Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> PHÚ THỌ<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> MÔN: TOÁN - THCS<br /> Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Câu1( 3,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình trên tập nguyên<br /> x 2  5y 2  4xy  4x  8y  12  0<br /> <br /> b)Cho P(x)  x 3  3x 2  14x  2 .<br /> Tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà P(x) chia hết cho 11<br /> Câu 2( 4,0 điểm)<br /> a 3  3a  2<br /> a) Tính gía trị biểu thức P  3<br /> , biết<br /> a  4a 2  5a  2<br /> a  3 55  3024  3 55  3024<br /> <br /> b) Cho số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thỏa mãn<br /> x 3  3x  1; y 3  3y  1, z 3  3z  1<br /> Chứng minh rằng x 2  y 2  z 2  6<br /> Câu 3( 4,0 điểm)<br /> <br /> x 1<br />  3x  1<br /> 4x<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 3x  2y  4xy  x  8y  4  0<br />  2<br /> 2<br /> <br /> x  y  2x  y  3  0<br /> <br /> a) Giải phương trình 3x  1 <br /> b) Giải hệ phương trình:<br /> <br /> Câu 4( 7,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC không đi qua tâm .Gọi A là<br /> chính giữa cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A và có số đo<br /> bằng  không đổi sao cho E và F khác phía với điểm A qua BC ;AE và AF cắt<br /> BC lần lượt tại M và N .Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành .<br /> a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp .<br /> b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF .Chứng minh rằng<br /> khi góc nội tiếp EAF quay quanh A thì I chuyển động trên đường thẳng cố định.<br /> c) Khi   60 0 và BC=R ,tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn OI.<br /> Câu 5( 2,0 điểm)<br /> Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3<br /> Chứng minh rằng<br /> <br /> 2 x2  y 2  z 2 2 y 2  x2  z 2 2z 2  y 2  x2<br /> <br /> <br />  4 xyz<br /> 4  yz<br /> 4  xz<br /> 4  yx<br /> <br /> ---Hêt—<br /> Họ và tên thí sinh..............................................số báo danh.....<br /> Thí sinh không sử dụng tài liệu,Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm<br /> <br /> HƯỚNG DẪN<br /> Câu1( 3,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình trên tập nguyên<br /> b) Cho P(x)  x 3  3x 2  14x  2 .<br /> Hướng dẫn<br /> :<br /> a) x 2  5y 2  4xy  4x  8y  12  0  x 2  4x( y  1)  (5y 2  8y  12)  0(* )<br /> để PT(*) có nghiệm nguyên x thì / chính phương<br /> /  4( y  1) 2  5(5 y 2  8 y  12)  16  y 2  16<br /> từ đó tìm được x; y   2;0; 6;0;  10;4; 6;4;<br /> <br /> <br /> <br /> Cách khác<br /> x 2  5y 2  4xy  4x  8y  12  0  ( x  2 y  2) 2  y 2  16  4 2  0 2<br /> <br /> xét từng trường hợp sẽ ra nghiệm<br /> b) ta có P(x)  x 3  3x 2  14x  2  (x - 2)(x 2 - x  12)  22<br /> để P(x) chia hết 11 thì (x - 2)(x 2 - x  12)11<br /> mà (x 2 - x  12)  x(x - 1)  1  11 ta có x( x  1)  1 không chia hết cho 11<br /> suy ra (x 2 - x  12) không chia hết cho 11 nên x-2 chia hết co 11 mà<br /> x