Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Hòa Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HÒA BÌNH<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011<br /> Đề thi môn: TOÁN<br /> Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2011<br /> Thời gian làm bài : 150 phút<br /> <br /> Bài 1 (4đ)<br /> 1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau<br /> a) A  x3  3x2 y  4xy2  12y3<br /> <br /> b)B  x3  4y2  2xy  x2  8y3<br /> <br /> 2. Cho a  11  6 2  11  6 2 .Chứng minh rằng a là một số nguyên<br /> Bài 2 (6đ)<br /> 1. Giải phương trình<br /> <br /> 12<br /> 3<br />  2<br /> 1<br /> x x4 x x2<br /> 2<br /> <br /> 2. Cho hàm số y   m  1 x  m2  1 (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là<br /> đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân<br /> 3. Tìm x để biểu thức A <br /> <br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> đạt giá trị lớn nhất<br /> <br /> Bài 3 (4đ)<br /> 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính<br /> bằng 2. Biết BAC  600 , đường cao AH. Tính diện tích tam giác ABC<br /> 2. Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ<br /> của trường này thi đấu với một đấu thủ của trường kia một trận. Biết rằng<br /> tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của<br /> trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi đội<br /> Bài 4 (5đ) Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Hai điểm E, F<br /> thay đổi trên nửa đường tròn sao cho số đo cun AE khác 0 và nhỏ hơn số đo cun<br /> AF, biết EF=R. Giả sử AF cắt BE tại H, AE cắt BF tại I<br /> 1. Chứng minh rằng tứ giác IEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn<br /> 2. Gọi EG và FQ là các đường cao của tam giác IEF, chứng minh rằng độ dài<br /> QG không đổi<br /> 3. Chứng minh rằng QG song song với AB<br /> Bài 5. (1 điểm) Giải phương trình : x  2 7  x  2 x  1  x2  8x  7  1<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 HÒA BÌNH NĂM 2010-2011<br /> Bài 1<br /> 1.<br /> <br /> a) A   x  3y  x  2y  x  2y <br /> <br /> <br /> <br /> B   x  2y  1 x 2  2xy  4y 2<br /> <br /> <br /> <br /> 3  2 <br /> <br /> 2. a  11  6 2  11  6 2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 3  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 6<br /> <br /> Bài 2.<br /> 1. Học sinh lập luận được x2  x  4 và x2  x  2 khác 0 rồi quy đồng đưa về<br /> phương trình dạng 9(x2  x)  12   x2  x  4  x2  x  2 <br /> Biến đổi được về dạng  x2  x  4  x2  x  1  0  x <br /> <br /> 1  17<br /> 2<br /> <br /> 2. Lập luận được để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục tọa độ tai điểm A<br /> và B sao cho tam giác OAB cân thì đồ thị hàm số đã cho song song với<br /> đường thẳng y = x (hoặc y = - x )<br /> m  1  1<br /> <br /> Từ đó dẫn đến <br /> <br /> 2<br /> m  1  0<br /> <br /> m  1  1<br /> <br /> hoặc <br /> <br /> 2<br /> m  1  0<br /> <br /> . Giải hệ hai phương trình ta tìm<br /> <br /> dược m=2 hoặc m=0 thỏa mãn<br /> 3. Ta viết được A= 1 <br /> Ta có x  1  1  1 <br /> <br /> 2<br /> x 1<br /> 2<br /> x 1<br /> <br />  1  2  1<br /> <br /> Vậy Min A= - 1 khi x=0<br /> Bài 3.<br /> 1.<br /> <br /> A<br /> O<br /> B<br /> <br /> K<br /> <br /> C<br /> <br /> Gọi K là trung điểm của BC, dễ có KOC  60<br /> <br /> Xét tam giác vuông OKC có OC = 2. Tính được KC  OC.sin 600  3<br /> Tính được BC  2 3 , suy ra diện tích tam giác ABC là S  3 3<br /> 2. Gọi số cầu thủ đội trường A là x, số cầu thủ đội trườn B là y<br /> Ta có phương trình xy  4  x  y   (x  4)(y  4)  16<br /> Ta lập luận và tìm được x=20; y=5<br /> Bài 4.<br /> <br /> I<br /> <br /> G<br /> F<br /> <br /> Q<br /> E<br /> H<br /> A<br /> <br /> O<br /> <br /> 1. Vì IEH  IFH  900 nên IHEF nội tiếp đường tròn<br /> <br /> B<br /> <br /> 2. Ta dễ dàng chứng minh được IQG đồng dạng với IFE (góc – góc)<br /> Từ đó có<br /> <br /> QG IG 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  ;QG  EF  R(dpcm)<br /> EF IE 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3. Chứng minh được IAB đồng dạng IEF (g.g) kết hợp với câu 2 ta có<br /> IQG<br /> <br /> IAB suy ra<br /> <br /> IQ IG<br /> dẫn đến QG song song với AB<br /> <br /> IA IB<br /> <br /> Bài 5. Học sinh tìm được ĐK 1  x  7 và biến đổi phương trình về dạng tích<br />  x  1  2.  x  1  7  x   0 Học sinh giải phương trình tích tìm được x=5 hoặc<br /> x=4 đều thỏa mãn.<br /> <br />