Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2013 – 2014 - Sở GD&ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> LẠNG SƠN<br /> <br /> KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT<br /> NĂM HỌC 2013 – 2014<br /> Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu<br /> <br /> Câu 1 (2 điểm)<br /> Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và<br /> parabol (P): y = - x2.<br /> a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);<br /> b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),<br /> B(x2; y2).<br /> Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.<br /> Câu 2 (2 điểm)<br /> 2y<br />  3x<br />  x 1  y 1  2<br /> <br /> a. Giải hệ phương trình <br /> ;<br /> 2x<br /> 3y<br /> <br /> <br />  10<br />  x  1 y  1<br /> b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x  y  x  2 .<br /> <br /> Câu 3 (2 điểm)<br /> a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E<br /> lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ<br /> dài nhỏ nhất.<br /> b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =<br /> <br /> 3x  4<br /> x2 1<br /> <br /> Câu 4 (3 điểm)<br /> Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C<br /> khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC,<br /> các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.<br /> a. Chứng minh tam giác EAI cân;<br /> b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;<br /> c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.<br /> Câu 5 (1 điểm)<br /> Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu<br /> <br /> Câu 1<br /> <br /> Ý<br /> a<br /> <br /> 2 điểm<br /> b<br /> <br /> Câu<br /> 2<br /> <br /> a<br /> <br /> N i un<br /> <br /> nh ày<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1<br /> Vậy: m = 1<br /> Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x –<br /> m+1=0<br /> có hai nghiệm phân biệt  '  m  0<br /> Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1<br /> Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)<br /> Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5<br /> Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)<br /> Đặt u <br /> <br /> x<br /> y<br /> ; v<br /> x 1<br /> y 1<br />  3u  2v  2<br />  9u  6v  6<br /> u  2<br /> <br /> <br /> 2u  3v  10<br /> 4u  6v  20<br /> v  2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Ta có: x – y + 1 = 2 x  y  x  2  x  y  1  2 x  y  x  2  0 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> Hay:<br /> <br /> Suy ra:<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x  y 1  x  2  0 .<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x  y 1  x  2  0  x  y 1  x  2  0 .<br /> <br /> Vì vậy có: x = 2; y = 1.<br /> <br /> 2<br /> điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy hệ có nghiệm (2; -2)<br /> b<br /> <br /> Câu<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x<br /> y<br />  2  x  2;<br />  2  y  2<br /> x 1<br /> y 1<br /> <br /> Từ:<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Khi đó có hệ: <br /> <br /> 2<br /> điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> A<br /> <br /> a<br /> <br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Do: ADM  AEM  DAE  900 nên ADME 0,25<br /> là hình chữ nhật<br /> 0,25<br /> Nên : DE = AM<br /> DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất <br /> AM  BC<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3x  4<br /> <br /> A = 2  A(x 2  1)  3x  4  Ax 2  3x  A  4  0 , (*) có nghiệm x<br /> b<br /> x 1<br /> Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3<br /> Nếu A  0 có :   9  4A(A  4)  4(A  2)2  25  0 <br /> Vậy : min A <br /> <br /> 1<br /> b<br /> 9<br /> 1<br /> khi x <br />  3; max A  khi x <br /> 2<br /> 2a<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 9<br /> A<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> a<br /> <br /> Vẽ hình để chứng minh a<br /> <br /> F<br /> <br /> Câu<br /> 4<br /> I<br /> <br /> 3<br /> điểm<br /> <br /> A<br /> <br /> Do AD, CE là các đường phân giác<br /> nên :<br /> 0,25<br /> <br /> D<br /> <br /> O<br /> <br /> B<br /> <br /> DC  DB, EB  EA<br /> <br /> Do đó: DC  EA  DB  EB<br /> Suy ra: AIE  IAE<br /> Vậy: tam giác EAI cân tại E<br /> <br /> E<br /> <br /> b<br /> <br /> Ta có: AIE  CID (đối đỉnh)<br /> EAI  DCI (cùng chắn cung DE)<br /> <br /> Suy ra:<br /> c<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao<br /> nên  ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0<br /> Do: DIB  IBA  IAB  450 nên  BID vuông cân<br /> suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2<br /> Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:<br /> BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 bx - a2 = 0<br /> Có: x =<br /> <br /> (loại),<br /> <br /> x =<br /> <br /> b  b 2  4a 2<br /> . Vậy AB =<br /> 2<br /> <br /> b  b 2  4a 2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> IC ID<br /> <br />  IC.IE  IA.ID<br /> IA IE<br /> <br /> b  b 2  4a 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Do đó : ICD IAE .<br /> <br /> Câu<br /> 5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> C<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ<br /> 2014. n  N*<br /> 0,25<br /> Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư.<br /> Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013<br /> hay: 20142014...2014  20142014...2014  20142014....20140000...0000 2013 0,25<br /> j sô 2014<br /> <br /> jí sô 2014<br /> <br /> i sô 2014<br /> <br /> 4i sô 0<br /> <br /> 4i<br /> <br /> Số có dạng 20142014…2014 . 10  2013<br /> Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n  N*<br /> Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />