Điều khiển bám vị trí hệ phi tuyến có tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu đầu vào với bộ điều khiển tuyến tính từng đoạn

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông<br /> <br /> ĐIỀU KHIỂN BÁM VỊ TRÍ HỆ PHI TUYẾN CÓ THAM SỐ TRỄ<br /> THEO TRẠNG THÁI VÀ TÍN HIỆU ĐẦU VÀO VỚI BỘ<br /> ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TỪNG ĐOẠN<br /> <br /> Đỗ Thị Tú Anh*, Nguyễn Doãn Phước<br /> <br /> Tóm tắt: Bài toán điều khiển bám tiệm cận vị trí cho hệ phi tuyến có tham số trễ<br /> theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển luôn là một thách thức. Bài báo này giới<br /> thiệu một phương pháp giải quyết bài toán vừa nêu. Phương pháp đề xuất này được<br /> xây dựng trên nền nguyên lý tuyến tính hóa từng đoạn với bộ điều khiển phản hồi<br /> trạng thái LQR trượt dọc trên trục thời gian. Do các bộ điều khiển LQR chỉ đảm<br /> bảo được tính ổn định tại điểm cân bằng nên khi áp dụng vào bài toán điều khiển<br /> bám, bộ điều khiển tối ưu từng đoạn của bài báo cần thêm kỹ thuật bổ sung, đó là<br /> kỹ thuật chuyển bài toán điều khiển bám thành bài toán điều khiển ổn định tương<br /> đương. Chất lượng bám tiệm cận đó của bộ điều khiển cũng đã được bài báo xác<br /> nhận thông qua kết quả mô phỏng của một ví dụ số.<br /> Từ khóa: Tuyến tính hóa từng đoạn, Hệ phi tuyến có trễ, LQR.<br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br /> Các đối tượng điều khiển trong thực tế đều là những hệ phi tuyến [1]. Để mô tả được<br /> một cách tương đối đầy đủ bản chất của những hiện tượng vật lý, hóa học trong tự nhiên<br /> người ta luôn phải sử dụng các phương trình phi tuyến [2]. Bởi vậy, trong xu hướng nâng<br /> cao chất lượng các hệ thống điều khiển tự động ngày nay, người ta không thể không lưu<br /> tâm nghiên cứu phát triển các phương pháp điều khiển phi tuyến.<br /> Biết là như vậy, song các phương pháp điều khiển hệ phi tuyến hiện có, đặc biệt là với<br /> những hệ phi tuyến có trễ, lại không nhiều. Điều này ta có thể thấy ngay ở tài liệu [3], một<br /> trong những quyển sách được đánh giá cao về tính bao quát trong điều khiển phi tuyến.<br /> Hơn thế nữa, những phương pháp điều khiển bám tín hiệu đặt trước cho hệ phi tuyến có trễ<br /> lại càng hiếm [4], trong khi bài toán điều khiển bám ổn định vị trí có ràng buộc cho những<br /> đối tượng phi tuyến có trễ lại rất phổ biến trong thực tế [2,5], chẳng hạn ở như các hệ cơ,<br /> hệ chuyển động có lực ma sát, hệ thủy lực... với hiện tượng dính (stiction), vọt nhẩy<br /> (jump), khe hở (dead zone)... sinh ra từ các thành phần hai vị trí có trễ, khuếch đại có trễ,<br /> hysteris... bên trong nó [4,5]. Và đó cũng là lý do chính thúc đẩy các tác giả của bài báo<br /> này nghiên cứu xây dựng một phương pháp điều khiển cho hệ phi tuyến có tham số trễ<br /> theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển, mô tả bởi mô hình trạng thái không liên tục dạng<br /> chung như sau:<br /> x k 1  A(x k 1 , u k 1 )x k  B (x k 1 , u k  1 )u k<br />  (1)<br /> y k  C (x k  2 , u k  2 )x k  D (x k  2 , u k  2 )u k<br /> trong đó:<br />  x k  (x 1[k ],  , x n [k ])T là vector của n giá trị biến trạng thái trong hệ ở thời điểm<br /> t  kT và T là chu kỳ trích mẫu,<br /> <br /> <br /> 52 Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám… tuyến tính từng đoạn.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br />  u k  (u1[k ],  , um [k ])T là vector của m biến điều khiển (tín hiệu đầu vào),<br />  y  (y1[k ],  , ym [k ])T là vector của m tín hiệu đầu ra,<br /> k<br />  1, 1,  2 ,  2 là các thời gian trễ theo biến trạng thái và chúng đều là những số tự nhiên,<br />  1, 1,  2 , 2 là các thời gian trễ theo biến điều khiển và chúng cũng đều là các số tự nhiên,<br />  A(x k  , u k  ), B (x k  , u k   ), C (x k  , u k  ), D (x k  , u k   ) lần lượt là các<br /> 1 1 1 1 2 2 2 2<br /> <br /> ma trận hàm mô tả tính phụ thuộc trạng thái và tín hiệu điều khiển trong quá khứ của tham<br /> số mô hình.<br /> Nhiệm vụ điều khiển được đặt ra ở đây là phải xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng<br /> thái sao cho tín hiệu đầu ra y của hệ (1) bám tiệm cận theo được giá trị đặt w dạng hằng<br /> k<br /> số cho trước.<br /> 2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN<br /> Tư tưởng thiết kế bộ điều khiển của bài báo là sự mở rộng của phương pháp điều khiển<br /> đã được trình bày ở tài liệu [6] sang cho hệ phi tuyến có trễ mô tả bởi mô hình (1). Như<br /> vậy, các bước thiết kế bộ điều khiển sẽ bao gồm:<br />  Tuyến tính hóa từng đoạn mô hình (1) theo chu kỳ trích mẫu. Mỗi mô hình tuyến này<br /> sẽ chỉ được sử dụng trong khoảng thời gian kT  t  (k  1)T .<br />  Chuyển bài toán điều khiển bám cho hệ tuyến tính thành bài toán điều khiển ổn định<br /> tương ứng.<br />  Xây dựng bộ điều khiển LQR từng đoạn để xác định tín hiệu điều khiển u k thuộc<br /> khoảng thời gian kT  t  (k  1)T cho hệ (1).<br /> <br /> 2.1. Tuyến tính hóa từng đoạn mô hình phi tuyến<br /> Xét hệ (1) tại thời điểm t  kT hiện tại. Do ở thời điểm này các giá trị trạng thái<br /> x k  , x k  , x k  , x k  và tín hiệu điều khiển u k  , u k   , u k  , u k   thuộc quá<br /> 1 1 2 2 1 1 2 2<br /> <br /> khứ là đã biết nên tất cả các ma trận:<br /> Ak  A(x k 1 , u k 1 ), Bk  B (x k 1 , u k  1 )<br /> (2)<br /> C k  C (x k  2 , u k  2 ), Dk  D (x k  2 , u k  2 )<br /> đều xác định được. Khi đó, nếu tất cả các ma trận phụ thuộc trạng thái và tín hiệu điều<br /> khiển A, B , C , D của mô hình song tuyến (1) được giả thiết là các hàm liên tục, tức là<br /> có thể xấp xỉ được:<br /> A  Ak , B  Bk , C  C k , D  Dk với kT  t  (k  1)T<br /> thì hệ phi tuyến đã cho ban đầu sẽ được thay thế gần đúng bởi mô hình tuyến tính tham số<br /> hằng (LTI):<br /> x k 1  Ak x k  Bk u k<br /> Hk :  (3)<br /> y k  C k x k  Dk u k<br /> Như vậy, ở các thời điểm k  1, 2,  hệ phi tuyến (1) đã được tuyến tính hóa thành<br /> các mô hình H k , k  1, 2,  cho ở (3) và mỗi mô hình tuyến tính này cũng chỉ có tác<br /> dụng thay thế cho (1) trong khoảng thời gian tương ứng là kT  t  (k  1)T .<br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 53<br />  Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông<br /> <br /> 2.2. Chuyển bài toán điều bám thành bài toán điều khiển ổn định<br /> Giả sử rằng với dãy tín hiệu điều khiển u k tìm được, hệ H k , k  1,2,  đi vào chế<br /> độ xác lập với biến trạng thái x k tiến tới hằng số, ký hiệu bởi x s [k ] , và y  w . Khi đó,<br /> k<br /> nếu ký hiệu u k  us [k ] cũng là giá trị tín hiệu điều khiển của nó ở chế độ xác lập, ta sẽ<br /> được từ (3):<br /> x s [k ]  Ak x s [k ]  Bk us [k ]  0   Ak  I n Bk   x s [k ]  x [k ]<br />          Mk  s <br /> w  C k x s [k ]  Dk u s [k ]  w   Ck Dk   u s [k ]  us [k ]<br /> <br /> với M k là ký hiệu của:<br />  Ak  I n Bk <br /> Mk   (4)<br />  Ck Dk <br /> Vậy, nếu ma trận M k định nghĩa bởi (4) là không suy biến thì:<br />  x s [k ] 1  0 <br />  u [k ]  M k  w  (5)<br /> s<br /> Từ đây ta thấy nếu đặt biến mới:<br /> ek  x k  x s [k ] và d k  u k  u s [k ] (6)<br /> hệ sai số sẽ là:<br /> H k/ : ek 1  Ak ek  Bk d k (7)<br /> <br /> và khi hệ sai số H k/ này ổn định tiệm cận tại gốc, ta cũng sẽ có từ ek  0 điều mong<br /> muốn x k  x s [k ] và u k  u s [k ] , hay y  w .<br /> k<br /> <br /> 2.3. Thuật toán điều khiển<br /> Để điều khiển ổn định tiệm cận tại gốc hệ sai số H k" có mô hình (7) ta sử dụng tiêu<br /> chuẩn tối ưu toàn phương:<br /> <br /> T T<br /> Jk   <br />  ek iQk ek i  d k i Rk d k i  min<br /> i 0<br /> (8)<br /> <br /> với Qk  Rn n , Rk  Rm m là hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn. Khi đó,<br /> theo phương pháp quy hoạch động [6], bộ điều khiển LQR cho hệ (7) sẽ là:<br /> 1 T 1 T<br /> <br /> d k   Rk  BkT Lk Bk  Bk Lk Ak ek <br />   Rk  BkT Lk Bk  Bk Lk Ak x k  x s [k ] (9)<br /> <br /> trong đó ma trận đối xứng xác định dương Lk  LTk  0 là nghiệm của phương trình<br /> Riccati:<br />  1<br /> <br /> Lk  Qk  AkT Lk I  Bk Rk  BkT Lk Bk  BkT Lk  Ak (10)<br />  <br /> Tiếp theo, từ d k có được với công thức (9) ta cũng sẽ có được tín hiệu điều khiển u k<br /> cho hệ (1) ban đầu ở thời điểm k , tính ngược nhờ các công thức (6) như sau:<br /> <br /> <br /> <br /> 54 Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám… tuyến tính từng đoạn.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> 1 T<br /> <br /> u k  d k  u s [k ]   Rk  BkT Lk Bk  Bk Lk Ak x k  x s [k ]  us [k ] (11)<br /> Vậy, khi tổng kết lại tất cả các bước thực hiện ở trên thì bộ điều khiển tuyến tính từng<br /> đoạn để điều khiển bám giá trị đặt w cho hệ phi tuyến với tham số trễ theo trạng thái và<br /> tín hiệu điều khiển mô tả bởi (1) sẽ làm việc theo các bước sau:<br /> 1. Khai báo 8 mảng dữ liệu sau:<br /> x1 gồm 1 phần tử n chiều: x1  x 1 , x 2 ,  , x 1  với x i1  Rn<br /> <br />  1 1 1<br /> <br /> <br /> x 2 gồm  2 phần tử n chiều: x 2  x 1 2 , x 22 ,  , x  2  với x i  Rn<br /> <br />  2  2<br /> <br /> <br /> x1 gồm 1 phần tử n chiều: x1  x 1 , x 2 ,  , x 1  với x i 1  Rn<br /> <br />  1 1 1<br /> <br /> <br /> x 2 gồm  2 phần tử n chiều: x 2  x 1 , x 2 ,  , x  2  với x i  Rn<br /> <br />  2 2 2  2<br /> <br /> <br /> u1 gồm 1 phần tử m chiều: u1  u1 , u 2 ,  , u 1  với u i  Rm<br /> <br />  1 1 1 1<br /> <br /> <br /> u 2 gồm  2 phần tử m chiều: u 2  u1 , u 2 ,  , u  2  với u i 2  Rm<br /> <br />  2 2 2 <br /> <br /> <br /> u 1 gồm 1 phần tử m chiều: u 1  u11 , u 21 ,  , u 1  với u i  Rm<br /> <br />  1 1<br /> <br /> <br /> u 2 gồm  2 phần tử m chiều: u 1  u1 , u 2 ,  , u 2  với u i1  Rm<br /> <br />  2 2 2 <br /> <br /> 2. Gán k  0 . Chọn tùy ý giá trị đầu cho u 1 và cho tất cả các phần tử của các mảng<br /> x1 , x 2 , x1 , x 2 , u1 , u 2 , u 1 , u 2 .<br /> 3. Chọn hai ma trận đối xứng xác định dương Qk , Rk .<br /> 4. Đo x k từ đối tượng điều khiển (1). Tính các ma trận Ak , Bk ,C k , Dk theo công thức<br /> (2) mà bây giờ cụ thể là:<br /> Ak  A(x 1 , u1 ), Bk  B (x 1 , u1 ), C k  C (x 1 , u1 ), Dk  D (x 1 , u1 )<br /> 1 1 1 1 2 2 2 2<br /> <br /> 5. Xây dựng ma trận M k theo (4).<br /> 6. Nếu M k là suy biến thì gán u k  u k 1 và chuyển tới bước 9. Ngược lại thì thực hiện<br /> bước tiếp theo.<br /> 7. Xác định x s [k ], u s [k ] theo công thức (5).<br /> 8. Tính u k theo các công thức (10) và (11), sau đó đưa vào điều khiển đối tượng.<br /> 9. Sắp xếp lại các mảng x 1 , x  2 , x1 , x 2 , u1 , u 2 , u 1 , u 2 theo thứ tự từ phải sang trái<br /> như sau (FILO):<br /> <br />  x 1 , x 2 ,  , x 1   x k tức là x i : x i1 , 1  i  1  1 và x 1 : x k<br />  <br />  1 1 1 1 1 1<br /> <br /> <br />  x 1 , x 2 ,  , x  2   x k tức là x i : x i1, 1  i   2  1 và x  2 : x k<br />  <br />  2 2 2  2 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 55<br />  Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông<br /> <br />  x 1 , x 2 ,  , x 1   x k tức là x i 1 : x i 11 , 1  i  1  1 và x 1 : x k<br />  <br />  1 1 1 1<br /> <br /> <br />  x 1 , x 2 ,  , x  2   x k tức là x i 2 : x i 21 , 1  i   2  1 và x  2 : x k<br />  <br />  2 2 2  2<br /> <br /> <br />  u1 , u 2 ,  , u 1   u k tức là u i 1 : u i 1 1 , 1  i  1  1 và u 1 : u k<br />  <br />  1 1 1 1<br /> <br /> <br />  u1 , u 2 ,  , u  2   u k tức là u i : u i 1 , 1  i  1  1 và u 1 : u k<br />  <br />  2 2 2  2 2 1<br /> <br /> <br />  u1 , u 2 ,  , u 1   u k tức là u i : u i1 , 1  i  1  1 và u 1 : u k<br />  <br />  1 1 1 1 1 1<br /> <br /> <br />  u1 , u 2 ,  , u 2   u k tức là u i2 : u i21 , 1  i   2  1 và u 2 : u k<br />  <br />  2 2 2  2<br /> <br /> 10. Gán k : k  1 và quay lại bước 3 nếu cần thay đổi Qk , Rk hoặc quay lại bước 4 nếu<br /> giữ nguyên Qk , Rk cho tất cả các bước tính, tức là cho mọi k .<br /> <br /> 3. VÍ DỤ MINH HỌA<br /> Xét hệ (1) bậc hai có dạng chi tiết như sau:<br />   0 1   0.25x1[k  1] <br /> x k 1   x k    uk<br />   x 2 [k  1] uk 1   0.5  (12)<br /> y  1 , x [k  1] x  u u<br />  k  2  k k 1 k<br /> tức là có các thời gian trễ 1   2  1  1  2  1, 1   2   2  0 của các tham số mô<br /> hình. Cụ thể, hệ này có các tham số là:<br />  x [k  1] 1   0.25x1[k  1] <br /> A(x k 1 , u k 1 )   1  , B (x k 1 , u k  1 )   <br />  x 2 [k  1] uk 1   0.5  (13)<br /> C (x k  2 , u k  2 )  1 , x 2 [k  1] , D (x k  2 , u k  2 )  uk 1<br /> <br /> 2<br /> Rk = 100*(0.5)k<br /> State variable 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1.5 Rk = R = 1<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> State variable 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> Rk = 100*(0.5)k<br /> -0.5<br /> Rk = R = 1<br /> <br /> -1<br /> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br /> time<br /> <br /> <br /> Hình 1. Quỹ đạo trạng thái của hệ kín.<br /> <br /> <br /> 56 Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám… tuyến tính từng đoạn.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> Sử dụng thuật toán điều khiển đã có ở mục 2.3 với:<br /> k<br /> Qk  I 2 , Rk  100  0.5  và w  1<br /> cho mọi bước tính k , cũng như các giá trị đầu:<br /> T<br /> u 1  0, x 1   0 , 1<br /> thì với giá trị trạng thái khởi phát:<br /> T<br /> x 0   0.2 , 1.3<br /> hệ kín sẽ có chất lượng được thể hiện ở các hình gồm hình 1 biểu diễn quỹ đạo vector<br /> trạng thái, hình 2 về tín hiệu đầu ra và hình 3 về giá trị tín hiệu điều khiển.<br /> <br /> 5<br /> Rk = 100*(0.5)k<br /> 4.5<br /> Rk = R = 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3.5<br /> Process output<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 2.5<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0.5<br /> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br /> time<br /> <br /> <br /> Hình 2. Đáp ứng đầu ra của hệ kín.<br /> <br /> 0.5<br /> Rk = 100*(0.5)k<br /> Rk = R = 1<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> -0.5<br /> Control signal<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> -1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> -1.5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> -2<br /> 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br /> time<br /> <br /> <br /> Hình 3. Tín hiệu điều khiển đưa vào đối tượng.<br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 57<br />  Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông<br /> <br /> Các kết quả mô phỏng này cho thấy bộ điều khiển đề xuất đã điều khiển được đối<br /> tượng song tuyến (12) có tham số trễ theo cả trạng thái và tín hiệu điều khiển như ở công<br /> thức (13), bám ổn định theo tín hiệu đặt w  1 cho trước, tức là hệ kín đã có đầu ra yk<br /> tiệm cận tới w  1 và trong suốt quá trình điều khiển hệ luôn có trạng thái bị chặn. Ngoài<br /> k<br /> ra trong tất cả các hình vẽ, đường nét liền biểu diễn cho trường hợp Rk  100  0.5  còn<br /> đường nét đứt biểu diễn trường hợp Rk  1 để cho thấy ưu điểm của việc thay đổi các ma<br /> trận trọng số của hàm mục tiêu (8). Ngay lúc đầu (khi k nhỏ), ta chọn Rk đủ lớn để có<br /> uk đủ nhỏ sao cho có thể thỏa mãn điều kiện ràng buộc (nếu có) của tín hiệu điều khiển.<br /> Sau đó, ta sẽ giảm dần Rk để thông qua đó làm tăng thêm sự tham gia của thành phần sai<br /> lệch bám ek trong hàm mục tiêu (8) nhằm làm giảm nhanh sai lệch bám của tín hiệu ra yk<br /> so với tín hiệu đặt w .<br /> <br /> 4. KẾT LUẬN VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG CỦA PHƯƠNG PHÁP<br /> Bài báo đã giới thiệu một phương pháp điều khiển bám vị trí cho lớp hệ song tuyến có<br /> tham số trễ theo trạng thái và tín hiệu điều khiển. Các kết quả mô phỏng số đã xác nhận<br /> chất lượng bám vị trí đặt rất tốt của bộ điều khiển.<br /> Mặc dù bộ điều khiển đề xuất của bài báo chỉ giới hạn cho lớp các hệ song tuyến có cấu<br /> trúc mô hình cho bởi (1), song có thể thấy ta vẫn có thể mở rộng để áp dụng cho các hệ phi<br /> tuyến affine có tham số trễ với mô hình:<br /> x k 1  f (x k , x k 1 , u k 1 )  H (x k , x k 1 , u k 1 )u k<br /> <br /> y k  C (x k  2 , u k  2 )x k  D (x k  2 , u k  2 )u k<br /> nếu như ở đó có vector hàm f (x k , x k  , u k  ) và ma trận H (x k , x k  , u k  ) là liên<br /> 1 1 1 1<br /> <br /> tục theo đối số của nó.<br /> Cuối cùng, từ kết quả mô phỏng, một vấn đề nẩy sinh cần được nghiên cứu tiếp là việc<br /> chọn hợp lý các ma trận Qk , Rk , cũng như một quy luật thay đổi các ma trận đó cho từng<br /> vòng lặp, nhằm nâng cao chất lượng bám của hệ thống trong khi vẫn đảm bảo các điều<br /> kiện ràng buộc kèm theo của bài toán điều khiển. Đây cũng sẽ là hướng nghiên cứu tiếp<br /> theo của nhóm tác giả.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1]. Engell, S., “Entwurf nichtlinearer Regelung”, Oldenbourg, 1995.<br /> [2]. Gruyitch, L.T, “Nonlinear Systems Tracking”, CRC Press, 2016.<br /> [3] Khalil, H.K., “Nonlinear Systems”, The 3rd edition. Pearson Educaion Limited, 2014.<br /> [4]. Phước, N.D., “Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến”, Xuất bản lần thứ 2. NXB Bách<br /> Khoa, 2015.<br /> [5]. Johansson, R. and Rantzer, A., “Nonlinear and hybrid systems in automotive<br /> control”, Springer, 2002.<br /> [6]. Tú Anh, Đ.T., “Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến”, Luận án TS,<br /> ĐHBK Hà Nội, 2014.<br /> <br /> <br /> 58 Đ.T.T.Anh, N.D.Phước, “Điều khiển bám… tuyến tính từng đoạn.”<br /> Nghiên cứu khoa học công nghệ<br /> <br /> ABSTRACT<br /> <br /> TRACKING CONTROL OF TIME-DELAY NONLINEAR SYSTEMS WITH<br /> CONTROL AND STATE-DEPENDENT PARAMETERS USING<br /> PIECEWISE LINEAR CONTROLLER<br /> The asymptotically tracking control of time-delay nonlinear systems with control<br /> and state-dependent parameters is always a challenging problem. In the paper a<br /> method to solve the above problem is introduced. The proposed technique is based<br /> on the piecewise linearization principle in which the LQR state-feedback controller<br /> moves along the time axis. Because LQR controllers guarantee stability of the<br /> system only at the equilibrium point, the proposed controller requires an additional<br /> technique to reduce the tracking control problem to the equivalent stabilizing<br /> control problem. The asymptotically tracking performance of the controller is also<br /> verified through simulation results of a numerical example.<br /> Keywords: Piecewise linearization, Time-delay nonlinear systems, LQR.<br /> <br /> <br /> Nhận bài ngày 12 tháng 05 năm 2016<br /> Hoàn thiện ngày 23 tháng 06 năm 2016<br /> Chấp nhận đăng ngày 04 tháng 07 năm 2016<br /> <br /> Địa chỉ: Đại học Bách khoa Hà Nội,<br /> Số 1, Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội.<br /> *<br /> Email: anh.dothitu@hust.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 59<br />