Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm 2012-2013 môn Toán - Sở GD&DT Bắc Giang

http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> ĐỀ THI HSG CỤM LẠNG GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013<br /> SỞ GD & ĐT BẮC GIANG<br /> CỤM LẠNG GIANG<br /> <br /> Môn: Toán. Lớp 11. Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Ngày thi 24 tháng 02 năm 2013<br /> <br /> Câu I: (2 điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> 1. Giải phương trình: 2 2 cos2 x + sin 2 x cos  x +<br /> <br /> 3π<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> π<br />  − 4sin  x +  = 0<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2. Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 }. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6<br /> chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6?<br /> <br /> Câu II: (2 điểm)<br /> n<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển: P ( x ) =  x +  và x ≠ 0 biết rằng:<br /> x<br /> <br /> C41n+1 + C42n+1 + C43n +1 + ... + C42nn+1 = 232 − 1<br /> <br /> (n ∈ N )<br /> *<br /> <br /> u<br /> u0 = 1; u1 = 6<br /> . Tìm lim n n<br /> 3.2<br /> un+ 2 − 3un +1 + 2un = 0, ∀n ∈ N<br /> <br /> 2. Cho dãy số (un ) xác định như sau : <br /> Câu III: (1 điểm) Tìm giới hạn L = lim<br /> x →0<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 + x2 − 4 1 − 2 x<br /> x2 + x<br /> <br /> Câu IV: (3 điểm)<br /> 1. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có<br /> đáy song song với cạnh BC và có 2 đỉnh lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC<br /> cho trước.<br /> 2. Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a . Gọi O là<br /> <br /> trung điểm của BC. Lấy S ở ngoài mặt phẳng (α ) , sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là một<br /> <br /> điểm trên cạnh AB, mặt phẳng ( β ) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt<br /> tại N, P, Q. Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .<br /> a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.<br /> b. Tính diện tích hình thang này theo a và x. Tìm x để diện tích này lớn nhất.<br /> Câu V: (2 điểm)<br /> <br /> 1. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; ba số x, y – 4, z theo thứ tự đó lập<br /> thành một cấp số nhân; đồng thời x, y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy<br /> tìm x, y, z.<br /> 2. Cho a, b, c ∈ R . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm x3 + ax 2 + bx + c = 0<br /> ------------------- HẾT ------------------Họ và tên thí sinh:.............................................................................SBD:......................................<br /> Lưu ý: + Học sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.<br /> + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> <br /> CÂU<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM toán 11<br /> NỘI DUNG<br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> PT ⇔ (sin x + cos x )  4(cos x − sin x ) − sin 2 x − 4  = 0<br /> <br /> s inx + cos x = 0<br /> ⇔<br />  4 ( cos x − s inx ) − sin 2 x − 4 = 0<br /> + s inx + cos x = 0 ⇔ x = −<br /> <br /> 1<br /> <br /> π<br /> 4<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> + kπ<br /> <br /> + 4 ( s inx − cos x ) − sin 2 x − 4 = 0<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> (1) .<br /> <br /> Đặt t = s inx − cos x<br /> <br /> ( t ≤ 2)<br /> <br />  t = −1<br /> t = 5 (loai)<br /> <br /> Khi đó phương trình (1) trở thành: t 2 − 4t − 5 = 0 ⇔ <br /> <br />  x = k 2π<br /> π<br /> 1<br /> <br /> Với t = −1 ta có s inx − cos x = −1 ⇔ sin  x −  = −<br /> ⇔<br />  x = 3π + k 2π<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> π<br /> 3π<br /> + k 2π<br /> Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ ; x = k 2π ; x =<br /> 4<br /> <br /> I<br /> (2đ)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Gọi số cần tìm là : n = a1 a 2 a3 a 4 a5 a6<br /> <br /> 2<br /> <br /> Số n có tính chất :<br /> + Lẻ ⇒ a6 ∈ {1 ; 3 ; 5 ; 7 }<br /> + a3 chia hết cho 6 ⇒ a3 ∈ {0 ; 6} .<br /> * Trường hợp 1 : a3 = 0 :<br /> a6 có 4 cách .<br /> a1 có 6 cách .<br /> Chọn 3 chữ số còn lại có A53 cách .<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ⇒ Có 4.6. A53 số .<br /> * Trường hợp 2 : a3 = 6<br /> a6 có 4 cách chọn .<br /> a1 có 5 cách (a1 ≠ 0 ; a1 ≠ a3 ; a1 ≠ a6)<br /> Chọn 3 chữ số còn lại có A53 cách<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ⇒ Có 4.5. A53 số .<br /> Vậy : 4.6. A53 + 4.5. A53 = 2640 số .<br /> <br /> + Xét khai triển (1 + x )<br /> <br /> 4 n +1<br /> <br /> =<br /> <br /> 4 n +1<br /> <br /> ∑C<br /> k =0<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> x . Với x = 1 , ta có:<br /> <br /> k<br /> k<br /> 4 n +1<br /> <br /> C40n+1 + C41n+1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 + C42nn++11 + C42nn++12 + ... + C44nn++11 = 24 n+1<br /> <br /> Lại có: Cnk = Cnn− k , nên: C40n+1 + C41n+1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 = C42nn++11 + C42nn++12 + ... + C44nn++11<br /> Suy ra: 2 ( C40n +1 + C41n +1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 ) = 24 n +1<br /> <br /> II<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> ⇒ C40n +1 + C41n +1 + C42n+1 + ... + C42nn+1 = 24 n<br /> ⇒ C41n +1 + C42n +1 + ... + C42nn+1 = 24 n − 1<br /> <br /> Theo đầu bài ta có: 24 n − 1 = 232 − 1 ⇔ 4n = 32 ⇔ n = 8<br /> 8<br /> <br /> k<br /> <br /> 8<br /> 8<br /> 5<br /> <br /> 5<br /> + Với n = 8 , ta có: P ( x ) =  x +  = ∑ C8k .x8−k .   = ∑ C8k .5k .x8−2 k<br /> x  k =0<br /> <br />  x  k =0<br /> Số hạng không chứa x ứng với 8 − 2k = 0 ⇔ k = 4 .<br /> 4<br /> 8<br /> <br /> Kết luận: Vậy số hạng không chứa x là C .5<br /> <br /> 4<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> <br /> + Ta có<br /> u0 = 1 = −4 + 5.20<br /> u1 = 6 = −4 + 5.21<br /> u2 = 16 = −4 + 5.22<br /> u3 = 36 = −4 + 5.23<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ...<br /> <br /> 2<br /> <br /> un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N *<br /> <br /> + Sử dụng phương pháp qui nạp chứng minh un = −4 + 5.2n , ∀n ∈ N là số<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> hạng tổng quát của (un )<br /> un<br /> −4 + 5.2<br /> = lim<br /> = lim<br /> n<br /> 3.2<br /> 3.2n<br /> n<br /> <br /> + lim<br /> <br /> Ta có: L = lim<br /> <br /> 3<br /> <br /> x →0<br /> <br /> + Tính L1 = lim<br /> x →0<br /> <br /> = lim<br /> x →0<br /> <br /> III<br /> <br /> −4.<br /> <br /> 1<br /> +5<br /> 5<br /> 2n<br /> =<br /> 3<br /> 3<br /> <br />  3 1 + x2 −1 1 − 4 1 − 2 x <br /> 1 + x2 − 4 1 − 2 x<br /> =<br /> lim<br /> +<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x →0 <br /> <br /> x2 + x<br /> x<br /> +<br /> x<br /> x<br /> +<br /> x<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 + x2 − 1<br /> = lim<br /> x →0<br /> x2 + x<br /> <br /> x →0<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> x ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> 2<br /> ( x + 1)  3 (1 + x 2 ) + 3 1 + x 2 + 1<br /> <br /> <br /> <br /> (<br /> <br /> ( x + 1) 4 (1 − 2 x )<br /> <br /> (<br /> <br /> =0<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 2x<br /> 4<br /> <br /> (1 − 2 x )<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> x2<br /> <br /> 1 − 4 1 − 2x<br /> + Tính L2 = lim<br /> = lim<br /> x →0<br /> x →0<br /> x2 + x<br /> x ( x + 1)<br /> = lim<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> + 4 (1 − 2 x )<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> )<br /> <br /> + 4 (1 − 2 x ) + 4 (1 − 2 x ) + 1<br /> 2<br /> <br /> )<br /> <br /> 1<br /> + Vậy L = L1 + L2 =<br /> 2<br /> <br /> IV<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 1<br /> =<br /> + 4 (1 − 2 x ) + 1 2<br /> <br /> + Phân tích: Giả sử ta dựng được ∆PMN thỏa mãn các điều kiện của bài<br /> toán và ta nhận thấy M và N là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục , có trục<br /> là đường thẳng d đi qua P và vuông góc với BC cho trước. Do đó, ta có cách<br /> dựng<br /> + Cách dựng:<br /> - Dựng đường thẳng d qua P và vuông góc với BC<br /> - Dựng ảnh của cạnh AC là A ' C ' qua phép đối xứng trục d<br /> - Gọi M = AB ∩ A ' C ' . Dựng N = Dd ( M )<br /> Khi đó ta được ∆PMN là tam giác cần dựng thỏa mãn các ycbt<br /> + Chứng minh: ta dễ dàng chứng minh được ∆PMN là tam giác cân tại P<br /> + Biện luận: Do AB và A ' C ' luôn cắt nhau tại 1 điểm M duy nhất cho nên<br /> bài toán luôn có duy nhất nghiệm hình<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br /> <br /> Ta có<br /> ( β ) / / OA<br /> <br /> + OA ⊂ ( ABC )<br /> ⇒ MN / / OA<br /> <br />  MN = ( β ) ∩ ( ABC )<br /> <br /> 2a<br /> <br /> ( β ) / / SB<br /> <br /> +  SB ⊂ ( SAB )<br /> ⇒ MQ / / SB<br /> <br />  MQ = ( β ) ∩ ( SAB )<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ( 2)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ( 3)<br /> <br /> + Tương tự: NP / / SB<br /> <br /> + Từ ( 2 ) , ( 3) ta suy ra MQ / / NP / / SB<br /> <br /> ( 4)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Từ (1) , ( 4 ) và SB ⊥ OA ta suy ra MNPQ là hình thang vuông , đường cao<br /> 0.25<br /> <br /> MN.<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> + Ta có S MNPQ = .MN . ( MQ + NP )<br /> <br /> (5)<br /> <br /> + Tính MN. Ta có ∆ABC là nửa tam giác đều nên BC = 2 AB = 2a<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Suy ra OA = BC = a<br /> MN / / OA và ∆ABO đều nên ∆BMN đều ⇒ MN = BM = BN = x<br /> <br /> + Tính MQ:<br /> MQ / / SB ⇒<br /> <br /> MQ AM<br /> SB<br /> a<br /> =<br /> ⇒ MQ = AM .<br /> = (a − x) = (a − x)<br /> SB<br /> AB<br /> AB<br /> a<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> + Tính NP:<br /> <br /> NP CN<br /> SB.CN a ( 2a − x ) 2a − x<br /> =<br /> ⇒ NP =<br /> =<br /> =<br /> SB CB<br /> CB<br /> 2a<br /> 2<br /> x ( 4a − 3 x )<br /> 2b Thay các kết quả tìm được vào (5) ta được S MNPQ =<br /> 4<br /> NP / / SB ⇒<br /> <br /> + Tìm x để diện tích lớn nhất<br /> x ( 4 a − 3 x ) 3 x ( 4a − 3 x )<br /> =<br /> 4<br /> 12<br /> Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 3x, ( 4a − 3x ) , ta có:<br /> <br /> Ta có: S MNPQ =<br /> <br /> 0.5<br /> <br />  3 x + 4a − 3 x <br /> 2<br /> 3 x ( 4a − 3 x ) ≤ <br />  ≤ 4a<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> 1<br /> a<br /> ⇒ S MNPQ ≤ .4a 2 =<br /> 12<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> + Đẳng thức xảy ra ⇔ 3x = 4a − 3x ⇔ x =<br /> Vậy khi x =<br /> <br /> V<br /> <br /> 2a<br /> 3<br /> <br /> 2a<br /> thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất.<br /> 3<br /> <br /> 0.25<br /> 1<br /> <br /> + Từ các giả thiết của bài toán ta có hệ phương trình<br />  y 2 = xz<br /> <br /> 2<br /> ( y − 4 ) = xz<br /> <br /> <br /> (1)<br /> ( 2)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> http://toanhocmuonmau.violet.vn<br />  x = 4<br /> <br /> x + z = 5<br /> z = 1<br /> + Với y = 2 ta có <br /> ⇔<br />  x = 1<br />  xz = 4<br /> <br />   z = 4<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> + Kết luận: các số x, y, z cần tìm là x = 1, y = 2, z = 4 hoặc x = 4, y = 2, z = 1<br /> + Xét hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c là hàm số liên tục trên R<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> c <br /> <br /> + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + + 2 + 3  = +∞ nên tồn tại số<br /> x →+∞<br /> x →+∞<br /> x <br />  x x<br /> dương α đủ lớn, ta có: f (α ) > 0<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> + Ta có: lim ( x3 + ax 2 + bx + c ) = lim x 3  1 + +<br /> x →−∞<br /> <br /> x →−∞<br /> <br /> a<br /> x<br /> <br /> b<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> b<br /> c <br /> + 3  = −∞ nên tồn tại số âm<br /> 2<br /> x<br /> x <br /> <br /> β , sao cho β đủ lớn, ta có: f ( β ) < 0<br /> <br /> + Vì<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> f (α ) f ( β ) < 0 và hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [α ; β ] ⊂ R nên<br /> <br /> phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (α ; β ) . Tức là phương<br /> trình x3 + ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c ∈ R<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Lưu ý: Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm và sơ lược cách giải. Nếu học sinh làm cách khác<br /> đúng thì vận dụng hướng dẫn này để cho điểm.<br /> <br />