Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm học 2010 - 2011 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)<br /> Bài 1. (2,0 điểm)<br /> a  1 a a 1 a2  a a  a 1<br /> với a > 0, a  1.<br /> <br /> <br /> a<br /> a a<br /> a a a<br /> a) Chứng minh rằng M  4.<br /> 6<br /> b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N <br /> nhận giá trị nguyên?<br /> M<br /> Bài 2. (2,0 điểm)<br /> a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị<br /> lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của tham số<br /> m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A<br /> và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?<br /> b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động<br /> lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua<br /> điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của<br /> 1<br /> 1 .<br /> N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q <br /> <br /> 2<br /> OM<br /> ON 2<br /> Bài 3. (2,0 điểm)<br /> 17x  2y  2011 xy<br /> a) Giải hệ phương trình: <br /> x  2y  3xy.<br /> b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:<br /> 1<br /> x  y  z  z  x  (y  3).<br /> 2<br /> Bài 4. (3,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di<br /> động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối<br /> xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM<br /> tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường<br /> thẳng BM và CN cắt nhau tại F.<br /> a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.<br /> b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.<br /> c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF<br /> ngắn nhất.<br /> <br /> Cho biểu thức: M <br /> <br /> Bài 5. (1,0 điểm)<br /> Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG<br /> <br /> KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br /> NĂM HỌC 2010-2011<br /> Môn thi: TOÁN<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9<br /> BÀIÝ<br /> <br /> ĐIỂ<br /> M<br /> <br /> ĐỀ -ĐÁP ÁN<br /> a  1 a a 1 a 2  a a  a 1<br /> với a > 0, a  1.<br /> <br /> <br /> a<br /> a a<br /> a a a<br /> a) Chứng minh rằng M  4.<br /> 6<br /> b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N <br /> nhận giá trị nguyên.<br /> M<br /> <br /> Cho biểu thức: M <br /> Bài 1<br /> <br /> Do a > 0, a  1 nên:<br /> <br /> a a  1 ( a  1)(a  a  1) a  a  1<br /> <br /> <br /> a a<br /> a ( a  1)<br /> a<br /> <br /> và<br /> <br /> a  a a  a  1 (a  1)(a  1)  a (a  1) (a  1)(a  a  1) a  a  1<br /> <br /> <br /> <br /> a a a<br /> a (1  a)<br /> a (1  a)<br /> a<br /> 1.a<br /> (1,25đ  M  a  1  2<br /> )<br /> a<br /> <br /> 2,00<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> Do a  0; a  1 nên: ( a 1)  0  a  1  2 a<br /> 2<br /> <br /> 2 a<br /> 24<br /> a<br /> 6 3<br /> Ta có 0  N   do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1<br /> M 2<br /> 1.b<br /> 6 a<br /> 2<br /> (0,75đ Mà N = 1  a  1  2 a  1  a  4 a  1  0  ( a  2)  3<br /> )<br />  a  2  3 hay a  2  3 (phù hợp)<br /> <br />  M<br /> <br /> Vậy, N nguyên  a  (2  3)<br /> a) Cho các hàm số bậc nhất: y  0,5x  3 , y  6  x và y  mx có đồ thị<br /> lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và (m). Với những giá trị nào của<br /> tham số m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt<br /> tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành<br /> độ dương?<br /> Bài 2<br /> b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di<br /> động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN<br /> luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M<br /> và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br /> 2<br /> <br /> Q<br /> <br /> 2.a<br /> <br /> 1<br /> 1 .<br /> <br /> 2<br /> OM ON 2<br /> <br /> Điều kiện để (m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m  0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2,00<br /> 0,25<br /> <br /> (0,75đ Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (m) là:<br /> )<br /> 0,5x  3  mx  (m  0,5)x  3<br /> Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m  0,5  0 hay m  0,5<br /> Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (m) là:<br /> 6  x  mx  (m  1)x  6<br /> Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m  1  0 hay m  1<br /> Vậy điều kiện cần tìm là: 1  m  0,5; m  0<br /> Đặt m = xM và n = yN  mn  0 và m  1<br /> (*)<br /> Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b<br /> 0  am  b<br /> <br />  2  a  b  hệ thức liên hệ giữa m và n là 2m  n  mn<br /> n  b<br /> <br /> <br /> 2.b Chia hai vế cho mn  0 ta được: 1  2  1<br /> m n<br /> (1,25đ<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 4<br /> 4<br /> 1   2 1<br />  1 2<br />  1<br /> )<br />  1     2  2 <br />  5 2  2     <br /> m n<br /> m n<br /> mn<br /> m n<br /> m n<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (**)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 1<br /> 1 1<br /> 2 1<br />  Q  2  2  ; dấu “=” xảy ra khi  ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5<br /> m n<br /> m<br /> n<br /> 5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (thỏa (*))<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là<br /> <br /> 1<br /> 5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 17x  2y  2011 xy<br /> a) Giải hệ phương trình: <br /> <br /> x  2y  3xy.<br /> <br /> Bài 3 (1)<br /> 1<br /> b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x  y  z  z  x  (y  3)<br /> 2<br /> <br /> (2)<br /> 17 2<br />  1 1007<br /> 9<br /> <br /> x<br />  y  x  2011  y  9<br /> <br /> <br /> <br /> 490<br /> Nếu xy  0 thì (1)  <br /> (phù hợp)<br /> <br /> <br /> 1  2  3<br />  1  490<br /> y  9<br /> <br /> <br />  x<br /> 1007<br /> <br /> 9<br /> y x<br /> 17 2<br />  1 1004<br /> 3.a<br />  y  x  2011  y  9<br /> <br /> (1,25đ Nếu xy  0 thì (1)  <br /> <br />  xy  0 (loại)<br /> <br /> )<br /> 1  2  3<br />  1   1031<br /> <br /> 18<br />  x<br /> y x<br /> Nếu xy  0 thì (1)  x  y  0 (nhận).<br /> 9<br /> 9 <br /> KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0;0) và <br /> ;<br /> <br />  490 1007 <br /> <br /> 3.b Điều kiện x ≥ 0; y  z ≥ 0; z  x ≥ 0  y ≥ z ≥ x ≥ 0<br /> (0,75đ (2)  2 x  2 y  z  2 z  x  x  y  z  z  x  3<br /> )<br />  ( x  1)2  ( y  z 1)2  ( z  x  1)2  0<br /> <br /> 2,0 đ<br /> <br /> 0,50<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  x 1<br /> x  1<br /> <br /> <br />   y  z  1   y  3 (thỏa điều kiện)<br /> z  2<br /> <br /> <br />  z  x  1<br /> <br /> Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường<br /> kính AB cố định. Gọi M là điểm di động<br /> trên (C ) sao cho M không trùng với các F<br /> điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng<br /> M<br /> của O qua A. Đường thẳng vuông góc<br /> với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N.<br /> Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại<br /> B<br /> C<br /> A<br /> O<br /> điểm<br /> thứ<br /> hai<br /> là<br /> E.<br /> Các<br /> đường<br /> thẳng<br /> BM<br /> Bài 4<br /> và CN cắt nhau tại F.<br /> a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F<br /> (C )<br /> E<br /> thẳng hàng.<br /> b) Chứng minh rằng tích AMAN<br /> không đổi.<br /> N<br /> c) Chứng minh rằng A là trọng tâm<br /> của tam giác BNF khi và chỉ khi NF<br /> ngắn nhất.<br /> MN  BF và BC  NF<br /> 4.a  A là trực tâm của tam giác BNF<br /> (1,00đ  FA  NB<br /> Lại có AE  NB<br /> )<br /> Nên A, E, F thẳng hàng<br /> CAN  MAB , nên hai tam giác ACN và AMB đồng dạng.<br /> 4.b<br /> AN AC<br /> <br /> (0,75đ Suy ra:<br /> AB AM<br /> )<br /> Hay AM  AN  AB  AC  2R 2 không đổi (với R là bán kính đường tròn (C ))<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 3,0 đ<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Ta có BA  BC nên A là trong tâm tam giác BNF  C là trung điểm NF<br /> (3)<br /> Mặt khác:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> CAN  CFM , nên hai tam giác CNA và CBF đồng dạng<br /> CN AC<br /> 4.c<br /> <br /> <br />  CN  CF  BC  AC  3R 2<br /> BC CF<br /> (1,25đ<br /> )<br /> Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: NF  CN  CF  2 CN  CF  2R 3<br /> <br /> không đổi<br /> Nên:<br /> <br /> NF ngắn nhất  CN =CF  C là trung điểm NF (4)<br /> <br /> (3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF  NF ngắn nhất<br /> Bài 5 Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.<br /> Đặt:<br /> S = 123456789101112<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,75<br /> 0,50<br /> <br /> S<br /> (1,00đ <br /> (1) là một số nguyên<br />  3467891112<br /> 100<br /> )<br />  hai chữ số tận cùng của S là 00<br /> Mặt khác, trong suốt quá trình nhân liên tiếp các thừa số ở vế phải của (1),<br /> <br /> nếu chỉ để ý đến chữ số tận cùng, ta thấy<br /> <br /> S<br /> có chữ số tận cùng là 6 (vì<br /> 100<br /> <br /> 34=12; 26=12; 27=14; 48=32; 29=18; 811=88; 812=96)<br /> Vậy ba chữ số tận cùng của S là 600<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />