , Gd theo th t là tr ng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Ch ng minh r ng n u AGa = BGb và CGc = DGd thì ABCD là m t hình thang cân. L i gi i. G i x là t a v c a đi m X trong m t ph ng ph c và đ t s = a + b + c + d. Ta có b+c+d s−a s−b s−c s−d ga = = , gb = , gc = , gd = 3 3 3 3 3 Do AGa = BGb nên |a − ga | = |b − gb | ⇔ |4a − s| = |4b − s| ⇔< 4a − s; 4a − s >=< 4b − s; 4b − s > T đó 2(|a|2 − |b|2) =< (a − b); s > (1) Tương t , t CGc = DGd cũng đư c 2(|c|2 − |d|2) =< (c − d); s > (2)
210 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Tr (1) cho (2) v đ i v , ta đư c 2(|a|2 − |b|2 − |c|2 + |d|2 ) =< (a − b − c + d); (a + b + c + d) > ⇔2(|a|2 − |b|2 − |c|2 + |d|2 ) = |a + d|2 − |b + c|2 ⇔aa − ad − ad + dd = bb − bc − bc + cc ⇔|a − d|2 = |b − c|2 T c là AD = BC (3) C ng (1) v i (2) v đ i v , ta đư c 2(|a|2 − |b|2 + |c|2 − |d|2 ) =< a − b − d + c; a + b + c + d > và tương t như trên, thu đư c AC = BD (4) T (3) và (4) suy ra đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.12. G i G là tr ng tâm t giác ABCD. Ch ng minh r ng GA ⊥ GD ⇐⇒ AD = MN , trong đó M, N theo th t là trung đi m AD, BC. L i gi i. G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. Do G(g) là a+b+c+d tr ng tâm t giác ABCD nên g = 4 Ta có GA ⊥ GD ⇔< a − g; d − g >= 0 a+b+c+d a+b+c+d ⇔< a − ;d − >= 0 4 4 ⇔< 3a − b − c − d; 3d − b − c − a >= 0 ⇔< (a − b − c + d) + 2(a − d); (a − b − c + d) − 2a − d) >= 0 ⇔< a + d − b − c; a + d − b − c >= 4 < a − d; a − d > 2 a+d b+c ⇔ − = |a − d|2 ⇔ MN = AD 2 2 Ví d 5.13 (St. Petersburg 2000). Cho tam giác ABC nh n n i ti p trong đư ng tròn ω. Đư ng th ng là ti p tuy n c a ω t i B, K là hình chi u c a tr c tâm H c a tam giác ABC trên , và g i M là trung đi m AC. Ch ng minh r ng tam giác BKM cân.
5.2. M t s ví d áp d ng 211 L i gi i. Không m t t ng quát, coi ω là đư ng tròn đơn v , a = x + yi, b = x+z y+t i, c = z + ti. Khi đó = 2 +i· 2 Do H là tr c tâm c a tam giác, nên h = x + z + (y + t + 1)i. Khi đó k = x + z + i. x+z 2 y+t−2 2 1 Ta có |b − | = 2 + 2 = 2 (x + z)2 + (y + t − 2)2 (1) x+z 2 2−y−t 2 1 Và |k − | = 2 + 2 = 2 (x + z)2 + (y + t − 2)2 (2) T (1),(2) suy ra đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.14. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn ω. G i A1 là trung đi m c nh BC và A2 là hình chi u c a A1 trên ti p tuy n c a ω t i A. Các đi m B1 , B2, C1 , C2 đư c xác đ nh m t cách tương t . Ch ng minh r ng các đư ng th ng A1A2 , B1B2 , C1C2 đ ng quy. Hãy xác đ nh v trí hình h c đi m đ ng quy. L i gi i. Không m t t ng quát, coi ω là đư ng tròn đơn v . G i w là t a v c a đi m W trong m t ph ng ph c. A2 A HN O C B A1 b+c Ta có a1 = 2 và đư ng th ng A1A2 là đư ng th ng đi qua A1 (a1), song
212 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c song v i OA, do đó A1 A2 có phương trình b+c b+c az − az = a · −a· 2 2 Do aa = 1 nên phương trình đư c vi t l i dư i d ng b+c b+c z − a2z = − a2 · 2 2 hay a+b+c a+b+c z − a2z = − a2 2 2 a+b+c G i N là tâm đư ng tròn Euler c a tam giác, thì n = 2 do đó A1A2 đi qua N . Tương t cũng có B1 B2 , C1C2 đi qua N (ĐPCM) 5.3 Ch ng minh b t đ ng th c hình h c Vi c bi u di n các đi m trong m t ph ng b ng các s ph c (to v ) cho phép chúng ta đưa các b t đ ng th c hình h c v các b t đ ng th c v mô-đun s ph c. Khi đó, các h ng đ ng th c đ i s và b t đ ng th c tam giác đơn gi n: |z1 + z2| ? |z1| + |z2|, trong r t nhi u trư ng h p, là chìa khoá cho l i gi i bài toán. Ví d 5.15 (B t đ ng th c Ptolemy). Cho t giác ABCD. Ch ng minh r ng ta luôn có AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD. D u đ ng th c x y ra khi và ch khi A, B, C, D theo th t là đ nh c a m t t giác l i n i ti p m t đư ng tròn. L i gi i. Xét m t ph ng ph c, g i a, b, c, d là t a v c a các đ nh A, B, C, D trong m t ph ng ph c. Ta có AB.CD + AD.BC = |a − d| × |d − c| + |d − a| × |c − b| ≥ |(a − d) × (d − c) + (d − a) × (c − b)| = |(c − a)(d − b)| = AC.BD
5.3. Ch ng minh b t đ ng th c hình h c 213 D u đ ng th c x y ra khi (b − a)(d − c) = t(d − a)(c − b), t > 0. Khi đó d−a 1 d−c d−a d−c = × ⇔ arg = arg b−a t c−b b−a c−b hay ∠DAB = π − ∠DCB hay t giác ABCD n i ti p đư ng tròn. Ví d 5.16. Cho tam giác ABC và m t đi m M tùy ý n m trong m t ph ng tam giác. Ch ng minh r ng MB.MC MC.MA MA.MB + + ≥ 1· AB.AC BC.BA CA.CB D u đ ng th c x y ra khi nào? L i gi i. Ta có (m − a)(m − b) (m − b)(m − c) (m − c)(m − a) + + = 1. (5.1) (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) Ch n h t a đ nh n đư ng tròn ngo i ti p tam giác làm đư ng tròn đơn v . G i m, a, b, c tương ng là to v c a M, A, B, C tương ng. Khi đó MA = |m − a|, MB = |m − b|, MC = |m − c|, AB = |a − b|, AC = |a − c|, BC = |b − c|. Áp d ng b t đ ng th c v giá tr tuy t đ i, t (5.1) suy ra |m − a| × |m − b| |m − b| × |m − c| |m − c| × |m − a| + + ≥ 1. |c − a| × |c − b| |a − b| × |a − c| |b − c| × |b − a| và đó chính là đi u ph i ch ng minh. Ví d 5.17. Cho tam giác ABC và m t đi m M b t kỳ n m trong m t ph ng tam giác. Ch ng minh r ng MB.MC MC.MA MA.MB + + ≥ 1. AB.AC BC.BA CA.CB D u đ ng th c x y ra khi nào?
214 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. Ta có (m − a)(m − b) (m − b)(m − c) (m − c)(m − a) + + = 1. (5.2) (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) Ch n h t a đ nh n đư ng tròn ngo i ti p tam giác làm đư ng tròn đơn v . G i m, a, b, c tương ng là to v c a M, A, B, C, tương ng. Khi đó MA = |m − a|, MB = |m − b|, MC = |m − c| AB = |a − b|, BC = |b − c|, CA = |c − a|. Áp d ng b t đ ng th c tr tuy t đ i, t (5.3), suy ra |m − a||m − b| |m − b||m − c| |m − c||m − a| + + ≥ 1, |c − a||c − b| |a − b||a − c| |b − c||b − a| và đó chính là đi u ph i ch ng minh. 5.4 Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán S ph c có ng d ng to l n và hi u qu trong các bài toán hình h c. B ng cách bi u di n to v các đi m c a m t hình hình h c b ng các s ph c, ta có th bi u di n các đi u ki n đ bài có b n ch t hình h c b ng các đ ng th c đ i s và chuy n k t lu n hình h c v các đ ng th c đ i s . Như v y, bài toán ch ng minh hình h c có th đưa v vi c ki m tra m t h ng đ ng th c, ho c m t h ng đ ng th c có đi u ki n. Ví d 5.18. Cho tam giác ABC. Trong n a m t ph ng b AB ch a đi m C, d ng hình vuông ABDE. Trong n a m t ph ng b BC ch a đi m A, d ng hình vuông BCF G. Ch ng minh r ng GA vuông góc v i CD và GA = CD. L i gi i. L y h t a đ vuông góc có g c t i B, véctơ BC là chi u dương c a tr c th c. Ký hi u nhãn c a các đ nh c a tam giác ABC tương ng là a, b = 0, c.
5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 215 Khi đó t a đ c a G là ic. T a đ c a đi m D là −ia. G i góc gi a GA và CD ký hi u là ϕ thì −ia − c ϕ = arg . a − ic −ia−c (−ia−c)(a+ic) −i(a2 +c2 ) Xét a−ic = = = −i. (a−ic)(a+ic) a2 +c2 π Do arg (−i) = − nên GA vuông góc v i CD. Ngoài ra thì 2 |GA| = |a − ic| = | − ia − c| = |CD|. V y ta có đi u ph i ch ng minh. Nh n xét 5.4. Đ ý đ n bi u th c to đ c a các phép bi n hình, ta th y phép t nh ti n tương ng v i phép c ng s ph c, phép quay là phép nhân v i s ph c có mô-đun b ng 1, phép v t là phép nhân v i s th c, phép v t quay là phép nhân v i s ph c b t kỳ. Ví d 5.19 (IMO 1986). Trong m t ph ng cho tam giác A1A2A3 và đi m P0 . V i m i s ≥ 4 ta đ t As = As−3 . D ng dãy đi m P0 , P1 , . . . sao cho đi m Pk+1 2π là nh c a Pk v i phép quay tâm Ak+1 (k = 0, 1, . . . ) m t góc theo chi u 3 kim đ ng h . Ch ng minh r ng n u P1986 = P0 thì tam giác A1A2A3 là tam giác đ u. 2π L i gi i. V i m i k k ≥ 0, tam giác Ak+1 Pk Pk+1 cân v i Pk Ak+1 Pk+1 = . 3 G i pk , ak là t a đ c a các đi m Pk , Ak tương ng v i k = 0, 1, . . . . 2π 2π Thì pk+1 − ak+1 = α(pk − ak+1 v i α = cos + i sin . 3 3 C th , p1 = a1 + α(P0 − a1 ), p2 = a2 + α(p1 − a2 ), p3 = a3 + α(p2 − a3 ). Do đó p2 = a2 − αa2 + α[a1 + α(p0 − a1)] = (1 − α)a2 + α(1 − α)a1 + α2 p0 ,
216 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c p3 = a3 −αa3 +α[(1−α)a2 +α(1−α)a1 +α2p0 ] = (1−α)(a3 +αa2 +α2 a1 ]+α3p0 , L i do α3 = 1 nên p3 = (1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1 + p0 , Nh n xét r ng p0 .p3 , p6 , . . . l p thành c p s c ng v i s h ng đ u tiên p0 và v i công sai (1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1). V y nên n u P1986 = P0 thì 3 × 662(1 − α)(a3 + αa2 + α2 a1 ) + p0 = p0 . Suy ra a3 + αa2 + α2 a1 (5.3) π π Mà α = β 2 = β − 1 và α2 = β 4 == β 3β = −β v i β = cos + i sin . 3 3 Thay vào (5.3) ta có a3 + (β − 1)a2 + βa1 = 0 suy ra a3 = a2 + β(a1 − a2) nên tam giác A1A2A3 đ u. Ví d 5.20. Cho tam giác ABC tr c tâm H, v đư ng tròn đư ng kính CH, c t các c nh AB và AC t i P và Q. Ch ng minh r ng nh ng ti p tuy n t i đi m P và Q đ i v i đư ng tròn c t nhau t i đi m gi a c a AB. L i gi i. Ch n h t a đ v i đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là đư ng tròn đơn v . Do P, Q là chân đư ng cao c a tam giác h t A, B nên p = 1 (a + b + c − bc¯) 2 a q = 2 (a + b + c − ac¯ 1 b)
5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 217 Tâm O c a đư ng tròn đư ng kính CH là trung đi m CH nên 1 1 1 a = (c + h) = (c + a + b + c) = a + (a + b). 2 2 2 a+b G i M là trung đi m c a AB, thì m = . 2 Ta có 1 m−p 2 (a + b) − 1 (a + b + c − bc¯) 2 a = 1 1 0−p c + 2 (a + b) − 2 (a + b) − bc¯ a bc¯ − c a b¯ − 1 a b−a = = = · c + bc¯ a 1 + b¯ a b+a Tương t ta có: m−q a−b = · 0−q a+b a−b Các t s trên là s o. Th t v y n u b = x0 + iy0, a = x1 + iy1 thì a+b có ph n th c là phân s v i t s b ng 0: (x0 − x1 )(x0 + x1 ) + (y0 − y1 )(y0 + y1 ) = (x2 + y0 ) − (x2 + y1 ) = 0. 0 2 1 2 Ch ng t MP ⊥ OP , MQ ⊥ OQ. nghĩa là MP, MQ là ti p tuy n c a đư ng tròn (đpcm). Nh n xét r ng, s ph c t ra đ c bi t hi u qu v i các bài toán liên quan đ n vuông góc. Ví d 5.21. V phía ngoài c a t giác l i ABCD, l n lư t d ng các hình vuông nh n AB, BC, CD, DA làm c nh. Các hình vuông này có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 . Ch ng minh r ng O1 O3 vuông góc v i O2 O4 và O1 O3 = O2 O4 . L i gi i. Gi s các hình vuông là ABMM , BCNN , CDP P , DAQQ có tâm là O1 , O2 , O3 , O4 . Ta quy u c ch cái thư ng là to v c a các đ nh, ch ng h n a là to v c a đi m A. Ta nh n th y r ng, đi m M nh n đư c t phép quay tâm B, góc quay π/2. T đó suy ra m = b + (a − b)i.
218 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c Tương t n = c + (b − c)i, p = d + (c − d)i, q = a + (d − a)i. Do đó a+m a + b + (a − b)i b + c + (b − c)i o1 = = , o1 = , 2 2 2 c + d + (c − d)i d + a + (d − a)i o3 = , o4 = · 2 2 Suy ra o3 − o1 (c + d − a − b) + i(c − d − a − b) = = −i. o4 − o2 a + d − b − c + i(d − a − b + c) Do đó O1 O3 vuông góc O2 O4 . Hơn n a, o3 − o1 = | − i| = 1 o4 − o2 nên O1 O3 = O2 O4 . . Ví d 5.22 (IMO 17, 1975). V phía ngoài c a tam giác ABC, l n lư t d ng các tam giác ABR, BCP , CAQ sao cho ∠P BC = ∠CAQ = 450 , ∠BCP = ∠QCA = 300 , ∠ABR = ∠RAB = 150 . Ch ng minh r ng ∠QRP = 900 , RQ = RP. L i gi i. Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. G i M là chân đư ng vuông góc h t đi m P xu ng đư ng th ng BC. Ta qui ư c ch cái thư ng là t a v c a đ nh tương ng, ch ng h n, a là t a v c a đi m A. Vì MP = M B và MC √ = 3 nên MP √ p−m c−m = i và = i 3. b−m p−m Do đó √ c + 3b b−c p= √ +i √ · 1+ 3 1+ 3 Tương t ta cũng tính đư c √ c + 3a a−c q= √ +i √ · 1+ 3 1+ 3
5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 219 Đi m B nh n đư ng t đi m A b ng phép quay tâm R, góc quay q = 1500 . Do đó √ 3 1 b=a − + i . 2 2 T đó, b ng các phép bi n đ i đ i s , ta đư c √ √ p c + 3b b−c c + 3a a−c = √ +i √ : √ +i √ = i. q 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 Suy ra QR vuông góc v i P R hay ∠QRP = 900 . Hơn n a, |p| = |iq| = |q| nên RQ = RP . Bên c nh các bài toán ch ng minh vuông góc, s ph c cũng t ra hi u qu trong các bài toán v th ng hàng, đ ng quy. Ví d 5.23. Cho ABCD và BN MK là hai hình vuông không giao nhau, E là trung đi m c a AN . G i F là chân đư ng vuông góc h t B xu ng đư ng th ng CK. Ch ng minh r ng các đi m E, F, B th ng hàng. L i gi i. Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. Ch n F làm g c to đ và CK, F B l n lư t là tr c hoành và tr c tung. G i c, k, bi l n lư t là to v c a các đi m C, K, B v i c, k, b ∈ R. Phép quay tâm B, góc quay q = 900 bi n đi m C thành đi m A, do đó A có to v là a = b(1 − i) + ci. Tương t , đi m N là nh c a đi m K qua phép quay tâm B, góc quay q = −900 nên đi m N có to v là n = b(1 + i) − ki. T đó suy ra to v đi m E, trung đi m c a đo n th ng AN là a+n c−k e= =b+ . 2 2 T đó suy ra đi m E n m trên đư ng th ng F B hay các đi m E, F, B th ng hàng. Ví d 5.24. Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC ta l n lư t d ng các tam giác đ ng d ng có cùng hư ng là ADB, BEC, CF A. Ch ng minh r ng các tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm.
220 Chương 5. M t s ng d ng c a s ph c trong hình h c L i gi i. Ta qui ư c ch cái thư ng là t a v c a đ nh tương ng, ch ng h n, a là t a v c a đi m A. Vì ADB, BEC, CF A là các tam giác đ ng d ng có cùng hư ng nên d−a e−b f −c = = = z. b−a c−b a−c Do đó d = a + (b − a)z, e = b + (c − b)z, f = c + (a − c)z. Suy ra c+d+f a+b+c = . 3 3 Hay các tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm. Ví d 5.25 (IMO Shortlist). Cho ABC là m t tam giác đ u có tâm là S và A B O là m t tam giác đ u khác có cùng hư ng. G i M, N l n lư t là trung đi m c a các đo n th ng A B và AB . Ch ng minh r ng các tam giác SB M và SA N đ ng d ng. L i gi i. G i R là bán kính c a đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABO, đ t 2p 2p e = cos + i sin · 3 3 Ta xét bài toán trong m t ph ng ph c. Ch n S là g c t a đ và SO là tr c th c (tr c hoành). Khi đó, to đ c a các đi m O, A, B là R, Re, Re2 . G i R + z là t a đ c a đi m B , thì R − ze là t a đ c a đi m A . Suy ra to đ c a M, N là zB + zA Re2 + R − ze R(e2 + 1) − ze −Re − ze −e(R + z) zM = = = = = , 2 2 2 2 2 R zA + zB Re + R − z R(e + 1) + z −Re2 + z z− e R − ze zN = = = = = = · 2 2 2 2 2 −2e Ta có zB − zS zA − zS R+z R − ze = ⇔ −e(R+z) = R−ze ⇔ e¯ = 1 ⇔ |e|2 = 1. e zM − zS zN − zS −2e 2 T đó suy ra các tam giác SB M và SA N đ ng d ng.
5.4. Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán 221 5.4.1 S ph c và đa giác đ u Căn b c n c a đơn v là các s ph c có bi u di n trên m t ph ng to đ là đ nh c a m t n-giác đ u. Tính ch t đơn gi n này có th s d ng đ gi i nhi u bài toán liên quan đ n n- giác đ u. Ví d 5.26 (Romania 1997). Cho n > 2 là m t s nguyên và f : R2 → R là m t hàm s sao cho v i m i n-giác đ u A1A2 . . . An , ta có f (A1 ) + f (A2 ) + · · · + f (An ) = 0. Ch ng minh r ng f (A) = 0 v i m i A thu c R2 . L i gi i. Ta đ ng nh t R2 v i m t ph ng ph c và đ t ε = e2πi/n . Khi đó đi u ki n đ bài chính là ng v i m i s ph c z và s th c t ta đ u có n (z + tε)j = 0. j=1 T đó, như nh ng trư ng h p riêng, ta có v i m i k = 1, 2, . . . , n n (z − εk + tε)j = 0. j=1 C ng các đ ng th c này l i, ta đư c n n (z − (1 − εm )ε)k = 0. m=1 k=1 V i m = n t ng trong b ng nf (z); v i các giá tr m khác, t ng trong l i ch y qua đ nh c a n-giác đ u, do đó b ng 0. V y f (z) = 0 v i m i z ∈ C. Ví d 5.27 (Balkan MO 2001). M t ngũ giác l i có các góc b ng nhau và có các c nh là các s h u t . Ch ng minh r ng ngũ giác đó đ u. L i gi i. Ta dùng s ph c đ gi i. Gi s đ nh c a đa giác l i là các s ph c v1, v2, . . . , v5. Xét z1 = v2 − v1 , z2 = v3 − v2, z3 = v4 − v3, z4 = v5 − v4, z5 = v1 − v5.