SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
LẠNG SƠN<br />
<br />
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT<br />
NĂM HỌC 2013 – 2014<br />
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)<br />
<br />
ĐỀ CHÍNH THỨC<br />
<br />
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br />
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu<br />
<br />
Câu 1 (2 điểm)<br />
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và<br />
parabol (P): y = - x2.<br />
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);<br />
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),<br />
B(x2; y2).<br />
Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.<br />
Câu 2 (2 điểm)<br />
2y<br />
3x<br />
x 1 y 1 2<br />
<br />
a. Giải hệ phương trình <br />
;<br />
2x<br />
3y<br />
<br />
<br />
10<br />
x 1 y 1<br />
b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2 .<br />
<br />
Câu 3 (2 điểm)<br />
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E<br />
lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ<br />
dài nhỏ nhất.<br />
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =<br />
<br />
3x 4<br />
x2 1<br />
<br />
Câu 4 (3 điểm)<br />
Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C<br />
khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC,<br />
các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.<br />
a. Chứng minh tam giác EAI cân;<br />
b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;<br />
c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.<br />
Câu 5 (1 điểm)<br />
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.<br />
<br />
ĐÁP ÁN<br />
Câu<br />
<br />
Câu 1<br />
<br />
Ý<br />
a<br />
<br />
2 điểm<br />
b<br />
<br />
Câu<br />
2<br />
<br />
a<br />
<br />
N i un<br />
<br />
nh ày<br />
<br />
Điểm<br />
<br />
Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) 2 = 2.1 – m + 1<br />
Vậy: m = 1<br />
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt x2 + 2x –<br />
m+1=0<br />
có hai nghiệm phân biệt ' m 0<br />
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1<br />
Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)<br />
Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5<br />
Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)<br />
Đặt u <br />
<br />
x<br />
y<br />
; v<br />
x 1<br />
y 1<br />
3u 2v 2<br />
9u 6v 6<br />
u 2<br />
<br />
<br />
2u 3v 10<br />
4u 6v 20<br />
v 2<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0 .<br />
<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
Hay:<br />
<br />
Suy ra:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
x y 1 x 2 0 .<br />
<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
0,25<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0 .<br />
<br />
Vì vậy có: x = 2; y = 1.<br />
<br />
2<br />
điểm<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Vậy hệ có nghiệm (2; -2)<br />
b<br />
<br />
Câu<br />
3<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
x<br />
y<br />
2 x 2;<br />
2 y 2<br />
x 1<br />
y 1<br />
<br />
Từ:<br />
<br />
0,5<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Khi đó có hệ: <br />
<br />
2<br />
điểm<br />
<br />
0,5<br />
<br />
A<br />
<br />
a<br />
<br />
D<br />
<br />
B<br />
<br />
E<br />
<br />
M<br />
<br />
C<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Do: ADM AEM DAE 900 nên ADME 0,25<br />
là hình chữ nhật<br />
0,25<br />
Nên : DE = AM<br />
DE nhỏ nhất AM nhỏ nhất <br />
AM BC<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A<br />
<br />
0,25<br />
<br />
3x 4<br />
<br />
A = 2 A(x 2 1) 3x 4 Ax 2 3x A 4 0 , (*) có nghiệm x<br />
b<br />
x 1<br />
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3<br />
Nếu A 0 có : 9 4A(A 4) 4(A 2)2 25 0 <br />
Vậy : min A <br />
<br />
1<br />
b<br />
9<br />
1<br />
khi x <br />
3; max A khi x <br />
2<br />
2a<br />
2<br />
3<br />
<br />
1<br />
9<br />
A<br />
2<br />
2<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
a<br />
<br />
Vẽ hình để chứng minh a<br />
<br />
F<br />
<br />
Câu<br />
4<br />
I<br />
<br />
3<br />
điểm<br />
<br />
A<br />
<br />
Do AD, CE là các đường phân giác<br />
nên :<br />
0,25<br />
<br />
D<br />
<br />
O<br />
<br />
B<br />
<br />
DC DB, EB EA<br />
<br />
Do đó: DC EA DB EB<br />
Suy ra: AIE IAE<br />
Vậy: tam giác EAI cân tại E<br />
<br />
E<br />
<br />
b<br />
<br />
Ta có: AIE CID (đối đỉnh)<br />
EAI DCI (cùng chắn cung DE)<br />
<br />
Suy ra:<br />
c<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao<br />
nên ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0<br />
Do: DIB IBA IAB 450 nên BID vuông cân<br />
suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2<br />
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:<br />
BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 x2 bx - a2 = 0<br />
Có: x =<br />
<br />
(loại),<br />
<br />
x =<br />
<br />
b b 2 4a 2<br />
. Vậy AB =<br />
2<br />
<br />
b b 2 4a 2<br />
2<br />
<br />
1<br />
điểm<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
IC ID<br />
<br />
IC.IE IA.ID<br />
IA IE<br />
<br />
b b 2 4a 2<br />
2<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Do đó : ICD IAE .<br />
<br />
Câu<br />
5<br />
<br />
0,25<br />
<br />
C<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
0,25<br />
<br />
Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ<br />
2014. n N*<br />
0,25<br />
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư.<br />
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013<br />
hay: 20142014...2014 20142014...2014 20142014....20140000...0000 2013 0,25<br />
j sô 2014<br />
<br />
jí sô 2014<br />
<br />
i sô 2014<br />
<br />
4i sô 0<br />
<br />
4i<br />
<br />
Số có dạng 20142014…2014 . 10 2013<br />
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n N*<br />
Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013<br />
<br />
0,25<br />
0,25<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
