JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0161<br />
Educational Sci., 2015, Vol. 60, No. 8A, pp. 17-27<br />
This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH<br />
TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP "THỂ TÍCH"<br />
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG<br />
<br />
Nguyễn Anh Tuấn1 , Lại Văn Định2<br />
1 Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br />
2 Bộ môn Toán-Tin, Trường Đại học Điều dưỡng Nam Định<br />
<br />
Tóm tắt. Bài báo trình bày nghiên cứu về vấn đề dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ<br />
một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp (PP) gián tiếp - thông qua thể tích của khối<br />
chóp. Tác giả đã giải quyết vấn đề bằng cách tìm hiểu những khó khăn của học sinh (HS)<br />
Trung học phổ thông (THPT) khi tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; xây dựng<br />
quy trình và biện pháp dạy học để rèn luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng PP "thể<br />
tích" cho HS. Kết quả nghiên cứu thể hiện ở biện pháp và ví dụ minh họa cụ thể việc dạy<br />
học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian.<br />
Từ khóa: Tìm khoảng cách, điểm, mặt phẳng, phương pháp thể tích.<br />
<br />
1. Mở đầu<br />
Dạy học giải toán là một tình huống dạy học điển hình, giữ vai trò quan trọng hàng đầu<br />
trong dạy học Toán ở trường phổ thông bởi lẽ đây là tình huống vận dụng tổng hợp các kiến thức<br />
và kĩ năng có liên quan. Các tác giả Nguyễn Bá Kim [4], Bùi Văn Nghị [6], Đào Tam [12], ... đã<br />
nghiên cứu rất sâu sắc từ góc độ cơ sở lí luận và phương pháp dạy học, đặc biệt là làm rõ yêu cầu<br />
phát triển năng lực tìm tòi lời giải bài toán cho học sinh.<br />
Tính khoảng cách trong không gian là một bài toán quan trọng trong Hình học không gian,<br />
thường gặp trong các đề thi ở THPT và tuyển sinh vào đại học [1]. Trong đó bài toán tìm khoảng<br />
cách từ một điểm đến một đường thẳng tương đối dễ giải vì có thể đưa về mặt phẳng và dựng<br />
đường vuông góc. Với những bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa hai<br />
mặt phẳng, người ta thường đưa về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.<br />
Nghiên cứu về dạy học giải toán về khoảng cách trong không gian đã được một số tác giả<br />
đề cập đến trong những bài báo khoa học gần đây. Có thể kể đến những bài viết đăng tải trên tạp<br />
chí Toán học và tuổi trẻ:<br />
Tác giả Cao Thị Thanh Lê (2012, [5; 5-7]) xem xét vấn đề này từ một bài toán tính khoảng<br />
cách trong sách giáo khoa hình học 11 để rèn luyện kĩ năng cho học sinh THPT.<br />
Tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong không gian, tác giả Hoàng Đức Nguyên (2009, [7;<br />
4-5]) đã đưa ra một phương pháp giải quyết bài toán tìm khoảng cách thông qua việc đưa vào và<br />
khai thác tính chất của tứ diện vuông.<br />
Ngày nhận bài: 15/9/2015. Ngày nhận đăng: 25/10/2015.<br />
Liên hệ: Nguyễn Anh Tuấn, e-mail: tuandhsphn@gmail.com<br />
<br />
<br />
<br />
17<br />
Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định<br />
<br />
<br />
Nhìn nhận vấn đề khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tác giả Đỗ Thanh Sơn<br />
(2007, [11; 7-8]) đã xây dựng phương pháp xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống<br />
một mặt phẳng.<br />
Tiếp cận vấn đề phương pháp tính thể tích khối đa diện, tác giả Nguyễn Minh Nhiên (2009,<br />
[8; 7-10]) đã xem xét vấn đề tính khoảng cách như một trong các bước của quy trình tính thể tích<br />
khối đa diện trong không gian.<br />
Ngoài ra, vấn đề tính khoảng cách trong không gian còn được đề cập đến khi các tác giả<br />
Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001, [13]) nghiên cứu hệ thống hóa<br />
các dạng toán và phương pháp giải toán hình học không gian. Hay được đưa vào tài liệu ôn tập thi<br />
tuyển sinh vào đại học (Bùi Quang Trường, 2005, [14]), ...<br />
Trong thực tế dạy và học Hình học không gian ở trường phổ thông, khái niệm khoảng cách<br />
từ điểm M đến mặt phẳng (P) được định nghĩa "khá đơn giản" là khoảng cách giữa hai điểm M<br />
và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Tuy nhiên việc xác định và tính được<br />
khoảng cách là một bài toán gây ra nhiều khó khăn cho học sinh. Bởi lẽ, mặc dù bài toán này<br />
thường có một vài cách giải quyết như sau:<br />
1 - Một PP giải khá "chính tắc" là xác định trực tiếp hình chiếu H của điểm M trên mặt<br />
phẳng (P), dựng đường vuông góc MH và tính độ dài MH dựa vào tam giác ...<br />
2 - Theo con đường tính khoảng cách giữa một đường thẳng d đi qua M và song song với<br />
mặt phẳng (P), ta có thể tìm cách dựng d, sau đó tìm trên d một điểm N (khác M) mà ta có thể xác<br />
định được hình chiếu H của N trên mặt phẳng (P), tính độ dài NH dựa vào tam giác ... và đó cũng<br />
là khoảng cách cần tìm.<br />
3 - Dựa vào tính chất và tỉ số đồng dạng, ta có thể tìm một điểm trung gian N (khác M) mà<br />
khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) tỉ lệ với khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (P), nhờ<br />
việc tính được khoảng cách từ N đến (P) mà ta tìm được khoảng cách từ M đến (P).<br />
Nhưng với những PP kể trên, ta đều cần xác định được hình chiếu của một điểm trên một<br />
mặt phẳng mà việc này gây ra những khó khăn cho không ít HS. Bởi lẽ, do khả năng tưởng tượng<br />
không gian và thao tác hình học còn hạn chế nên nhiều em rất ngại phải dựng, vẽ thêm hình phụ<br />
trong hình học không gian.<br />
Vấn đề đặt ra là: Làm như thế nào để khắc phục được những khó khăn nêu trên cho HS<br />
trong dạy học giải bài toán tính khoảng cách trong không gian?<br />
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt<br />
phẳng từ cách tiếp cận bằng con đường thông qua "thể tích của hình chóp". Xuất phát từ phương<br />
pháp tính khoảng cách bằng cách đưa vào một hình chóp, xem khoảng cách như là độ dài đường<br />
cao của hình chóp mà ta có thể tính được thể tích và diện tích đáy không quá khó khăn; chúng tôi<br />
xây dựng quy trình bốn bước dạy tri thức phương pháp và luyện tập cho học sinh THPT kĩ năng<br />
giải bài toán tính khoảng cách theo "phương pháp thể tích".<br />
<br />
2. Nội dung nghiên cứu<br />
2.1. Quy trình dạy học giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp<br />
"thể tích"<br />
Bước 1: Trang bị và củng cố kiến thức nền cho HS.<br />
Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) là khoảng cách giữa hai điểm M<br />
và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P ).<br />
Định lí 1: Cho tam giác ABC có các cạnh là BC = a; AB = c; CA = b khi đó cosA b=<br />
<br />
18<br />
Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...<br />
<br />
<br />
b2 + c2 − a2 2 2 2<br />
b = a + c − b ; cosC<br />
2 2<br />
b = a +b −c .<br />
2<br />
; cosB<br />
2bc 2ac 2ab<br />
Định lí 2: Cho tam giác ABC có các cạnh là BC = a; AB = c; CA = b, khi đó<br />
1 b = 1 bc sin A<br />
b = 1 ac sin B<br />
b<br />
S∆ABC = ab sin C<br />
2 2 2<br />
1<br />
Định lí 3: Hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác, đường cao SH có thể tích bằng diện tích đáy<br />
3<br />
nhân với đường cao.<br />
Hệ quả 1: Khoảng cách từ đỉnh S của hình chóp đến mặt phẳng đáy bằng 3 lần thể tích chia<br />
cho diện tích đáy của nó.<br />
1<br />
Hệ quả 2: Với hình chóp S.ABC, thể tích tính theo công thức VS.ABC = SH.S∆ABC ,<br />
3<br />
trong đó H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).<br />
3VS.ABC<br />
Hệ quả 3: d (S; (ABC)) = SH =<br />
S∆ABC<br />
Định lí 4: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm<br />
trong mặt phẳng (P ) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ).<br />
Bước 2: Xây dựng quy trình giải bài toán tính khoảng cách từ một điểm S đến mặt<br />
phẳng bằng PP "thể tích".<br />
1<br />
Xuất phát từ công thức tính thể tích: Thể tích của hình chóp bằng diện tích đáy nhân với<br />
3<br />
1<br />
đường cao, chẳng hạn với hình chóp tam giác S.ABC ta có: VS.ABC = SH.S∆ABC , với H là<br />
3<br />
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).<br />
Từ đó, ta dễ dàng rút ra được công thức tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy<br />
3VS.ABC<br />
(ABC) là d (S; (ABC)) = SH = .<br />
S∆ABC<br />
Như vậy, nếu ta biết được thể tích và diện tích đáy của một hình chóp thì việc tính khoảng<br />
cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy trở nên đơn giản.<br />
Mặt khác, với đáy là một tam giác thì việc tính diện tích nhiều khi cũng không nhất thiết<br />
phải tính chiều cao của tam giác mà có thể tính được ngay nếu biết góc và cạnh tam giác nhờ công<br />
1 b = 1 bc sin Ab = 1 ac sin B.<br />
b Cũng cần chú ý rằng: khi đáy là đa giác, ta<br />
thức S∆ABC = ab sin C<br />
2 2 2<br />
có thể đưa về bài toán tính diện tích của các tam giác.<br />
Như vậy, để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể gián tiếp thông qua<br />
PP "thể tích" như trên. Đặc biệt là với những bài toán mà ở đó giả thiết đã cho chứa đựng những<br />
yếu tố liên quan đến thể tích của hình chóp ...<br />
Từ đó rút ra PP "thể tích" để giải bài toán tính khoảng cách gồm năm bước sau:<br />
1 - Đầu tiên ta chọn một khối chóp với là đỉnh chính là điểm S đó, đáy là đa giác (nói riêng<br />
là ∆ABC, hoặc tứ giác ABCD) nằm trong mặt phẳng cần tìm khoảng cách từ S đến đó.<br />
2 - Sau đó dựa vào giả thiết để tính thể tích của hình chóp. Trong trường hợp cần thiết, ta<br />
có thể chọn một đỉnh khác sao cho dễ tính được thể tích nhất.<br />
3 - Tính diện tích đa giác đáy (∆ABC, tứ giác ABCD, ...). Ta có thể sử dụng định lí cosin<br />
và các kiến thức hình học phẳng để tính toán các cạnh ... Chẳng hạn: Tính diện tích của ∆ABC<br />
1 b = 1 a.c. sin B;...<br />
b<br />
nhờ công thức S = b.c. sin A<br />
2 2<br />
<br />
19<br />
Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định<br />
<br />
<br />
4 - Áp dụng công thức ở hệ quả 1 để tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy.<br />
5 - Trả lời kết quả theo yêu cầu của bài toán.<br />
Bước 3: GV thể hiện việc vận dụng quy trình trên thông qua ví dụ minh họa.<br />
Bước 4: GV tổ chức HS luyện tập vận dụng quy trình trên bằng cách hướng dẫn giải<br />
những bài tập tương tự.<br />
2.2. Ví dụ và bài tập minh họa<br />
Bài toán 1. (Trích đề thi tuyển sinh môn Toán khối A, A1 năm 2014)<br />
3a<br />
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu<br />
2<br />
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A<br />
đến mặt phẳng (SBD).<br />
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán<br />
Với bài toán này việc xác định chiều cao của hình chóp là dễ dàng vì đầu bài cho hình chiếu<br />
của S là trung điểm của AB. Nhưng việc xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBD) tương<br />
đối khó khăn. Thậm chí nhiều HS còn không vẽ được hình. Trong khi suy nghĩ của chúng ta luôn<br />
luôn làm sao cho phải vẽ bằng được hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBD) dẫn đến không giải<br />
được bài toán.<br />
Trong trường hợp này các em chú ý H là trung điểm AB gợi cho ta nghĩ đến khoảng cách<br />
từ A đến (SBD) gấp 2 lần khoảng cách từ H đến (SBD). Khi đó việc vẽ khoảng cách từ H đến<br />
(SBD) dễ dàng hơn nhiều.<br />
Lời giải bài toán:<br />
Cách 1: Gọi H là trung điểm của AB, suy ra<br />
SH⊥ (ABCD). Do đó ∆SHD là tam giác vuông. Ta<br />
có s 2<br />
√ 1<br />
DH = AD + AH = 2 2 2<br />
a + a =<br />
2<br />
√<br />
a 5 √<br />
nên SH = SD2 − DH 2 = a<br />
2<br />
ABCD là hình vuông nên S∆ABD =<br />
1 1 2 1 1<br />
AB.AD = a và HB = AB = a ⇒<br />
2 2 2 2<br />
1 1 a 3<br />
VS.ABD = a. a2 =<br />
3 2 6<br />
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD<br />
và E là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta<br />
có BD⊥HK và BD⊥SH nên BD⊥ (SHK). Suy ra<br />
BD⊥HE. Mà HE⊥SK do đó HE⊥ (SBD). Ta có HK = HB. sin KBH \ = 1 a. sin 450 =<br />
√ 2<br />
a 2 1 1 1 HS.HK a<br />
. Trong tam giác vuông SHK có 2<br />
= 2<br />
+ 2<br />
⇒ HE = p = .<br />
4 HE HK SH HS2 + HK 2 3<br />
2a<br />
Do đó d (A, (SBD)) = 2d (H, (SBD)) = 2HE = .<br />
3<br />
Tuy nhiên, thực tế cho thấy: Khi giáo viên đã định hướng nhận xét H là trung điểm của AB<br />
<br />
<br />
20<br />
Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...<br />
<br />
<br />
thì HS vẫn khó nhận ra khoảng cách từ A đến (SBD) bằng hai lần khoảng cách từ H đến (SBD).<br />
Ngay cả khi biết khoảng cách từ A đến (SBD) bằng hai lần khoảng cách từ H đến (SBD) thì<br />
vẫn có HS gặp khó khăn khi không hình dung tưởng tượng được nên không vẽ được hình. Từ đó<br />
các em lúng túng trong việc xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Thậm chí có HS<br />
đã vẽ hình, nhưng sai lầm khi nghĩ là hình chiếu của A nằm trên SO.<br />
Khi đó chúng ta còn một công cụ nữa là tính khoảng cách thông qua thể tích của hình chóp<br />
mà một đỉnh chính là điểm A và đáy là mặt phẳng (hoặc một phần của mặt phẳng) mà ta có thể<br />
tính khoảng cách tới mặt phẳng. Chiều cao của hình chóp có đỉnh là điểm A đáy là ∆SBD chính<br />
là khoảng cách từ điểm A đến (SBD). Nhờ vậy, ta không cần phải xác định hình chiếu của A trên<br />
mặt phẳng (SBD). Công việc sẽ là tính thể tích hình chóp A.SBD và diện tích ∆ đáy SBD.<br />
Cách 2: Chọn khối chóp A.SBD với A là đỉnh.<br />
1<br />
Khi đó VA.SBD = d (A; (SBD)) .S∆SBD nên<br />
3<br />
3VA.SBD<br />
d (A; (SBD)) =<br />
S∆SBD<br />
Mặt khác ta lại coi S là đỉnh, mặt phẳng (ABD)<br />
là đáy. Gọi H là trung điểm của AD, khi đó chiều cao<br />
1<br />
hình chóp là SH và VS.ABD = SH.S∆ABD<br />
3<br />
Có ABCD là hình vuông nên S∆ABD =<br />
1 1 1 1<br />
AB.AD = a2 và HB = AB = a<br />
2 2 2 2<br />
√ Mà ∆SHD vuông tại √ H nên SH =<br />
sSD −<br />
2 DH 2 mà DH = AD 2 + AH 2 =<br />
2 √<br />
1 a 5<br />
a2 + a = ⇒ SH =<br />
2 2<br />
v<br />
u 2 √ !2<br />
u 3a a 5 1 1 a3<br />
t − = a ⇒ VS.ABD = a. a2 =<br />
2 2 3 2 6<br />
Vì SH là chiều cao của hình chóp nênr SH⊥ (ABD) ⇒√SH⊥HB. Vậy tam giác SHB<br />
√ a 2 a 5<br />
vuông tại H. Khi đó SB = HS 2 + HB 2 = a2 + =<br />
2 2<br />
√ √ √<br />
ABCD là hình vuông cạnh a suy ra BD = AB + AD = a2 + a2 = a 2<br />
2 2<br />
<br />
Áp dụng định lí cos trong tam giác SBD ta có<br />
√ !2 2<br />
a 5 √ 2 3a<br />
+ a 2 −<br />
2 2 2 2 2<br />
b = SB + BD − SD =<br />
cosB √<br />
1<br />
=√ .<br />
2SB.BD a 5 √ 10<br />
2. .a 2<br />
2<br />
2<br />
2b 2 b 2b 2 b 1 9<br />
Áp dụng công thức sin B + cos B = 1 ⇒ sin B = 1 − cos B = 1 − √ =<br />
10 10<br />
b 3<br />
nên sin B = √<br />
10<br />
√<br />
1 b 1 a 5 √ 3 3a2<br />
Áp dụng công thức S∆SBD = SB.BD. sin B = . .a 2. √ = .<br />
2 2 2 10 4<br />
<br />
21<br />
Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định<br />
<br />
<br />
a3<br />
3.<br />
Vậy d (A; (SBD)) = 6 = 2a .<br />
3a2 3<br />
4<br />
Khi tính thể tích hình chóp A.SBD thì ta đã chọn lại đỉnh khác để có thể tính được thể tích.<br />
Còn khi tính diện tích ∆SBD thì ta không cần quan tâm đó là tam giác đặc biệt hay không. Nhiều<br />
HS thấy tam giác này không đặc biệt là một khó khăn nên không tính được diện tích đáy do đó<br />
cũng không tính được khoảng cách từ A đến (SBD).<br />
Phân tích hai lời giải của bài toán và so sánh ưu, nhược điểm:<br />
Ta thấy cách thứ hai HS không phải kẻ thêm hình. Cách thứ nhất các em phải kẻ thêm hình,<br />
mà trong hình học không gian, việc vẽ thêm hình thường gây khó khăn đối với HS. Bởi lẽ việc này<br />
đòi hỏi HS phải có khả năng tưởng tượng tốt và nắm chắc các định lí cơ bản của hình học không<br />
gian. Nhiều em không biết ta nên bắt đầu vẽ hình từ đâu để có thể vẽ được hình chiếu của A đến<br />
mặt phẳng (SBD). Vì vậy các em không giải được bài toán. Nhưng với cách 2 ta không phải kẻ<br />
thêm hình và việc đưa khoảng cách đó vào một hình chóp một cách khá rõ ràng, thuận lợi.<br />
Bài toán 2. (Trích đề thi tuyển sinh môn Toán khối B năm 2014)<br />
Cho hình lăng trụ ABC.A′ B ′ C ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của<br />
A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A′ C và mặt đáy bằng<br />
′<br />
<br />
600. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′ A′ ).<br />
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán.<br />
HS thường mắc sai lầm của bài toán này là từ<br />
B kẻ đường thẳng BK vuông góc với AC và xác định<br />
BK là đường cao luôn. Có HS kẻ thêm từ B vuông<br />
góc xuống A′ K và coi đó là đường cao. Nguyên nhân<br />
là do các em chưa vận dụng được định lí 4 một cách<br />
chính xác. Để khắc phục khó khăn đó chúng ta không<br />
cần kẻ thêm hình mà sử dụng tính khoảng cách qua<br />
thể tích.<br />
Thuận lợi với bài toán này là giả thiết đã gợi ý<br />
cho chúng ta chiều cao của hình chóp là đường thẳng<br />
nối A′ với trung điểm của AB. Do đó ta có thể tính dễ<br />
dàng thể tích hình chóp A′ .ABC. Nên ta phải chọn<br />
hình chóp B.A′ AC để tính khoảng cách từ B đến<br />
(A′ C ′ CA) mà (A′ AC) là một phần mặt phẳng của<br />
(A′ C ′ CA).<br />
- Ta có d (B; (ACC ′ A′ )) = d (B; (ACA′ ))<br />
- Gọi H là trung điểm của AB. Theo giả thiết A′ H⊥ (ABC). Chọn khối chóp B.ACA′<br />
3VB.ACA′<br />
khi đó d (B; (ACA′ )) = . Cũng với khối chóp trên nhưng ta chọn A′ là đỉnh khi đó<br />
S∆ACA′<br />
1<br />
VA′ .ABC = A′ H.S∆ABC .<br />
3 √ √<br />
a 3 1 a2 3<br />
- Ta có ∆ABC là tam giác đều cạnh a nên CH = và S∆ABC = CH.AB =<br />
2 2 4<br />
A ′H 3a<br />
- Trong tam giác vuông A′ HC có tan A \ ′ CH = ⇒ A′ H = CH. tan 600 =<br />
CH 2<br />
<br />
<br />
22<br />
Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...<br />
<br />
√ √<br />
1 3a a2 3 a3 3<br />
- Vậy VA′ .ABC = . = .<br />
3 2 4 8<br />
1 b<br />
Đến đây ta sẽ tính diện tích tam giác ACA′ qua công thức S∆ACA′ = AA′ .AC sin A.<br />
2<br />
Muốn vậy ta phải biết độ dài các cạnh của tam giác. Việc tính độ dài các cạnh của tam giác hoàn<br />
toàn dựa vào các tam giác vuông nên rất dễ dàng. Sau đó muốn tính sin A b thì ta vận dụng định lí<br />
b<br />
cosin trong tam giác để tính cos A.<br />
s √<br />
√ 3a 2 a 2 a 10<br />
Ta có AC = a; AA = A H + AH =<br />
′ ′ 2 2 + =<br />
2 2 2<br />
v !<br />
u 2 √ 2<br />
√ u 3a a 3 √<br />
′ 2<br />
A C = A H + CH =<br />
′ 2 t + =a 3<br />
2 2<br />
Trong tam giác ACA′ có<br />
√ !2<br />
a 10 √ 2<br />
+ a2 − a 3<br />
′ 2 2 ′ 2 2<br />
cos Ab = A A + AC − A C = √ = √<br />
1<br />
2A′ A.AC a 10 2 10<br />
2. .a<br />
s 2<br />
p 2 r √ r<br />
b 2 b 1 39 1 a 10 39<br />
⇒ sin A = 1 − cos A = 1 − √ = ⇒ S∆ACA′ = . .a. =<br />
2 10 40 2 2 40<br />
√<br />
a2 39<br />
8 √<br />
a3 3 √<br />
3. 3a 13<br />
Vậy d (B; (ACA )) = 2 √<br />
′ 8 = .<br />
a 39 13<br />
8<br />
Bài toán 3. (Trích đề thi thử môn Toán THPT<br />
quốc gia 2015, Trường THPT Chuyên Đại học Sư<br />
phạm Hà Nội)<br />
Cho lăng trụ đứng ABCD.A′ B ′ C ′ D ′ , có đáy<br />
ABCD là hình thoi cạnh a với góc BAD [ = 600 . Gọi<br />
O, O1 lần lượt là tâm của hai đáy, OO1 = 2a. Gọi S<br />
là trung điểm của OO1 . Tính khoảng cách từ điểm O<br />
đến mặt phẳng (SAB).<br />
Hướng dẫn tìm lời giải bài toán.<br />
Trong thực tế, có khá nhiều HS nhầm khi dựng<br />
hình chiếu của O trên (SAB) dù đã được hướng dẫn<br />
rất kĩ là phải vận dụng cho đúng định lí 4. Tuy nhiên,<br />
vẫn có nhiều HS dựng hình như sau: Nối O với trung<br />
điểm H của AB, sau đó kẻ OK⊥SH và coi OK là<br />
khoảng cách cần tìm (!).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
23<br />
Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định<br />
<br />
<br />
Sử dụng PP tính khoảng cách thông qua thể tích sẽ hạn chế những sai lầm đó cho các HS.<br />
Ở bài toán này, giả thiết cũng khá thuận lợi cho HS thấy chọn hình chóp S.OAB là hình<br />
chóp cần sử dụng vào việc tính khoảng cách từ O đến (SAB).<br />
Có SO = a, AB = AD = a; BAD [ = 600 ⇒ ∆BAD là tam giác đều nên<br />
√ √ √<br />
a 3 a 1 a2 3 1 a3 3<br />
AO = ; BO = ⇒ S∆BAO = OA.OB = ⇒ VS.ABO = SO.S∆BAO =<br />
2 2 2 8 3 v 24<br />
r √ u √ !2<br />
√ a 2 a 5 √ u a 3<br />
SB = SO 2 + OB 2 = a2 + = ;SA = SO 2 + OA2 = ta2 + =<br />
2 2 2<br />
√ !2 √ !2<br />
a 5 2 a 7<br />
√ +a −<br />
a 7 SB 2 + AB 2 − SA2 2 2 1<br />
[ =<br />
⇒ cos ABS = √ = √ ⇒<br />
2 2SB.AB a 5 2 5<br />
2.a.<br />
s 2<br />
2 √ √<br />
2 19<br />
[ = 1 19 1 [ = a<br />
sin ABS 1− √ = √ ⇒ S∆SAB = AB.SB. sin SBA ⇒<br />
2 5 2 5 2 8<br />
√<br />
a3 3 √<br />
3VS.ABO 3. a 57<br />
d (O; (SAB)) = = 2√ 24 = .<br />
S∆SAB a 19 19<br />
8<br />
Với đường lối giải bài toán như trên, HS sẽ có thể giải được nhiều bài toán hơn và khắc phục<br />
được khó khăn khi phải vẽ thêm các đường phụ khác. Cũng với cách giải này ta vận dụng vào tính<br />
khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng cũng sẽ thuận lợi<br />
hơn cho HS.<br />
Bài toán 4.<br />
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu<br />
vuông góc C ′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O. Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng<br />
CC ′ bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ACC ′ A′ ) và (BCC ′ B ′ ) bằng 60◦ . Tính khoảng cách giữa<br />
hai đường thẳng CC ′ và OB ′ .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
24<br />
Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...<br />
<br />
<br />
Hướng dẫn giải bài toán.<br />
Từ tâm O kẻ đường thẳng KM song song AB, khi đó O là trung điểm của KM . Vì ∆ABC<br />
đều nên CO⊥AB ⇒ CO⊥KM, C ′ O là đường cao nên C ′ O⊥KM , do đó(KM ⊥ (CC ′ O) ⇒<br />
C ′ C⊥HM<br />
KM ⊥C ′ C. Gọi H là hình chiếu của O trên C ′ C. Nên C ′ C⊥ (HKM ) ⇒ suy<br />
C ′ C⊥HK<br />
ra góc giữa (ACC ′ A′ ) và (BCC ′ B ′ ) là góc giữa HK và HM .<br />
\ = 600 ta có suy ra ∆KHM đều. Mà ∆KCM cũng có C<br />
Nếu KHM b = 600 nên cũng là<br />
tam giác đều. Do đó HO = CO. Mà tam giác ∆COH vuông, suy ra vô lí. Vậy góc KHM \ =<br />
120 .0<br />
<br />
Vì KM ⊥ (CC ′ O) ⇒ KM ⊥HO; O là trung điểm của KM do vậy HO vừa là trung tuyến<br />
vừa là đường cao nên ∆KHM là tam giác cân.<br />
√ 3 √<br />
Suy ra KM = 2KO = 2HO. tan 600 = 2a 3 ⇒ AB = KM = 3a 3 ⇒ CI =<br />
√ 2<br />
AB 3 9a<br />
= .<br />
2 2 √<br />
1 27a2 3 2<br />
Do đó S∆ABC = CI.AB = , CO = CI = 3a, tam giác COC ′ vuông nên<br />
2 √ 4 3<br />
1 1 1 3a 2<br />
= + ⇒ C ′O = .<br />
OH 2 CO 2 C ′ O2 4<br />
- Ta có CC ′ //BB ′ ⇒ CC ′ // (OBB ′ ) nên d (CC ′ ; OB ′ ) = d (CC ′ ; (OBB ′ )) =<br />
d (C; (OBB ′ ))<br />
3VC.OBB ′<br />
- Xét hình chóp C.OBB ′ có d (C; (OBB ′ )) =<br />
SOBB ′<br />
- Mặt khác VC.OBB = VB .OBC ,vì (A B C ′ ) // (ABC) nên d (B ′ ; (BCO)) =<br />
′ ′<br />
′ ′<br />
<br />
d (C ; (BCO)) = C ′ O<br />
′<br />
√<br />
1 1 1 9a2 3 1<br />
S∆CBO = S∆ABC = . CI.AB = ⇒ VB ′ .OBC = C ′ O.SOBC =<br />
√ 3 √ 3 2 4 3<br />
9a3 6 9a3 6<br />
⇒ VC.OBC ′ =<br />
16 16<br />
- Tính diện tích tam giác BB ′ O:<br />
√<br />
√ 9a 2<br />
Ta có BB = CC = CO + C O =<br />
′ ′ 2 ′ 2 ;BO = CO = 3a; tam giác OB ′ C ′<br />
√ 4<br />
p 3a 5<br />
vuông tại C’ nên OB ′ = C ′ O2 + C ′ B ′ 2 = . Vận dụng định lí cosin trong tam giác OBB’<br />
2 √ √<br />
\ BO2 + BB ′ 2 − B ′ O2 5 2 \ 31<br />
ta được cos OBB = ′ = ⇒ sin OBB = ′ ⇒ S∆OBB ′ =<br />
2BO.B B ′ 9 9 √<br />
√ √ √ 9a3 6<br />
1 2 3<br />
\′ = 1 .3a. 9a 2 . 31 = 3a 62 ⇒ d (C; (OBB ′ )) =<br />
BO.BB ′ . sin OBB 16<br />
√ =<br />
2 2 4 9 8 2<br />
3a 62<br />
√ √ 8<br />
9a 3 9a 3<br />
√ . Vậy d (CC ′ ; OB ′ ) = √ .<br />
2 31 2 31<br />
Nhận xét<br />
PP tính khoảng cách một điểm đến một mặt phẳng thông qua thể tích hình chóp đã giúp<br />
<br />
25<br />
Nguyễn Anh Tuấn, Lại Văn Định<br />
<br />
<br />
cho HS khắc phục được một số khó khăn thường gặp, bởi lẽ các em không cần phải xác định hình<br />
chiếu của điểm đó trên mặt phẳng. Mặt khác, HS có thể tính được diện tích tam giác nhờ vận dụng<br />
định lí cosin mà không cần phải xác định tam giác có dạng như thế nào.<br />
Hạn chế của PP này là lời giải trình bày có phần dài dòng, nhưng ưu điểm quan trọng là<br />
giúp HS giải được nhiều bài toán khó liên quan đến khoảng cách trong không gian.<br />
Bài tập tương tự (dành cho HS tự luyện tập ở nhà)<br />
Bài toán 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là<br />
trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC,<br />
mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc 60◦ . Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB)<br />
theo a.<br />
Bài toán 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =<br />
a, AA = 2a, A′ C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′ C ′ , I là giao điểm của AM và<br />
′<br />
<br />
A′ C. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).<br />
√ Bài toán 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC =<br />
2a 2. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng<br />
SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60◦ . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).<br />
Bài toán 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, √ BD = 2a ; tam giác<br />
SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = a 3. Tính khoảng cách từ<br />
điểm B đến mặt phẳng (SAD) theo a.<br />
Bài toán 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A′ B ′ C ′ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a,<br />
\ = 1200 . Mặt phẳng (AB ′ C ′ ) tạo với đáy góc 60◦ . Gọi M là trung điểm của BC. Tính<br />
BAC<br />
khoảng cách từ điểm C ′ đến mặt phẳng (AM B ′ ) theo a.<br />
Bài toán 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = a và BC = 2a ,<br />
mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc<br />
2a<br />
bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng √ . Tính khoảng cách giữa<br />
6<br />
hai đường thẳng SC và BD.<br />
<br />
3. Kết luận<br />
Tiếp cận bài toán tính khoảng cách bằng PP "thể tích", chúng tôi đã xây dựng một quy trình<br />
bốn bước dạy học giải bài toán từ một điểm đến mặt phẳng, vận dụng đối với một số bài toán hình<br />
học không gian trong các kì thi quốc gia bậc THPT.<br />
Những kết quả nghiên cứu trên đây đã giúp cho HS THPT khắc phục được những khó khăn<br />
thường gặp, rèn luyện cho các em không chỉ kĩ năng giải loại bài toán này mà còn phát triển tư duy<br />
sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề thông qua nội dung Hình học không gian trong môn Toán ở<br />
trường phổ thông.<br />
<br />
<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
<br />
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2011; 2012; 2013; 2014). Đề thi tuyển sinh đại học môn Toán.<br />
[2] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, 2008. Hình học 11. Nxb Giáo Dục.<br />
[3] Phan Huy Khải, 2012. Hình học không gian. Nxb Giáo Dục.<br />
[4] Nguyễn Bá Kim, 2015. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm.<br />
[5] Cao Thị Thanh Lê, 2012. Từ một bài toán tính khoảng cách trong sách giáo khoa hình học<br />
11. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, số 416, tr. 5-7.<br />
<br />
26<br />
Dạy học giải bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp "thể tích"...<br />
<br />
<br />
[6] Bùi Văn Nghị, 2008. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học<br />
Sư phạm.<br />
[7] Hoàng Đức Nguyên, 2009. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vuông. Tạp chí Toán<br />
học tuổi trẻ, số 384, tr. 4-5.<br />
[8] Nguyễn Minh Nhiên, 2009. Phương pháp tính thể tích khối đa diện. Tạp chí Toán học tuổi<br />
trẻ, số 387, tr. 7-10.<br />
[9] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, 2006. Hình học 10. Nxb Giáo Dục.<br />
[10] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, 2008. Hình học 12. Nxb Giáo Dục.<br />
[11] Đỗ Thanh Sơn, 2007. Phương pháp xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuồng<br />
một mặt phẳng. Tạp chí Toán học tuổi trẻ, số 356, tr. 7-8.<br />
[12] Đào Tam, Trương Thị Dung, 2013. Tạo nhu cầu bên trong và cơ hội để học sinh phát hiện<br />
các kiến thức mới. Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol. 58, No.4, trang<br />
3-10.<br />
[13] Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức, 2001. Phân loại và PP giải toán<br />
hình học không gian. Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.<br />
[14] Bùi Quang Trường, 2005. Những dạng toán điển hình trong các kì thi đại học và cao đẳng.<br />
Nxb Hà Nội.<br />
[15] http://www.Mathvn.com<br />
<br />
ABSTRACT<br />
<br />
Teaching the problem of finding the distance from a point to a plane by means of "volume"<br />
for high school students<br />
<br />
This paper presents research on teaching problem solving to find the distance from a point<br />
to a plane by the indirect method through the volume of the frustum.<br />
The author has solved the problem by understanding the difficulties of high school students<br />
to find the distance from one point to the plane; developing procedures and teaching methods<br />
to train the skill for solving this kind of problem by means of "volume" for students. The study<br />
results demonstrated in measures and specific examples in order to teach the problem of finding<br />
the distance from a point to a plane in space.<br />
Keywords: Teaching solve puzzles to find the distance, the method of "volume " .<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
27<br />