Điểm bất động của ánh xạ dạng ε - δ CO trong thang các không gian Banach

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ DẠNG    CO<br /> TRONG THANG CÁC KHÔNG GIAN BANACH<br /> <br /> Nguyễn Bích Huy1<br /> Võ Duy Thượng2<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Bài toán Cauchy tìm hàm x : 0, a   X (X là một không gian Banach)<br /> thoả mãn<br /> x '  t   f t , x t  , t   0, a  ,<br /> x  0   xo ,<br /> vốn ban đầu được nghiên cứu với ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào X, sau<br /> này nhờ khái niệm “thang các không gian Banach” đã được mở rộng cho một<br /> lớp ánh xạ f tác động từ  0,a   X vào một X’ mở rộng hơn X [1,4-6].<br /> Một cách tự nhiên, ta muốn xét bài toán tương tự về mở rộng một số<br /> định lí điểm bất động của ánh xạ f tác động từ X vào X lên trường hợp f tác<br /> động từ X vào một X '  X . Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một mở<br /> rộng định lí điểm bất động của ánh xạ dạng    co của Leader [2,3] lên<br /> trường hợp ánh xạ tác động trong một thang các không gian Banach.<br /> <br /> 2. Các kết quả chính<br /> Định nghĩa<br /> Một họ các không gian Banach  X s , . s  , s   a , b  gọi là một thang các<br /> không gian Banach nếu với mỗi cặp s , s'   a , b  mà s  s' thì<br /> X s'  X s , x s  x s' x  X s'<br /> Định lí 1<br /> Giả sử là tập số tự nhiên và q s : s   a , b  là họ các hàm<br /> qs :    0,   thoả mãn các điều kiện sau:<br /> i) qs  m , n   qs'  m , n  nếu s  s'<br /> ii) qs  m , n   qs  m , k   qs  k , k   qs  k , n <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> PGS. TS. – Trường ĐHSP TP. HCM<br /> 2<br /> ThS. – Trường CĐSP Long An<br /> 32<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 14 năm 2008<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> iii) Với mỗi   0 và s   a , b  tồn tại số   0 và số r  sao cho với<br /> s', s''   s , b  , s''  s' và m , n  thì<br /> qs'  m , n       qs''  m  r , n  r   <br /> Thế thì lim qs  m , n   0 s   a , b <br /> m ,n <br /> <br /> Chứng minh<br /> 1<br /> Bằng cách xét hàm  qs  m , n   qs  n , m   nếu cần, ta có thể coi qs là<br /> 2<br /> đối xứng, nghĩa là qs  m , n   qs  m , n  .<br /> <br /> Đặt Mms  n   max qs  i , m  n  : i  n , n  m <br /> Bước 1: Cố định m, ta chứng minh rằng<br /> inf  M  n  : n  , s'  s, b  0 (1)<br /> s'<br /> m<br /> <br /> Giả sử trái lại, vế trái của (1) bằng   0 . Ta chọn số   0 , số r <br /> tương ứng với  theo điều kiện iii) của định lí sao cho<br /> s  s''  s', qs'  m , n       qs''  m  r , n  r    (2)<br /> Vì vế trái của (1) bằng  nên ta tìm được s'   s, b  , n  sao cho<br /> Mms'  n      và do đó<br /> qs'  j , m  n      j  n , n  m<br /> Lấy s''   s, s'  , ta có do (2)<br /> qs''  j  r , m  n  r    j  n , n  m<br /> hay qs''  i , n  m  r    i  n  r , n  m  r . Vậy Mms''  n  r    .<br /> Điều này mâu thuẫn với giả sử của ta rằng vế trái của (1) bằng  .<br /> Bước 2: Cho   0 , ta chọn các số  ,r theo điều kiện (ii) của định lí để<br /> có (2).<br /> Áp dụng (1) với m= r , ta tìm được s'  s và no  sao cho Mrs'  no   min ,  (3)<br />  2<br /> Lấy m  no , ta sẽ chứng minh qs  m , no  r    . Thật vậy, ta chọn k <br /> sao cho no  m  kr  no  r (4)<br /> Từ định nghĩa của Mrs'  no  và (3), (4) ta có<br /> qs'  m  kr , no  r   Mrs'  no    . Tiếp theo, ta sử dụng điều kiện ii) của định lí<br /> và được<br /> q s '  m  kr , n o   q s '  m  kr , n o  r   q s'  n o  r , n o  r   q s '  n o  r , n o <br />  <br />      <br /> 2 2<br /> 33<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Bích Huy, Võ Duy Thượng<br /> <br /> <br /> <br /> Từ đây và (2), ta có<br /> qs''  m  kr  r , no  r    với s''   s , s'  .<br /> Lại áp dụng điều kiện ii) và i) ta được<br /> q s ''  m  kr  r , n o   q s ''  m  kr  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o  r   q s ''  n o  r , n o <br /> <   q s '  n o  r , n o  r   q s'  n o  r , n o <br />  <br />      <br /> 2 2<br /> và do vậy, lại có thể áp dụng (2) để có<br /> qs'''  n  kr  2r , no  r    với s'''   s, s'' <br /> Lặp lại một số lần cần thiết lý luận như trên, ta có<br /> qs  m , no  r    m  no (5)<br /> Bây giờ, với m  no , n  no , áp dụng (5), ta có<br /> qs  m , n   qs  m , no  r   qs  no  r , no  r   qs  no  r , n   3<br /> Định lí 1 được chứng minh.<br /> Định lí 2<br /> Cho thang các không gian Banach  X , .  , s a,b<br /> s s<br /> và ánh xạ<br /> U : X s'  X s liên tục với mỗi cặp s , s'   a , b  mà s  s' và thoả mãn điều kiện<br /> (A) sau đây<br /> *<br /> (A) Với mỗi   0 , mỗi s   a , b  tồn tại số      , s   0 , r  r   , s   sao<br /> cho khi s  s''  s ' ta có<br /> x , y  Xs' , x  y s'      U r  x   U r  y  <br /> s''<br /> <br /> Khi đó U có trong mỗi X s , s   a , b  điểm bất động suy nhất x s . Dãy<br /> lặp U n  x  với x  Xb hội tụ về x s .<br /> Chứng minh<br /> Với x , y  Xb ta định nghĩa hàm qs :    0,   bởi<br /> qs  m, n  U m  x   U n  x  . Do định nghĩa thang các không gian Banach, ta có<br /> s<br /> <br /> qs  m , n   qs'  m , n  nếu s  s' . Dễ thấy điều kiện ii) trong định lí 1 cũng được<br /> thoả mãn. Ta kiểm tra qs thoả điều kiện iii). Với   0 và s   a , b  ta chọn<br />  ,r theo điều kiện (A). Với s"  s' và qs'  m , n   U m  x   U n  y  s'     , ta<br /> có U r U m  x    U r U n  y     hay qs"  m  r , n  r    . Vậy hàm qs thoả tất<br /> s"<br /> <br /> cả các điều kiện của định lí 1 nên ta có lim qs  m , n   0 . Do đó U n  x   và<br /> m ,n <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 34<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 14 năm 2008<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> U  y  <br /> n<br /> là các dãy Cauchy tương đương trong X s . Đặt x s  lim U n  x  trong<br /> n <br /> <br /> X s , ta sẽ chứng minh xs  U  xs  . Lấy s  s thì do U liên tục từ X s vào X s nên<br /> <br />  <br /> lim U U n  x   U  xs  trong X s<br /> n <br /> <br /> Mặt khác lim U U  x    lim U  x   x<br /> n n1<br /> s trong X s nên do phép nhúng<br /> n  n <br /> <br /> Xs  X là liên tục ta cũng có lim U U  x    x<br /> s<br /> n<br /> s trong X s . Vậy U  xs   xs .<br /> n<br /> <br /> Để chứng minh sự duy nhất ta giả sử có x  X s thoả x  U x . Chọn <br />    là hai dãy Cauchy tương đương trong<br /> s  s , ta có U n  x  , U n x X s . Mà<br /> <br /> <br /> x  U n x , xs  U n  xs  n  nên từ đây ta có x  xs .<br /> Định lí 2 được chứng minh.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. K.Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag.<br /> [2]. Le Hoan Hoa, K.Schmitt (1994), Fixed point theorems of Krasnoselskii<br /> type in locally convex space and applications to integral equation Results in<br /> Mathematics, 25, 291-313.<br /> [3]. S.Leader (1982), Two convergence principles with applications to fixed<br /> points in metric space, Nonlinear Analysis, 6513-538.<br /> [4]. L.Nirenberg (1986), Bài giảng về giải tích hàm phi tuyến, NXB Đại học<br /> và trung học chuyên nghiệp.<br /> [5]. T.Nishida (1977), A note on Nirenberg’s theorem as an abstract form of a<br /> nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem in a scale of Banach spaces, J. Diff.<br /> Geom,12, 629-633.<br /> [6]. L.Ovcyanikov (1971), Bài toán Cauchy phi tuyến trong thang các không<br /> gian Banach DAN SSSR, 200, 789-792.<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Trong bài báo chúng tôi chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một<br /> lớp ánh xạ dạng    co trong thang các không gian Banach.<br /> <br /> Abstract<br /> Fixed points a class of    contractive operators in a scale of Banach<br /> spaces<br /> In the present paper we prove the existence of fixed points for a class of<br />    constractive operators in a scale of Banach spaces.<br /> <br /> <br /> 35<br />