Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai<br /> phân ẩn tuyến tính chỉ số 1<br /> Ngô Thị Thanh Nga<br /> Khoa Toán-Tin, Đại học Thăng Long<br /> Tóm tắt: Trong những năm gần đây phương trình sai phân ẩn (IDEs), hay còn gọi là phương trình<br /> sai phân kỳ dị (SDEs), nhận được mối quan tâm lớn bởi sự xuất hiện của chúng trong nhiều lĩnh vực<br /> thực hành, ví dụ như mô hình động lực Leontiev cho hệ kinh tế đa ngành, mô hình tăng trưởng dân số<br /> Leslie, các bài toán điều khiển tối ưu rời rạc suy biến,... Phương trình sai phân ẩn cũng xuất hiện một<br /> cách tự nhiên trong quá trình rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số (DAEs) và phương trình<br /> đạo hàm riêng đại số, những đối tượng đã và đang thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu.<br /> Trong báo cáo này, chúng tôi đưa ra một số định lý về dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm<br /> của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1. Ở trường hợp hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra một<br /> số điều kiện của B(n) và F (n) để nếu phương trình ban đầu Ex(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0 ) ổn định<br /> (tương ứng ổn định tiệm cận) thì phương trình (E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 )<br /> cũng ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận). Trường hợp hệ số biến thiên, kết quả chúng tôi đạt được<br /> đang dừng lại ở việc đưa ra được một số định lý về tính ổn định đều và ổn định mũ đều cho tình huống<br /> nhiễu tuyến tính bên phải.<br /> <br /> 1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính và phương trình sai phân<br /> thường<br /> 1.1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính:<br /> Định nghĩa 1.1. Cho A là một ma trận, A ∈ R d×d . Chỉ số Kronecker của ma trận A, ký hiệu ind A<br /> là số tự nhiên k sao cho Im Ak = Im Ak+1 , và Im Ak−1 ̸= Im Ak .<br /> Định nghĩa 1.2. Cho E, A là hai ma trận, E, A ∈ R d×d . Cặp ma trận {E, A} được gọi là chính quy<br /> nếu tồn tại số thực c sao cho: ma trận cE + A là ma trận khả nghịch.<br /> Định nghĩa 1.3. Cho cặp ma trận chính quy {E, A}. Chỉ số Kronecker của cặp ma trận {E, A}, ký<br /> hiệu ind{E, A}, là chỉ số Kronecker của ma trận (cE + A)−1 E.<br /> Bổ đề 1.4. Cho E, A là hai ma trận thuộc R d×d , rank(E) = r. Giả sử cặp ma trận {E, A} là chính<br /> quy. Khi đó tồn tại U , V khả nghịch sao cho:<br /> (<br /> )<br /> (<br /> )<br /> E11 0<br /> A11 A12<br /> U EV =<br /> , U AV =<br /> ,<br /> 0 0<br /> A21 A22<br /> trong đó E11 là ma trận vuông cấp r không suy biến.<br /> Chú ý:<br /> • ind{E, A} = 1 tương đương với A22 không suy biến.<br /> • Cách xây dựng U, V : Để thuận lợi cho các tính toán phía sau, ở đây ta đưa ra cách xây dựng<br /> U, V khá đặc biệt. Chọn U1 , V1 ∈ R d×(d−r) có các cột tạo thành cơ sở của không gian hạch trái,<br /> ⊥<br /> tương ứng hạch phải của E, ký hiệu U1 , V1⊥ tương ứng là hai không gian con trực giao với U1<br /> ⊥<br /> và V1 . Khi đó U = [U1 U1 ]T , V = [V1⊥ V1 ].<br /> 61<br /> <br /> Tr<br /> <br /> ng Đ i h c Th ng<br /> <br /> ong<br /> <br /> Bổ đề 1.5. Cho p, q là hai số thực không âm, f (l) ≥ 0 với mọi l ∈ N , l ≥ n0 , n0 ∈ N cho trước (có<br /> thể viết gọn là l ∈ N (n0 )). Giả sử<br /> k−1<br /> ∑<br /> <br /> u(k) ≤ p + q<br /> <br /> f (l)u(l), ∀k ∈ N (n0 ).<br /> <br /> l=n0<br /> <br /> Khi đó,<br /> u(k) ≤ p<br /> <br /> k−1<br /> ∏<br /> <br /> (1 + qf (l)), ∀k ∈ N (n0 ).<br /> <br /> l=n0<br /> <br /> 1.2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân thường<br /> chịu nhiễu<br /> Xét phương trình sai phân thường hệ số hằng:<br /> x(n + 1) = Ax(n),<br /> <br /> n ∈ N (n0 ),<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong đó: x(n) ∈ R d , ∀n ∈ N (n0 ); A ∈ R d×d là một ma trận cho trước. Khi có nhiễu tuyến tính bên<br /> phải ta được phương trình<br /> x(n + 1) = (A + B(n))x(n),<br /> <br /> n ∈ N (n0 ),<br /> <br /> (2)<br /> <br /> trong đó ma trận nhiễu B(n) ∈ R d×d , ∀n ∈ N (n0 ).<br /> Định lý 1.6. (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm của phương trình (1) đều bị chặn trên N (n0 )<br /> và<br /> ∞<br /> ∑<br /> ∥B(l)∥ < ∞.<br /> l=n0<br /> <br /> Khi đó tất cả các nghiệm của phương trình (2) cũng bị chặn trên N (n0 ).<br /> Định lý 1.7. (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm x(k) của phương trình (1) đều tiến về 0 khi<br /> k → ∞ và ∥B(k)∥ → 0 khi k → ∞. Khi đó tất cả các nghiệm y(k) của phương trình (2) cũng tiến<br /> về 0 khi k → ∞.<br /> <br /> 2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân<br /> ẩn tuyến tính chỉ số 1 chịu nhiễu<br /> 2.1 Các kết quả đạt được đối với trường hợp hệ số hằng<br /> Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số hằng, chỉ số 1<br /> Ex(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0 ),<br /> <br /> (3)<br /> <br /> trong đó: E, A ∈ R d×d , rank(E) = r, x(n) ∈ R d , n ∈ N (n0 ).<br /> Phương trình (3)(<br /> được gọi là có chỉ số ( nếu ind{E, A} = 1 hay A22 không suy biến. Khi đó, đặt<br /> 1<br /> )<br /> )<br /> y1 (n)<br /> A11 A12<br /> x(n) = V y(n) = V<br /> và U AV =<br /> , phương trình (3) trở thành<br /> y2 (n)<br /> A21 A22<br /> (<br /> )(<br /> ) (<br /> )(<br /> )<br /> 62<br /> E11 0<br /> y1 (n + 1)<br /> A11 A12<br /> y1 (n)<br /> =<br /> ,<br /> 0 0<br /> y2 (n + 1)<br /> A21 A22<br /> y2 (n)<br /> Tr<br /> <br /> ng Đ i h c Th ng<br /> <br /> ong<br /> <br /> hay ta có hệ:<br /> <br /> {<br /> <br /> E11 y1 (n + 1) = A11 y1 (n) + A12 y2 (n)<br /> 0<br /> = A21 y1 (n) + A22 y2 (n)<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Do E11 và A22 khả nghịch nên (4) tương đương với hệ:<br /> {<br /> −1<br /> y1 (n + 1) = E11 (A11 − A12 A−1 A21 )y1 (n)<br /> 22<br /> y2 (n)<br /> =<br /> A−1 A21 y1 (n)<br /> 22<br /> Xét dạng nhiễu tuyến tính của phương trình (3)<br /> Ex(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ),<br /> trong đó: B(n) ∈ R d×d , n ∈ N (n0 ) là ma trận nhiễu.<br /> Sử dụng cách biến đổi như đối với phương trình (3), đồng thời đặt U B(n)V =<br /> <br /> (5)<br /> (<br /> <br /> )<br /> B11 (n) B12 (n)<br /> B21 (n) B22 (n)<br /> <br /> ta đưa phương trình (5) về dạng sau:<br /> {<br /> E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n)<br /> 0<br /> = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n)<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Nếu A22 + B22 (n) khả nghịch với mọi n ∈ N (n0 ) thì từ phương trình thứ hai của hệ (6) ta rút ra được<br /> y2 (n) = (A22 + B22 (n))−1 (A21 + B21 (n))y1 (n).<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Thay vào phương trình đầu ta thu được phương trình sai phân thường<br /> −1<br /> −1<br /> y1 (n + 1) = [E11 (A11 − A12 A−1 A21 ) + E11 R(n)]y1 (n),<br /> 22<br /> <br /> (8)<br /> <br /> trong đó<br /> ˜<br /> R(n) = B11 (n) + B12 (n)A−1 A21 − B12 (n)B22 (n)A21<br /> 22<br /> ˜<br /> − A12 B22 (n)A21 + A12 A−1 B21 (n) + B12 (n)A−1 B21 (n)<br /> 22<br /> 22<br /> ˜<br /> ˜<br /> − B12 (n)B22 (n)B21 (n) − A12 B22 (n)B21 (n),<br /> ˜<br /> với B22 (n) = A−1 B22 (n)(A22 + B22 (n))−1 .<br /> 22<br /> Một số điều kiện được sử dụng trong các định lý và hệ quả sẽ phát biểu:<br /> Điều kiện (A1 ): A22 + B22 (n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0 ).<br /> Điều kiện (A2 ): Tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥(A22 + B22 (n))−1 (A21 + B21 (n))∥ < c, với mọi<br /> n ∈ N (n0 ).<br /> Điều kiện (A3 ):<br /> <br /> ∞<br /> ∑<br /> <br /> −1<br /> ∥E11 R(l)∥ < ∞.<br /> <br /> l=n0<br /> −1<br /> Điều kiện (A4 ): ∥E11 R(k)∥ → 0 khi k → ∞<br /> <br /> Nhận xét: Có thể thấy các điều kiện này là các điều kiện đặt lên cho hệ nhiễu (6) của hệ gốc ban đầu<br /> (4).<br /> Định lý 2.1. Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1, và các giá trị riêng của cặp ma trận {E,A} đều có<br /> mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 1 và những giá trị riêng có mô đun bằng 1 đều là nửa đơn. Nếu thêm vào<br /> đó các điều kiện (A1 ), (A2 ) và (A3 ) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm của phương trình (5) đều bị<br /> chặn.<br /> 63<br /> Tr<br /> <br /> ng Đ i h c Thăng Long<br /> <br /> Chứng minh: Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm của<br /> phương trình (3) bị chặn. Khi điều kiện (A1 ) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình<br /> (<br /> )<br /> y1 (n)<br /> ¯<br /> (5) đều được xác định bởi v(n) = V y (n) = V<br /> ¯<br /> , trong đó y1 (n) là nghiệm của (8) và y2 (n)<br /> ¯<br /> ¯<br /> y2 (n)<br /> ¯<br /> được xác định qua phương trình đại số (7). Khi điều kiện (A3 ) được thỏa mãn, áp dụng định lý 1.6<br /> ta được y1 (n) bị chặn. Kết hợp thêm điều kiện (A2 ) ta cũng suy ra được y2 (n) cũng bị chặn. Từ đó<br /> ¯<br /> ¯<br /> nghiệm v(n) của (5) là bị chặn.<br /> Hệ quả 2.2. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.1, thêm vào đó<br /> nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:<br /> (i)<br /> <br /> sup ∥A−1 B22 (n)∥ < 1,<br /> 22<br /> n∈N (n0 )<br /> <br /> (ii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ta có<br /> <br /> ∞<br /> ∑<br /> <br /> ∥Bij (l)∥ < ∞,<br /> <br /> l=n0<br /> <br /> thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.1.<br /> Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) và (A2 ). Khi điều kiện<br /> (ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A3 ). Áp dụng định lý 2.1 ta được điều phải chứng<br /> minh.<br /> Định lý 2.3. Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1 và mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {E,A} đều có<br /> mô đun nhỏ hơn 1. Khi đó nếu các điều kiện (A1 ), (A2 ) và (A4 ) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm<br /> v(n) của phương trình (5) đều tiến về 0 khi n → ∞.<br /> Chứng minh Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm u(n) của<br /> phương trình (3) tiến về 0 khi n → ∞. Khi điều kiện (A1 ) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của<br /> phương trình (5) được xác định như đã nêu trong chứng minh định lý 2.1. Khi điều kiện (A4 ) được<br /> thỏa mãn, áp dụng định lý 1.7 ta được y1 (n) tiến về 0 khi n → ∞. Kết hợp thêm điều kiện (A2 ) ta<br /> ¯<br /> cũng suy ra được y2 (n) cũng tiến về 0 khi n → ∞. Từ đó nghiệm v(n) của (5) tiến về 0 khi n → ∞.<br /> ¯<br /> Hệ quả 2.4. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.3, thêm vào đó<br /> nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:<br /> (i)<br /> <br /> sup ∥A−1 B22 (n)∥ < 1,<br /> 22<br /> n∈N (n0 )<br /> <br /> (ii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ∥Bij (k)∥ → 0 khi k → ∞,<br /> thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.3.<br /> Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) và (A2 ). Khi điều kiện<br /> (ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A4 ). Áp dụng định lý 2.3 ta được điều phải chứng<br /> minh.<br /> Nhận xét: Các định lý và hệ quả nói trên thực chất là phát biểu cho hệ có nhiễu (6) và hệ gốc ban<br /> đầu (4).<br /> Sau đây ta xét phương trình có nhiễu tuyến tính cả hai bên của phương trình (3):<br /> (E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0 ),<br /> <br /> (9)<br /> <br /> trong đó: F (n), B(n) ∈ R d×d là các ma trận nhiễu, với F (n) có cấu trúc đặc biệt. Nhiễu F (n) thỏa<br /> mãn điều kiện sau:<br /> Điều kiện (B1 ): Ker E ⊂ Ker F (n) hay Ker E = Ker(E + F (n)), với mọi n ∈ N (n0 ).<br /> Tr<br /> <br /> ng Đ i h c Th ng<br /> <br /> ong<br /> <br /> 64<br /> <br /> Khi điều kiện (B1 ) được thỏa mãn, ta chứng minh được ma trận U F (n)V có dạng:<br /> (<br /> )<br /> F11 (n) 0<br /> U F (n)V =<br /> .<br /> F21 (n) 0<br /> Tiếp tục sử dụng cách đổi biến và biến đổi giống như trước ta đưa được phương trình (9) về hệ:<br /> {<br /> (E11 + F11 (n))y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n)<br /> (10)<br /> F21 (n)y1 (n + 1)<br /> = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n)<br /> Điều kiện (B2 ): E11 + F11 (n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0 ).<br /> Khi điều kiện (B2 ) được thỏa mãn, ta có<br /> −1<br /> −1<br /> (E11 + F11 (n))−1 = E11 − E11 F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 .<br /> <br /> Nhân cả hai vế phương trình đầu của hệ (10) với E11 (E11 + F11 (n))−1 , ta được:<br /> ¯<br /> ¯<br /> E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n),<br /> trong đó<br /> ¯<br /> B11 (n) =B11 (n) − F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A11 + B11 (n))<br /> ¯<br /> B12 (n) =B12 (n) − F11 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n))<br /> Nhân cả hai vế phương trình đầu của (10) với −F21 (n)(E11 +F11 (n))−1 rồi cộng vế với vế vào phương<br /> trình thứ hai của hệ, ta thu được phương trình:<br /> ¯<br /> ¯<br /> 0 = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n),<br /> trong đó<br /> ¯<br /> B21 (n) =B21 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A11 + B11 (n))<br /> ¯<br /> B22 (n) =B22 (n) − F21 (n)(E11 + F11 (n))−1 (A12 + B12 (n))<br /> <br /> Như vậy hệ (10) tương đương với hệ<br /> {<br /> ¯<br /> ¯<br /> E11 y1 (n + 1) = (A11 + B11 (n))y1 (n) + (A12 + B12 (n))y2 (n)<br /> ¯<br /> ¯<br /> 0<br /> = (A21 + B21 (n))y1 (n) + (A22 + B22 (n))y2 (n)<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Nhận xét: hệ (11) là hệ có nhiễu có dạng giống với (6) của hệ gốc ban đầu (4).<br /> Đặt<br /> ˜<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> R(n) = B11 (n) + B12 (n)A−1 A21 − B12 (n)B22 (n)A21<br /> 22<br /> ˜<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> − A12 B22 (n)A21 + A12 A−1 B21 (n) + B12 (n)A−1 B21 (n)<br /> 22<br /> <br /> 22<br /> <br /> ˜<br /> ˜<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> − B12 (n)B22 (n)B21 (n) − A12 B22 (n)B21 (n),<br /> ˜<br /> ¯<br /> ¯<br /> ¯<br /> với B22 (n) = A−1 B22 (n)(A22 + B22 (n))−1 .<br /> 22<br /> Các điều kiện được đưa ra như sau:<br /> ¯<br /> Điều kiện (B3 ): A22 + B22 (n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0 ).<br /> Tr<br /> <br /> ng Đ i h c Thăng Long<br /> <br /> 65<br /> <br />