CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Lotus_6 Lotus_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

105
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Học sinh nắm được định nghĩa “Nguyên hàm”, khái niệm tích phân bất định hay Họ các nguyên hàm của một hàm số. Rèn luyện kỹ năng nhớ, phát triển tư duy cho học sinh. Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, khoa học cho học sinh. Hình thành kỹ năng tổng hợp chuyên đề cũ, hình thành chuyên đề mới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN. NGUYÊN HÀM (tiết 1). Tiết 47 A. CHUẨN BỊ: I. Yêu cầu bài: 1. Yêu cầu kiến thức, kỹ năng, tư duy: Học sinh nắm được định nghĩa “Nguyên hàm”, khái niệm tích phân bất định hay Họ các nguyên hàm của một hàm số. Rèn luyện kỹ năng nhớ, phát triển tư duy cho học sinh. Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, khoa học cho học sinh. Hình thành kỹ năng tổng hợp chuyên đề cũ, hình thành chuyên đề mới. 2. Yêu cầu giáo dục tư tưởng, tình cảm: Qua bài giảng, học sinh say mê bộ môn hơn và có hứng thú tìm tòi, giải quyết các vấn đề khoa học. II. Chuẩn bị: Thầy: giáo án, sgk, TLHDGD. Trò: vở, nháp, sgk và đọc trước bài. B. Thể hiện trên lớp: I. Kiểm tra bài cũ: (3’) Viết công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác? CH:
(sinx)’ = cosx; (cosx)’ = -sinx; (cotgx)’ = -1/sin2x; (tgx)’ = 1/cos2x 4  sin u  '  u '.cos u;  cos u  '  u '.sin u ĐA: 4 u ' u'  t gu  '  2 ;  cot gu  '  2 cos u sin u 2 II. Dạy bài mới: Đặt vấn đề: Trong công thức (cosx)’ = -sinx thì hàm y = cosx là nguyên hàm của hàm số y = -sinx, hay: hsố y = -sinx có nguyên hàm là hàm y = cosx. Vậy: thế nào là Nguyên hàm? Mối liên hệ giữa Nguyên hàm và Đạo hàm là gì? PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG tg ?Hãy nêu ý nghĩa vật lý của 2 Đạo hàm? Bài toán tổng quát: Cho hsố f(x) xác định trên (a;b), tìm các hsố F(x) HS: Với chuyển động thẳng sao cho trên khoảng đó: F’(x) = f(x). có phương trình s = f(t) thì đạo hàm bậc nhất là vận tốc 1. Định nghĩa: +, Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của tức thời của chất điểm tại thời điểm t0: v(t0) = s’(t0) = f’(t0). hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu  x  (a;b), ta Giáo viên trình bày: có: Trong thực tế, ta thường phải F’(x) = f(x) giải bài toán ngược lại: +, Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của Biết vận tốc tức thời v(t), tìm hàm số f(x) trên đoạn [a;b] nếu ta có: phương trình s = f(t) của
chuyển động. Hay: Tìm hàm F '(x)  f (x)  x  (a;b)   F'(a )  f (a) số s = f(t) khi biết đạo hàm F'(b  )  f (b)  của nó. * Ví dụ: Gọi học sinh đọc, tóm tắt. F(x) = x2 là một nguyên hàm của  hàm số f(x) = 2x trên R vì (x2)’ = 2x. ?Từ định nghĩa trên, em hãy 6 F(x) = ex là một nguyên hàm của  cho biết: hàm số f(x) = ex trên R vì (ex)’ = ex + Hàm F(x) = x2 là một 1  Hàm số f(x) = có một nguyên cos 2 x nguyên hàm của hsố nào? hàm là F(x) = tgx trên mỗi khoảng của + Hàm F(x) = ex là một  1 nguyên hàm của hsố nào? R\{  k; k  Z } vì (tgx)’ = cos 2 x 2 + Một nguyên hàm của hsố   x  R\{  k; k  Z } 2 1 trên tập xác f(x) = cos 2 x định? * Định lý: (8’) HD: tìm hsố mà nó có đạo Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 5 1 hàm bằng f(x) = . trên khoảng (a;b) thì: cos 2 x 1. Với mọi hằng số C(C = Const), F(x) + C ? F(x) = x2 + C là một nguyên cũng là một nguyên hàm của f(x) trên hàm của hsố nào? Vì sao? khoảng đó. HS: F(x) = x2 + C cũng là một 2. Ngược lại: mọi nguyên hàm của hàm số nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới f(x) = 2x vì (x2 + C)’ = 2x. dạng F(x) + C (C = Const)
GV trình bày: Một cách tổng quát, ta có: * Bổ đề: (6’) Nói cách khác: F(x) là một Nếu F’(x) = 0 trên (a;b) thì F(x) không đổi trên nguyên hàm của f(x) trên 14 khoảng đó. CM Bổ đề: (a;b)  {F(x) + C, C = Const Xét một phần tử cố định x0  (a;b)  R} là họ các nguyên hàm  F(x0) = const của f(x) trên (a;b). Để chứng minh định lý, ta cần  x  (a;b), ta có: đến Bổ đề sau: +, Nếu x = x0 thì F(x) = F(x0) = const. Gọi hsinh đọc. +, Nếu x ≠ x0 thì: theo định lý Lagrăng ta có:  c nằm giữa x và x0 sao cho: ?Một hàm số mà không đổi F(x) - F(x0) = F’(c)(x - x0) = 0 (*) trên một khoảng thì đó là hsố Vì c  (a;b) và F’(x) = 0 trên (a;b) nên F’(c) = 0 gì? (*)  F(x) = F(x0) = const. ?Để chứng minh một hàm là Vậy: Nếu F’(x) = 0 trên (a;b) thì F(x) là một hàm hằng, ta phải chứng minh hàm hằng trên khoảng đó. điều gì? CM Định lý: HS: Phải CM hàm số luôn 1. Do F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a;b) bằng giá trị của hàm tại một nên theo định nghĩa: F’(x) = f(x) điểm cố định (là hằng).  x  (a;b) Lại có: (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x)
Vậy: F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó,  C = Const. ?Để chứng minh: F(x) + C cũng là một nguyên hàm của 2. Giả sử: G(x) là một nguyên hàm của hàm f(x), ta dựa vào đâu? Áp số f(x) trên (a;b)  G’(x) = f(x)  x  (a;b). dụng? Xét: (G(x) - F(x))’ = G’(x) - F’(x) Dựa và định nghĩa Hs: = f(x) - f(x) nguyên hàm và tính chất của = 0  x  (a;b) đạo hàm. Theo bổ đề trên thì G(x) - F(x) là một hàm không đổi trên (a;b). Có nghĩa: G(x) - F(x) là ?Để chứng minh: Mọi nguyên hàm hằng.  G(x) - F(x) = C hàm của hsố f(x) đều biểu  G(x) = F(x) + C diễn được dưới dạng F(x) + C * Nhận xét: (C = Const), ta phải chứng +, Nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì nó có minh điều gì? vô số nguyên hàm và các nguyên hàm của nó có GV hướng dẫn: dạng F(x) + C (C = Const). +, Nếu G(x) là nguyên hàm +, F(x) + C là họ các nguyên hàm của hàm số của f(x) thì G(x) phải có f(x). dạng: G(x) = F(x) + C. +, Để tìm tất cả các nguyên hàm của một hàm Hay G(x) - F(x) là hàm hằng. số, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của nó. +, Để CM G(x) - F(x) là hàm  Họ nguyên hàm bằng cách cộng thêm một hằng, ta sử dụng nội dung của
Bổ đề; có nghĩa: Phải chứng hằng số. +, Kí hiệu: Họ nguyên hàm F(x) + C của hsố f(x) minh: (G(x) - F(x))’ = 0. ? Học sinh tính (G(x) - F(x))’ được kí hiệu là:  f (x)dx ? Đọc là: Tích phân bất định của hàm số f(x) hay Từ giá trị đó, hãy nhận xét Họ các nguyên hàm của hsố f(x) tính chất của hsố G(x) - F(x) Vậy: trên (a;b)? = F(x) + C  f (x)dx Trong đó: F(x) là một nguyên hàm của hsố f(x), C = const tuỳ ý. Hay: = F(x) + C  f(x) = F’(x)  f (x)dx ? Qua định lý trên thì một được gọi là dấu tích phân. +, Dấu  hàm số có bao nhiêu nguyên +, Biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích hàm? phân. Đó là vi phân của mọi nguyên hàm của ?Dạng của nguyên hàm đó là f(x). gì khi ta biết một nguyên hàm CM: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì của nó? F’(x) = f(x).  dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số là ta phải đi tìm * Ví dụ: họ nguyên hàm của nó. 2   2xdx  x C ? Để tìm họ nguyên hàm của 13 một hsố, ta là thế nào? x  ex  C  e
?Nếu kí hiệu: Họ nguyên hàm  dx   tgx  C  x  R\{  k; k  Z }  cos 2 x 2 của hsố f(x) là thì ta  f (x)dx có biểu thức nào? GV: Đây chính là khái niệm TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH. ?Gọi học sinh chứng minh? ? Từ khái niệm Tích phân bất định và các ký hiệu, hãy viết lại nội dung ví dụ trên theo “Ngôn ngữ Toán học”? Nguyên hàm, Tích phân bất định, Họ các nguyên hàm của một hsố là gì? Dạng của họ các nguyên hàm của một hsố được biểu diễn như thế nào? Mối quan hệ giữa các khái niệm trên? Mối quan hệ giữa chúng và đạo hàm là gì? III. Hướng dẫn học sinh học và làm bài tập ở nhà:(2’) Nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, khái niệm Tích phân bất định và bài toán hình thành nó. Tự chứng minh lại Định lý và Bổ đề.
Đọc trước phần còn lại.