Giải tích 2 – Đề số 1

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

246
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu đề toán giải tích 2 kèm theo đáp án và cách trình bày dễ hiểu, giúp các bạn ôn tập giải tích dễ dàng hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích 2 – Đề số 1

Giải tích 2 – Đề số 1 2x  y Câu 1: Tìm khai triển Taylor của f ( x, y )  tại điểm (2,1) đến cấp 3. x y X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ =1+ [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)] = + X- Y- X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(ρ3) = + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(ρ3) Câu 2:tìm cực trị của hàm z  x 2  y 2  xy  12 x  3 y Điểm dừng: x=7, y=-2 A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2 Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2)  n n2 u  1   2 Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  n với un=  2  2  và vn= 1   n 1 v n  n   n  un = = = 2/e2 v hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy n 1 n (1)n 1 x 2 n  Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n 1 4 (3n  1) ρ= = =1/4 => -4
1 Câu 5: Tính tích phân kép I   dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 D x y 2 x  x 2  y 2  6 x, y  x x=rcosφ, y=rsinφ 1 I   dxdy = = = 4-2 2 2 D x y Câu 6: Tính tích phân  2  I   e x  xy dx   y cos y  x 2 dy C với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước  2  I   e x  xy dx   y cos y  x 2 dy = C = =-7/2
Câu 7: Tính I   ydx  ( z  x)dy  xdz , với C là giao của x 2  y 2  1 và z  y  1 , chiều kim đồng hồ C theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I= = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một   I   x 2  y 2 dS , trong đó S là phần mặt nón z2  x2  y2 , nằm S giữa hai mặt phẳng z  0, z  1 . D=prxOyS là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x2+y2=1} S  I   x 2  y 2 dS = = /2
Giải tích 2 – Đề số 2 2 Câu 1. Cho hàm f ( x, y )  xe xy . Tính d 2 f (2,1) . f'’x= +xy2 f’’xx= 2y2 + xy4 => f’’xx(2,1)= 4e2 f’’xy= 4xy + 2x2y3 => f’’xy(2,1)=16e2 f’y=2x2y f’’yy= 2x2 +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e2  d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2 2  y2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y )  ( y 2  x 2 )e1 x trên miền D  {( x, y ) | x 2  y 2  4}  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 Xét: L(x,y,λ)= +λ(x2+y2-4)  x=0,y= , λ=-5e5 v x= ,y=0, λ=-3e-3 f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1 f(0,2)= f(0,-2)=4e5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3 Maxf=4e5 x2+y2 4 Minf=-1 x2+y2 4  n ( n  2)   n 1  1.3.5...(2n  1) n 1 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/    n 2  n  2  b/  n 1 2.4.6...(2n ) .3 a) = = =1/e3
 n ( n  2)  n 1    n  2  n 2   hội tụ theo tc Cauchy b) = = 6>1  1.3.5...(2n  1) n 1   n 1 2.4.6...(2n ) .3 phân kỳ theo tc D’alembert  (1)n ( x  3)n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa  3 n 1 2n  ln n ρ= = =1 => -1
Câu 6. Tính tích phân I    x  y  dx   x  y dy , với C là phần đường cong y  x  sin x , từ C A(0,0) đến B ( ,  ) . = => tích phân ko phụ thuộc đường đi I    x  y  dx   x  y dy = = C Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z  R2  x2  y2 nằm trong hình trụ x2  y2  Rx . Gọi S là phần mặt cầu z  R2  x2  y2 nằm trong hình trụ x2  y2  Rx D=prxOyS, D={x2+y2 Rx} S= dxdy = rdr =2R( 3 3 3 Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I   x dydz  y dxdz  z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi S x 2  y 2  z 2  4, z  x 2  y 2 , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa I   x 3 dydz  y 3 dxdz  z 3 dxdy = - S =-3 = (
Giải tích 2 – Đề số 3 x 2 Câu 1. Cho hàm f ( x, y )  (2 x  y )ln . Tính d f (1,1) y f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1  d2f(1,1)=dx2-2dxdy+dy2 3 9 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + + với x > 0, y > 0 x y Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’xx=6/x3 B=z’’xy= 1 C=z’’yy=18/y3 Δ=AC-B2= -1 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3  1  4  7 (3n  2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  n 1 (2n  1)!!  n!( x  4)n Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa  n 1 nn
n ρ= = = =1/e => -e
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z  x2  y2 nằm trong hình cầu x2  y2  z2  2z . S là phần mặt z  x2  y2 nằm trong hình cầu x2  y2  z2  2z . D=prxOyS, D={x2+y2 1} S= dxdy = rdr = 2 Câu 8. Tính I   2 xdS , với S là phần mặt trụ x  y 2  4 nằm giữa hai mặt phẳng z  1, z  4 . S S1={x= }, S2={ x= } D1=pryOzS1=D2=pryOzS2 I   2 xdS = + =2 dydz + 2 dydz =0 S
Giải tích 2 – Đề số 4 Câu 1. Cho hàm f ( x, y )  4 y 2  sin 2 ( x  y ) . Tính d 2 f (0,0) f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d2f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm z  x 3 y  12 x 2  8 y. Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’xx=6xy+24 B=z’’xy= C=z’’yy=0 Δ=AC-B2= -9 =-144
=> -8
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z  x2  y2  2 nằm trong hình paraboloid z  x2  y2 . S là phần mặt z  x2  y2  2 nằm trong hình paraboloid z  x2  y2 . D=prxOyS, D={x2+y2 1} S= dxdy= dxdy= rdr= -1) 2 2 2 2 Câu 8. Tính I   x dydz  y dxdz  z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x  y 2  z 2  2 z , phía trên. S I   x 2 dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy = dydz+ dydz+ dydz S dydz= + =- + =0 Tương tự dydz=0 2 dydz = rdr = I= =
Giải tích 2 – Đề số 5 2 f  f  f (u )  u 3  sin u;  Câu 1. Tính , với  xy u  2 xy  e  x Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  2 x 2  12 xy  y 2 ; x 2  4 y 2  25 L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)  x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d2L>0  f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2) x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d2L1
 3n 3 2n    n 2  phân kỳ theo tc Cauchy n 1  n 1  (1) n1 2 n1 ( x  5) n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: n 1 (n  1) ln( n  1) = =2 => -1/2
V= =2 =2 =2 = 3/2 2 Câu 8. Tính I   xdydz   2 y  3z  dxdz  z dxdy , với S là phần mặt S phẳng x  y  z  4 nằm trong hình trụ x2  y2  2 y , phía trên. I   xdydz   2 y  3z  dxdz  z 2 dxdy = S = = x=rcosφ, y-1=rsinφ I= = = = =
Giải tích 2 – Đề số 6 2 3 2z Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x y . Tính dz(1,1) và (1,1) xy dz = 6xy3 dx + 9x2y2 dy => dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy3 2z = 18xy2 + 6xy33x2y2 = 18xy2 + 18x3y5 => (1,1) = 36e xy Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0 A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y Δ=AC-B2=36(x+1)y-9 x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1) x=-1,y=0 => Δ=-9 ko có cực trị  1  4  9 n 2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  n 1 (4n  3)!!  (1) n .3 n 1 Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 4 n2 3 ( x  1) n n 0 . n 1 ρ= = =3/4 => -4/3
Miền hội tụ (-1/3,7/3] Câu 5. Tính tích phân kép I   4  x 2  y 2 dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D x 2  y 2  1, y  x I   4  x 2  y 2 dxdy = = D Câu 6. Tính tích phân I   ( x 2 y  x  y )dx  ( y  x  xy 2 )dy , với C là nửa bên phải của đường tròn C x 2  y 2  4 y , chiều kim đồng hồ. I   ( x 2 y  x  y )dx  ( y  x  xy 2 )dy = - C = - 8= 12 Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  2 y . x=rcost, y=rsint => r= 2sint I= = =4 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I   ( x  y)dx  (2 x  z )dy  ydz , với C là giao của x 2  y 2  z 2  4 C và x  y  z  0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của C là giao của x 2  y 2  z 2  4 và x  y  z  0 I  ( x  y)dx  (2 x  z )dy  ydz = (S có n=( ) C = = =- S=- = -4
Giải tích 2 – Đề số 7 2z Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( 2,1) và ( 2 ,1) x 2 dz= => dz( 2,1) = 2z => ( 2 ,1) = -6 x 2 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y )  1  4 x  8 y; x 2  8 y 2  8 . L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(  x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2 d2L= dx2 - dy2 x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1) x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1)  2n n ! Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  n n 1 n  n  2x  1n Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n 0 5 n  2. n 6  1 ρ= => -5
x=-6: x=4: Miền hội tụ [-6,4] dxdy Câu 5. Tính tích phân  với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x2+y2= 1(x, y 2 2 0 3 x  y  0), x2+y2=33 (x, y  0 ), y=x, y = x 3 . dxdy  0 3  x2  y2 = Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2yexy + e x cosy, Q(x,y)= 2xexy- e x siny trong đó  là hằng số. Tìm  để biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với  vừa tìm được, tính tích phân đường 3  [( x, y)  y ]dx  [Q( x, y )  x 3 ]dy trong đó (  ) là đường tròn x2+y2 = 2x lấy theo chiều dương (ngược  chiều kim đồng hồ). 2 Câu 7. Tính tích phân mặt loại một I   x dS , với S là nửa trên mặt x 2  y 2  z 2  4 S I   x 2 dS = S 2 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I   (3x  y )dx  (3 y  z 2 )dy  (3z  x 2 )dz , với C là giao của C 2 2 z  x  y và z  2  2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của của z  x 2  y 2 và z  2  2 y , n= (0, 2 I  (3x  y )dx  (3 y  z 2 )dy  (3z  x 2 )dz = C = =
Giải tích 2 – Đề số 8 ' ' Câu 1. Tìm zx , zy của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình x3  y 2  yz  ln z F(x,y)= x3+y3+yz-lnz z'x = z’y= Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y )  x 2  y 2  x 2 y  4 trên miền D  {( x, y ) | | x | 1,| y | 1}  x=0,y=0 x= : f(y) =y2+y+5 f’(y)=2y+1=0 =>y=-1/2 y=-1: f(x)= 5 với mọi x y=1: f(x)=2x2+5>0 f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5 f( f(1,1)=f(-1,1)=7 Maxf= 7 Minf= 4 n ( n 1)   2n   1.4.9...n 2 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/    n  2  2n  1  b/  1.3.5...(2n  1)n!.5 n2 n 1 a)  1.4.9...n 2 b) =>  1.3.5...(2n  1)n!.5 n2 phân kỳ theo tc D’alembert n 1  (1)n ( x  2)n Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n 1 3n1 3 n4  n 2  1 ρ= =>-3