Đề tài môn điều khiển tối ưu: Biến đổi LaPlace

Chia sẻ: Văn Hiệp | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trường đại học bách khoa hà nội viện toán ứng dụng và tin học Môn điều khiển tối ưu Biến đổi LaPlace Sinh viên thực hiện: Giáp Văn Hiệp, Trần ngọc duyệt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài môn điều khiển tối ưu: Biến đổi LaPlace

TRƯ NG Đ I H C BÁCH KHOA HÀ N I VI N TOÁN NG D NG VÀ TIN H C ------------------------- BI N Đ I LAPLACE Môn: Đi u khi n t i ưu Sinh viên th c hi n: GIÁP VĂN HI P 20091069 TR N NG C DUY T 20090497 Hà N i - 2013
Đi u khi n t i ưu Table Laplace Transform Pais f (t) F (s) STT 1 Unit impluse δ (t) 1 1 2 Unit step 1(t) s 1 3 t s2 tn−1 1 4 (n = 1, 2, . . .) sn (n−1)! n! tn (n = 1, 2, . . .) 5 sn+1 e−at 1 6 s+a te−at 1 7 (s+a)2 n−1 −at 1 1 8 (n−1)! t e (n = 1, 2, . . .) (s+a)n tn e−at (n = 1, 2, . . .) n! 9 (s+a)n+1 ω 10 sin ωt s2 +ω 2 s 11 cos ωt s2 +ω 2 ω 12 sinh ωt s2 −ω 2 s 13 coth ωt s2 −ω 2 −at 1 1 a (1 − e 14 ) s(s+a) −at − e−bt ) 1 1 15 b−a (e (s+a)(s+b) −bt − ae−at ) 1 s 16 b−a (be (s+a)(s+b) −at − ae−bt ) 1 1 1 17 ab 1 + a+b (be s(s+a)(s+b) −at − ate−at ) 1 1 a2 (1 − e 18 s(s+a)2 −at 1 1 a2 (at − 1 + e 19 ) s2 (s+a) e−at sin ωt ω 20 (s+a)2 +ω 2 e−at cos ωt s+a 21 (s+a)2 +ω 2 2 ωn √ωn 2 e−ξωn t sin ωn 1 − ξ 2 t 22 2 +2ξω s+ω 2 s 1−ξ n n e−ξωn t sin ωn 1 − ξ 2 t − φ −√ 1 1−ξ 2 s √2 23 s2 +2ξωn s+ωn 2 1−ξ φ = arctan ξ e−ξωn t sin ωn 1 − ξ 2 t + φ 1− √1 2 1−ξ 2 ωn √2 24 2 +2ξω s+ω 2 ) s(s 1−ξ n n φ = arctan ξ ω2 1 − cos ωt 25 s(s2 +ω 2 ) ω3 ωt − sin ωt 26 2 (s2 +ω 2 ) s 2ω 3 sin ωt − ωt cos ωt 27 2 +ω 2 )2 (s 1 s 28 2ω t sin ωt (s2 +ω 2 )2 2
Đi u khi n t i ưu f (x) F (s) STT s2 −ω 2 29 t cos ωt (s2 +ω 2 )2 1 s 2 2 (cos ω1 t − cos ω2 t) (ω1 = ω2 ) 30 ω 2 −ω 2 2 2 (s2 +ω1 )(s2 +ω2 ) 2 1 2 1 s 31 2ω (sin ωt + ωt cos ωt) (s2 +ω 2 )2 Ch ng minh các công th c b ng trên: 1. L {δ (t)} = 1. Ch ng minh. Hàm Unit impluse δ (t): +∞ n u x = 0 δ (t) = 0 n ux=0 +∞ δ (t)dt = 1. Khi đó và th a mãn −∞ 0+ ∞ 0+ δ (t)e−st dt = δ (t)e−st dt = L {δ (t)} = δ (t)dt = 1 0− 0− 0− 2. 1 L {u(t)} = . s Ch ng minh. Ta có f (t)=Unit step u(t) n ut≥0 1 u(t) = 0 n ut 0) s t→∞ 3
Đi u khi n t i ưu 3. 1 L {t} = s2 Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ f (t)e−st dt = te−st dt = − 1 td(e−st ) L {t} = s 0 0 0 ∞ (2) lim (te−st ) − 0 − e−st dt = − 1 0 − −1 1 1 = s2 s s s t→∞ 0 (do lim te−st = lim eln t e−st = lim eln t−st = 0, s > 0) t→∞ t→∞ t→∞ 4. t n −1 1 L = , n = 1, 2, . . . sn (n − 1)! Ch ng minh. Ta có • V i n=1,2 thì đ ng th c trên đúng. • Gi s đ ng th c trên đúng v i n = k , t c là t k −1 1 L (∗) = sk (k − 1)! • Ta s ch ng minh đ ng th c trên đúng v i n = k + 1, t c là tk 1 L = sk+1 k! Th t v y, ta có ∞ ∞ tk tk −st tk −st −1 L = k! e dt = k ! d(e ) k! s 0 0 ∞ ∞ (∗) k −1 k tk −st t −st −st = −1 t = −1 1 − −0 − k! e (k −1)! e dt lim e sk s s t→∞ k ! 0 0 Ta có tk −st 1 1 1 lim tk e−st = lim ek ln|t| e−st = lim ek ln t−st = 0 lim e = t→∞ k ! k ! t→∞ k ! t→∞ k ! t→∞ v is>0 T đó tk 1 1 1 L = − 0 − k = k+1 k! s s s 4
Đi u khi n t i ưu 5. n! L {tn } = n = 1, 2, . . . sn+1 Ch ng minh. Ta có hàm Gama đư c đ nh nghĩa như sau: ∞ e−x xn−1 dx v i n > 0 Γ(n) = 0 và công th c truy h i Γ(n) = (n − 1)! Khi đó ∞ tn e−st dt L {tn } = 0 Đ t u = st ⇒ t = u , dt = du s, suy ra s ∞ 1 Γ(n + 1) n! e−u un du = L {tn } = = n+1 , s>0 sn+1 sn+1 s 0 6. 1 L e−at = s+a Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ L {e−at } = e−at e−st dt = e−(s+a)t dt = − s+a d(e−(s+a)t ) 1 0 0 0 −(s+a)t 1 1 − s+a −1 = s > −a = lim e s+a , t→∞ 7. 1 L te−at = (s + a)2 5
Đi u khi n t i ưu Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ −at −at st −(s+a)t td e−(s+a)t 1 L {te }= − s+a te e dt = te dt = 0 0 0 ∞ (6) lim te−(s+a)t − 0 − e−(s+a)t dt = − s+a 0 − 1 1 1 = − s+a s+a t→∞ 0 1 = 2 (s+a) (do lim te−(s+a)t = lim eln t−(s+a)t = 0, s > −a) t→∞ t→∞ 8. 1 1 tn−1 e−at L = n = 1, 2, . . . (s + 1)n (n − 1)! Ch ng minh. Ta có • n = 2 thì đ ng th c trên đúng. • Gi s đúng v i n = k 1 1 tk−1 e−at L (∗∗) = (s + 1)k (k − 1)! • Ta s ch ng minh đúng v i n = k + 1, t c là 1 k −at 1 L te = (s + 1)k+1 k! Th t v y ∞ ∞ 1 k −at 1 k −at −st tk e−(s+a)t dt 1 L k! t e = k! t e e dt = k! 0 0 ∞ tk d(e−(s+a)t ) 11 = − k! s+a 0 ∞ lim tk e−(s+a)t − 0 − ktk−1 e−(s+a)t dt 11 = − k! s+a t→∞ 0 ∞ tk−1 − s+a 0 − (k−1)! e−(s+a)t dt 1 0 (∗∗) 1 1 1 = − (s+a) 0 − (s+a)k = (s+a)k+1 (do lim tk e−(s+a)t = lim eln t−(s+a)t = 0, s > −a) t→∞ t→∞ 6
Đi u khi n t i ưu 9. n! L tn e−at = n = 1, 2, . . . (s + a)n+1 Ch ng minh. Ta có • n = 1, đúng. • Gi s đúng v i n = k , k! L tk e−at = (∗ ∗ ∗) (s + a)k+1 • Ta s ch ng minh đúng v i n = k + 1, t c là (k + 1)! L tk+1 e−at = (s + a)k+2 Th t v y ∞ ∞ k +1 −at k +1 −at −st tk+1 d(e−(s+a)t ) 1 Lt − s+a e = t e e dt = 0 0 ∞ = − s+a lim tk+1 e−(s+a)t − 0 − (k + 1)tk e−(s+a)t dt 1 t→∞ 0 ∞ (∗∗∗) tk e−st e−st dt 1 1 k! = − s+a 0 − = − s+a 0 − (k + 1) k+1 (s+a) 0 (k +1)! = k+2 (s+a) (do lim tk+1 e−(s+a)t = lim e(k+1) ln t−(s+a)t = 0, s > −a) t→∞ t→∞ 10. ω L {sin ωt} = s2 + ω 2 Ch ng minh. Ta có eiωt − e−iωt sin ωt = 2i 7
Đi u khi n t i ưu T đó ∞ ∞ ∞ eiωt −e−iωt −st e−(s−iω)t dt − e−(s+iω)t dt 1 L {sin ωt} = e dt = 2i 2i 0 0 0 (6) 1 1 1 ω − = 2i = s>0 s2 +ω 2 s−iω s+iω Cách khác : Ta có ∞ e−st sin ωtdt = I L {sin ωt} = 0 ∞ ∞ ∞ sin ωtd(e−st ) = − 1 e−st sin ωt|0 − ω e−st cos ωtdt I = −1 s s 0 0 ∞ ∞ e−st sin ωt|0 cos ωtd(e−st ) = −1 ω − s s 0 ∞ ∞ ∞ −st −st sin ωtd(e−st ) −1 ω sin ωt|0 − cos ωt|0 = e e +ω s s 0 ∞ ∞ −st −st −1 ω sin ωt|0 − e cos ωt|0 + ωI = e s s e−st s sin ωt)|∞ = s2 +ω2 , ω ⇒ I = s2 +ω2 (ω cos ωt − s>0 0 11. s L {cos ωt} = s2 + ω2 Ch ng minh. Ta có eiωt + e−iωt cos ωt = 2 Khi đó ∞ ∞ ∞ eiωt +e−iωt −st −(s−iω )t e−(s+iω)t dt 1 L {cos ωt} = e dt = e dt + 2 2 0 0 0 (6) 1 1 1 s = 2i + = s2 +ω 2 , s>0 s−iω s+iω Cách khác: Ta có ∞ e−st sin ωtdt = J L {sin ωt} = 0 8
Đi u khi n t i ưu ∞ ∞ ∞ −st −st e−st sin ωtdt −1 −1 cos ωt|0 J= cos ωtd(e )= e +ω s s 0 0 ∞ ∞ e−st cos ωt|0 sin ωtd(e−st ) = −1 ω − s s 0 ∞ ∞ ∞ e−st cos ωt|0 e−st sin ωt|0 − ω e−st cos ωtdt = −1 ω − s s 0 ∞ ∞ = − 1 e−st cos ωt|0 − ω e−st sin ωt|0 − ωJ s s e−st ⇒ J = s2 +ω2 (ω sin ωt − s cos ωt)|∞ = s2 +ω2 , s s>0 0 12. ω L {sinh ωt} = s2 − ω 2 Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ eωt −e−ωt −st −(s−ω )t e−(s+ω)t dt 1 L {sinh ωt} = dt − e dt = e 2 2 0 0 0 (6) 1 1 1 ω − s > |ω | =2 = s2 −ω 2 s−ω s+ω 13. s L {cosh ωt} = s2 − ω 2 Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ eωt +e−ωt −st −(s−ω )t e−(s+ω)t dt 1 L {cosh ωt} = e dt = e dt + 2 2 0 0 0 (6) 1 1 1 s =2 s > |ω | + = s2 −ω 2 s−ω s+ω 14. 1 1 (1 − e−at ) L = a s(s + a) 9
Đi u khi n t i ưu Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ −at −at −st −st e−(s+a)t dt 1 1 1 L −e −e dt − a (1 )= a (1 )e dt = e a 0 0 0 (2),(6) 1 1 1 1 − s > max {0, −a} =a = s(s+a) , s s+a 15. 1 1 (e−at − e−bt ) L = b−a (s + a)(s + b) Ch ng minh. Ta có ∞ −at − e−bt ) = −at − e−bt )e−st dt 1 1 L b−a (e b−a (e 0 ∞ ∞ (6) e−(s+a)t dt − e−(s+a)t dt = b−a 1 1 1 1 − = b−a s+a s+b 0 0 1 s > max {−a, −b} = (s+a)(s+b) , 16. 1 s (be−bt − ae−at ) L = b−a (s + a)(s + b) Ch ng minh. Ta có ∞ −bt − ae−at ) = −bt − ae−at )e−st dt 1 1 L b−a (be b−a (be 0 ∞ ∞ (6) e−(s+b)t dt − a e−(s+a)t dt = b−a 1 1 b a − = b b−a s+b s+a 0 0 s s > max {−a, −b} = (s+a)(s+b) , 17. 1 1 1 (be−at − ae−bt ) L 1+ = b−a ab s(s + a)(s + b) 10
Đi u khi n t i ưu Ch ng minh. Ta có ∞ −at −bt −at − ae−bt ) e−st dt 1 1 1 1 L − ae 1+ b−a (be ) = 1+ b−a (be ab ab 0 ∞ ∞ ∞ −st −(s+a)t e−(s+b)t dt 1 1 dt − a = e dt + b e ab(b−a) ab 0 0 0 11 1 b a 1 − s > max {0, −a, −b} = ab s + ab(b−a) = s(s+a)(s+b) , s+a s+b 18. 1 1 (1 − e−at − ate−at ) L = s(s + a)2 2 a Ch ng minh. Ta có ∞ − e−at − ate−at ) = − e−at − ate−at )e−st dt 1 1 L a2 (1 a2 (1 0 ∞ ∞ ∞ −st −(s+a)t te−(s+a)t dt 1 1 1 dt − dt − = e e a2 a2 a 0 0 0 (1),(6),(7) 1 1 11 1 1 − − = a2 s a (s+a)2 a2 s+a 1 s > max {0, −a} = s(s+a)2 , 19. 1 1 (at − 1 + e−at ) L = 2 s2 (s + a) a Ch ng minh. Ta có ∞ − 1 + e−at ) = − 1 + e−at )e−st dt 1 1 L a2 (at a2 (at 0 ∞ ∞ ∞ −st −st e−(s+a)t dt 1 1 1 dt − = te e dt + a2 a2 a 0 0 0 (2),(3),(6) 1 1 − a2 1 + a2 s+a 1 11 = a s2 s 1 s > max {0, −a} = s2 (s+a) , 11
Đi u khi n t i ưu 20. ω L e−at cos ωt = (s + a)2 + ω 2 Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ L e−at cos ωt = e−st e−at cos ωtdt = e−(s+a)t cos ωtdt = I 0 0 ∞ sin ωtd(e−(s+a)t ) 1 I = − s+a 0 ∞ ∞ = − s+a e−(s+a)t sin ωt e−(s+a)t cos ωtdt 1 −ω 0 0 ∞ ∞ = − s+a e−(s+a)t sin ωt cos ωtd(e−(s+a)t ) 1 ω − s+a 0 0 ∞ ∞ ∞ −(s+a)t −(s+a)t cos ωt 0 + ω sin ωtd(e−(s+a)t ) 1 ω − s+a − s+a = e sin ωt e 0 0 ∞ ∞ = − s+a e−(s+a)t sin ωt −(s+a)t 1 ω − s+a e cos ωt 0 + ωI 0 −st + a) sin ωt)|∞ = (s+aω2 +ω2 , s > max{0, −a} ⇒ I = (s+e )2 +ω2 (ω cos ωt − (s 0 a ) 21. s+a L e−at sin ωt = (s + a)2 + ω 2 Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ L e−at cos ωt = e−st e−at cos ωtdt = e−(s+a)t cos ωtdt = J 0 0 12
Đi u khi n t i ưu ∞ cos ωtd(e−(s+a)t ) 1 J = − s+a 0 ∞ ∞ = − s+a e−(s+a)t cos ωt e−(s+a)t sin ωtdt 1 +ω 0 0 ∞ ∞ −(s+a)t sin ωtd(e−(s+a)t ) 1 ω − s+a − = e cos ωt s+a 0 0 ∞ ∞ ∞ −(s+a)t −(s+a)t sin ωt 0 − ω cos ωtd(e−(s+a)t ) 1 ω − s+a − s+a = e cos ωt e 0 0 ∞ ∞ = − s+a e−(s+a)t cos ωt −(s+a)t 1 ω − s+a sin ωt 0 − ωJ e 0 −(s+a)t a) cos ωt)|∞ = (s+s+2a ω2 , s > max{0, −a} ⇒ J = (se a)2 +ω2 (ω sin ωt − (s + 0 + a) + 22. 2 ωn ωn −ξωn t ξ 2t L 1− e sin ωn =2 2 s + 2ξωn s + ωn 1 − ξ2 Ch ng minh. Ta có √ωn 2 e−ξωn t sin ωn 1 − ξ 2t L 1−ξ ∞ e−st √ωn 2 e−ξωn t sin ωn 1 − ξ 2 tdt = 1−ξ 0 ∞ = √ωn −(s+ξωn )t 1 − ξ 2 tdt e sin ωn 1−ξ 2 0 √ωn 2 I = 1−ξ Ta s tính I . ∞ ∞ e−(s+ξωn )t −(s+ξωn )t ξ 2 tdt 1 − ξ 2 td 1− I= e sin ωn = sin ωn −s−ξωn 0 0 ∞ −(s+ξωn )t 1 − ξ 2 t e−s−ξωn = sin ωn 0 ∞ −(s+ξωn )t e 1 − ξ 2 cos ωn 1 − ξ 2 tdt − ωn −s−ξωn 0 √ ∞ ωn 1−ξ 2 −(s+ξω )t n ξ 2 t e−s−ξωn = − −s−ξωn cos ωn 1− 0 ∞ −(s+ξωn )t + e−s−ξωn ωn 1 − ξ 2 sinωn 1 − ξ 2 tdt 0 13
Đi u khi n t i ưu √ √ ωn 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 − −s−ξωn = 1+ −s−ξωn I T đó √ ωn 1−ξ 2 ωn 1 − ξ 2 −s−ξωn ⇒I=− =2 √ 2 2 s + 2ξωn s + ωn ωn 1−ξ 2 1+ −s−ξωn Do đó L √ωn 2 eξωn t sin ωn −ξ 2 tdt = √ωn 2 I 1−ξ 1−ξ 2 ωn = 2 +2ξω s+ω 2 s n n 23. e−ξωn t sin ωn L −√ 1 1 − ξ 2t − Φ 1−ξ 2 s = s2 +2ξωn s+ωn 2 √ 1−ξ 2 v i Φ = arctan ξ Ch ng minh. Ta có e−ξωn t sin ωn L −√ 1 1 − ξ 2t − Φ 1−ξ 2 ∞ e−ξωn t sin ωn e−st dt = −√ 1 1 − ξ 2t − Φ 1−ξ 2 0 −√ 1 2 J = 1−ξ 14
Đi u khi n t i ưu ∞ e−ξωn t sin ωn e−st dt 1 − ξ 2t − Φ J= 0 ∞ e−(s+ξωn )t 1 − ξ 2t − Φ d = sin ωn s+ξωn 0 ∞ −(s+ξωn )t = e s+ξωn sin ωn 1 − ξ 2 t − Φ + √ 2∞ 0 ωn 1−ξ −(s+ξωn )t cos ωn 1 − ξ 2 t − Φ d e s+ξωn s+ξωn 0√ ∞ ωn 1−ξ 2 e−(s+ξωn )t 2 s+ξωn cos ωn 1 − ξ t − = A + s+ξωn Φ √ 0 ∞ ωn 1−ξ 2 e−(s+ξωn )t sin ωn 1 − ξ 2 t − Φ − s+ξωn dt 0 √ √ ωn 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 = A + s+ξωn B − s+ξωn J m t khác ∞ e−(s+ξωn )t sin(−Φ) − sin(Φ) ξ 2t 1− −Φ = 0− A= sin ωn = −s − ξωn −s − ξωn s + ξωn 0 D a vào hình trên ta th y ngay Φ = ACB Do đó √2 1−ξ ξ AB sin(Φ) = BC = ξ 1 = 1 − ξ 2 AC cos(Φ) = BC = ξ Khi đó 1 − ξ2 A=− s + ξωn Tương t ∞ e−(s+ξωn )t cos(−Φ) 1 − ξ 2t − Φ =0− B= −s−ξωn cos ωn −s−ξωn 0 cos(Φ) ξ = s+ξωn = s+ξωn 15
Đi u khi n t i ưu Do đó ta có √ √ √ − 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 ξ − J= + s+ξωn J s+ξωn s+ξωn s+ξωn √ −s 1−ξ 2 ⇒J = 2 s2 +2ξωn s+ωn Vy e−ξωn t sin ωn L −√ 1 1 − ξ 2t − Φ 1−ξ 2 √2 −s 1−ξ = −√ 1 J = −√ 1 s2 +2ξωn s+ωn 2 1−ξ 2 1−ξ 2 s = s2 +2ξωn s+ωn 2 24. e−ξωn t sin ωn L 1− √1 1 − ξ 2t + Φ 1−ξ 2 2 ωn = s(s2 +2ξωn s+ωn )√ 2 1−ξ 2 v i Φ = arctan ξ Ch ng minh. Ta có e−ξωn t sin ωn L 1− √1 1 − ξ 2t + Φ 1−ξ 2 ∞ e−ξωn t sin ωn e−st dt 1− √1 1 − ξ 2t + Φ = 1−ξ 2 0 ∞ ∞ −st e−(s+ξωn )t sin ωn dt − √ 1 1 − ξ 2 t + Φ dt = e 1−ξ 2 0 0 Theo (2) ta có ∞ 1 e−st dt = s 0 Ta c n ph i tính ∞ e−(s+ξωn )t sin ωn 1 − ξ 2 t + Φ dt K= 0 16
Đi u khi n t i ưu Ta có ∞ e−(s+ξωn )t 1 − ξ 2t + Φ d K= sin ωn −s−ξωn 0 ∞ e−(s+ξωn )t = −s−ξωn sin ωn 1 − ξ 2 t + Φ + √ 2∞ 0 ωn 1−ξ −(s+ξωn )t cos ωn 1 − ξ 2 t + Φ d e−s−ξωn s+ξωn √ 0 ∞ ωn 1−ξ 2 e−(s+ξωn )t sin(Φ) 2 −s−ξωn cos ωn 1 − ξ t + = s+ξωn + s+ξωn Φ √ 0 ∞ ωn 1−ξ 2 e−(s+ξωn )t sin ωn 1 − ξ 2 t + Φ dt − s+ξωn 0√ √ ωn 1−ξ 2 cos(Φ) ωn 1−ξ 2 sin(Φ) = s+ξωn + s+ξωn s+ξωn − s+ξωn K Theo (23) ta có sin(Φ) = 1 − ξ 2 cos(Φ) = ξ Do đó √ √ ωn 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 sin(Φ) cos(Φ) − K= + s+ξωn K s+ξωn s+ξωn s+ξωn √2 √ √ ωn 1−ξ 2 ωn 1−ξ 2 1−ξ ξ = s+ξωn + s+ξωn s+ξωn − s+ξωn K √ (s+2ξωn ) 1−ξ 2 ⇒ K = s2 +2ξωn s+ω2 n Vy e−ξωn t sin ωn L 1− √1 1 − ξ 2t + Φ 1−ξ 2 √2 (s+2ξωn ) 1−ξ 1 − √1 = s2 +2ξωn s+ωn 2 s 1−ξ 2 2 ωn = 2 +2ξω s+ω 2 ) s(s n n 25. ω2 L {1 − cos ωt} = s(s2 + ω 2 ) 17
Đi u khi n t i ưu Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ −st −st e−st cos ωtdt L {1 − cos ωt} = (1 − cos ωt)e dt − dt = e 0 0 0 (2),(11) 1 2 s ω =s − = s(s2 +ω 2 ) , s>0 s2 +ω 2 26. ω3 L {ωt − sin ωt} = s2 (s2 + ω 2 ) Ch ng minh. Ta có ∞ ∞ ∞ −st −st e−st sin ωtdt L {ωt − sin ωt} = (ωt − sin ωt)e dt − dt = ω te 0 0 0 (3),(10) ω 3 ω ω = s2 − = s2 (s2 +ω 2 ) , s>0 s2 +ω 2 27. 2ω 3 L {sin ωt − ωt cos ωt} = (s2 + ω 2 )2 Ch ng minh. Ta có ∞ e−st (sin ωt − ωt cos ωt)dt L {sin ωt − ωt cos ωt} = 0 ∞ ∞ e−st sin ωt − ω e−st t cos ωtdt = 0 0 (10),(29) 2 2 −ω ω − ω (ss2 +ω2 )2 , = s>0 s2 +ω 2 28. 1 s L t sin ωt = (s2 + ω 2 )2 2ω 18
Đi u khi n t i ưu Ch ng minh. Ta có ∞ 1 1 e−st t sin ωtdt = L {t sin ωt} = I 2ω 2ω 0 ∞ ∞ e−st t sin ωtdt = − 1 t sin ωtd(e−st ) I= s 0 0 ∞ ∞ e−st t sin ωt|0 e−st (sin ωt + ωt cos ωt) dt = −1 − s 0 ∞ (10) ∞ e−st t sin ωt|0 e−st t cos ωtdt −1 ω − −ω = s2 −ω 2 s 0 ∞ ∞ = − 1 e−st t sin ωt|0 − t cos ωtd(e−st ) ω ω + s2 −ω 2 s s 0 ∞ ∞ −st e−st t cos ωt|0 −1 ω ω t sin ωt|0 − = e + s2 −ω 2 s s ∞ e−st (cos ωt − ωt sin ωt) dt − 0 (11) ∞ ∞ = − 1 e−st t sin ωt|0 − e−st t cos ωt|0 ω ω + s2 −ω 2 s s ω2 − ω s2 +ω2 + s sI s ∞ (e−st t sin ωt + e−st t cos ωt)|0 2ωs 1 ⇒I= 2 − s2 (s2 +ω 2 ) 2ωs = 2, s>0 (s2 +ω 2 ) 1 2ωs s L {t sin ωt} = = 2ω (s2 + ω 2 )2 (s2 + ω 2 )2 29. s2 − ω 2 L {t cos ωt} = (s2 + ω 2 )2 Ch ng minh. Ta có ∞ e−st t cos ωtdt = J L {t cos ωt} = 0 19
Đi u khi n t i ưu ∞ ∞ e−st t cos ωtdt = − 1 t cos ωtd(e−st ) J= s 0 0 ∞ e−st t cos ωt|∞ e−st (cos ωt − ωt sin ωt) dt = −1 − 0 s 0 ∞ ∞ t cos ωt|∞ −st −st e−st t sin ωtdt −1 − = e e cos ωt + ω 0 s 0 0 ∞ (11) = − 1 e−st t cos ωt|∞ − t sin ωtd(e−st ) s ω − 0 s2 +ω 2 s s 0 ∞ t cos ωt|∞ −st e−st t sin ωt|0 −1 s ω − − = e 0 s2 +ω 2 s s ∞ e−st (sin ωt + ωt cos ωt) dt − 0 ∞ = − 1 e−st t cos ωt|∞ − e−st t sin ωt|0 s ω s2 +ω 2 − s 0 s ∞ ω2 e−st sin ωt + +ω sJ s 0 (10) ∞ = − 1 e−st t cos ωt|∞ − e−st t sin ωt|0 s ω s2 +ω 2 − s 0 s ω2 + ω s2 +ω2 + ω sJ s e−st t (sin ωt − cos ωt)|∞ s −ω 2 2 ⇒J = 2 + s2 +ω 2 0 (s2 +ω 2 ) s2 −ω 2 = 2 (s2 +ω 2 ) −st (do lim se +ωt2 (sin ωt − cos ωt) = 0) 2 t→0 30. 1 s L 2 (cos ω1 t − cos ω2 t) = 2 2 2 (s2 + ω1 )(s2 + ω2 ) ω2 − ω1 Ch ng minh. Ta có ∞ (cos ω1 t − cos ω2 t) e−st dt 1 1 L (cos ω1 t − cos ω2 t) = 2 2 2 2 ω2 −ω1 ω2 −ω1 0 ∞ ∞ e−st cos ω1 tdt − e−st cos ω2 tdt 1 1 = 2 2 2 2 ω2 −ω1 ω2 −ω1 0 0 (11) 1 s 1 s = ω2 −ω2 s2 +ω2 − ω2 −ω2 s2 +ω2 2 1 1 2 1 2 s 1 1 s = ω2 −ω2 s2 +ω2 − s2 +ω2 = (s2 +ω2 )(s2 +ω2 ) , s>0 2 1 1 2 1 2 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2438 lượt tải

ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn