Đề thi HSG môn Toán 11

SỞ GD-ĐT HÀ NAM<br /> <br /> ĐỀ THI HSG TOÁN 11<br /> (Thời gian làm bài :180 phút )<br /> <br /> Câu 1 : (4 điểm) Cho 3  n  N .Tìm nghiệm x  (0,  / 2 ) của PT sin n x  cos n x  n.2<br /> <br /> 2n<br /> 2<br /> <br /> Câu 2: (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c(a + b).<br /> a<br /> b<br /> c2<br /> <br /> <br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P <br /> 1  a 2 1  b2 1  c 2<br /> <br /> Câu 3: ( 4 điểm) GPT<br /> 1  x3 2<br /> <br /> x2  2 5<br /> <br /> Câu 4: (4 điểm) Cho thập giac lồi .<br /> a) tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó.<br /> b) số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác đó.<br /> Câu 5 (2điểm) Cho tam giác ABC nhọn ,phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai<br /> tam giác đều ABM và ACN.Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn<br /> BN .Từ đó suy ra MC=BN<br /> Câu 6 (2 điểm) Giải HPT:<br />  x 2  y 2  x  y  2<br />  2<br /> 2<br />  x  y  y  x  2<br /> <br /> ……………………………..Hết……………………………………………..<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> Câu 1: (4 điểm) Ta có :<br /> n<br /> <br /> n (2  n )<br /> 2<br /> <br /> n<br /> <br /> n (2  n )<br /> 2<br /> <br /> n 2<br /> sin n x  sin n x  2<br />  ..2n 2.  n 2<br /> <br /> .(sin n x) n  n.2<br /> <br /> n ( 2 n )<br /> 2<br /> <br /> sin 2 x<br /> <br /> ( n  2) sô<br /> n 2<br /> cos n x  cos n x  2<br />  ..2n  2.  n 2<br /> <br /> .(cos n x) n  n.2<br /> <br /> n (2  n )<br /> 2<br /> <br /> cos 2 x<br /> <br /> ( n  2) sô<br /> <br /> Cộng vế ta được<br /> 2(sin n x  cos n x)  (n  2).2<br />  sin n x  cos n x  2<br /> <br /> 2 n<br /> 2<br /> <br /> 2 n<br /> 2<br /> <br />  n.2<br /> <br /> 2 n<br /> 2<br /> <br /> .(sin 2 x  cos 2 x)  n.2<br /> <br /> 2 n<br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> Dấu bằng xẩy ra sinx=cosx= 1/ 2  x   / 4<br /> Câu 2 (4 điểm)<br /> <br /> <br /> đặt a  tan  , b  tan  , c   tan  với  ,    0;  ,     ;0 <br /> 2<br /> <br /> <br />  2 <br /> Từ giả thiết ta có<br /> ab  1  c(a  b)  tan  .tan   1  tan  (tan   tan  )<br /> 1<br /> tan   tan <br /> <br /> <br /> tan  1  tan  tan <br /> <br />  tan(   )  tan(   )<br /> 2<br /> <br />     <br /> <br /> <br />  k<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> vì          nên      <br /> <br /> P  tan  .cos 2  tan  .cos 2   tan 2  .cos 2 <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> mà<br /> <br /> 1<br /> (sin 2  sin 2   2sin 2  )<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> P  [2sin(   ) cos(   )  2sin 2  ] =  cos 2  cos cos(   ) +1<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> cos(   )  cos 2 (   )<br /> 5<br /> <br /> P    cos <br /> 1 <br />  <br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br /> 5<br /> <br /> cos 2 (   )=1<br />   <br />   <br /> <br /> <br /> <br /> 12<br /> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <br /> <br /> 1<br /> cos(   )<br /> <br /> c<br /> os<br /> <br /> =<br /> cos<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br />   <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> 3<br />  a  b  2 3, c  3<br /> 5<br /> Vậy GTLN của P bằng khi và chỉ khi a  b  2  3 , c  3<br /> 4<br /> <br /> Câu 3: (4 điểm) GPT<br /> và v= x 2  x  1 (u,v không âm)<br /> <br /> Đặt u= x  1<br /> <br /> u<br /> v  2<br /> 5u<br /> u 2<br /> 2<br /> 2<br /> ta đc 5uv  2(u  v )   2( )  2  <br /> v<br /> v<br /> u  1<br />  v 2<br /> u<br /> TH1  2 vô nghiệm<br /> v<br /> <br />  x  1<br /> <br /> 5  37<br /> 2<br />  2 x 1  x  x 1   x <br /> u<br /> <br /> TH2  1/ 2<br /> 2<br /> v<br /> <br />  x  5  37<br /> <br /> 2<br /> <br /> Nghiệm của PT là x <br /> <br /> 5  37<br /> 5  37<br /> ;x <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Câu 4 :(4 điểm)<br /> a) TH1 : số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của thập giác là<br /> 6 x 10 = 60 tam giác<br /> TH2 số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là 10 tam giác vi với mối đỉnh<br /> cùng hai cạnh chứa đỉnh đó tạo thành 1 tam giác<br /> Vậy số tam giác ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác là :60+10= 70 tam giác<br /> b) Tổng số tam giác tạo thành từ 10 đỉnh là: c 310  120<br /> Vậy số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác là:120-70 =50 tam giác<br /> Câu 5<br /> Qua phép quay Q( A;60 ) thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua<br /> 0<br /> <br /> phép quay Q( A;60 ) thì đoạn MN biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN<br /> 0<br /> <br />