Đề thi chọn HSG huyện lớp 9 môn Toán năm học 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Vĩnh Bảo

UBND HUYỆN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN VĨNH BẢO<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> <br /> P<br /> <br /> <br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2013-2014<br /> MÔN: TOÁN LỚP 9<br /> Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:<br /> x y<br /> x  y   x  y  2xy <br /> <br /> .<br />  : 1 <br /> 1  xy <br /> 1  xy<br /> 1  xy  <br /> a) Rút gọn biểu thức P.<br /> b) Tính giá trị của P với x <br /> <br /> 2<br /> .<br /> 2 3<br /> <br /> Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là<br /> 1<br /> 3<br /> đồ thị của hai hàm số: y   x  và y  x .<br /> 2<br /> 2<br /> a) Vẽ đồ thị (D) và (L).<br /> b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông.<br /> Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 4  5x3  38x 2  5x  6  0 .<br /> Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một<br /> đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I.<br /> Chứng minh rằng:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> <br /> <br /> AM 2 AI2 a 2<br /> <br /> Bài 5: (6 điểm)<br /> Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt<br /> đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng.<br /> Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E  ( O ) và F  ( O/ ). Gọi M là giao điểm của<br /> AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:<br /> a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.<br /> b) MN  AD.<br /> c) ME.MA = MF.MD.<br /> ---------- Hết ----------<br /> <br /> UBND HUYỆN<br /> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9<br /> <br /> Bài<br /> Đáp án<br /> 1 ĐKXĐ: x  0; y  0;xy  1.<br /> a) Mẫu thức chung là 1 – xy<br /> ( x  y)(1  xy)  ( x  y)(1  xy) 1  xy  x  y  2xy<br /> P<br /> :<br /> 1  xy<br /> 1  xy<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5 đ<br /> <br /> x x y  y y x  x x y  y y x<br /> 1  xy<br /> .<br /> 1  xy<br /> 1  x  y  xy<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b)<br /> <br /> 2<br /> a)<br /> <br /> x<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 2( x  y x)<br /> 2 x (1  y)<br /> 2 x<br /> <br /> <br /> (1  x)(1  y) (1  x)(1  y) 1  x<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 2<br /> 2(2  3)<br /> <br />  3  2 3  1  ( 3  1) 2<br /> 43<br /> 2 3<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> x  ( 3  1)2  3  1  3  1<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> P<br /> <br /> 2( 3  1)<br /> 2 32<br /> <br /> <br /> 2<br /> 1  ( 3  1) 1  3  2 3  1<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> P<br /> <br /> 2( 3  1) 6 3  2<br /> <br /> 13<br /> 52 3<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> x  0  y <br /> Đồ thị y   x  có : <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  y  0  x  3<br />  x khi x  0<br /> Đồ thị y  x  <br />  x khi x  0<br /> Đồ thị như hình vẽ:<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> b)<br /> <br /> Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> Ta có: OM = 12  12  2  OM2 = 2<br /> ON =<br /> <br /> 32  (3)2  3 2  ON2 = 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> MN = (1  3)  (1  3)  20  MN = 20<br /> Vì: OM2 + ON2 = MN2<br /> Vậy: tam giác OMN vuông tại O<br /> Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình<br /> Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:<br /> 5 6<br /> 6x 2  5x  38   2  0<br /> x x<br /> 1<br /> 1<br />  6(x 2  2 )  5(x  )  38  0<br /> x<br /> x<br /> 1<br /> 1<br /> Đặt y  x <br /> thì: x 2  2  y2  2<br /> x<br /> x<br /> Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0<br /> 10<br /> 5<br /> Do đó: y <br /> và y  <br /> 3<br /> 2<br /> 10<br /> 1 10<br /> * Với y <br /> thì: x    3x 2  10x  3  0<br /> 3<br /> x 3<br /> 1<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> (3x – 1)(x – 3) = 0 <br /> 3<br /> <br /> x2  3<br /> 5<br /> 1<br /> 5<br /> * Với y   thì: x     2x 2  5x  2  0<br /> 2<br /> x<br /> 2<br /> 1<br /> <br /> x3  <br /> <br /> (2x + 1)(x + 3) = 0 <br /> 2<br /> <br />  x 4  2<br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> A<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> J<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> I<br /> <br /> Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J.<br /> Ta có  AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> (1)<br /> AD2 AJ 2 AI2<br /> Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có:<br /> AB = AD = a; DAJ  BAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br />  ADJ = ABM . Suy ra: AJ = AM<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> Thay vào (1) ta được:<br /> <br />  2  2 (đpcm)<br /> 2<br /> 2<br /> AD<br /> AM<br /> AI<br /> a<br /> <br /> 5<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br /> M<br /> <br /> E<br /> I<br /> F<br /> <br /> A<br /> <br /> H<br /> O<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> O/<br /> <br /> N<br /> <br /> a)<br /> <br /> Ta có AEB  CFD  900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)<br /> Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:<br /> OE  EF và OF  EF => OE // O/F<br /> => EOB  FO/ D (góc đồng vị) => EAO  FCO/<br /> Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB  FN<br /> Hay ENF  900 .<br /> Tứ giác MENF có E  N  F  90O , nên MENF là hình chữ nhật<br /> <br /> b)<br /> <br /> c)<br /> <br /> Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD<br /> Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFN  INF<br /> 1<br /> Mặt khác, trong đường tròn (O/): IFN  FDC  sđ FC<br /> 2<br /> => FDC  HNC<br /> Suy ra FDC đồng dạng HNC (g – g)<br /> => NHC  DFC  90O hay MN  AD<br /> Do MENF là hình chữ nhật, nên MFE  FEN<br /> 1<br /> Trong đường tròn (O) có: FEN  EAB  sđ EB<br /> 2<br /> => MFE  EAB<br /> Suy ra MEF đồng dạng MDA (g – g)<br /> ME MF<br /> <br /> =><br /> , hay ME.MA = MF.MD<br /> MD MA<br /> <br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> 0,5 đ<br /> <br />