intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đại số 11 - Hàm số lượng giác

Chia sẻ: Pham Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST
Báo xấu
446
lượt xem 89
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu sau đây sẽ tóm tắt lý thuyết, các dạng bài tập và hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức của hàm số lượng giác trong chương trình Đại số 11. Chúc các em học tập tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số 11 - Hàm số lượng giác

  1. DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang ĐẠI SỐ 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:Phan Nhật Nam
  2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đường tròn lượng giác : Trục Sin Trục Tan 3 − 1 π 1 − 3 −1 3 1 3 1 3 2 2π 3 π Trục Cot 3 3 3π 2 π 1 4 2 4 3 2 5π 1 π 6 2 6 1 2 3 −1 2 2 1 Trục Cos 2 π 2 1 − 3 − − 0 0 2 2 2 1 − 7π 2 1 2 11π − 6 − 6 3 5π 2 4 3 7π 4π − 4 2 5π −1 3 3π −1 2 3 1. Công thức cung liên kết : − 3 1. Hai cung đối nhau (a , -a) π sin(− a) = − sin a 3. hai cung phụ nhau (a , −a) 2 cos(− a) = cos a π tan(− a ) = − tan a sin( − a) = cos a 2 cot(− a ) = − cot a π cos( − a) = sin a 2 2. Hai cung bù nhau (a , π − a ) π tan( − a) = cot a 2 sin(π − a ) = sin a π cos(π − a ) = − cos a cot( − a) = tan a 2 tan(π − a ) = − tan a cot(π − a ) = − cot a GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
  3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π π 4. Hai cung hơn kém nhau π (a , π + a ) 5. Hai cung hơn kém nhau (a , + a ) 2 2 sin(π + a ) = − sin a cos(π + a ) = − cos a π sin( + a) = cos a 2 tan(π + a ) = tan a π cot(π + a ) = cot a cos( + a) = − sin a 2 3. Công thức lượng giác cơ bản : π 1. Công thức cộng cung : tan( + a) = − cot a 2 sin( a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b π cot( + a) = − tan a cos(a ± b) = cos a cos b  sin a sin b 2 tan a ± tan b tan(a ± b) = 1  tan a tan b 2. Công thức nhân đôi : Sin 2a = 2 sin a cos a = (sin a + cos a ) 2 − 1 = 1 − (sin x − cos x) 2 Cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a 2 tan a cot 2 a − 1 tan 2a = cot 2a = 1 − tan 2 a 2 cot a 3. Công thức nhân ba : 4. Công thức hạ bậc hai : Sin3a = 3 sin a − 4 sin 3 a 1 − cos 2a 1 + cos 2a Sin 2 a = Cos 2 a = Cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a 2 2 1 − cos 2a 3 tan a − tan 3 a Tan 2 a = Tan3a = 1 + cos 2a 1 − 3 tan 2 a 4. Công thức hạ bậc ba : 6. Công thức biến đổi tích thành tổng 3 sin a − sin 3a cos a. cos b = 1 [cos(a + b) + cos(a − b)] Sin 3 a = 4 2 3 cos a + cos 3a sin a. sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] 1 Cos 3 a = 2 4 sin a. cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 1 7. ông thức biến đổi tổng thành tích : 2 a+b a −b a+b a −b cos a + cos b = 2 cos . cos cos a − cos b = −2 sin . sin 2 2 2 2 a+b a −b a+b a −b sin a + sin b = 2 sin . cos sin a − sin b = 2 cos . sin 2 2 2 2 sin(a ± b) sin(b ± a ) tan a ± tan b = cot a ± cot b = cos a. cos b sin a. sin b GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
  4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Tóm tắc lý thuyết : I. Hàm số y = sinx : • Miền xác định : D = R. • y = sin x là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và sin(-x) = - sinx} • y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π . {vì sin(x + k 2π ) = sinx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên khoảng (0 , π ) π x 0 π 2 1 y 0 Đồ thị của : y = sin x 0 y 1 x −2π 3π −π π π π 3π 2π − − 0 2 2 2 2 II. Hàm số y = cos x : -1 • Miền xác định : D = R. • y = cos x là hàm số chẵn trên R {vì D là miền đối xứng và cos(-x) = cosx} • y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π . {vì cos(x + k 2π ) = cosx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên khoảng (0 , π ) x −π 0 π 1 y -1 -1 Đồ thị của : y = cos x y 1 −π π x −2π 3π π 0 π − − 2 2 2 -1 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
  5. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III. Hàm số y = tanx : π • Miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z  . 2  • y = tan x là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và tan(-x) = tanx} • y = tan x tuần hoàn với chu kỳ π . {vì tan(x + k π ) =tanx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cot x trên π π π π khoảng (- , ) − 2 2 x 2 0 2 +∞ y 0 −∞ y Đồ thị của: y = cot x 3π π π 3π − − 2 2 2 2 −π 0 π x III. Hàm số y = cotx : • Miền xác định : D = R\ {kπ , k ∈ Z } . • y = cot x là hàm số lẻ trên R {vì D là miền đối xứng và cot(-x) = cotx} • y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π . {vì cot(x + k π ) = cotx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cot x trên khoảng (0 , π ) x 0 0 π +∞ y 0 y Đồ thị của: y = cot x −∞ x −π π 0 π π 3π 2π − 2 2 2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
  6. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC B. Các dạng toán : 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f ( x) : Thực hiện theo một trong hai hướng sau. • D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa. • Tìm tập hợp S của x để f ( x) không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = R\S . Chú ý : +) với các hàm lượng giác cơ bản : y = sin x có miền xác định : D = R. y = cos x thì D = R. π  y = tan x có miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z  y = cot x thì D = R {kπ , k ∈ Z }. 2  +) f(x) cho bởi các đa thức đại số: ~ f 1 ( x)  f 1 ( x).và.. f 2 ( x)...có..ngh i a Nếu f(x) = thì điều kiện f(x) có nghĩa là  f 2 ( x)  f 2 ( x) ≠ 0 ~  f 1 ( x)..có..ngh i a Nếu f(x) = 2k f 2 ( x) .(k ∈ Z ) thì điều kiện f(x) có nghĩa là   f 2 ( x) ≥ 0 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:  2x  a. y = sin   y b. = 2 − sin x y c. = 1 − cos2 x  x −1  1  π 1 d. y = e. y tan  x −  = f. y = sin x + 1  6 tan x − 1 tan x 1 + 2 sin x g. y = sin x h. y = i. y = 2 cos x − 1 cot x − 3 Hướng dẩn giải :  2x  2x a. Hàm số y = sin   xác định ⇔ có nghĩa ⇔ x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1  x −1  x −1 Vậy hàm số có tập xác định là D = R \{1} b. Hàm số xác định ⇔ 2 − sin x ≥ 0 ⇔ sin x ≤ 2 đúng ∀x ∈ R (vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ) Vậy hàm số có tập xác định là D = R c. Hàm số xác định ⇔ 1 − cos 2 x ≥ 0 ⇔ sin 2 x ≥ 0 đúng ∀x ∈ R Vậy hàm số có tập xác định là D = R GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
  7. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π d. Hàm số xác định ⇔ sin x + 1 > 0 ⇔ sin x > −1 ⇔ sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π 2 (vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ). Vậy tập xác định của hàm số là  π  D= R \ − + k 2π | k ∈ Z   2  π π π 2π e. Hàm số xác định ⇔ cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ  6 2 6 3 2π Vậy tập xác định của hàm số là D= R \  + kπ | k ∈ Z   3   π  x ≠ + kπ  tan x ≠ 1  f. Hàm số xác định ⇔  ⇔ 4 cos x ≠ 0  x= π + kπ  2 π π  Vậy tập xác định của hàm số là D =  + kπ , + kπ | k ∈ Z  4 2  g. Hàm số xác định ⇔ sin x ≥ 0 ⇔ k 2π ≤ x ≤ π + k 2π (nữa đường tròn LG phía trên trục Ox) Vậy tập xác định của hàm số= là D [ k 2π , π + k 2π ] , ∀k ∈ Z sin π cos x ≠ 0 1 h. Hàm số xác định ⇔ ⇔ cos x > 3 2 cos x − 1 > 0 2 π π ⇔− + k 2π < x < + k 2π cos 3 3 0 1 Vậy tập xác định của hàm số là 2  π π  D = − + k 2π , + k 2π  , ∀k ∈ Z − π  3 3  3 sin cot  sin x ≠ 0 π 3  6 i. Hàm số xác định ⇔ cot x ≠ 3  1 0 cos sin x ≥ − π 1  2 − − 6 2 π 3π −  π −  x ≠ 6 + kπ 4 4  3π π ⇔  x ≠ kπ ⇔− + k 2π ≤ x ≤ − + k 2π  3π 4 4 π − + k 2π ≤ x ≤ − + k 2π  4 4 3π π Vậy hàm số có tập xác định là: D = − + k 2π , − + k 2π  , ∀k ∈ Z  4 4  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
  8. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : y = sin 4 x + cos 4 x − 2m sin x cos x Tìm tất cả các giá trị m để hàm số trên xác định x ∈ R (trên toàn trục số) Giải : Ta có : g ( x) = sin 4 x + cos 4 x − 2m sin x cos x = ( sin 2 x ) + ( cos 2 x ) − m sin 2 x 2 2 ( sin 2 x + cos2 x ) − 2sin 2 x cos2 x − m sin 2 x = 1 2 = 1 − sin 2 2 x − m sin 2 x 2 Đặt: = t sin 2 x ⇒ t ∈ [ −1 , 1] Hàm số xác định với mọi x ∈ R ⇔ g ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ R 1 ⇔ − t 2 − mt + 1 ≥ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] 2 ⇔ f (t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] Dễ thấy f (t ) = 0 có hai nghiệm t1 < 0 < t2 (vì a = 1, c = −2 trái dấu) Cách 1: sử dụng định lý viet Khi đó ta có bảng xét dấu của f (t ) như sau : t −∞ t1 t2 +∞ f (t ) + 0 - 0 + Từ bảng xét dấu trên ta thấy : t1 + 1 ≤ 0 < t2 + 1 ( t1 + 1)( t2 + 1) ≤ 0 f (t )= t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ t1 ≤ −1 < 1 ≤ t2 ⇔  ⇔ t1 − 1 < 0 ≤ t2 − 1 ( t1 − 1)( t2 − 1) ≤ 0 t t + (t1 + t2 ) + 1 ≤ 0 −2 − 2m + 1 ≤ 0 1 1 ⇔12 ⇔ ⇔− ≤m≤ (theo viet cho f (t ) = 0 ) t1t2 − (t1 + t2 ) + 1 ≤ 0  −2 + 2 m + 1 ≤ 0 2 2 1 1 Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi − ≤ m ≤ 2 2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
  9. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị của Parabol Vì f (t ) =t 2 + 2mt − 2 có hệ số a = 1 > 0 nên đồ thị của f (t ) sẽ rơi vào 1 trong 3 dạng sau. y y y f (1) f (1) f (−1) t t t -1 0 1 -1 0 -1 0 1 1 f (−1) f (1) f (−1) Do đó ta có: Max f (t ) = f (1) hoặc Max f (t=) f (−1) [ −1, 1] [ −1, 1] ycbt ⇔ f (t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ Max f (t ) ≤ 0 [ −1, 1]  f (1) ≤ 0  −1 + 2m ≤ 0 1 1 ⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤  f (−1) ≤ 0  −1 − 2m ≤ 0 2 2 Bình luận: Ở cách giải 2, ta đã dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với S ⊂ D f ( D f : TXĐ của f ( x) ) • f ( x) ≤ m, ∀x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≤ m S • f ( x) ≥ m, ∀x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≥ m S • f ( x) ≤ m, ∃x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≤ m S • f ( x) ≥ m, ∃x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≥ m S Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số : π π (ĐS: D = R\  + kπ , − + kπ | k ∈ Z  ) 1 a) y = 2 cos x − 1 3 3  π π (ĐS: D = R\  + kπ , + kπ | k ∈ Z  ) 2 b) y = (tan x − 1)(sin 2 x − 2) 2 4  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
  10. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số : π 5π a) y = 1 + sinx − cos 2 x (ĐS: D =  + 2kπ ;  + 2 kπ  ) 6 6  π π (ĐS: D =  − + kπ ; − + kπ  ) 2 b) y = − tan 2 x − ( 3 + 1) tan x − 3  3 4  Bài 3: Cho hàm số : y = sin 4 x + cos 4 x − 2msinx.cosx . 1 1 Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi ∀x ∈ R (ĐS: – ≤m ≤ ) 2 2 Bài 4: Tìm tập xác định của hàm số : cosx 1 − cosx cosx 1 − cosx −1 1 a) y = − HD: − = = 1 + 2cosx 1 − 2cosx 1 + 2cosx 1 − 2cosx 1 − 4 cos x 2 cos 2 x + 1 2 1 4π 4π Hàm số xác định ⇔ cos 2 x > − ⇔ − + k 2π < x < + k 2π 2 3 3 1  π  sin x ≠ 0 b) y = ĐS:= D R \  kπ , + kπ | k ∈ R  HD:  cot x − 3  6  cot x ≠ 3 π π ĐS: D =R \ − k 2π ,  1 c) y = + kπ | k ∈ R  4 − 5cosx − 2 sin 2 x  3 3  cos x ≠ 2  HD: 4 − 5cosx − 2sin x ≠ 0 ⇔ 4 − 5cosx − 2(1 − cos x) ≠ 0 ⇔ 2 cos x − 5cos x + 2 ≠ 0 ⇔  2 2 2 1 cos x ≠ 2 2. Xét tính tuần hoàn của hàm số : Dạng 1:Chứng minh hàm số y = f ( x) có tính chất tuần hoàn . • Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của chu kỳ).  x − T ∈ D và x + T ∈ D • Chứng minh ∀x ∈ D ta luôn có   f (x + T ) =f ( x) • Kết luận y = f ( x) là hàm số tuần hoàn . GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
  11. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π 2 Ví dụ: Chứng minh hàm số y = f ( x) = 2 cos  2 x −  + 1 là một hàm số tuần hoàn.  3 Giải π π 2   Ta có: = y f (= 1 cos  4 x −  + 2 có TXĐ: D = R. x) 2 cos  2 x −  +=  6  3 π Xét T = ta có: 2 π ∀x ∈ R ⇒ x + T = x + ∈R 2   π π  π  f ( x= + T ) sin  4  x +  − =  + 2 sin  4 x −  + 2π  + 2   2  3  3   π  π  π = sin  4 x −  cos 2π + cos  4 x −  sin 2π= + 2 sin  4 x − =+ 2 f ( x) , ∀x ∈ R  3  3  3 π Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh được chu kỳ chình là T = } 2 Dạng 2:Chứng minh TO là chu kỳ của hàm số y = f ( x) (Chứng minh phản chứng) • Giả sử ∃T ∈ R sao cho 0 < T < TO(1) thỏa mãn ∀x ∈ D thì f ( x + T ) =f ( x) (2) • Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1). • Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của hàm số ⇒ TO là chu kỳ của y = f ( x) Ví dụ: Chứng minh hàm số= ( x) sin 2 x có chu kỳ là T = π y f= Giải Giả sử ∃T ∈ R : 0 < T < π (1) thỏa mãn ∀x ∈ R thì f ( x + T ) =f ( x) Khi đó ta có: f ( x += T ) f ( x), ∀x ∈ R ⇔ sin(2 x + 2= T ) sin 2 x (*), ∀x ∈ R π π π π π Xét x = ta có: sin  + 2T  =sin =1 ⇔ + 2T = + k 2π ⇔ T =kπ 4 2  2 2 2 mâu thuẫn với (1)vì k ∈ Z Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện f ( x + T ) =f ( x) , ∀x ∈ R = Vậy hàm số ( x) sin 2 x có chu kỳ T = π y f= GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
  12. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π π Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét x = để sin = = 1 2 x sin 4 2 (tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1 Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau) Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác : • Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0) 2π tuần hoàn với chu kỳ T = a • Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0) π tuần hoàn với chu kỳ T = a • Giả sử f ( x) và g ( x) tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg . ⇒=F ( x) mf ( x) + ng ( x) tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg) • Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành tổng trước khi đi tìm chu kỳ. • Nếu f ( x) tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những điểm cách đều nhau. Bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2 π . Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có) π π π π a) f ( x) = tan(3x - ) (ĐS: T = ) b) f ( x) = 2cos2(2x + ) (ĐS: T = ) 6 3 3 2 c) f ( x) = sin2x (ĐS: T = π ) Bài 3: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn .Xác định chu kỳ của nó (nếu có) 1 1 a) f ( x) = sinx + sin2x + sin3x (ĐS: T = 2 π ) 2 3 x x b) f(x) = 2tan – 3tan (ĐS: T = 6 π ) 2 3 c) f ( x) = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = 2 π ) d) f ( x) = sinx + sin(x 2 ) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
  13. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HD: không tuần hoàn vì 2 ∉ Q nên không có khái niệm bội số chung e) f ( x) = tan x HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những điểm cách đều nhau f) f ( x) = sin(x2) (HD: tương tự câu e ) g) f ( x) = tan x (ĐS: T = π ) h) f ( x) = 2cos2x + 3cos3x + 8cos4x (ĐS: T = 2 π ) 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác : Phương pháp : • Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D. +) Nếu ∃x ∈ D ⇒ − x ∉ D . Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số không chẵn không lẻ +) Nếu ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D. Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2. • Xác định f (− x) +) Nếu f (− x) =f ( x) . Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số chẵn. +) Nếu f (− x) =− f ( x) . Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số lẻ. +) Nếu f (− x) ≠ f ( x) và f (− x) ≠ − f ( x) . Ta kết luận : y = f(x) là hàm số không chẵn không lẻ Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản) π • y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (k π ; 0) và vô số trục đối xứng x = + k π (k ∈ Z) 2 π • y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik ( +k π ; 0) và vô số trục đối xứng x = k π (k ∈ Z) 2 π • y = tanx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k ; 0) ( với k ∈ Z) 2 π • y = cotx có vô số tâm đối xứng là Ik ( k ; 0 ) ( với k ∈ Z) 2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
  14. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:=y f= ( x) 2sin x + 3 Giải Tập xác đinh: D = R Ta có : ∀x ∈ R ⇒ x ∈ R π π  1 1 1 Xét x = ta có: = f  = = 6  6  2sin π + 3 2. 1 + 3 4 6 2  π 1 1 1 f= −  = =  6  2sin  − π  + 3 2.  − 1  + 3 2      6  2 π π  π π  Do đó: f  −  ≠ − f   đồng thời f −  ≠ f    6 6  6 6 1 Vậy hàm số y = không có tính chẵn , lẻ. 2sin x + 3 sin x − tan x Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số= (x) y f= nhận Oy làm trục 2sin x + 3cot x đối xứng. Giải Hàm số xác định  x ≠ kπ  π sin x ≠ 0  π  π x≠k    x ≠ k   2 ⇔ cos x ≠ 0 ⇔  x ≠ + kπ ⇔ 2 ⇔ 2sin x + 3cot x ≠ 0  2 −2cos 2 x + 3cos x + 2 ≠ 0  x ≠ ± 2π + k 2π  2sin x + 3cos x ≠ 0  2  3  π 2π  TXĐ: = D R \ k , ± + k 2π | k ∈ Z   2 3  Do đó ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1) sin ( − x ) − tan ( − x ) ( − sin x ) − ( − tan x ) ∈ D ta có f (− x ) ∀x= = 2sin ( − x ) + 3cot ( − x ) 2 ( − sin x ) + 3 ( − cot x ) − ( sin x − tan x ) sin x − tan x (2) = = = f (x) {theo công thức đối} − ( 2sin x + 3cot x ) 2sin x + 3cot x sin x − tan x Từ (1) và (2) ta có: y = là hàm số chẵn 2sin x + 3cot x sin x − tan x Vậy đồ thị của hàm số y = nhận Oy là trục đối xứng. 2sin x + 3cot x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
  15. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : f ( x) = sin 2009 x + cosnx với (n ∈ Z) ĐS: không chẳn,không lẻ Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : x2 a) f ( x) = ĐS: Hàm số lẻ sin x + tan x b) f ( x) = x sinx ĐS: lẻ sin 2008 n x + 2009 c) f ( x) = (n ∈ Z) ĐS: Chẵn cos x Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : π π = a) y 2sin x − 3 ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   = −1 , f  −  = −5 ) 2  2 1 b) y = ĐS: không chẵn ,không lẻ 2sin x − 1 π 5π π π HD: TXĐ: D = R \  + k 2π ,  + k 2π | k ∈ Z  do đó ta có: − ∈ D mà ∉ D 6 6  6 6 π 3 +1  π  − 3 +1 c)=y sin x + cos x ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   = , f −  = ) 3 2  3 2 d)=y tan x + cot x ĐS: Hàm số lẻ e) y = sin x cos x ĐS: Hàm số lẻ cos3 x + 1 f) y = ĐS: Hàm số lẻ sin3 x g) y = tan x ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng : cos x =y f= ( x) HD: Chứng minh f ( x) là hàm số chẵn ⇒ dfcm 6x + 4x4 + 2x2 + 1 6 Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng : cos 2008 n x + 2009 =y f= ( x) HD: Chứng minh f ( x) là hàm số lẻ ⇒ dfcm sin x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
  16. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 4. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác : Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo bảng( với k ∈ Z). SinU cosU tanU cotU Đồng biến π π (- π + k2 π , k2 π ) π (- + k2 π , + k2 π R  + kπ , k ∈ Z  2 2 2  ) Nữa ĐTLG có tung độ Cả miền xác Nữa ĐTLG có hoánh >0 định độ >0 Nghịch ( π π + k2 π , 3 + k2 π (k2 π , π + k2 π ) R {kπ , k ∈ Z } biến 2 2 Cả miền xác ) Nữa ĐTLG có tung độ định Nữa ĐTLG có hoánh >0 độ
  17. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  π    π Hàm số:= y sin 2 x + 3 tuần hoàn với chu kỳ T = π y 4sin  x +  cos  x −  − sin 2 x ⇔= 6   6  π 3π Hàm số đồng biến trên các khoảng  kπ , + kπ  và  + kπ , π + kπ   4   4  π 3π Hàm số nghịch biến trên khoảng  + kπ , + kπ  với k ∈ Z 4 4  Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó a) y = tan2x b) y = 1 – sinx. Bài 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó y = sinx – cosx Bài 3: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên một chu kỳ của nó a) y = cos2x b) y = cot3x Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số : a) y = cos x b) y = tan x c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số : π a) y = sin(x – ) b) y = 1 + cosx 4 π π c) y = cot(x – ) d) y = tan(2x – ) 3 6 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác : Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈ Z). • -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1 sin[ f ( x)] ≤ 1 0 ≤ sin2k[f(x)] ≤ 1 • -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1 cos[ f ( x)] ≤ 1 0 ≤ cos2k[f(x)] ≤ 1 Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai . ∆ • Nếu a < 0 thì ax 2 + bx + c ≤ – 4a ∆ • Nếu a > 0 thì ax 2 + bx + c ≥ – 4a GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
  18. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC • Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải ∀x ∈ R thì ta phải lập bảng biến thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN. Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos  a b  =y a sin u + b cos u ⇒ y =  2 sin u + cos u  a 2 + b 2  a +b a 2 + b2  2 2 2  a   b  a b Vì  2 2  +    2  = 1 ⇒ ∃α ∈ R sao cho cos α =  và sin x =  a +b   a +b 2  a 2 + b2 a 2 + b2 ⇒ y= a 2 + b 2 (sin u.cos α + cos u.sin α ) ⇒ y= a 2 + b 2 sin(u + α ) Vì -1 ≤ sin(u + α ) ≤ 1 ⇒ – a2 + b2 ≤ y ≤ a2 + b2  Mở rộng : • a.sinx + b.cosx = c (1) . ∃ x thỏa (1) ⇔ – a 2 + b 2 ≤ c ≤ a 2 + b 2 • y = a.sin [ f ( x) ] + b cos [ f ( x) ] + c ⇔ – a2 + b2 + c ≤ y ≤ a2 + b2 + c Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2 cos 2 x − 2 3 sin x cos x + 1 a. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên 7π b. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0 ,  .  12  Giải =y 2 cos 2 x − 2 3 sin x cos x= + 1 cos 2 x − 3 sin 2 x + 2 1 3   π π = ⇔ y 2  cos 2 x − sin= 2 x  + 2 2  cos 2 x cos − sin 2 x sin  + 2 2 2   3 3  π = ⇔ y 2 cos  2 x +  + 2  3  π  π a. Ta có: −1 ≤ cos  2 x +  ≤ 1 , ∀x ∈ R ⇔ −2 ≤ 2 cos  2 x +  ≤ 2 , ∀x ∈ R  3  3  π ⇔ 0 ≤ 2 cos  2 x +  + 2 ≤ 4 , ∀x ∈ R  3 ⇔ 0 ≤ y ≤ 4 , ∀x ∈ R  π π Vậy Max( y ) = 4 khi cos  2 x +  =⇔ 1 x=− + kπ  3 6  π π Min( y ) = 0 khi cos  2 x +  =−1 ⇔ x = + kπ  3 3 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
  19. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  π b.=y 2 cos  2 x +  + 2  3  7π  7π π π 3π ∀x ∈ 0 ,  ⇔0≤ x≤ ⇔ ≤ 2x + ≤  12  12 3 3 2  π  7π  Lập bảng biến thiên của hàm số=y 2 cos  2 x +  + 2 trên đoạn 0 ,  π π  3  7π  12  x 0 12 12 3 π π π 3π 2x + π 3 3 2 2 3 f ( x) 2 2 0 Từ bảng biến thiên ta thấy: π Min f ( x) = 0 Khi x =  7π  3 0 , 12    Max f ( x) = 3 khi x = 0  7π  0 , 12    Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm = số y 4 sin x − cos x Giải 0 ≤ 4 sin x ≤ 1 Ta có:  ⇒ −1 ≤ 4 sin x − cos x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ cos x ≤ 1  π  x= + k 2π sin x = 1 π Max ( y ) = 1 khi  ⇔ 2 ⇔x= + k 2π cos x = 0  x= π 2 + kπ  2 = sin x 0= x kπ Min ( y ) = −1 khi  ⇔ ⇔x=k 2π =cos x 1= x k 2π GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com
  20. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số . a) y = 2sinx + 4 (ĐS: 6 và 2) 3 b) y = 1 – 2cosx – 2sin2x (ĐS: 3 và − ) 2 c) y = sinx + 3 cosx (ĐS:2 và -2) sin x + 2 cos x + 3 1 d) y = (ĐS:2 và ) 2 sin x + cos x + 3 2 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số . 1 a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) – (cos4x – cos8x) (ĐS: 5 và 1) 2 1 b) y = sin10x + cos10x (ĐS: 1 và ) 16 2 + cos x sin x + 2 cos x + 3 c) y = d) y = sin x + cos x − 2 2 cos x − sin x + 4 2 cos 2 x + cos x + 1 e) y = f) y = 2sin2x + 4sinx.cosx + 5 cos x + 1 3 sin x 2x 4x g) y = 1 + h) y = sin + cos +1 2 + cos x 1+ x 2 1+ x2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 1 1 y= + (ĐS: 2 2 ) sin x cos x Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số . y = cos 2 x + 7 sin 2 x + sin 2 x + 7 cos 2 x (4 và 1 + 7 ) Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số . y = sin x + cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1111 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2