Đề tài: Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán sơ cấp

Chia sẻ: Trần Nhân | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

154
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 kiến thức toạ độ, chương 2 xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ, chương 3 thực hành phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học bằng phương pháp toạ độ là những nội dung chính thuộc đề tài "Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán sơ cấp". Mời các bạn cùng tham khảo nội dung đề tài để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán sơ cấp

Më ®Çu I.Lý do chän ®Ò tµi B»ng thùc tiÔn to¸n häc, lý luËn ®· kh¼ng ®Þnh kiÕn thøc vect¬, to¹ ®é lµ cÇn thiÕt vµ kh«ng thÓ thiÕu ®îc trong ch¬ng tr×nh to¸n THPT. Ph¬ng ph¸p to¹ ®é lµ ph¬ng ph¸p to¸n c¬ b¶n ë líp 10, xong viÖc øng dông cña nã th× häc sinh cha nhËn thÊy hÕt ®îc. §Õn líp 12 th× ph¬ng ph¸p to¹ ®é lµ mét c«ng cô kh¸ h÷u hiÖu ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc. §Ó gióp c¸c em thÊy ®îc tÇm quan träng cña ph¬ng ph¸p to¹ ®é (PPT§) – ph¬ng ph¸p chuyÓn tõ viÖc nghiªn cøu h×nh häc ¥clit b»ng ph¬ng ph¸p s¬ cÊp (ph¬ng ph¸p tæng hîp) sang viÖc nghiªn cøu nã b»ng c«ng cô míi ®¹i sè vµ gi¶i tÝch, t«i chän ®Ò tµi nµy nh»m híng dÉn häc sinh líp 10 gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng PPT§ ®Ó c¸c em kh«ng bÞ bì ngì khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph¬ng ph¸p nµy trong ch- ¬ng tr×nh líp 12. Trong thùc tÕ, mét sè bµi to¸n h×nh häc ph¼ng ë líp 10 sÏ ®îc gi¶i quyÕt nhanh gän, dÔ hiÓu h¬n nÕu ta sö dông PPT§ ®Ó gi¶i so víi c¸c ph¬ng ph¸p s¬ cÊp kh¸c. II.Môc ®Ých nghiªn cøu Víi nh÷ng lý do nh ë trªn t«i ®· chän dÒ tµi nµy nh»m môc ®Ých sau: - Lµm s¸ng tá c¬ së khoa häc cña PPT§. - §Ò xuÊt ph¬ng ¸n x©y dùng quy tr×nh gi¶i bµi to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng PPT§. III.§èi tîng, ph¹m vi nghiªn cøu
- §èi tîng : Híng dÉn häc sinh líp 10 gi¶i to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng PPT§. - Ph¹m vi : H×nh häc líp 10. IV.NhiÖm vô nghiªn cøu - Nh¾c l¹i c¸c kÕt qu¶ vÒ PPT§. - X©y dùng quy tr×nh gi¶i to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng PPT§. - Thùc hµnh. V.Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu - Nghiªn cøu lý luËn. - Tæng kÕt kinh nghiÖm. - Thùc nghiÖm. 2
Néi dung Ch¬ng 1 : KiÕn thøc to¹ ®é 1.To¹ ®é cña vect¬ vµ cña diÓm trªn trôc - Cho u n»m trªn trôc (O, i ) a R sao cho: u a.i . Sè a nh thÕ ®îc gäi lµ to¹ ®é cña vect¬ u ®èi víi trôc (O, i ). O I x’ i x - Cho ®iÓm M trªn trôc (O, i ) OM m.i sè m nh thÕ ®îc gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M trªn trôc (O, i ). M u x’ O x 2.HÖ trôc to¹ ®é y - Trong mÆt ph¼ng gåm 2 trôc ox vµ oy r vu«ng gãc víi nhau. i Vect¬ ®¬n vÞ trªn trôc ox, oy lÇn lît lµ O j x r i , j. §iÓm O gäi lµ gèc trôc to¹ ®é; ox, oy lÇn lît lµ trôc hoµnh, trôc tung HÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc nh trªn cßn ®îc gäi lµ hÖ trôc to¹ ®é kÝ hiÖu lµ Oxy hay (O; i , j ). 3
3.To¹ ®é cña vect¬, cña mét ®iÓm ®èi víi hÖ trôc to¹ ®é - §èi víi hÖ trôc to¹ ®é (O; i , j ) nÕu a x.i y.j th× cÆp sè (x ;y) ®îc gäi lµ to¹ ®é cña vect¬ a , ký hiÖu lµ a (x, y) hay a (x, y) ; x lµ hoµnh ®é, y lµ tung ®é cña vect¬ a . uuuur - Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy to¹ ®é cña vect¬ OM ®îc gäi lµ to¹ ®é cña ®iÓm M. 4.C¸c phÐp to¸n r r Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho 2 vect¬ : u ( x; y ) , v( x , ; y , ); ur r u + v = ( x + x , ; y + y , ); ur r u − v = ( x − x , ; y − y , ); ur ku = ( kx ; ky ); k R 5.Ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng - Mäi ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ®Òu cã d¹ng ax + by = 0 , a2 + b2 o . - §êng th¼ng d ®i qua 2 ®iÓm A( x 1 ;y1) vµ B ( x2 ; y2) th× ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng d lµ : - ( y2 – y1 ) ( x – x1 ) + ( x2 – x1) ( y – y1) = 0. - Cho ®êng th¼ng d c¾t ox t¹i ®iÓm A( a ; 0 ) vµ c¾t oy t¹i ®iÓm B ( 0 ; x y b) th× ph¬ng tr×nh theo ®o¹n ch¾n lµ : + = 1 , a.b o . a b 6.C¸c bµi to¸n c¬ b¶n r r , , Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho 2 vect¬ : u ( x; y ) , v( x ; y ); vµ 2 ®êng th¼ng d vµ d , lÇn lît cã ph¬ng tr×nh tæng qu¸t sau : d : ax + by + c = 0 d , : a , x + b, y + c, = 0 a) Bµi to¸n vu«ng gãc r r rr u ⊥ v � u .v = 0 � x.x , + y. y , = 0. b) Bµi to¸n cïng ph¬ng 4
r r Vect¬ u vµ v vect¬ cïng ph¬ng � x. y , − x, . y = 0. Chøng minh r :r Vect¬ u vµ v vect¬ cïng ph¬ng r r � ∃ k �R : u = k .v � ( x ; y ) = k ( x , ; y , ) x = kx, (1) y = ky , x=0 NÕu k = 0 tõ (1) do ®ã (1) � xy , − x, y = 0. y=0 NÕu: k �0 (1) � kxy , = x, ky � xy , = x , y � xy , − x, y = 0. c) To¹ ®é giao ®iÓm cña 2 ®êng th¼ng To¹ ®é giao ®iÓm cña d vµ d , lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh : ax + by + c = 0 a , x + b, y + c, = 0 e) Gãc gi÷a d vµ d , ®îc tÝnh b»ng c«ng thøc sau : a.a , + b.b, cos ( d , d ) = , a 2 + b 2 . a ,2 + b,2 f) Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M0( x0 ; y0 ) ®Õn ®êng th¼ng d ax0 + by0 + c d ( M0 , d ) = a2 + b2 7.Ph¬ng tr×nh ®êng trßn §êng trßn t©m I ( a ;b ) b¸n kÝnh R cã ph¬ng tr×nh lµ : ( x-a )2 + ( y- b )2 = R2 §Æc biÖt t©m I lµ gèc to¹ ®é vµ b¸n kÝnh R th× ph¬ng tr×nh lµ x 2 + y 2 = R2 5
Ch¬ng 2 : X©y dùng quy tr×nh gi¶i bµi to¸n h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p to¹ ®é 1.DiÔn ®¹t sù kiÖn h×nh häc b»ng uuuur ng«n uuur ng÷ vect¬ a) §iÓm M trïng víi ®iÓm N � OM = ON ( víi O lµ ®iÓm bÊt kú ). uur uur r b) I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB � IA + IB = 0 uur 1 uuur uuur hay I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB � OI = ( OA + OB ) 2 ( víi O lµ ®iÓm bÊt kú ). uuur uuur uuur r c) G lµ träng t©m VABC � GA + GB + GC = 0 uuur 1 uuur uuur uuur hay G lµ träng t©m VABC � OG = ( OA + OB + OC ) 3 ( víi O lµ ®iÓm bÊt kú ). uuur uuur d) §êng th¼ng a song song víi ®êng th¼ng b � AB = kCD ( k �R ) uuur uuur ( víi vect¬ AB cã gi¸ lµ a, CD vect¬ cã gi¸ lµ b ) uuur uuur e) Ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng � AB = k BC ( k �R ) uuur uuur f) §êng th¼ng a vu«ng gãc víi ®êng th¼ng b � AB .CD = 0 uuur uuur ( víi vect¬ AB cã gi¸ lµ a, CD vect¬ cã gi¸ lµ b ) g) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB uuur uuur2 Sö dông c«ng thøc AB = AB = AB 2.DiÔn ®¹t ng«n ng÷ vect¬ b»ng ng«n ng÷ to¹ ®é Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy uuuur uuur x1 = x2 a) OM = ON víi M ( x1 ; y1 ) vµ N ( x2 ; y2 ) y1 = y2 6
uur uur r x1 + x2 y1 + y2 b) IA + IB = 0 I( ; ) víi A ( x1 ; y1 ) vµ B ( x2 ; y2 ) 2 2 uuur uuur uuur r x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 c) GA + GB + GC = 0 G( 1 ; ) 3 3 víi A (rx1 ; y1 ) , Br( x2 ; y2 ) vµ C ( x3 ; y3 ). d) Vect¬ a vµ vect¬ b cïng ph¬ng � x1 y2 − x2 y1 = 0 r r víi a ( x1 ; y1 ), b ( x2 ; y2 ). r r e) a ⊥ b � x1 y1 + x2 y2 = 0 uuur uuur2 g) AB = AB = AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 Ch¬ng 3 : Thùc hµnh ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh líp 10 gi¶i to¸n h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p to¹ ®é I. Mét sè chó ý trong gi¶ng d¹y vÊn ®Ò PPT§ 1. CÇn híng dÉn häc sinh «n tËp lµm cho häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vect¬ ®Æc biÖt lµ c¸c kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ ®Ó lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu to¹ ®é . 2. CÇn cho häc sinh thÊy râ sù t¬ng øng 1 – 1 gi÷a c¸c tËp hîp ®iÓm vµ tËp hîp sè. -Trªn ®êng th¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét sè thùc x¸c ®Þnh. -Trªn mÆt ph¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét cÆp sè thùc s¾p thø tù. Tõ ®©y dÇn dÇn lµm næi bËt cho häc sinh thÊy ®îc r»ng mçi h×nh trong mÆt ph¼ng lµ mét tËp hîp ®iÓm s¾p thø tù theo mét quy t¾c nµo ®ã, do vËy mçi h×nh ®ã ®îc x¸c ®Þnh bëi mét hÖ r»ng buéc nhÊt ®Þnh t¬ng øng nµo ®ã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cña c¸c ®iÓm trªn h×nh ®ã, thÓ hiÖn häc sinh ph¶i cã c¸c kü n¨ng c¬ b¶n sau : + Khi lÊy M thuéc h×nh H th× c¸c to¹ ®é cña M ph¶i tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H. + Ngîc l¹i nÕu cã ®iÓm M cã to¹ ®é tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H th× M thuéc hinh H. 7
II. Híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n b»ng PPT§ Víi nh÷ng bµi to¸n h×nh häc ph¼ng cã chøa c¸c quan hÖ h×nh häc : th¼ng hµng, song song, vu«ng gãc ... hay cã chøa c¸c yÕu tè kho¶ng c¸ch, tÝnh gãc, nÕu ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp th× ta cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n ®¹i sè víi quan hÖ gi÷a c¸c sè vµ gi÷a c¸c vect¬, gi÷a c¸c phÐp to¸n. C¸c bµi to¸n nµy rÊt cã kh¶ n¨ng t×m ra ®îc lêi gi¶i, thËm chÝ cßn rÊt ng¾n gän. ViÖc gi¶i bµi tËp b»ng PPT§ ®ßi hái häc sinh ph¶i ®îc luyÖn tËp vËn dông tæng hîp c¸c kiÕn thøc liªn quan. Häc sinh cÇn n¾m ®îc quy tr×nh : - Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp ( ®©y lµ vÊn ®Ò mÊu chèt cña bµi to¸n, nÕu chän thÝch hîp th× bµi toan sÏ ®îc gi¶i quyÕt nhanh gän ). - Phiªn dÞch bµi to¸n ®· cho sang ng«n ng÷ vect¬ - ChuyÓn bµi to¸n tõ ng«n ng÷ vect¬ sang ng«n ng÷ to¹ ®é. - Dïng c¸c kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n. - Phiªn dÞch kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷ h×nh häc. III. Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1 : Bµi to¸n chøng minh 2 ®o¹n th¼ng vu«ng gãc Bµi 1 : Cho VABC c©n t¹i A. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, G lµ träng t©m VACM . Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp VABC . Chøng minh r»ng GI ⊥ CM . Gi¶i : Híng dÉn : Do VABC c©n t¹i A nªn ta chän hÖ to¹ ®é cã trôc oy qua A vµ vu«ng gãc BC, ox qua BC. Tõ gt ta ®i t×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm I, G, M theo to¹ ®é cña 3 ®iÓm A, B, C uur uuuur TÝnh to¹ ®é cña vect¬ GI , CM . uur uuuur Sau ®ã xÐt GI .CM . Lêi gi¶i : - Gäi O lµ trung ®iÓm c¹nh ®¸y ( ë ®©y gi¶ sö BC = 2a, Oa = BC h ). - Dựng hÖ to¹ ®é Oxy ( nh Do M lµ trung ®iÓm cña AB nªn h×nh vÏ ) −a h M( ; ) 2 2 - C¸c ®iÓm A, B, C cã to¹ ®é A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). 8
M lµ träng t©m VAMC 1 1 a a xG = ( x A + xC + xM ) = (0 + a − ) = 3 3 2 6 1 1 h h yG = ( y A + yC + yM ) = (h+ 0+ ) = 3 3 2 2 a h VËy to¹ ®é cña ®iÓm G lµ G ( ; ). 6 2 uuur − a h uuur Gäi I ( 0 ; y0 ) � IM ( ; − y0 ). mµ AB ( 0 ; - h ) uuur uuur 2 2uuur uuur Theo gi¶ thiÕt IM ⊥ AB � IM . AB = 0 −a h Hay ( ).( − a ) + ( − y0 ).(−h ) = 0 2 2 2 2 a h � − + y0 h = 0 2 2 h2 − a 2 � y0 = 2h h2 − a2 VËy ®iÓm I cã to¹ ®é lµ I (0; ) 2h uur a h h2 − a2 uuuur −a h −3a h � IG = ( ; − ). Ta cã CM = ( − a; ) = ( ; ). 6 2 2h 2 2 2 2 9
uuruuuur − a2 h2 h2 a2 � IG CM = + − + = 0. uur uuuur 4 4 4 4 VËy IG ⊥ CM ( ®pcm ). Chó ý : C¸ch gi¶i trªn kh«ng phô thuéc vµo gãc A lµ nhän, vu«ng hay tï. NÕu gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p to¸n häc thuÇn tuý, th× khi vÏ h×nh th× ph¶i xÐt 3 trêng hîp trªn. §ã còng chÝnh lµ lîi thÕ cña PPT§. Bµi 2 : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña DC vµ CB. Chøng minh r»ng AM ⊥ DN . Gi¶i : Híng dÉn : - §Ó cho bµi to¸n ®îc ®¬n gi¶n nhÊt ta chän hÖ trôc to¹ ®é sao cho D trïng víi O, 2 c¹nh AD, DC n»m trªn 2 truc ox vµ oy. - T×m uuuuto¹r®é uuurcña M, N - XÐt AM . DN Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ). - Trong hÖ to¹ ®é nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) vµ B ( a ; a). a a Khi ®ã M ( ;0), N ( ( a ; ) 2 2 uuuur a uuur a � AM = ( ; − a ); DN = ( a ; ). 2 2 uuuuruuur a a Do ®ã AM DN = . a + ( − a ) . = 0 hay AM ⊥ DN ( ®pcm ). 2 2 Bµi 3 : Trªn cung AB cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ABCD ta lÊy ®iÓm M kh¸c A vµ B. Gäi P, Q, R, S lµ h×nh chiÕu cña M trªn c¸c 10
®o¹n th¼ng AD, AB, BC, CD. Chøng minh r»ng PQ ⊥ RS vµ giao ®iÓm cña chóng n»m trªn 1 trong 2 ®êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD . Gi¶i : Híng dÉn : - NÕu gäi O lµ t©m h×nh ch÷ nhËt ABCD th× O còng lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ®ã. - Do ®ã ta chän gèc trôc to¹ ®é lµ O, c¸c trôc th× song song víi c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt. - T×m to¹ ®é cña P, Q, R, S theo to¹ ®é cña A, B, C, D. - ViÕt ph¬ng tr×nh cña PQ, RS , AC, BD. Lêi gi¶i : - Gäi O lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD ( tøc còng lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ). - Dùng hÖ to¹ ®é Oxy( nh h×nh vÏ ),( trôc ox, oy lÇn lît song song víi AD, AB ). - Gi¶ sö b¸n kÝnh ®êng trßn lµ R. Ph¬ng tr×nh ®êng trßn : x2 + y2 = R2 - Trong hÖ trôc to¹ ®é nµy gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh ABCD cña h×nh ch÷ nhËt lµ : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy ra a2 + b2 = R2. Gi¶ sö M (x0; y0) bÊt kú thuéc cung AB nªn x02 + y02 = R2 Ta cã to¹ ®é h×nh chiÕu P, Q, R, S lµ: P (x0;-b), Q (-a;y0), R (x0;b), S (a;y0). Suy uuur uuur ra PQ = ( − a − x0 ; y0 + b ), RS = ( a − x0 ; y0 − b ). Nªn uuuruuur PQRS = − a 2 + x0 2 + y0 2 − b 2 = 0 VËy PQ ⊥ RS . §êng r th¼ng PQ ®i qua P (x0;-b) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = ( y0 + b ; a + x0 ) Nªn cã ph¬ng tr×nh PQ lµ : ( b + y0 )( x − x0 ) + ( a + x0 )( y + b ) = 0 11
� ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = 0 T¬ng tù ph¬ng tr×nh RS lµ : ( b − y0 )( x − a ) − ( x0 − a )( y − y0 ) = 0 � ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = 0 Gäi I ( xI ; yI ) lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RS th× ta cã ( x I ; yI ) lµ nghiÖm cña hÖ ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = 0 (1) sau : ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = 0 (2) Céng vÕ víi vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc bx + ay = 0 Suy ra bxI + ayI = 0 (3) Do ®iÓm B (-a;b), D (a;-b) nªn ph¬ng tr×nh ®¬ng chÐo BD cã d¹ng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0. Tõ ®¼ng thøc (3) chøng tá I ( xI ; yI ) BD (®pcm ). D¹ng 2 : Bµi to¸n quü tÝch Bµi 4 : Cho VABC , M lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. H¹ MN, PQ t¬ng øng vu«ng gãc vµ song song víi AB ( N AB, Q BC ). Gäi P lµ h×nh chiÕu cña Q trªn AB, I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ. T×m quü tÝch t©m I khi M ch¹y trªn c¹nh AB. Gi¶i : Híng dÉn : - Gäi O lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ C xuèng AB. - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho A ox, oy qua BC - T×m to¹ ®é cña N, Q, I theo to¹ ®é cña ®iÓm A, B, C, M - T×m mèi liªn hÖ tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I chó y ®iÒu kiÖn cña ®iÓm M Lêi gi¶i : - Gäi O lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ x y + =1 C xuèng AB a h - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ). Gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C lµ : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0 Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB theo ®o¹n ch¾n : 12
Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BC theo ®o¹n ch¾n : x y + = 1 . Gi¶ sö MQ cã ph¬ng tr×nh y = m (0 m h ) b h To¹ ®é cña ®iÓm Q lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh �y = m �y = m � � a �x y �� a �Q ( ( h − m ); m) � + =1 � x= (h − m) h �a h � h b a T¬ng tù ta cã : M ( ( h − m ); m) . To¹ ®é cña ®iÓm P lµ P ( ( h − m );0) h h Gäi I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. Suy ra I lµ trung diÎm cña MP 1 ( a + b )( h − m ) xI = ( xM + xP ) = (1) 2 2h xI Y Khi ®ã � + I = 1 (*) 1 m a+b h y I = ( yM + y p ) = (2) 2 2 2 2 2 xI Tõ (1) suy ra m = h(1− ) a+b (2) suy ra m = 2yI . V× 0 m h nªn 2 xI a−b 0 h(1− ) h 0 x I � � 2 � a + b � (**) � � c 0 2 yI h 0 yI 2 Tõ (*) vµ (**) suy ra quü tÝch t©m I cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ lµ ®o¹n KH, ë ®©y K, H lÇn lît lµ trung ®iÓm cña OC vµ AB. (đpcm) Chó ý : Mäi lËp luËn ë ®©y kh«ng phô thuéc vµo h×nh d¸ng cña VABC Bµi 5 : Cho ®êng trßn ( C ) cã ®êng kÝnh AB kh«ng ®æi, mét ®iÓm M di ®éng trªn ( C ). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña MH. Gi¶i : Híng dÉn : - §Ó ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn ®¬n gi¶n ta chän hÖ trôc to¹ ®é cã gèc O trïng víi t©m O cña ®êng trßn - Trôc Ox ®i qua AB 13
- T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña MH theo to¹ ®é ®iÓm M - T×n mèi liªn hÖ gi÷a tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ) AB - §Æt R = , R lµ kh«ng ®æi . 2 §êng trßn ( C ) cã ph¬ng tr×nh : x2 + y2 = R2 . XÐt ®iÓm M ( x0; y0 ) ( C ) � x0 2 + y0 2 = R 2 (1) H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB H ( x0; 0 ) I lµ trung ®iÓm cña MH xI = x0 x0 = xI y �� y0 � � � I ( x0 ; 0 ). yI = y0 = 2 yI 2 2 xI 2 yI 2 Thay vµo (1) � xI + 4 yI = R hay � 2 2 2 + 2 =1 (2 R) 2 R 2 2 xI y Chøng tá quü tÝch I lµ elip (E) : 2 + I2 = 1 ®é dµi trôc lín lµ 2R, (2 R) R trôc bÐ lµ R. D¹ng 3 : Bµi to¸n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh §iÓm M ( x0; y0 ) ®îc gäi lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä ®å thÞ ®· cho nÕu mäi ®å thÞ cña hä ®ã øng víi mäi gi¸ trÞ m A ®Òu ®i qua M Trong ®ã gi¶ sö y = f ( m, x ) , m A lµ tham sè Bµi 7 : Cho gãc vu«ng Oxy, ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã chu vi kh«ng ®æi, A, C lµ 2 ®iÓm thay ®æi thuéc Ox, Oy. Chøng minh r»ng ®êng d vu«ng gãc kÎ tõ B vu«ng gãc víi ®êng chÐo AC lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶i Híng dÉn : - Bµi to¸n nµy cã d¸ng dÊp cña 1 bµi to¸n ®¹i sè t×m ®iÓm cè ®Þnh, v× thÕ rÊt thuËn tiÖn khi ta ®¹i sè ho¸ b»ng PPT§. - §Ó ®¬n gi¶n ta chän ngay hÖ trôc to¹ ®é lµ Oxy trïng víi gãc Oxy. 14
Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ) - Trong hÖ trôc to¹ ®é nµy gi¶ sö A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) §Æt a + c = b = const ( v× chu vi OABC kh«ng ®æi ). Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB theo ®o¹n x y ch¾n lµ : + =1 a c −c �y= x+c a Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d qua B (a; c) vµ vu«ng gãc víi AC cã d¹ng : a a a2 y− c = ( x−a) � y = x +c − c c c a a � y = x + b(1 − ) do a + c = b c c Gi¶ sö d ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M ( x0; y0 ). Khi ®ã a a a y0 = x0 + b(1 − ) ∀ c c c a a � ( x0 − b) − ( y0 − b ) = 0 ∀ c c � x0 − b = 0 � x0 = b �� y0 − b = 0 �y0 = b Do b kh«ng ®æi chøng tá d lu«n ®i qua diÓm cè ®Þnh M ( b; b ). (®pcm ) D¹ng 4 : Mét sè bµi to¸n ¸p dông kh¸c Bµi 8: Cho VABC vu«ng t¹i A, AB = c, AC= b. M n»m trªn c¹nh BC sao bc cho gãc BAM b»ng α . Chøng minh r»ng AM = . c cos α + b sin α Gi¶i : Híng dÉn : 15
- §Ó thuËn tiÖn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho 2 c¹nh gãc vu«ng cña n»m trªn 2 trôc to¹ ®é - Gi¶ sö M (x; y) uuuur uuur - Dùa vµo ®iÒu kiÖn vect¬ CM vµ CB vect¬ cïng ph¬ng ®Ó chøng minh. Lêi gi¶i : uuuur - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh CM ( AM cos α AM sin α - c ) h×nh vÏ ) - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; 0), B (b; 0), C (0; c) x = AM cos α Gi¶ sö M (x; y) y = AM sin α Do ®ã M ( AM cos α ; AM sin α ). uuuur V× M BC nªn vect¬ CM vµ uuur CB vect¬ cïng ph¬ng uuur mµ vµ CB ( b; - c ) nªn AM cos α .(- c) - ( AM sin α - c). b = 0 c AM cos α + b AM sin α - bc = 0 bc Hay AM = (®pcm). c cos α + b sin α Bµi 9 : Cho VABC cã trùc t©m H. Trªn ®o¹n HB, HC lÊy ®iÓm B1, C1 sao cho gãc AB1C vµ gãc AC1B b»ng 1 vu«ng. Chøng minh r»ng AB 1 = AC1. Gi¶i : Híng dÉn : - Do bµi to¸n cho trùc t©m H nªn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho H n»m trªn Oy, BC n»m trªn Ox. - Gi¶ sö B1 ( x1; y1) - Dùa vµo ®iÒu kiÖn vu«ng gãc tÝnh AB1 theo to¹ ®é ®iÓm A, B, C vµ B1 - T¬ng tù tÝnh AC1 Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; h), B h×nh vÏ ) (b; 0), C (c; 0) , ( ë ®©y h, c > 0, b < 0 ) 16
uuur Ta cã AC = (c; - h). Theo gt BH ⊥ AC §êng cao BH qua B (b; 0) vµ cã vect¬ ph¸p uuur tuyÕn AC = (c; - h) nªn cã ph¬ng tr×nh : c ( x- b) - h( y – 0 ) = 0 cx – hy – bc = 0 . Gäi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 – hy1 – bc = 0 cx1uuur – hy1 = bc (1) uuur Ta cã AB1 = ( x1; y1 – h ), CB1 = ( x1 – c; y1) uuur uuur uuuruuur V× AB1 ⊥ CB1 � AB1 CB1 = 0 hay x1( x1 – c ) + y1( y1 – h ) = 0 � x12 + y12 − cx1 − hy1 = 0 (2) MÆt kh¸c : AB12 = x12 + ( y1 – h )2 = x12 + y12 - 2hy1 + h2 = ( x 12 + y12 - hy1 - cx1 ) + ( cx1 – hy1 ) + h2 (3) Thay (1),(2) vµo (3) ta ®îc AB1 = bc + h2 T¬ng tù ta cã : AC1 = bc + h2 Tõ ®ã suy ra AB1 = AC1 (®pcm). KÕt luËn 17
Trong ch¬ng tr×nh to¸n PTTH hiÖn nay, PPT§ ®îc xem lµ ph¬ng ph¸p to¸n häc c¬ b¶n vµ c©n thiÕt, kÕt hîp víi ph¬ng ph¸p tæng hîp ta gi¶i quyÕt ®îc c¸c ®èi tîng trªn mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. PPT§ lµ c«ng cô chñ yÕu ë ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 10 vµ líp 12 cho nªn viÖc híng dÉn häc sinh l¬p 10 gi¶i bµi to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng nµy lµ cÇn thiÕt. Ngoµi viÖc gióp c¸c em cñng cè kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cßn gióp c¸c em thÊy râ ®îc øng dông to lín cña ph¬ng ph¸p nµy trong bµi to¸n h×nh häc ph¼ng vµ lµ tiÒn ®Ò ®Ó c¸c em häc tèt h¬n trong ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 12. Thùc tÕ cho thÊy nhiÒu bµi to¸n h×nh häc ph¼ng gi¶i b»ng PPT§ cho lêi gi¶i ng¾n gän, dÔ hiÓu h¬n so víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c. VËy khi gi¶i b»ng PPT§ häc sinh cÇn biÕt c¸ch phiªn dÞch yªu cÇu vµ ®Ò bµi cña bµi to¸n sang ng«n ng÷ to¹ ®é, sau ®ã dïng kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n, cuèi cïng lµ chuyÓn kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷ h×nh häc. CÇn híng dÉn cho häc sinh chän trôc to¹ ®é §ecac thÝch hîp. Do tr×nh ®é cßn h¹n chÕ vµ thêi gian lµm bµi viÕt nµy cßn Ýt nªn bµi viÕt nµy kh«ng tr¸nh khái sù s¬ xuÊt mong c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n th«ng c¶m. Cuèi cïng, em xin ch©n thµnh c¶m ¬n thÇy Bïi §øc Thä vµ c¸c thÇy c« trong tæ To¸n trêng THPT D¬ng X¸ ®· tËn t×nh híng dÉn em ®Ó hoµn thµnh bµi viÕt nµy vµ d¹y dç em trong suèt thêi gian thùc tËp . 18