Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học 12

Chia sẻ: Pham Linh Dan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

157
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học lớp 12 để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Chúc các em thi tốt và đạt điểm cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long môn Toán học 12

SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN Thời gian : 180 phút ___________________________________________________________________________ Bài 1 : (Đại số) Cho các số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x2 + y2 + xy. Bài 2 : (Lượng giác) Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn . Chứng minh rằng : tgA tgB tgC 3  3  3 1 tg B tg C tg A Bài 3 : (Giải tích) Dãy số  x n  được xác định như sau : xn x1  3 ; x n 1  3  ( n = 1, 2, 3, ….). 2 xn  1 Chứng minh rằng dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn của nó. Bài 4 : (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC , một đường tròn bất kì qua A cắt các tia AB, AC, AM theo thứ tự tại E, F, K. Chứng minh rằng : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Bài 5 : (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD có BAC  CAD  DAB  60 0 . Chứng minh rằng : AB 2  AC 2  AD 2  8R 2 trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. ( Kí hiệu BAC là góc BAC )
Sở Giáo dục & Đào tạo Cà Mau KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Trường THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển  MÔN: TOÁN BÀI 1: (4đ) Giải phương trình: x 3  (1  x 2 )3  x 2(1  x 2 ) . BÀI 2: (4đ) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:  3  2  n  3 2  n là số nguyên dương. BÀI 3: (4đ)  Cho a1  0 . Xét dãy số (an ) cho bởi: an 1  ln(1  an ), n  . n (nan  2) 2 Chứng minh rằng: lim  . n  ln n 3 BÀI 4: (4đ) Cho tam diện vuông Oxyz và điểm A cố định nằm trong tam diện. Khoảng cách từ A đến ba mặt (Oyz), (Ozx) và (Oxy) lần lượt là a, b và c. Gọi   là mặt phẳng di động qua A cắt Ox tại M, cắt Oy tại N và cắt Oz tại P. Trong trường hợp thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất thì A là điểm gì trong tam giác MNP? BÀI 5: (4đ) Trong đường tròn có bán kính bằng 1 nội tiếp một hình vuông; trong hình vuông này lại nội tiếp một đường tròn nữa, trong đường tròn này lại nội tiếp một bát giác đều, trong bát giác đều lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một đa giác đều 16 cạnh, cứ như thế … 2 Chứng minh bán kính của các đường tròn kể trên đều lớn hơn . 
SỞ GD – ĐT KIÊN GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN Thời gian : 180 phút BÀI 1: PT-BPT-3Đ Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình: [ 1]  [ 2]  [ 3]  ...  [ x 2  1]  y BÀI 2: HÌNH HỌC PHẲNG -3Đ 2 Cho hình vuông cạnh bằng 1. Có hai tam giác đều cạnh lớn hơn nằm bên trong hình 3 vuông. Chứng minh rằng hai tam giác ấy có điểm chung. BÀI 3-SỐ HỌC- 3 Đ Giải phương trình nghiệm nguyên: x 2  3 y 2  4 xy  2 x  4 y  13  0 (1) BÀI 4: GIẢI TÍCH -3 Đ Dãy số un  xác định như sau : n un =  3  5  , ở đây   chỉ phần nguyên của số  (là số nguyên lớn nhất không       vượt quá  ). Chứng minh rằng n , thì un là số lẻ. BÀI 5: TỔ HỢP-3Đ Cho A là tập tất cả các phần tử x   x1 , x2 ,..., x6  với x1 , x2 ,..., x6  1, 4 . Một chương trình máy tính chọn ngẫu nhiên 2008 phần tử từ tập A ( các phần tử khác nhau ) được một dãy un . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho lấy bất kì n số hạng của dãy un ta luôn tìm được 16 số hạng mà 2 số hạng bất kì trong 16 số hạng đó có ít nhất là 2 thành phần khác nhau. BÀI 6: ĐẠI SỐ-3Đ Cho ai  0, ai  R, i  1,.., 2008 và a1 ...a2008  1 . Chứng minh rằng 1 1 4.2007 4.2007  ...    2008  a1 a2008 a1  ...  a2008 2008 BÀI 7-HÌNH HỌC KHÔNG GIAN-3Đ Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b với a
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.CẦN THƠ KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG LẦN THỨ 16 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN HỌC Thời gian làm bài : 180 phút Bài 1. (Đại số – 3 điểm) Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 thỏa đồng thời các điều kiện 5  k .x k 1 k a 5 3 k .xk  a 2 k 1 5 5 k .x k  a 3 k 1 Bài 2. (Hình học phẳng – 3 điểm) Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với 1 1 1 1 1 1 đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh      HA' HB ' HC ' HA HB HC Bài 3. (Số học – 2 điểm) a) Chứng minh phương trình z 2  ( x 2  1)( y 2  1)  2010 (1) vô nghiệm với x, y, z  Z. b) Chứng minh phương trình z 2  ( x 2  1)( y 2  1)  2008 (2) có nghiệm với x, y, z  Z. Bài 4. (Giải tích – 3 điểm) 1 5 Cho dãy số (an) bị chặn và a n 2  a n1  a n n  1 6 6 Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ. Bài 5. (Tổ hợp – 3 điểm) Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai. Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.) Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau. Bài 6. (Đại số – 3 điểm) Tìm các hàm f: R  R khả vi và thỏa điều kiện f ( x  f ( y ))  f ( y  f ( x )) x, y  R Bài 7. (Hình không gian – 3 điểm) Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu. AB  3.CD, AC  3.DB, AD  3.BC . Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC . ---------------------------------HẾT--------------------------------
SỞ GDĐT TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG THPT TP CAO LÃNH ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ KỲ THI HSG KV ĐBSCL LẦN THỨ 16 Môn : TOÁN HỌC Câu 1: (3 điểm) 12x  8 Giải bất phương trình: 2x  4  2 2  x  (1) 9x2  16 Bài giải Điều kiện 2  x  2 . Khi đó: (2x  4)  4(2  x) 2(6x  4) (1)   2x  4  2 2  x 9x2  16 6x  4 2(6x  4)   2x  4  2 2  x 9x2  16  (3x  2)  9x2  16  2( 2x  4  2 2  x   0    (3x  2)(9x2  8x  32  16 8  2x2 )  0  (3x  2)( x  2 8  2x2 )(8  x  2 8  2x2 )  0  (3x  2)( x  2 8  2x2 )  0  3x  2  0   2   x  2 8  2x  0   3x  2  0   2   x  2 8  2x  0   32  x2 Giải hệ trên ta được  3  2  2  x  3  Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : NB.AC2  NC.AB2  0 . 1
Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG ( Môn Toán - 180 Phút ) BÀI 1 : Số học. n Cho n là số tự nhiên sao cho 2006! chia hết cho 6 . Chứng minh n  999 BÀI 2 : Đại số và lượng giác. 2 2 x x Giải phương trình : 2005x  2006x = 2004  2005 . BÀI 3 : Giải tích và tổ hợp. Cho cấp số cộng  ao; a1; a2; a3 . . . với an = a + n.d ; a > 0, d > 0 , n  N . Tìm điều kiện cần và đủ đối với a và d để có một dãy con của cấp số cộng là cấp số nhân. BÀI 4 : Hình học phẳng Bên trong đường tròn đường kính AB = 2006 có 4 đoạn thẳng mỗi đoạn có độ dài bằng 1003. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng vuông góc hoặc song song với AB, giao với ít nhất 2 trong 4 đoạn thẳng đã cho. BÀI 5 : Hình học không gian Cho tứ diện ABCD, có các cạnh AD, AC, BD, BC lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S1) bán kính R1 , tâm I1 nằm trên cạnh AB; các cạnh CA, CB, DA, DB lần lượt tiếp xúc với mặt cầu (S2) bán kính R2 , tâm I2 nằm trên cạnh CD. Chứng minh : 2 AB4(CD – 4R2 ) = CD4(AB2 – 4R2 ) 2 1