Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc

UBND HUYỆN VĨNH LỘC<br /> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017<br /> ĐỀ THI MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> Bài 1: (4,0 điểm)<br /> Cho biểu thức P =<br /> <br /> 3x  9 x  3<br /> x x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> x 2<br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P<br /> b. Tìm x để P < 0<br /> Bài 2: (4,0 điểm)<br /> a. Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .<br /> b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng<br /> <br /> 1 1<br />  4<br /> a b<br /> <br />  a  b  .<br /> <br /> <br /> Bài 3: (4,0 điểm)<br /> a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương<br /> b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2<br /> Chứng minh A = xy chia hết cho 12<br /> Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'.<br /> a. Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B<br /> b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho   ANB  900 . Chứng minh rằng AM = AN.<br /> AMC <br /> c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.<br /> Chứng minh rằng cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 <br /> <br /> S'<br /> S<br /> <br /> Bài 5: (2,0 điểm)<br /> Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y <br /> A  3x  4 y <br /> <br /> 2<br /> 8<br /> <br /> 5x 7 y<br /> <br /> 34<br /> . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> 35<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9<br /> Bài<br /> <br /> Nội dung cần đạt<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Câu a: (2,0 điểm)<br /> - Tìm được ĐKXĐ: x  0, x  1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Ta có<br /> 3x  9 x  3<br /> x x 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> <br /> <br /> x2<br /> <br /> 3x  3 x  3<br /> ( x  2)( x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> ( x  1)( x  1)<br /> ( x  2)( x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> ( x  2)( x  2)<br /> ( x  2)( x  1)<br /> <br /> 3x  3 x  3  x  1  x  4<br /> ( x  2)( x  1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x3 x 2<br /> ( x  2)( x  1)<br /> ( x  2)( x  1)<br /> ( x  2)( x  1)<br /> <br /> <br /> <br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x 1<br /> <br /> Câu b: (2,0 điểm)<br /> - Ta có: P < 0<br /> <br /> <br /> x 1<br /> x 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0<br /> <br />  x  1  0(do x  1  0)<br />  x 1<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  x 1<br /> <br /> - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0  x  1 thì P < 0.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Câu a: (2,0 điểm)<br /> Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .<br /> - ĐKXĐ x  5 .<br /> 0,25<br /> <br /> - Ta có<br /> x 2  7 x  6 x  5  30<br />  x 2  8 x  16  x  5  6 x  5  9  0<br />   x  4 <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x53  0<br /> <br /> - Vì<br /> <br />  x  4<br /> <br /> 2<br /> <br />  0;<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> x  5  3  0 nên<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  x  4  2  0<br /> <br /> <br /> 2<br />  x5 3  0<br /> <br /> x  4  0<br /> <br /> <br />  x5 3 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (thỏa mãn ĐKXĐ)<br /> - Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4<br /> 2<br /> <br /> Câu b: (2,0 điểm)<br /> 1<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng  a  b  .     4<br /> a b<br /> <br /> <br /> 0,75<br /> <br /> - Ta có<br /> 1 1<br /> a b<br />    2 <br /> b a<br /> a b<br /> <br />  a  b  .<br /> <br /> <br /> - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương<br /> a b<br /> a b<br />  2 . 2<br /> b a<br /> b a<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1 1<br /> - Do đó  a  b  .     4<br /> a b<br /> <br /> Câu a: (2,0 điểm)<br /> Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương<br /> - Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a  N )<br />  4n 2  4n  24  4a 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> - Ta có: n 2 + n + 6 =a2   2a    2n  1  23<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />   2a  2n  1 .  2a  2n  1   23<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và<br /> 2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  2a  2n  1  23<br /> <br />  2a  2n  1  1<br />  4a  24<br /> <br />  4n  20<br /> a  6<br /> <br /> n  5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Vậy n = 5<br /> <br /> Câu b: (2,0 điểm)<br /> Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2<br /> Chứng minh A = xy chia hết cho 12<br /> 1,0<br /> <br /> - Xét phép chia của xy cho 3<br /> Nếu xy không chia hết cho 3 thì<br />  x  1(mod 3)<br /> <br />  y  1(mod 3)<br />  x 2  1(mod 3)<br /> <br />  2<br />  y  1(mod 3)<br /> <br /> <br /> (Vô lí)<br /> <br />  z 2  x 2  y 2  2(mod 3)<br /> <br /> Vậy xy chia hết cho 3 (1)<br /> - Xét phép chia của xy cho 4<br /> Nếu xy không chia hết cho 4 thì<br />  x  1(mod 4)<br /> <br />  y  1(mod 4)<br />  x 2  1(mod 4)<br /> <br /> TH1:  <br /> <br /> <br /> 2<br />  y  1(mod 4)<br /> <br />  z 2  x 2  y 2  2(mod 4)<br /> <br /> 0,5<br /> (vô lí )<br /> <br /> TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1.<br /> Không mất tính tổng quát giả sử<br /> <br />  x  1(mod 4)<br /> <br />  y  2(mod 4)<br />  x 2  1(mod 8)<br /> <br /> ( vô lí)<br />  2<br />  y  4(mod 8)<br /> <br />  z 2  x 2  y 2  5(mod 8)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Vậy xy chia hết cho 4 (2)<br /> - Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12<br /> A<br /> <br /> B'<br /> <br /> C<br /> <br /> N<br /> <br /> M<br /> <br /> 4<br /> <br /> B<br /> <br /> A'<br /> <br /> C<br /> <br /> Câu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔAC'C  ΔAB'B<br /> - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có<br /> Góc A chung<br /> <br /> 2,0<br /> <br />  <br /> B '  C '  90 0<br /> <br /> Suy ra: ΔAC'C  ΔAB'B<br /> Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Xét AMC vuông tại M đường cao MB'<br /> AM 2  AB '.AC<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> - Xét ANB vuông tại N đường cao NC'<br /> <br /> 0,5<br /> <br />