Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là tài liệu Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức dành cho các em học sinh lớp 8 và ôn thi sắp tới, giúp các bạn củng cố kiến thức luyện thi một cách hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Tính chất cơ bản của phân thức

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tính chất cơ bản của phân thức * Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A.M  B B.M với M là đa thức khác đa thức 0. * Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A: N  B B:N với N là một nhân tử chung của cả A và B. 2. Quy tắc đối dấu * Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A  . B B * Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có: A A A   . B B B IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế; Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: A 2 x3  4 x 2 a.  , x  2; x2 x2  4 5 x  y 5x2  5 y 2 b.  ,x  y 3 A x 2  8 2 x3  16 x 1 c.  , x  0, x  2x 1 A 2 yx x y d.  ,x  2 2 x A Bài 2: Tìm bộ ba đa thức A, B , C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau: A B C  2  3 , x  1, x  3. x  3 x  4 x  3 x  27 Bài 3: Tìm bộ ba đa thức A, B , C thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau: A  x  1 B C   3 , x  2 x  4x  4 2 x 4 x 8 2 Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài; Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu. Bài 4: Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức 1  2x và có giá trị bằng phân thức 12 x 2  12 x  3 , x  2, x  5  6 x  3 5  x  1 Bài 5: Biến đổi phân thức thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 4 x 2  x  3 và giá trị 4x  3 3 của hai phân thức bằng nhau với x  1; x  4 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
x4 x 2  16 1 Bài 6: Biến đổi cặp phân thức và , x  , x  0, x  4 thành cặp phân thức mới có 2x 3x  1 3 cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu. Dạng 3: Tính giá trị của phân thức. Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước: Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử; Bước 2. Rút gọn từng phân thức; Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính. Bài 7: Tính giá trị phân thức sau: x2  2x  3 a. A  2 , x  1 tại 3 x  1  0 x  2x 1 x2 b. B  , x  2; x  3 tại x 2  4  0 x  5x  6 2 Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn 2 x 2  7 x  3  0 , tính giá trị của các phân thức sau: x2  2x  1 a. 2 x2  x  1 x 3  27 b. 2 x  2x  3 Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử; Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai A C phân thức bằng nhau:  nếu A.D = B.C B D Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao? 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
a3 a6 a. ; với x  4; x  8 a 4 a 8 9x  6 3x 2  3x  3 2 b. ; với x  1; x  3x  3x   2 x  2  2 x 1 3 3 x2 1 x2  2x  3 Bài 10: Cho cặp phân thức 2 và 2 với x  1; 2; 4 x  3x  4 x x2 a. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không? b. Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau. Dạng 5: Toán nâng cao. A C Bài 11: Cho hai phân thức và . Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng B D A' C' A' A C ' C và thỏa mãn điều kiện  ;  . E E E B E D HƯỚNG DẪN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có A 2 x2 a)   A  2x2 x2 x2 5 x  y 5  x  y  x  y  b)   A  3 x  y  3 3 x  y  x 2  8 2 x ( x 2  8) c)   A  2 x  2 x  1 2x 1 A y  x (y  x) d)   A x2 2 x A Bài 2: A B C   2 , x  1, x  3. x  3 ( x  3)(x  1)  x  3x  9 ( x  3)  A B C    2 , x  1, x  3. Chọn A  1  C  x 2  3x  9; B  x  1 1 (x  1)  x  3x  9  Bài 3: 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn A  x  2  B  ( x  1)( x  2); C   x  1  x 2  2 x  4  Bài 4: 12 x 2  12 x  3 3(2 x  1)2 2x 1 1 2x   A , x  2, x  5  6 x  3 5  x  3  2 x  1 5  x  5  x x 5 Bài 5: 1 B B  2   B  x 1 4 x  3 4 x  x  3  4 x  3 x  1 x 1 Vậy phân thức cần tìm là 4x  x  3 2 Bài 6: x  4  x  4  x  4  x 2  16   Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2 2x 2x  x  4 2x  x  4 x 2  16 1 , x  , x  0, x  4 3x  1 3 Bài 7: x2  2 x  3 x  3 A  x2  2x  1 x  1 1 Thay x   A  2 3  x  2(loai) x2 1 b) ta có x 2  4  0   B 2   x  2(tm) x  5x  6 x  3 1 Với x  2  B  5 Bài 8: x  3 2x  7 x  3  0   2 x  1  2 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
1 2 a) x  1; do vậy chỉ có x  3 là thỏa mãn  A  2 7 1 43 b) x  1;3 do vậy ta chỉ nhận x  B 2 6 Bài 9: a3 a6 a) ; ta xét tích chéo  a  3 (a  8)  a 2  5a  24 ;  a  4  a  6   a 2  2a  24 do vậy hai a 4 a 8 phân thức không bằng nhau. 9x  6 3 3 x 2  3x  3 3( x 2  x  1) 3 b)  ;   3x  3x   2 x  2  x  1 2 x 1 3  2   x  1 x  x  1 x  1 Bài 10: x2  1   x  1 x  1  x  1 ; x 2  2 x  3   x  1 x  3  x  3 x 2  3 x  4  x  1 x  4  x  4 x 2  x  2  x  1 x  2  x  2 a) Hai phân thức trên không bằng nhau với mọi x x 1 x  3 7 b) ta xét   x x4 x2 4 Bài 11: A AD C CB Với hai phân thức  và  , để ta thấy ta nhân cả tử và mẫu của hai phân thức trên với B BD D BD đa thức M  0 thì ta luôn được mẫu số E  BD. M . Do có vô số đa thức M nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phan thức đã cho. B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. Bài 1: Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau: 5 x  y 5x 2  5 y 2 a)  với x  y; 3 ... 2a 3  4a 2 ... b)  với a  2. a 4 2 a2 Bài 2: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
6b 2  9b 3b 3 a)  với b   ; 4b  9 2 A 2 nm mn b)  với m  2. 2m A  x 2  2 xy  y 2 A Bài 3: Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết:  2 x y y  x2 Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. 4x  3 Bài 4: Cho phân thức . Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử x2  5 thức là đa thức A  12 x 2  9 x. 8x2  8x  2 Bài 5: Biến đổi phân thức thành một phân thức bằng nó và có tử thức là  4 x  2 15  x  A  1  2x Bài 6: Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức: 3 x 1 x5 x 2  25 a) và b) và x2 5x 4x 2x  3 Dạng 3: Tính giá trị của phân thức. Bài 7: Tính giá trị của phân thức: 2x  2 a) với x  1 tại x  1 x  2x 1 2 3x 2  3x b) với x  1 tại x  2 x2  1 x2 1 1 Bài 8: Tính giá trị của phân thức: với x  1; x  tại 3 x  1  0 2 x  3x  1 2 2 Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. 9x  6 3x 2  3x  3 2 Bài 9: Cho cặp phân thức và với x  1 và x  . Chứng tỏ cặp 3x  3x   2 x  2  2 x 1 3 3 phân thức trên bằng nhau. 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
y2  5 y  6 2 y2  5 y  3 1 Bài 10: Cho hai phân thức và với y  2 và y  . Cặp phân thức này có 3y  6 6y  3 2 bằng nhau hay không? Dạng 5: Toán nâng cao. x2  1 x2  2 x  3 Bài 11: Cho cặp phân thức và với x  1; x  2 và x  4. x 2  3x  4 x2  x  2 a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không? b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau. Bài 12: Tính giá trị của phân thức: x2 1 1 a) với x  1 và x  tại 2 x  1  3; 2 x  3x  1 2 2 3 x 2  10 x  3 b) với x  2; x  3 tại x 2  8 x  15  0. x  4x  3 2 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước. Bài 1: 5  x  y  5  x  y  x  y  5  x  y  5 x 2  5 y 2 2 2 a) Ta có:    3 3 x  y  3 x  y  3 x  y . 2 a 3  4a 2 2a 2  a  2  2a 2    ...  2a 2 b) Ta có: a 2  4  a  2  a  2  a  2 Bài 2: 6b 2  9b 3b  2b  3 3b  2b  3 3b a) Ta có:     A  2b  3 4b  9  2b   3 2 2 2  2b  3 2b  3 2b  3 n  m   m  n m  n b) Ta có:    A m2. 2m 2m m2 Bài 3: Ta có:  x 2  2 xy  y 2   y  2 xy  x    y  x    y  x  y  x  y  x 2 2 2 2 3  A  x  y 3     2 x y x y yx  y  x . y  x  y x 2 Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài. Bài 4: 4 x  3  4 x  3 .3 x 12 x 2  9 x Ta có: 2   x  5  x 2  5  .3 x 3 x3  15 x Bài 5: 8x2  8x  2 2  4 x 2  4 x  1 2  2 x  1 2 2x 1 1 2x Ta có:     .  4 x  2 15  x  2  2 x  115  x  2  2 x  115  x  15  x x  15 Bài 6: 3 3.  x  1 3x  3 a) Ta có:   2 x  2  x  2  x  1 x  x  2 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
x  1  x  1 .3 3 x  3 Ta có:   5x 5 x.3 15 x x  5  x  5 .  x  5 x 2  25 b) Ta có:   2 4x 4 x.  x  5  4 x  20 x x 2  25 Ta có: . 2x  3 Dạng 3: Tính giá trị của phân thức Bài 7: 2x  2 2  x  1 2 a) Ta có: A    . x  2 x  1  x  1 2 2 x 1 2 2 Thay x  1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: A    1. x 1 11 3x 2  3x 3 x  x  1 3x b) Ta có: B    x 1 2  x  1 x  1 x  1 3x 3.  2  Thay x  2 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được: B    2. x  1  2   1 Bài 8: 1 Ta có: 3 x  1  0  x  3 Ta có: C  2 x2  1   x  1 x  1  x  1 2 x  3 x  1  x  1 2 x  1 2 x  1 1 1 1 x 1 Thay x  ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được: C   3  4 . 3 2 x  1 2. 1  1 3 Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau. Bài 9: 9x  6 9x  6 9x  6 3  3x  2  3 Ta có:  2  2   1 3 x  3 x   2 x  2  3 x  3 x  2 x  2 3 x  x  2  x  1 3 x  2  x  1 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
3x 2  3x  3 3  x 2  x  1 3 Ta có:    2 x 1 3  x  1  x  x  1 x  1 2 9x  6 3x 2  3x  3 Từ 1 ,  2   2  3x  3x   2 x  2  x3  1 Bài 10: y 2  5 y  6  y  2  y  3 y  3 Ta có:   1 3y  6 3 y  2 3 2 y 2  5 y  3  y  3 2 y  1 y  3 Ta có:    2 6y 3 3  2 y  1 3 y2  5 y  6 2 y 2  5 y  3 Từ 1 ,  2    . 3y  6 6y 3 Bài 11: x2  1  x  1 x  1  x  1 1 a) Ta có:   x  3 x  4  x  1 x  4  x  4 2 x 2  2 x  3  x  3 x  1 x  3 Ta có:    2 x 2  x  2  x  2  x  1 x  2 x2  1 x2  2x  3 Từ 1 ,  2    . x 2  3x  4 x 2  x  2 b) Với x  1; x  2 và x  4 x2  1 x2  2 x  3 x 1 x  3 thì 2  2   x  3x  4 x  x  2 x4 x2 5   x  1 x  2    x  4  x  3   x 2  3 x  2  x 2  7 x  12  4 x  10  x  . 2 5 Vậy x  thì hai phân thức đã cho bằng nhau. 2 Bài 12: 1 a) Loại trường hợp x = 1 và thay x = -2 được kết quả . 5 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
7 b) Loại trường hợp x = 3 và thay x = 5 được kết quả . 2 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com