Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Việt Trì

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp ích cho việc làm bài kiểm tra, nâng cao kiến thức của bản thân, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Việt Trì” bao gồm nhiều dạng câu hỏi bài tập khác nhau giúp bạn nâng cao khả năng tính toán, rèn luyện kỹ năng giải đề hiệu quả để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Việt Trì

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có: 03 trang) Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) trên tờ giấy thi I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)  3 3   −3 2  Câu 1. Giá trị biểu thức −  +  −  +  bằng 5 4  4 5 13 A. −2. B. 2. C. −1. D. . 15  −3 3  20  −4 2  20 Câu 2. Giá trị biểu thức  +  : +  +  : bằng  7 5  21  7 5  21 A. −2. B. 0. C. −1. D. 1. 3 21 Câu 3. Giá trị x trong tỉ lệ thức = bằng x − 1 16 16 23 −23 −16 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 x y z Câu 4. Bộ số ( x; y; z ) thỏa mãn = = và x − y + z = là 36 5 6 7 A. ( 30;36; 42 ) . B. ( 30; −36; 42 ) . C. ( 30;36; −42 ) . D. ( −30;36; 42 ) . a c Câu 5. Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 thì b d 3a 2d 3b 3d 5a b a d A. = . B. = . C. = . D. = . 2c 3b a c 5d c 2b 2c Câu 6. Cho x 2 + y 2 + z 2 = Giá trị biểu thức A x 2 ( x − 1) + y 2 ( x − 1) + z 2 ( x − 1) − 1 bằng 0. = A. −2. B. 1. C. 0. D. −1. Câu 7. Cho hai đa thức f ( x )= 3 x 2 + x − 4 và g ( x) = 3 x 2 − x + 3 thì f ( x ) + g ( x ) là − A. −6 x 2 − 2 x − 7. B. 1. C. 2 x + 1. D. −1. Câu 8. Rút gọn biểu thức A = ( 2 x + 3)( 4 − 6 x ) − ( 6 − 3x )( 4 x + 2 ) ta được A. A = 0. B. A = −28 x. C. A = 28 x. D. A 24 x 2 − 28 x. = Câu 9. Xác suất khi gieo một con xúc xắc sáu mặt để được mặt hơn 4 chấm bằng 1 1 1 A. 2. B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 2 3 6 có  = Câu 10. Cho tam giác ABC = 80 , B 70. Đường phân giác AD và CE cắt nhau tại I A  ( D ∈ BC , E ∈ AB ) . DIE bằng A. 125. B. 115. C. 65. D. 55. Trang 1/3
Câu 11. Cho ∆ABC = biết AB + AC = và MN − MP = . Khi đó MN bằng ∆MNP 15 cm 7 cm A. 13 cm. B. 12 cm. C. 11 cm. D. 4 cm. Câu 12. Cho ∆DEF , ∆PQR có DE = PQ . Điều kiện để ∆DEF = là ∆PQR = =   A. DF QR; D P. = =   B. DF PR; D P. =     = C. E R; D P. = =   D. EF QR; E P.   Câu 13. Cho ∆ABC = 60 , C 50. Kẻ tia phân giác BD ( D ∈ AC ) . Khẳng định nào sau đây đúng? có B = A. AD > AB. B. AB > BD. C. BD > BC. D. BD > AB. Câu 14. Cho ∆ABC có AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D , kẻ CE vuông góc với AB tại E . Kết luận nào sau đây là đúng?   A. DBC > ECB.   B. DBC < ECB.   C. DBC = ECB.   D. DBC ≤ ECB. x−6 Câu 15. Cho D = . Tổng các giá trị nguyên của x để D có giá trị nguyên bằng x+3 A. −18. B. −24. C. 12. D. −14. 1 Câu 16. Anh đọc quyển sách trong hai ngày. Ngày thứ nhất Anh đọc được quyển sách. Ngày thứ hai 7 7 Anh đọc được số trang sách còn lại của quyển sách đó. Hỏi sau hai ngày Anh đọc được bao nhiêu 12 phần quyển sách? 61 1 9 11 A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 84 2 14 14 II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 a) Tìm x biết + − − 0. = 2021 2022 2023 2024 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 b) Thực hiện phép tính: − . (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: 2 xy + 6 x 2 − y − 3 x =7. Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho a, b, c, d ≠ 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d 3 thỏa mãn b 2 ac, c 2 bd . Chứng minh rằng: = = 3 a 3 + b3 − c 3  a + b − c  =   ⋅ b3 + c 3 − d 3  b + c − d  b) Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d .  a  b  c  a − b  Tính giá trị của biểu thức: A =− 1 − 1 +  1 − 4 .  b  c  a  d  c) Cho đa thức f ( x) = ax 3 + bx 2 + 8 x − 6. Tìm a, b để f ( x) chia cho x − 2 dư 14 và f ( x) chia cho x + 1 dư −16. Trang 2/3
Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE , CF ( E ∈ AC , F ∈ AB ) . Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MF lấy điểm D sao cho MF = MD. a) Chứng minh CD = BF và CD / / BF . b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP = MQ. Chứng minh D, Q, C thẳng hàng. c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK = FI . Chứng minh tam giác MIK cân. Câu 4. (1,0 điểm) Xét các số thực a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a, b, c ≤ 2; a + b + c = Tìm giá trị lớn nhất của 0. biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 . ………… HẾT ………… Họ và tên thí sinh: ...............................................................Số báo danh: ............................................ Trang 3/3
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (HDC có: 06 trang) I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 ĐA C B B A B D D B Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 ĐA C A C B B A A C II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. (3,0 điểm) x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 a) Tìm x biết + − − 0. = 2021 2022 2023 2024 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 b) Thực hiện phép tính: − . (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn : 2 xy + 6 x 2 − y − 3 x =7. Phần Nội dung Điểm x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 a) Tìm x biết + − − 0. = 1, 0 2021 2022 2023 2024 x + 23 x + 22 x + 21 x + 20 + − − = 0. 2021 2022 2023 2024 0,25  x + 23   x + 22   x + 21   x + 20  =>  + 1 +  + 1 −  + 1 −  + 1 = 0  2021   2022   2023   2024  x + 2044 x + 2044 x + 2044 x + 2044 => + − − =0 0,25 2021 2022 2023 2024  1 1 1 1  => ( x + 2044 )  + − − = 0 0.25  2021 2022 2023 2024  1 1 1 1 => x + 2044 = 0 (vì + − − ≠0) 2021 2022 2023 2024 0,25 => x = −2044 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 b) Thực hiện phép tính: 2 6 4 5 − . 1,0 (2 .3) + 8 .3 (125.7)3 + 59.143 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 Ta có : 2 6 4 5 − (2 .3) + 8 .3 (125.7)3 + 59.143 0,25 212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 4 = 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .7 .2 2 .3 ( 3 − 1) 510.73 (1 − 7 ) 12 4 = 12 5 − 0,5 2 .3 ( 3 + 1) 59.73 (1 + 8 ) Trang 1/3
1 5. ( −6 ) 21 7 = − = ⋅ = 0,25 6 9 6 2 c) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 xy + 6 x 2 − y − 3 x =7. 1,0 2 2 xy + 6 x − y − 3 x =7 ⇒ ( 2 x − 1) y + 3 x ( 2 x − 1) = 7 0,25 ⇒ ( 2 x − 1)( y + 3 x ) = 7 Vì x, y ∈  nên 2x − 1, y + 3x ∈  0,25 Mà 7 = = 1) . ( −7 ) nên ta có bảng 1.7 ( − 2x-1 1 7 -1 -7 y+3x 7 1 -7 -1 x 1 4 0 -3 0,25 y 4 -11 -7 8 (tm) (tm) (tm) (tm) Vậy ( x; y ) {(1; 4 ) ; ( 4; −11) ; ( 0; −7 ) ; ( −3;8 )}. = 0,25 Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho a, b, c, d ≠ 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d 3 thỏa mãn b 2 ac, c 2 bd . Chứng minh rằng: = = 3 a 3 + b3 − c 3  a + b − c  =   ⋅ b3 + c 3 − d 3  b + c − d  b) Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d .  a b c a −b Tính giá trị của biểu thức: A =−  1 −  1 +   1     − 4 .  b  c  a  d  c) Cho f ( x) = ax3 + bx 2 + 8 x − 6. Tìm a, b để f ( x) chia cho x − 2 dư 14 và f ( x) chia cho x + 1 dư −16. Phần Nội dung Điểm Cho a, b, c, d khác 0, b + c − d ≠ 0; b3 + c3 ≠ d 3 thỏa mãn a) a +b −c  a+b−c  3 3 3 3 1,5 = ac, c 2 bd . Chứng minh rằng: =  b2 = 3 3 3  ⋅ b +c −d b+c−d  a b b c Ta có b 2 = ac ⇒ = ; c 2 = bd ⇒ = . 0,25 b c c d a b c a 3 b 3 c3 Do đó = = ⇒ 3= 3 = 3 0,25 b c d b c d a b c a 3 b 3 c3 Đặt = = = k ⇒ 3 = 3 = 3 = k3 0,25 b c d b c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a 3 b 3 c3 a 3 + b 3 − c3 0,25 = = = 3 3 = k3 (1) b 3 c3 d 3 b + c − d 3 Mặt khác, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 3 a b c a +b−c  a +b−c  0,25 = = = = k ⇒ k3 ( 2)  = b c d b+c−d  b+c−d  Trang 2/3
3 a 3 + b3 − c 3  a + b − c  Từ (1) và ( 2 ) ta có 3 3 3 =   (đpcm). 0,25 b +c −d b+c−d  Cho a, b, c, d ≠ 0; a − b + c= 0; c= 5d . Tính giá trị của biểu b)   a b  c a −b 1,5 thức: A =−  1 −  1 +   1 − 4 .  b  c  a  d  a b c a −b Ta có A =−  1 −  1 +    1     − 4  b  c  a  d  0,25  b − a  c − b  a + c  a − b  =     − 4  b  c  a  d  Mà a − b + c = 0 ⇒ b − a = c 0,25 Tương tự, ta có c − b = a; a + c = ; a − b = c − b − 0,25 c − a b −c Ta có A =        − 4       0,25  b  c  a  d  −abc  −5d  =  − 4 0,25 abc  d  = −1) . ( −9 ) = ( 9 0,25 Cho f ( x) = ax3 + bx 2 + 8 x − 6. Tìm a, b để f ( x) chia cho c) 1,0 x − 2 dư 14 và f ( x) chia cho x + 1 dư −16. Vì f ( x) = ax3 + bx 2 + 8 x − 6 chia cho x − 2 dư 14 nên f ( x) có dạng: f ( x) =2 ) g ( x ) + 8 (x − Ta có f (2) =2 ) g ( 2 ) + 14 (2 − 0,25 ⇒ a.23 + b.22 + 8.2 − 6 = 14 ⇒ 8a + 4b =(1) 4 Vì f ( x) = ax3 + bx 2 + 8 x − 6 chia cho x + 1 dư −16 nên f ( x) có dạng: f ( x) = 1) h ( x ) − 16 (x + Ta có f (−1) = ( −1 + 1) h ( −1) − 16 0,25 ⇒ a. ( −1) + b. ( −1) + 8. ( −1) − 6 = 3 2 −16 ⇒ −a + b = −2 ⇒ b = a − 2 (2) Thay ( 2 ) vào (1) ta có 8a + 4 ( a − 2 ) = 4 0,25 ⇒ 12a − 8 =4 1 ⇒a= Thay a = 1 vào ( 2 ) ta có b =− 2 = 1 1 − 0,25 Vậy a = 1; b = −1. Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BE , CF ( E ∈ AC , F ∈ AB ) . Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MF lấy điểm D sao cho MF = MD. a) Chứng minh CD = BF và CD / / BF . Trang 3/3
b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F , trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MP = MQ. Chứng minh D, Q, C thẳng hàng. c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy điểm I sao cho EK = FI . Chứng minh tam giác MIK cân. Phần Nội dung Điểm Hình vẽ A K E F I P B C M Q D a) Chứng minh CD = BF và CD / / BF . 2,0 Xét ∆BMF và ∆CMD Có: BM = CM ( Vì M là trung điểm của BC )   0,75 BMF = CMD (Hai góc đối đỉnh) MF = MD ( gt ) ⇒ ∆BMF = ∆CMD ( c − g − c ) 0,25 ⇒ CD = BF 0,25   Và MBF = MCD mà chúng ở vị trí so le trong 0,5 ⇒ CD / / BF 0,25 b) Lấy điểm P bất kì nằm giữa B và F trên tia đối của tia MP lấy 1,0 điểm Q sao cho MP = MQ. Chứng minh D, Q, C thẳng hàng. Xét ∆BMP và ∆CMQ Có: MB = MC (Vì M là trung điểm của BC ) 0,5   BMP = CMQ ( hai góc đối đỉnh) Trang 4/3
MP = MQ ( gt ) ⇒ ∆BMP = ∆CMQ ( c − g − c ) 0,25   MCQ ⇒ MBP = mà chúng ở vị trí so le trong ⇒ BP / / CQ 0,25 Mà CD / / BF theo tiên đề ơclit ⇒ C , Q, D thẳng hàng c) Trên tia đối của tia EF lấy điểm K , trên tia đối của tia FE lấy 1,0 điểm I sao cho EK = FI . Chứng minh tam giác MIK cân. Xét ∆BFC và ∆DCF Có: BF = CD ( theo a)) 0,25   BFC DCF 90 ( Vì BF / / CD và BF ⊥ CF ) = = CF cạnh chung ⇒ ∆BFC = ∆DCF ( c − g − c ) ⇒ BC = DF 0,25 1 Mà DF = 2 FM (Vì M là trung điểm FD ) ⇒ FM = (1) BC 2 1 Chứng minh tương tự: ME = BC (2). Từ (1) và (2) 2 0,25 ⇒ MF ME ⇒ ∆MFE cân tại M = ⇒ MFE   = MEF ⇒ MFI = MEK (kề bù)   Xét ∆MFI và ∆MEK Có: MF = ME (chứng minh trên)   MFI = MEK (chứng minh trên) 0,25 FI = EK ( gt ) ⇒ ∆MFI = ∆MEK ( c − g − c ) ⇒ MI = MK ⇒ ∆MIK cân tại M Câu 4. (1,0 điểm) Xét các số thực a, b, c thỏa mãn −1 ≤ a, b, c ≤ 2; a + b + c = Tìm giá trị lớn 0. nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 . Phần Nội dung Điểm a + 1 ≥ 0 Vì −1 ≤ a, b, c ≤ 2 ⇒  a − 2 ≤ 0 0,25 ⇒ ( a + 1)( a − 2 ) ≤ 0 ⇒ a 2 − 2a + a − 2 ≤ 0 ⇒ a 2 ≤ a + 2 0,25 Chứng minh tương tự: b 2 ≤ b + 2  0,25  2 ⇒ a 2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + 6 =6 c ≤ c + 2  Trang 5/3
Dấu đẳng thức sảy ra khi: ( a; b; c ) = ( −1; −1; 2 ) và các hoán vị 0,25 Vậy Max P = 6 ⇔ ( a; b; c ) = ( −1; −1; 2 ) và các hoán vị Trang 6/3