Đề tài nghiên cứu Khoa học và Công nghệ cấp cơ sở: Phương pháp đại số giải phương trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HCM<br /> KHOA VẬT LÝ<br /> <br /> BÁO CÁO TỔNG KẾT<br /> <br /> Đề tài nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp cơ sở<br /> <br /> PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH<br /> SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO<br /> TRONG TỪ TRƢỜNG VỚI CƢỜNG ĐỘ BẤT KỲ<br /> <br /> Mã số: CS.2004.23.59<br /> Chủ nhiệm đề tài: TSKH. Lê Văn Hoàng<br /> Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, ĐHSP tp.. HCM<br /> Công tác viên: Lê Trần Thế Duy<br /> Khoa Vật lý: ĐHSP tp. HCM<br /> Thời gian thực hiện: tháng 5 năm 2003 đến tháng 5 năm 2004<br /> <br /> 1<br /> <br /> Algebraic method for solving the Schrodinger equation of Hydrogen-like atom<br /> in a magnetic field with arbitrary strength<br /> Abstract: The connection between anharmonic oscillator and two dimensinal hydrogenic donor states in a magnetic field is established via<br /> Levi-Civita transfor mation that permits us to use the operator method for<br /> obtaining exact numerical solutions (energy levels and wave functions) for<br /> the last s ystem. New anal ytical solution is obtained too for the ground stale<br /> by using the asymptotic behaviour of wave functio ns. We also establish the<br /> basis formulations to extend the obtained results both for the case of three<br /> dimensional Hydrogen -like atom in a magnetic field and the case of presence<br /> of screening potential.<br /> Tóm tắt: Bằng phép biến đổi Levi -Civita mối liên hệ gi ữa bài toán<br /> tƣơng tác điện tử l ỗ trống trong từ trƣờng với dao động tử điều hòa đƣợc xây<br /> dựng. Trên cơ sở đó phƣơng pháp toán tử đƣợc áp dụng để nhận đƣợc lời giải<br /> chính xác bằng số (năng lƣợng và hàm sóng) cho bài toán này. Nghiệm giải<br /> tích cũng đƣợc xây dựng cho trạng thái cơ bản dựa vào biểu hiện tiệm cận c ủa<br /> hàm sóng. Ngoài ra chúng tôi còn xây dựng các công thức cơ bản cho việc<br /> phát triển các kết quả thu đƣợc cho trƣờng hợp có thể màn ch ắn và trong<br /> trƣờng hợp nguyên tử Hydro ba chiều trong từ trƣờng.<br /> <br /> 2<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ .................................................................................................... 4<br /> II. TRẠNG THÁI EXCITON NHƢ MÔ HÌNH NGUYÊN TỬ HYDRO ............................ 6<br /> III . PHƢƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER .................. 10<br /> IV. NGHIỆM GIẢI TÍCH.................................................................................................... 18<br /> V. TRƢỜNG HỢP CÓ TÍNH ĐẾN THẾ MÀN CHẮN ..................................................... 21<br /> VI . PHÁT TRIỂN CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BA CHIỀU: ......................................... 22<br /> VII. KẾT LUẬN .................................................................................................................. 23<br /> VIII. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 24<br /> <br /> 3<br /> <br /> I . GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ<br /> Nguyên tử Hydro trong từ trƣờng là vấn đề rất cơ bản trong vật l ý<br /> nguyên tử nói riêng và trong cơ học lƣợng tử nói chung. Trong tất cả các sách<br /> giáo khoa về cơ học lƣợng tử, hiệu ứng Zeeman bình thƣờng hay dị thƣờng đã<br /> đƣợc nêu ra nhƣ một ví dụ kinh điển v ề bài toán chuyển động của điện tử<br /> trong trƣờng Coulomb và từ trƣờng đều [I]. Tuy nhiên các công trình nghiên<br /> cứu về vấn đề này vẫn xuất hiện đều đặn cho đến hiện nay trên các tạp chí vật<br /> lý hàng đầu của thế giới (ví dụ [2-10]). Điều này liên quan đến các phát kiến<br /> mới trong lĩnh vực vật l ý học thiên thể, kỹ thuật đo đạ c quang phổ, vật l ý các<br /> hệ thấp chiều, công nghệ Nano, công nghệ vật liệu mới ... (xem bài tổng quan<br /> [11]).<br /> Các số liệu đo đạ c quang phổ từ các sao lùn trắng [12], nơi mà từ<br /> trƣờng rất lớn, lên đến cờ 10 l0 testla, cần những nghiên cứu lý thuyết về<br /> chuyển động nguyên tử trong từ trƣờng cực mạnh. Việc tạo ra các hệ thấp<br /> chiều trong công nghệ vật liệu mới (khí điện từ hai chiều trong bán dẫn nhiều<br /> lớp GaAs/AIGaAs, ống carbon kích cỡ nano [13 -14]) đòi hỏi giải quyết bài<br /> toán trạng thái kích thích exiton trong trƣờng từ nhƣ một hệ hai chiểu. Đặt<br /> biệt khi mà kích cỡ cấu trúc vật chất ở mức nano thì tƣơng tác Coulomb trở<br /> nên có thể so sánh đƣợc với năng lƣợng từ trƣờng. Lúc này không thể sử dụng<br /> lý thuyết nhiễu loạn truyền thống cho bài toán này đƣợc, mặt dù không ít<br /> công trình vẫn sử dụng gần đúng trong đó trƣờng từ đƣợc xem là rất mạnh so<br /> với tƣơng tác Coulomb (ví dụ[15]). Nhu c ầu về phƣơng pháp tính toán mới<br /> đáp ứng cho bài toán này vì vậy rất lớn. Công trình này có mục đích là xây<br /> dựng phƣơng pháp đ ại số cho các tính toán liên quan đến bài toán nguyên tử<br /> hydro trong từ trƣờng đều với cƣờng độ bất kỳ.<br /> Phƣơng pháp đại số đƣợc xây dựng còn liên quan đến sự phát triển của<br /> các công cụ tính toán dựa trên biểu tƣợng trong thập niên gần đây. Khởi đầu<br /> là ngôn ngữ Reduee đƣợc biên soạn cho các tính toán phức tạp và đồ sộ trong<br /> vật l ý năng lƣợng cao , bƣớc phát triển tiếp theo là Mable và hiện nay, thế hệ<br /> thứ ba là Matlav và đặc biệt là Mathematica [16]. Đây là một trong ngôn ngữ<br /> lập trình bậc cao cho phép ta thiết lập các tính toán giữa các biểu thức, đặt<br /> biệt là các tính toán đồ sộ và lập đi lập lại. Matheinatica cho phép ta đ ịnh<br /> nghĩa các phép toán trên các đối tƣợng không có t ính giao hoán và vì vậy rất<br /> thuận tiện cho việc lập các quy tắc tính toán đại số. Nhƣ vậy ta<br /> <br /> 4<br /> <br /> có thể cho máy tính làm một phần các công việc của nhà nghiên cứu chứ<br /> không đơn thuần là xử l ý các số liệu bằng số cuối cùng. Đề tài cấp cơ sở này<br /> là một phần trong công trình nghiên cứu của tác giả: tự động hóa các tính<br /> toán vật l ý nguyên tử (xem công trình tổng quan mới nhất của tác giả về đề<br /> tài này [17]). Với phạm vi của một đề tài cấp cơ sở, bài toán vật l ý cụ thể<br /> đƣa ra giải quyết là trạng thái Exiton của khí điện tử hai chiều tạo ra trong<br /> hệ bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs với sự có mặt của từ trƣờng đều.<br /> Cơ sở quan trọng của phƣơng pháp đại số sử dụng trong công trình này<br /> là mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử đồng dạng Hydrô hai chiều với bài<br /> toán dao động tử điều hòa [18 -19]. Chính nhờ phép biến đổi Levi -Civita [18]<br /> mà phƣơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có thể chuyển về<br /> phƣơng trình này cho nguyên tử đồng dạng Hydro hai chiều. Nhƣ vậy bài<br /> toán nguyên tử Hydro hai chiều trong từ trƣờng có thể đƣa về bài toán dao<br /> động từ phi đi ều hòa. Từ đây biểu diễn biến động lực qua các toán tử sinh<br /> hủy Dirac có thể đƣợc áp dụng một cách thuận tiện cho bài toán đang xét.<br /> Cân nhắc lại là với bài toán dao động tử điều hòa chúng ta có thể tìm thấy<br /> trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lƣợng tử, trong đó có một phƣơng<br /> pháp giải bằng cách đƣa về dạng biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy mà<br /> trạng thái cơ bản chính là trạng thái chân không, còn các trạng thái kích<br /> thích ứng với tác dụng của toán tử sinh lên hàm chân không. Biểu diễn toán<br /> tử sinh hủy của bài toán Hydro trong từ trƣờng cho phép ta ứng dụng phƣơng<br /> pháp toán tử [20] để giải phƣơng trình Schrodinger. Phƣơng pháp toán tử nà y<br /> đƣợc xây dựng từ những năm 80 và đã chứng tỏ hiệu quả trong rất nhiều bài<br /> toán vật l ý nguyên tử (xem ví dụ [ 21]). Các nét cơ bản của phƣơng pháp sẽ<br /> đƣợc trình bày thông qua bài toán cụ thể trong phần III của đề tài. Trong<br /> phần IV sẽ phát triển phƣơng pháp toán tử để nhận đƣợc nghiệm giải tích cho<br /> bài toán với độ chính xác ổn định trong toàn miền biến đồi từ trƣờ ng. Phần V<br /> và phần VI dành để trình bày các bƣớc cơ bản để sử dụng kết quả thu đƣợc<br /> cho trƣờng hợp có tính đến thế màn chắn và để phát triển cho trƣờng hợp ba<br /> chiều. Phần kết luận dành để trình bày các kết quả thu đƣợc và nêu hƣớng<br /> phát triển của đề tài.<br /> <br /> 5<br /> <br />