zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Báo xấu

81
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu cung cấp những kiến thức, bài tập vận dụng về hàm số lượng giác; phương trình lượng giác cơ bản; một số phương trình lượng giác thường gặp; một số phương pháp giải phương trình lượng giác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định . . . . . . . . . . 11 Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước . . . 11 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . 16 Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . 17 Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . 18 Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 A Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Trang i
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R. y • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1, − π2 ∀x ∈ R. −π π π x 2 • Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số y = sin x • Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z. 2 Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R. y • Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, − π2 −π π ∀x ∈ R. π x 2 • Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số y = cos x • Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z. y 3 Hàm số y = tan x π • Điều kiện cos x 6= 0 ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z. nπ 2 o Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z . 2 • Tập giá trị: R. −π − π2 • Là hàm số lẻ. O π π x 2 • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z. Trang 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 Hàm số y = cot x y • Điều kiện sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} . • Tập giá trị: R. • Là hàm số lẻ. 3π • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, −π − π2 2 nghĩa là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z. π x O π 2 5 Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B A0 A O cos O cos cos O B0 π sin x = 1 ⇔ x = 2 + k2π sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π sin x = 0 ⇔ x = kπ Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x sin sin sin B A A0 cos cos O cos O O B0 π cos x = 1 ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos x = 0 ⇔ x = 2 + kπ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau: f (x) 1. y = xác định ⇔ g(x) 6= 0. g(x) 2. y = 2n f (x) xác định ⇔ f (x) > 0, trong đó n ∈ N∗ . p π 3. y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= + kπ, k ∈ Z. 2 4. y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= kπ, k ∈ Z. Trang 2
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC # Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: 2 sin x + 3 1 + cos x 2 + 3 cos 2x a) y = b) y = c) y = cos x 1 − cos x sin x 1 + cos x sin x − 3 2 sin x + 3 d) y = e) y = f) y = 1 + sin x cos x + 1 cos x + 2 2 sin x + 3 2 sin x − 3 x−1 g) y = h) y = i) y = sin . sin x − 1 2 sin x + 3 x+2 √ √ … cos x − 2 1 + cos x j) y = 3 − 2 cos x. k) y = l) y = 1 + cos x 1 − cos x # Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây: π a) y = 2 tan x + 3 b) y = 2 tan 2x − 4 sin x c) y = cot x + +1 4 # Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R. √ √ sin x − 1 a) y = m − cos x b) y = 2 sin x − m c) y = cos x + m p # Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác định R. { DẠNG 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp giải. Ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng. 2. Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả. Khi đó • Nếu f (−x) = f (x): hàm số đã cho là hàm chẵn. • Nếu f (−x) = − f (x): hàm số đã cho là hàm lẻ. • Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ. CHÚ Ý ¬ Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. ® Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. ¯ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. # Ví dụ 5. Xét tinh chẵn lẻ của hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x. 2 # Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x. Trang 3
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải. Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ¬ −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R; −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R; ® 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R; ¯ 0 ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R. ° Cô – si: ± Bunhiacopxki: √ a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0 (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d 2 ) Dấu bằng xảy ra khi a = b. a c Dấu bằng xảy ra khi = . b d Sử dụng điều kiện có nghiệm ¬ sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1. cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1. ® sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 . Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận. # Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau 1 − 2sin2 x √ a) y = 2 sin x + 3 b) y = c) y = 2 + cos x − 1 3 d) y = 4 sin x cos x + 1; e) y = 4 − 3 sin2 2x. f) y = (3 − sin x)2 + 1 g) y = sin4 x + cos4 x h) y = sin6 x + cos6 x # Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. √ # Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất. # Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau √ a) y = 3 sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = 3 sin x + 4 cos x # Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1 b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2 c) y = cos 2x − sin x + 3 √ # Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1. sin x + 3 cos x + 1 # Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = . sin x − cos x + 2 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Tìm tậpnxác định D củao hàm số y = − tan x. π A. D = R \ + kπ, k ∈ Z . B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}. 2 Trang 4
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC nπ o C. D = R \ {k2π, k ∈ Z}. D. D = R \ + k2π, k ∈ Z . 2 Câu 2. Tìm tập n xác o hàm số y = cot x. định của π A. D = R\ k |k ∈ Z . B. D = R\{kπ|k ∈ Z}. 2 nπ o C. D = R\{k2π|k ∈ Z}. D. D = R\ + kπ|k ∈ Z . 2 1 − 3 cos x Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y = là sin x π A. x 6= + kπ, k ∈ Z. B. x 6= k2π, k ∈ Z. 2 kπ C. x 6= , k ∈ Z. D. x 6= kπ, k ∈ Z. 2 2 sin x + 1 Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = là 1 − cos x π π A. x 6= k2π. B. x 6= kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= + k2π. 2 2 π Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − là 3 π π 5π π 5π π A. x 6= + k . B. x 6= + kπ. C. x 6= + kπ. D. x 6= +k . 6 2 12 2 12 2 Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A. R. B. (−∞; 0]. C. [0; +∞]. D. [−1; 1]. Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A. [−2; 2]. B. [0; 2]. C. [−1; 1]. D. [0; 1]. Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A. y = sin2 x. B. y = x cos 2x. C. y = x sin x. D. y = cos x. Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x. π kπ A. x 6= kπ, k ∈ Z. B. x 6= + kπ, k ∈ Z. C. x 6= , k ∈ Z. D. x ∈ R. 2 2 2 cos 3x − 1 Câu 11. Tập xác định của hàm số y = là cos x + 1 A. D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}. B. D = R \ {k2π; k ∈ Z}. π C. D = R \ { + kπ; k ∈ Z}. D. D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}. 2 Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π. B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π. C. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π. D. Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là π A. T = 2π. B. T = . C. T = π. D. T = 4π. 2 Câu 14. Hàmsố nàolà hàm số chẵn? π π A. y = sin x + . B. y = cos x + . C. y = sin 2x. D. y = tan x − sin 2x. 2 2 Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? Trang 5
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y 1 −π π O 2π x −1 A. y = 1 + sin x. B. y = 1 − sin x. C. y = sin x. D. y = cos x. Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? y 2 1 −π π O π π x − 2 2 A. y = cos x + 1. B. y = 2 − sin x. C. y = 2 cos x. D. y = cos2 x + 1. √ Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2. A. max y = 3 và min y = 1. B. max y = 3 và min y = 2. C. max y = 3 và min y = −2. D. max y = 3 và min y = −1. √ Câu 18. Tìm tập √ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau√y = 2 sin x +√3. A. max y = √5, min y = 1. B. max y = √5, min y = 2 5. C. max y = 5, min y = 2. D. max y = 5, min y = 3. π Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x − . 4 A. min y = −2, max y = 4. B. min y = 2, max y = 4. C. min y = −2, max y = 3. D. min y = −1, max y = 4. Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x. A. min y = 1, max y = 2. B. min y = 1, max y = 3. C. min y = 2, max y = 3. D. min y = −1, max y = 3. √ Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, √ giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + √ sin 2x. A. min y = 2, max y = 1 + √3. B. min y = 2, max y = 2 + 3. C. min y = 1, max y = 1 + 3. D. min y = 1, max y = 2. 4 Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = . 1 + 2sin2 x 4 4 A. min y = , max y = 4. B. min y = , max y = 3. 3 3 4 1 C. min y = , max y = 2. D. min y = , max y = 4. 3 2 Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x. 3 A. max y = 4, min y = . B. max y = 3, min y = 2. 4 3 C. max y = 4, min y = 2. D. max y = 3, min y = . 4 Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1. A. max y = 6, min y = −2. B. max y = 4, min y = −4. C. max y = 6, min y = −4. D. max y = 6, min y = −1. Trang 6
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. min y = −6; max y = 4. B. min y = −6; max y = 5. C. min y = −3; max y = 4. D. min y = −6; max y = 6. Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. max y = 4, min y = −6. B. max y = 6, min y = −8. C. max y = 6, min y = −4. D. max y = 8, min y = −6. 1 3 Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của 2 4 T. A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng 9 9 A. 3; 1. B. 1; −1. C. ; 0. D. ; 2. 4 4 2 Câu 29. Giá √ y = 2 cos x − sin 2x√+ 5 là √ trị lớn nhất của hàm số √ A. 6 + 2. B. 6 − 2. C. 2. D. − 2. sin x + 2 cos x + 1 Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = . sin x + cos x + 2 A. M = −2. B. M = −3. C. M = 3. D. M = 1. —HẾT— Trang 7
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Phương trình sin x = a. Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. sin sin sin B A0 A O cos O cos cos O B0 π sin x = 1 ⇔ x = 2 + k2π sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π sin x = 0 ⇔ x = kπ ® √ √ ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ;± ;± . Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc 2 2 2 β ◦ tương ứng. ¬ Công thức theo đơn vị rad: sin ñ x = α + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z N M x = π − α + k2π a Công thức theo đơn vị độ: O x = β ◦ + k360◦ ñ sin x = a ⇔ ,k∈Z x = 180◦ − β ◦ + k360◦ Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − arcsin a + k2π Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ ,k∈Z f (x) = π − g(x) + k2π 2 Phương trình cos x = a. Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}. Trang 8
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin sin B A cos O cos O cos A0 O B0 π cos x = 1 ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos x = 0 ⇔ x = 2 + kπ ® √ √ ´ 1 2 3 Trường hợp a ∈ ± ;± ;± . Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc 2 2 2 β ◦ tương ứng. ¬ Công thức theo đơn vị rad: ñ x = α + k2π M cos x = a ⇔ ,k∈Z x = −α + k2π cos Công thức theo đơn vị độ: O a x = β ◦ + k360◦ ñ cos x = a ⇔ ,k∈Z N x = −β ◦ + k360◦ Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên. ñ x = arccos a + k2π cos x = a ⇔ ,k∈Z x = − arccos a + k2π Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x) ñ f (x) = g(x) + k2π cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔ ,k∈Z f (x) = −g(x) + k2π 3 Phương trình tan x = a. ® √ ´ 3 √ Trường hợp a ∈ 0; ± ; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc 3 β ◦ tương ứng. tang ¬ Công thức theo đơn vị rad: N a tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O Công thức theo đơn vị độ: M ◦ ◦ tan x = a ⇔ x = β + k180 , k ∈ Z Trường hợp a khác các số ở trên thì Trang 9
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4 Phương trình cot x = a. ® √ ´ 3 √ Trường hợp a ∈ ± ; ±1; ± 3 . Ta bấm máy SHIFT tan 1 a để đổi số a về góc α hoặc β ◦ 3 π tương ứng. Riêng a = 0 thì α = 2 a cotang ¬ Công thức theo đơn vị rad: N cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z O Công thức theo đơn vị độ: M cot x = a ⇔ x = β ◦ + k180◦ , k ∈ Z Trường hợp a khác các số ở trên thì cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z. B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp giải. • Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hay xấu; • Chọn và ráp công thức nghiệm. # Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ 3 π a) sin 3x = − b) 2 sin −x = 1 c) 2 sin (x − 45◦ ) − 1 = 0 2 5 √ Å ã 2π d) cos x − =1 e) 2 cos 2x − 1 = 0 f) 3 cos x − 1 = 0. 3 # Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: √ 3 √ π a) tan 3x = − b) 3 tan −x = 1 c) tan (x − 45◦ ) − 1 = 0 3 6 √ √ d) sin x − 3 cos x = 0 e) 3 cot x − 1 = 0 f) (tan x − 2)(cot x + 1) = 0. # Ví dụ 3. (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x Trang 10
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng Phương pháp giải. • Biến đổi về một trong các cấu trúc sau ¬ sin u = sin v cos u = cos v ® tan u = tan v ¯ cot u = cot v • Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau: ¬ − sin x = sin(−x). − cos x = cos (π − x). π π ® sin x = cos −x . ¯ cos x = sin −x . 2 2 # Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) sin 3x = sin 2x b) sin 2x − sin x = 0 c) sin 5x + sin x = 0 d) cos 2x − cos x = 0 e) cos 8x + cos x = 0 f) cos 4x − sin x = 0 # Ví dụ 5. (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos2 x = 1 { DẠNG 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định Phương pháp giải. # Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: cos x cos2 x − sin2 x a) =0 b)√ =0 c) tan x(1 − 2 sin2 x) = 0 1 − sin x 2 − sin x π π # Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2x + + tan − x = 0. 6 3 −π • Đáp số x = + kπ, k ∈ Z. 2 x x # Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0. 3 2 3π π • Đáp số x = + k3π, x = − + k2π, (k ∈ Z). 4 2 sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 # Ví dụ 9. Giải phương trình √ =0 3 + tan x π • Đáp số x = + k2π. 3 { DẠNG 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước Phương pháp giải. ¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k. ® Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được. ¯ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng. Trang 11
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC # Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √ b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − 7π π a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). , 2 2 . π √ c) 2 cos 3x − − 1 = 0 trên (−π, π). d) tan(3x + 2) − 3 = 0 trên − π2 , π2 . 3 √ π −π 2π # Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3 tan 2x − = 0 với 0. Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 1 √ 1 A. sin x = . B. tan x = 3. C. sin x = 3. D. cos x = − . 2 2 Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi ñ m < −1 A. m > 1. B. m < −1. C. −1 ≤ m ≤ 1. D. m > 1. Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = kπ, k ∈ Z. 2 3π π C. x = + kπ, k ∈ Z. D. x = − + k2π, k ∈ Z. 2 2 √ π 3 Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x − = . 3 3 π 2π A. x = + kπ, k ∈ Z. B. x = + kπ, k ∈ Z. 3 3 π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = kπ, k ∈ Z. 3 √ 3 Câu 8. Phương trình cos x = − có tập nghiệm là ß ™2 5π n π o A. x = ± + k2π; k ∈ Z . B. x = ± + kπ; k ∈ Z . 6 3 n π o n π o C. x = ± + k2π; k ∈ Z . D. x = ± + kπ; k ∈ Z . 3 6 √ 3 Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x = . 2 Trang 12
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π k2π  π x= + , k∈Z x= + k2π, k ∈ Z 9 3 9 A.  . B.  .   2π k2π 2π x= + , k∈Z x= + k2π, k ∈ Z 9 3 9  π kπ  π k2π x= + , k∈Z x= + , k∈Z C.   9 3 . D.   3 3 . 2π kπ 2π k2π x= + , k∈Z x= + , k∈Z 9 3 3 3 Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là 11π −π π −7π A. x = + k2π và x = + k2π. B. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 −π 7π −π 7π C. x = + kπ và x = + kπ. D. x = + k2π và x = + k2π. 6 6 6 6 Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là π π 2π A. − . B. . C. . D. π. 2 4 3 Câu 12. o phương trình sin 2x = 1 là n π Tập nghiệm của nπ o A. + 2kπ, k ∈ Z . B. + kπ, k ∈ Z . 4 n π4 o C. {kπ, k ∈ Z}. D. + 2kπ, k ∈ Z . 2 2 Câu 13. Phương trình sin x = có số nghiệm thuộc (−π; π) 3 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. √ 3 Câu 14. Cho phương trình sin 2x = . Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π] 2 thì giá trị của n là A. n = 8. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 2. Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0. π π 5π A. x = ± + k2π (k ∈ Z). B. x = + k2π; x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 4 π 5π C. x = + k2π (k ∈ Z). D. x = + k2π (k ∈ Z). 4 4 Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương 1 trình cos 2x = − . nπ π π o 2 n n π π π o ß 2π π π ™ π π πo A. , , ; , , . B. , , ; , , . ß3 3 3 ™ 4 4 2 3 3 3 3 6 6 2π π π nπ π π o C. , , . D. , , . 3 6 6 3 3 3 m Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = . 2 A. m ≤ 1. B. −1 ≤ m ≤ 1. C. −2 ≤ m ≤ 2. D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 1. π Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x − = 1 trong khoảng (0; π) là 2 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là π π A. x = ± + k2π, k ∈ Z. B. x = ± + kπ, k ∈ Z. 6 3 π π C. x = ± + 2π, k ∈ Z. D. x = ± + k2π, k ∈ Z. 6 3 Trang 13
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là n π o A. −kπ, k ∈ Z. B. − + kπ, k ∈ Z . n π o 4 C. − + k2π, k ∈ Z . D. {90◦ + k180◦ , k ∈ Z}. 2 π 1 Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + = trên đường tròn lượng 3 2 giác là A. 4. B. 6. C. 1. D. 2. x Câu 22. Phương trình cos = −1 có tập nghiệm là 2 A. {2π + k4π|k ∈ Z}. B. {π + k2π|k ∈ Z}. C. {k4π|k ∈ Z}. D. {k2π|k ∈ Z}. Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 là π π π A. x = π + k2π. B. x = kπ. C. x = + kπ. D. x = + k . 2 4 2 Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0. π π π A. k (k ∈ Z). B. kπ (k ∈ Z). C. k (k ∈ Z). D. k (k ∈ Z). 2 4 8 Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1. 4071315π 4071315π 8141621π 8141621π A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 4 2 4 Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Câu 27. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]? A. 16145. B. 20181. C. 20179. D. 16144. Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = m2 −9 có nghiệm. A. 5. B. 2. C. 1 . D. 3 . —HẾT— Trang 14
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin x + b = 0 a · cos x + b = 0 ® a · tan x + b = 0 ¯ a · cot x + b = 0 L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản. b b ¬ a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = − a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = − a a b b ® a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = − ¯ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = − a a 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx L Dạng phương trình • a sin x ± b cos x = c (1). • Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 . √ L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho a2 + b2 . Khi đó a b c (1) ⇔ √ sin x ± √ cos x = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 c ⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √ a2 + b2 c a b ⇔ sin (x ± φ ) = √ (2), với cos φ = √ và sin φ = √ . a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước. Chú ý hai công thức sau: • sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b). • cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b). 3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình ¬ a · sin2 x + b · sin x + c = 0 a · cos2 x + b · cos x + c = 0 ® a · tan2 x + b · tan x + c = 0 ¯ a · cot2 x + b · cot x + c = 0 Trang 15
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC L Phương pháp giải • Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t. • Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x. • Chú ý với phương trình số ¬ và thì −1 ≤ t ≤ 1. B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN { DẠNG 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. # Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: √ a) 2 sin x + 1 = 0; b) 2 cos x − 1 = 0; √ √ c) tan x + 3 = 0; d) 3 cot x − 1 = 0. # Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: π √ π a) 2 sin x − + 1 = 0. b) 2 cos 3x − − 1 = 0. 6 4 π √ √ π c) tan − x + 3 = 0. d) 3 cot x + + 3 = 0. 3 6 # Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π]. # Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = sin 2x − sin x. BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 1. Giải các phương trình sau √ a) 2 cos 2x + 3 = 0. b) 2 sin 3x + 1 = 0 √ √ π c) 2 cos 2x − 2 = 0. d) 3 − 2 3 cos x + = 0. 4 √ √ Å ã π 2π e) 2 cos x − + 1 = 0. f) 2 2 sin x + = 6. 6 5 √ π g) 3 sin(x − 1) + 2 = 0. h) 3 tan − 2x + 1 = 0. 6 √ √ π i) (cos 2x + 2)(cot 3x − 1) = 0. j) 2 − 2 3 tan x + = 0. 3 c Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước √ √ Å ã 7π π a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π). b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − , . 2 2 c Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x. c Bài 4. Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x. c Bài 5. Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x. Trang 16
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC { DẠNG 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. # Ví dụ 5. Giải các phương trình sau a) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; b) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0. √ √ c) 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0; d) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0. # Ví dụ 6. Giải các phương trình sau a) cos 2x + cos x + 1 = 0; b) 6 sin2 3x + cos 12x = 14; c) cos 4x + 6 = 7 cos 2x; d) 7 tan x − 4 cot x = 12. # Ví dụ 7. Giải các phương trình sau √ Ä √ ä 2 2 5 a) 1 − 2 + 2 sin x + = 0; b) tan2 x − + 7 = 0. 1 + cot2 x cos x # Ví dụ 8. Giải các phương trình sau cos 2x + 3 cot x + sin 4x 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x a) = 2; b) = 0. cot 2x − cos 2x cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 6. Giải các phương trình sau a) cos2 x + cos x − 2 = 0; b) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0; √ c) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0; d) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0. c Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 tan x + cot x − 3 = 0 b) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ; 2 x c) 2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x; d) cos 2x + cos x = 4 sin −1 2 c Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình √ 3 √ x − tan x − 2 3 = sin x 1 + tan x. tan . cos2 x 2 { DẠNG 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương pháp giải. # Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: √ √ a) sin x + 3 cos x = 1; b) 3 sin 2x − cos 2x = 2; √ c) sin 2x − 3 cos 2x = 2; d) 3 sin x + cos x = 2. Trang 17
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ √ Å ã 2π 6π # Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈ ; của phương trình cos 7x − 3 sin 7x = − 2. 5 7 x x 2 √ # Ví dụ 11. (D.2007). Giải phương trình sin + cos + 3 cos x = 2. 2 2 (1 − 2 sin x) cos x √ # Ví dụ 12. Giải phương trình = 3. (1 + 2 sin x)(1 − sin x) BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Bài 9. Giải các phương trình sau: √ √ √ a) cos x − 3 sin x = 1 b) 3 sin x + cos x = 2 √ √ c) 3 cos x − sin x = 0 d) sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 4x c Bài 10. Giải các phương trình sau π √ a) cos(π − 2x) − cos 2x + = 2; 2 √ π √ b) 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x − = 2 2; 6 √ √ √ c) sin x − 2 cos 3x = 3 cos x + 2 sin 3x; √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = − sin 5x sin 7x. c Bài 11. Giải các phương trình sau: √ a) sin x − 3 cos x = 2 sin 5x √ b) 3 sin 2x + 2sin2 x = 2 √ c) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0 √ d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x √ e) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3 x Ä √ ä f) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x π c Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x + ) + sin x + 2 cos x = 3. 6 c Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0. c Bài 14. Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. { DẠNG 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Phương pháp giải. L Dạng phương trình • a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 Trang 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1111 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.