Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

Chia sẻ: Paradise2 Paradise2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề iii: hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

Chuyên đề III: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. 1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ. Lý huyết - Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với 0  a  1 ) y x   a x  y  a x .a y ; a x  a x. y  a y ax 1 ; x  a x . a x y  y a a Ghi nhớ công thức khử cơ số: a f  x   a g  x   f  x   g  x  a    1  f  x  0 ; fx a    c  f  x   log a c fx Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai m.a 2 x  n.a x  p  0 (1) Cách giải: 2   Đặt t  a x ,  t  0  , khi đó t 2  a x  a2x . Ta có p/trình m.t 2  n.t  p  0,  t  0  (2)  Giải p/trình (2), tìm nghiệm t  0  Giải p/trình a x  t  x  log a t  Kết luận, nghiệm của (1) Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) 32 x 1  4.3x  1  0 x x     2) 2. 3  2 2 2 1 1  0 Lời giải : 1) 32 x 1  4.3x  1  0  3.32 x  4.3x  1  0
Đặt t  3x ,  t  0  , khi đó t 2  32 x . Ta có p/trình 3t 2  4t  1  0 ,  t  0  1 Giải p/trình này được t  1; t  (thỏa mãn đ/k t  0 ) 3  Với t  1 , ta có 3x  1  3x  30  x  0 1 1  3x  31  x  1 - Với t  , ta có 3x  3 3  Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm x  0; x  1 Chú ý: 32 x1  32 x.31  3.32 x 2   2) Để ý 2 1  2  2 2 1  3  2 2 x   2  1 , t  0 , Đặt t  2 x x 2 x  2 1          2 1   t 2 Khi đó 3  2 2        P/trình đã cho trở thành 2t 2  t  1  0 ,  t  0  1 Giải p/trình này ta được t  1 (nhận); t    0 (loại) 2 x    Với t  1 , ta có 2 1  1  x  0  Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x  0 . n Dạng 2: m.a x  n.a  x  p  0 hay m.a x   p0 ax Cách giải: 11  Đặt t  a x ,  t  0  , khi đó a  x   ax t Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm t  0 . Rồi tìm x.  Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau 1) 6 x  61 x  5  0 1 2) 5 x1   26  0 5 x1 Lời giải: 1) Ta có 6 x  61 x  5  0  6 x  6.6 x  5  0 11  Đặt t  6 x ,  t  0  ta có 6 x   6x t 1  Ta có p/trình t  6.  5  0 ,  t  0  t  t 2  5t  6  0 . Giải p/trình này được t  6 (thỏa); t  1  0 (không thỏa)  Vậy ta có 6 x  6  x  1 . Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1 . 1 1 5 2) Để ý : 5 x1  5 x.51  5.5 x ;  x x 1 1 x 5 5 .5 5 1 5 Ta có 5 x1   26  0  5.5 x   26  0 x 1 5x 5 Đặt t  5 x ,  t  0  ta có p/trình 5 5.t   26  0,  t  0   5t 2  26t  5  0 t 1 Giải p/trình này được t  5; t  (thỏa mãn đ/k t  0 ) 5  Với t  5 , ta có 5 x  5  x  1 1 1  5 x  51  x  1 - Với t  , ta có 5 x  5 5  Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm x  1; x  1
Dạng 3: Bất phương trình mũ a f  x   a g  x  ,  0  a  1 Cách giải:  Nếu 0  a  1 ta có f  x   g  x  (đổi chiều BPT)  Nếu a  1 ta có f  x   g  x  . Với BPT a f  x   c - Nếu 0  a  1 , ta có f  x   log a c (Đổi chiều BPT) - Nếu a  1 , ta có f  x   log a c Ví dụ : Giải các bất phương trình 2 x 2 3 x x 2 3 x  3 1 b) 1 a) 2 9 4 Giải: 2 2  1  2x 3 x 3 x  22  x 2  3x  2 a) Ta có 2 x 4  x 2  3x  2  0  1  x  2 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T  1;2 2 3 x  2 2  x 2  3x  2 (hai BPT có cùng chiều). Để Vì cơ số a  2  1 nên 2 x giải BPT x 2  3 x  2  0 , ta tìm nghiệm tam thức x 2  3 x  2 và xét dấu rồi chọn miền nghiệm. 2 x 2 3 x 2 x 2 3 x 2    3 b) 1 3 1  1 1 9 3  2 x 2  3 x  2 (đổi chiều BPT do cơ số a  1  1 ) 3 1  2 x 2  3 x  2  0  2  x  2 1 Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T   2;   2   Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình 22 x 2  9.2 x  2  0 Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình 7 x  2.71 x  9  0 Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Giải phương trình 32 x1  9.3x  6  0 Câu 4: Giải các bất phương trình sau x 2 3 x 2 x 6 2  2  2 a) 1 1 b) 32 x x  37 x 6 2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit. Lý huyết Ghi nhớ: Với 0  a  1, b  0, c  0 khi đó Tính toán: log a a   ; log a b   log a b 1 log a b  log a b  b Cộng, trừ logarit : log a b  log a c  log a b.c ; log a b  log a c  log a c log a b 1 Đổi cơ số: log c b  ; log a b  log a c log b a  Cách khử logarit:  f x  0  log a f  x   log a g  x     f  x  g  x  log a f  x   c  f  x   a c Chú ý: log10 a  log a  lg a ; log e a  ln a . Dạng 1: Biến đổi về phương trình log a f  x   log a g  x  Cách giải:
- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi. - Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit. Ví dụ: Giải các p/trình sau: 1) log3  9 x   log 9 x  5 2) log 2  x  2   log 2  x  3  log 2 12 Lới giải: x  0 1)  Đ/k xác định:   x0 9x  0  Khi đó ta có log 3  9 x   log 9 x  5  log 3 9  log 3 x  log 32 x  5 1 3  2  log3 x  log 3 x  5  log 3 x  3 2 2  log 3 x  2  x  32  x  9 (thỏa mãn đ/k)  Vậy p/trình có nghiệm duy nhất x  9 . x  2  0 x  2 2)  Đ/k xác định    x3 x  3  0 x  3 Khi đó ta có log 2  x  2   log 2  x  3  log 2 12  log 2  x  2   x  3  log 2 12   x  2   x  3   12  x 2  5 x  6  0 Giải p/trình này dược x  6 (thỏa đ/k); x  1 (không thỏa đ/k)  Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x  6 . Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit m.log 2 f  x   n.log a f  x   p  0 a Cách giải:  Đ/k xác định: f  x   0
 Đặt t  log a f  x  , t  Ta có p/trình m.t 2  nt  p  0 . Giải p/trình này tìm t.  Giải p/trình log a f  x   t  f  x   a t để tìm x.  Kết luận. Ví dụ : Giải ph/trình log 2 x 2  3log 2 x  10  0 2 Giải: Đ/k xác định: x  0 2   2 Ta có log 2 x 2  log 2 x 2   2log 2 x   4log 2 x 2 2  Đặt t  log 2 x , ta có log 2 x 2  4t 2 2  P/trình đã cho trở thành 4t 2  3t  10  0 5 Giải p/trình này được t  2; t   4  Với t  2 , ta có log 2 x  2  x  22  x  4 5 - Với t   5 4 , ta có log 2 x   5 4  x  2 4 5  Kết luận: P/trình đã cho có hai nghiệm x  4; x   . 4 Dạng 3: Bất p/trình log a f  x   log a g  x  ,  0  a  1 .  f  x  0  Điều kiện xác định:  g  x  0  - Nếu 0  a  1 , ta có f  x   g  x  (BPT đổi chiều) - Nếu a  1 , ta có f  x   g  x  (BPT cùng chiều)  Với BPT log a f  x   c - Nếu 0  a  1 , ta có f  x   a c (BPT đổi chiều)
- Nếu a  1 , ta có f  x   a c (BPT cùng chiều) Ví dụ: Giải các bất p/trình: b) log 1  2 x  1  log 1  x  2  a) log 2 x  log 2  3x  1 3 3 Giải: x  0 1 a)  Đ/kiện xác định:  x 3 x  1  0 3 1  Với x  ta có : 3 1 log 2 x  log 2  3 x  1  x  3x  1  2 x  1  x  2 { Cơ số a  2  1 nên có BPT cùng chiều} 11  Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho T   ;     3 2 2 x  1  0 1 b)  Đ/kiện xác định:   x x  2  0 2 1  Với x  ta có : 2 log 1  2 x  1  log 1  x  2  2x  1  x  2  x  3 3 3 { Cơ số a  1 2  1 nên BPT đổi chiều} 1  Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho T   ;3    2  Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban): Giải phương trình log 4 x  log 2  4 x   5 . Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình log3  x  2   log 3  x  2   log3 5  x  .
Câu 3: Giải các bất phương trình a) log 1 x  log5  x  2   log 1 3 5 5 2 b) log 3 x  4log3 x  3  0