Giáo án Đại số 11: Hàm số lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Giáo án Đại số 11: Hàm số lượng giác" tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề hàm số lượng giác, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số 11: Hàm số lượng giác

BÀI GIẢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác Góc I II III IV sin x + + – – cos x + – – + tan x + – + – cot x + – + – 2. Công thức lượng giác cơ bản tan  .cot   1 sin 2   cos 2   1 1 1 1  tan 2   1  cot 2   cos 2  sin 2  3. Cung liên kết Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos  a   cos a sin   a   sin a   sin   a   cos a 2  sin   a    sin a cos   a    cos a   cos   a   sin a  2  tan   a    tan a tan   a    tan a   tan   a   cot a 2  cot  a    cot a cot   a    cot a   cot   a   tan a 2  Góc hơn kém π π Cách nhớ: Góc hơn kém 2 cos đối sin       sin    sin bù sin      cos  2  phụ chéo cos       cos    tang và côtang cos       sin   2  hơn kém nhau pi tan      tan    tan       cot  2  cot      cot    cot       tan  2  Trang 1
4. Công thức cộng cung sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b cot a.cot b  1 tan  a  b   cot  a  b   1  tan a.tan b cot a  cot b 5. Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc Nhân đôi Hạ bậc sin 2  2 sin  .cos  1  cos 2 sin 2   2 1  cos 2 cos 2   cos 2  sin  2 2 cos 2    2 cos   1  1  2sin  2 2 2 tan  1  cos 2 tan 2  tan 2   1  tan 2  1  cos 2 cot 2   1 1  cos 2 cot 2  cot 2   2 cot  1  cos 2 Nhân ba Hạ bậc sin 3  3sin   4sin 3  3sin   sin 3 sin 3   4 cos 3  4 cos3   3cos  3cos   cos 3 cos3   4 3 tan   tan 3  tan 3  1  3 tan 2  6. Góc chia đôi x Đặt t  tan 2 2t 1 t2 2t sin x  cos x  tan x  1 t2 1 t2 1 t2 7. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b ab a b cos a  cos b  2 cos cos cos a  cos b  2sin sin 2 2 2 2 ab a b ab a b sin a  sin b  2sin cos sin a  sin b  2 cos sin 2 2 2 2 sin  a  b  sin  a  b  tan a  tan b  tan a  tan b  cos a.cos b cos a.cos b sin  a  b  sin  b  a  cot a  cot b  cot a  cot b  sin a.sin b sin a.sin b TOANMATH.com Trang 2
8. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   2 MỘT SỐ CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG 1  sin 2 x   sin x  cos x  ;1  sin 2 x   sin x  cos x  . 2 2  2 2  x x  x x  1  sin x   sin  cos  ;1  sin x   sin  cos  .  2 2  2 2  1  cos 2 x  2sin 2 x;1  cos 2 x  2 cos 2 x . x x  1  cos x  2 cos 2 ;1  cos x  2sin 2 . 2 2      sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   .  4  4      sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   .  4  4      sin x  3 cos x  2 cos  x    2sin  x   .  6  3      3 sin x  cos x  2sin  x    2 cos  x   .  6  3 1 3  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  . 2 4 3 5  3cos 4 x  sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  . 4 8 BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360      2 3 5 0  2 6 4 3 2 3 4 6 1 2 3 3 2 1 sin  0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos 1 0    1 1 2 2 2 2 2 2 TOANMATH.com Trang 3
3 3 tan  0 1 3 ||  3 1  0 0 3 3 3 3 || cot  || 3 1 0  1  3 || 3 3 Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M  cos  ;sin   HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục tiêu 1. Nêu rõ tính chất 4 hàm lượng giác cơ bản sin x, cos x, tan x, cot x . 2. Phân biệt được tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và đồ thị của các hàm lượng giác.  Kiến thức + Tìm được tập xác định của hàm lượng giác. + Xác định được chu kì của các hàm lượng giác. + Vẽ được đồ thị của các hàm lượng giác. + Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm lượng giác. TOANMATH.com Trang 4
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hàm số y = sinx Đồ thị hàm số y  sin x  Tập xác định D   .  Tập giá trị  1,1 , tức là 1  sin x  1, x   .  Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.  Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 . Hàm số y = cosx Đồ thị hàm số y  cos x  Tập xác định D   .  Tập giá trị  1,1 , tức là 1  cos x  1, x   .  Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 . Hàm số y = tanx Đồ thị hàm số y  tan x  Tập xác định   D   \   k , k    .  2   Tập giá trị R.  Hàm số y  tan x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.  Hàm số y  tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   . Hàm số y = cotx Đồ thị hàm số y  cot x  Tập xác định D   \ k , k   .  Tập giá trị  . TOANMATH.com Trang 5
 Hàm số y  cot x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.  Hàm số y  cot x là hàm số tuần hoàn với chu kì T   2 y  sin  ax  b   T  a y  sin x D 2 y  cos  ax  b   T  y  cos x Chu kì a Tập xác D định y  tan x HÀM SỐ y  tan  ax  b   T     a D   \   k  LƯỢNG GIÁC  2  Tính y  cot  ax  b   T   y  cot x chẵn lẻ a D   \ k  y  sin x Hàm chẵn Hàm lẻ Đồ thị nhận Oy làm trục đối Đồ thị nhận gốc tọa độ làm y  cos x cứng. Hàm số chẵn khi tâm đối xứng. Hàm số lẻ khi y  tan x x  D  x  D f x  f  x  x  D  x  D f x   f  x y  cot x TOANMATH.com Trang 6
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lượng giác Phương pháp giải Tập xác định của các hàm phân thức, căn thức Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số 1. Hàm số phân thức y  2  3 cos x . P  x  DKXD y  Q  x   0 . Hướng dẫn giải Q  x Vì 1  cos x  1, x   nên 2. Hàm số chứa căn thức  3  cos x  3, x   y  2 n P  x   DKXD  P  x  0 .  2  3cos x  0, x   . 3. Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số Vậy tập xác định của hàm số là D   . P  x y  Q  x   0 . DKXD Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số 2n Q  x  1  y  sin  2  Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản  x 4 1. y  sin u  x   xác định  u  x  xác định. Hướng dẫn giải 2. y  cos u  x   xác định  u  x  xác định.  1  Hàm số y  sin  2  xác định  x 4  3. y  tan u  x   xác định  u  x    k , k   .  x2  4  0 2  x  2 . 4. y  cot u  x   xác định  u  x   k , k   . Vậy tập xác định của hàm số là D   \ 2 . Ví dụ mẫu Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số y  cot  2018 x  1 . Hướng dẫn giải k  1 Hàm số y  cot  2018 x  1 xác định  2018 x  1  k  x  ,k  . 2018  k  1  Vậy tập xác định của hàm số D   \  , k   .  2018  Bài tập tự luyện dạng 1 1 Câu 1: Tập xác định của hàm số y  sin  2 x là x A. D   \ k  . B. D   1;1 \ 0 . C. D   . D. D   \ 0 . Câu 2: Tập xác định của hàm số y  2 cot x  sin 3x là   A. D   \   k  . B. D   \ k  . C. D   . D. D   \ k 2  .  2  TOANMATH.com Trang 7
Câu 3: Tập xác định của hàm số y  cos x là A. D   0; 2  . B. D   0;   . C. D   . D. D   \ 0 . cos x Câu 4: Tập xác định của hàm số y  là 2sin x  1     A. D   \   k 2  . B. D   \ k  . 6   2    5  C. D   \   k  . D. D   \   k 2 ;  k 2  . 6  6 6  cos x Câu 5: Tập xác định của hàm số y  là 2 cos x  3      A. D   \   k 2  . B. D   \ k  .  3   2     5  C. D   \   k 2  . D. D   \   k 2 ;  k 2  .  6  6 6  cot x Câu 6: Tập xác định của hàm số y  là sin x  1     A. D   \   k 2  . B. D   \ k  . 2   2     C. D   \   k 2 ; k  . D. D   \   k  . 2  2 2 Câu 7: Tập xác định của hàm số y  2016 tan 2017 2 x là     A. D   \   k  . B. D   \ k  . 2   2   C. D   . D. D   \   k  . 4 2 Câu 8: Tập xác định của hàm số y  3 tan x  2 cot x  x là       A. D   \   k  . B. D   \ k  . C. D   . D. D   \   k  . 2   2 4 2 s inx Câu 9: Tập xác định của hàm số y  là tan x  1     A. D   \   k  . B. D   \ k  . 4   4      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k 2  . 4 2  4  2017 tan 2 x Câu 10: Tập xác định của hàm số y  là sin 2  cos 2 x     A. D   \   k  . B. D   \ k  . 2   2 TOANMATH.com Trang 8
  C. D   . D. D   \   k  . 4 2 tan x Câu 11: Tập xác định của hàm số y  là sin x  1     A. D   \   k 2  . B. D   \ k  . 2   2     C. D   \   k  . D. D   \   k  . 2  4 2 sin x Câu 12: Tập xác định của hàm số y  là sin x  cos x      A. D   \   k  . B. D   \ k  .  4   4      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k 2  . 4 2  4  Câu 13: Tập xác định của hàm số y  sin 2 x  1 là A. D   \ k  . B. D   .      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k 2  .  4 2   2  Câu 14: Tập xác định của hàm số y  1  cos 2017 x là A. D   \ k  . B. D   .      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k 2  . 4 2  2  1 Câu 15: Tập xác định của hàm số y  là 1  sin 2 x A. D   \ k  . B. D   .      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k  .  4 2   4  1 Câu 16: Tập xác định của hàm số y  là 2  cos 6 x A. D   \ k  . B. D   .      C. D   \   k ;  k  . D. D   \   k  .  4 2   4  tan x Câu 17: Tập xác định của hàm số y  là 15  14 cos13x     A. D   \ k  . B. D   . C. D   \   k  . D. D   \   k  . 2  4  TOANMATH.com Trang 9
2  sin x Câu 18: Tập xác định của hàm số y  là 1  cos x     A. D   \ k  . B. D   \ k 2  . C. D   \   k  . D. D   \ k  . 2   2 Câu 19: Để tìm tập xác định của hàm số y  tan x  cos x , một học sinh giải theo các bước sau  Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là sin x  0 . cos x  0   Bước 2.   x  2  k  k ; m    .  x  m   Bước 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D   \   k , m   k ; m    . 2  Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào? A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3. Câu 20: Hàm số nào sau đây có tập xác định là  ? A. y  sin x . B. y  tan 2 x . C. y  cot 2 x . D. y  x  s inx . Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác Phương pháp giải 1. Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số chẵn Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y  sin 2 x .  x  D   x  D     . nếu f  x  f x Hướng dẫn giải 2. Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu Hàm số y  sin 2 x có tập xác định D   . Đặt f  x   y  sin 2 x . f x xD f x x D . Chú ý:  x  D   x  D Ta có f  x  sin 2 x   f x       + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Suy ra hàm số y  sin 2 x là hàm số lẻ. + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O  0;0  làm tâm đối Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ xứng. O  0; 0  làm tâm đối xứng. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y  f  x   tan x  cot x. Hướng dẫn giải    Hàm số có nghĩa khi scos x  0   x   k ( với k , l   ). inx  0  2  x  l   Tập xác định D   \   k , l | k , l    là tập đối xứng. 2  TOANMATH.com Trang 10
Do đó x  D thì  x  D . Ta có f   x   tan   x   cot   x    tan x  cot x    tan x  cot x    f  x  . Vậy f  x  là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y  sin x 2  4 . Hướng dẫn giải Hàm số có nghĩa khi x 2  4  0  x   ; 2]  [2;   . Tập xác định D   ; 2]  [2;   là tập đối xứng. Do đó x  D thì  x  D Ta có f   x   sin x  4  sin x 2  4  f  x  . 2 Vậy f  x  là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y  sin 2018 2 x  cos 2019 x . Hướng dẫn giải Tập xác định D   là tập đối xứng. Do đó x  D thì  x  D . Ta có f    x   sin 2018  2 x   cos  2019 x   sin 2018 2 x  cos 2019 x  f  x  . Vậy f  x  là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.  2017  Ví dụ 4. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y  f  x   sin  5 x  .  2  Hướng dẫn giải Tập xác định D   là tập đối xứng. Do đó x  D thì  x  D.  2017       Ta có f  x   sin  5 x    sin  5 x   1008   sin  5 x    cos 5 x.  2   2   2 Lại có f   x   cos  5 x   cos 5 x  f  x  . Vậy f  x  là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Ví dụ 5. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y  f  x   sin 3  4 x  9   cot 11x  2018  . Hướng dẫn giải Ta có y  f  x   sin 3  4 x  9   cot 11x  2018    sin 3 4 x  cot11x . k Hàm số có nghĩa khi sin11x  0  11x  k  x  ,k  . 11 TOANMATH.com Trang 11
 k  Tập xác định D   \  , k    là tập đối xứng.  11  Do đó x  D thì  x  D . Lại có f   x    sin 3  4 x   cot  11x   sin 3 4 x  cot11x     sin 3 4 x  cot11x    f  x  . Vậy f  x  là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O  0;0  làm tâm đối xứng. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Hàm số y  sin x.cos x là A. hàm số không lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số không chẵn. D. hàm số lẻ. Câu 2: Hàm số y  sin x  tan 2 x là A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ. Câu 3: Hàm số y  sin x  cos x là A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ. Câu 4: Hàm số y  2 x  sin 3x là A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ. C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ. Câu 5: Hàm số y  1  2 x 2  cos 3x là A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. Câu 6: Hàm số nào là hàm số lẻ trong các hàm số sau? cot x A. y  sin x . B. y  . cos x tan x C. y  sin 2 x . D. y  . sin x Câu 7: Hàm số y  x cos 2 x là A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ. C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ. Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số y  sin x.cos 3x là hàm số lẻ. B. Hàm số y  cos x  2 sin x là hàm số chẵn. C. Hàm số y  3  cot 2 x  cos x  là hàm số lẻ. D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai. TOANMATH.com Trang 12
2sin x  4 tan x Câu 9: Hàm số y  là 5  cos x A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ. Câu 10: Xét hai mệnh đề (I) Hàm số y  tan x  cos x là hàm số lẻ. (II) Hàm số y  tan x  sin x là hàm số lẻ. Mệnh đề nào sai? A. Chỉ (I) sai. B. Chỉ (II) sai. C. Cả 2 sai. D. Không có mệnh đề sai. Câu 11: Hàm số y  sin x cos x  tan x là 2 A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số lẻ. Câu 12. Hàm số y  x 2 tan 2 x  cot x là A. hàm số không chẵn – lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số không lẻ. D. hàm số lẻ.  5  Câu 13. Hàm số y  2  sin x cos   2 x  là  2  A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ. C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ. Câu 14. Cho hàm số f  x   sin 2 x và g  x   tan 2 x . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số lẻ. B. f  x  là hàm số lẻ, g  x  là hàm số chẵn. C. f  x  là hàm số chẵn, g  x  là hàm số chẵn. D. f  x  và g  x  đều là hàm số lẻ. x sin 2 x Câu 15. Hàm số y  là cos3 2 x A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ. Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ? A. y  1  sin 2 x . B. y  cot x .sin 2 x . C. y  x 2 tan 2 x  cot x . D. y  1  cot x  tan x . Câu 17. Hàm số y  tan x  2 cos 3 x là A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn. C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.  3  Câu 18. Hàm số y  1  cos x sin   3 x  là  2  A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn. TOANMATH.com Trang 13
C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số lẻ. cos 2 x sin 2 x  cos 3x Câu 19. Cho hai hàm số f  x   và g  x   . 1  sin 3 x 2 2  tan 2 x Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f  x  lẻ và g  x  chẵn. B. f  x  và g  x  chẵn. C. f  x  chẵn và g  x  lẻ. D. f  x  và g  x  lẻ. Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?     A. y  x 4  cos  x   . B. y  x 2017  cos  x   .  3  2 C. y  2015  cos x  sin 2018 x . D. y  tan 2017 x  sin 2018 x . Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác Phương pháp giải Sử dụng một số bất đẳng thức sau Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 1. Bất đẳng thức lượng giác    hàm số y  3cos x  2 trên đoạn   ;  . 1  sin x;cos x  1, x   .  2 2  A  B  A sin x  B  A  B, x   . Hướng dẫn giải  A  B  A cos x  B  A  B, x   .    Xét hàm số y  3cos x  2 trên đoạn   ;  .  2 2 2. Bất đẳng thức về điều kiện có nghiệm hàm số bậc    nhất. Khi x    ;  thì 0  cos x  1 .  2 2  A2  B 2  A sin x  B cos x  A2  B 2 , x   . Suy ra 2  3cos x  2  5  2  y  5 . 3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.  Vậy min y  2 khi x   ; max y  5 khi x  0 . ax  by  a  b . x  y . 2 2 2 2 2 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ay  bx . 4. Sử dụng phương pháp đồ thị lượng giác. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 6 x  cos 6 x . Hướng dẫn giải 3 Ta có y  sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2 x . 4 3 3 3 Do 0  sin 2 2 x  1 nên  .0   sin 2 2 x   4 4 4 3 3 1 1  1  sin 2 2 x  1   1  y  . 4 4 4 1  k Vậy min y  khi sin 2 2 x  1  cos 2 x  0  x   ,k  . 4 4 2 TOANMATH.com Trang 14
k max y  1 khi sin 2 2 x  0  sin 2 x  0  x  ,k  . 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số    y  tan 2 x  tan x  2020 trên đoạn   ;  .  4 4 Hướng dẫn giải 2  1  8079 Ta có y  tan 2 x  tan x  2020   tan x    .  2 4    Chú ý: Hàm số tan x Hàm số tan x đồng biến và xác định trên khoảng   ;   2 2 luôn đồng biến trên          các khoảng xác định Mà   ;     ;  nên hàm số tan x đồng biến và xác định trên   4 ; 4  .  4 4  2 2  của nó.    Do đó tan     tan x  tan  1  tan x  1  4 4 2 1 1 1 3 1 1  1 9  1   tan x   1     tan x    0   tan x    2 2 2 2 2 2  2 4 2 8079  1  8079 9 8079 8079    tan x        y  2022 . 4  2 4 4 4 4 8079 1 1 Vậy min y  khi tan x   x  arctan ; 4 2 2  max y  2022 khi tan x  1  x    k , k   4 Bài tập tự luyện dạng 3   Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2 cos  x   lần lượt là  4 A. -2 và 7. B. -2 và 2. C. 5 và 9. D. 4 và 7. Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là A. 2 và 2. B. 2 và 4. C. 4 2 và 8. D. 4 2  1 và 7. Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 2 x  4sin x  5 là A. -20. B. -8. C. 0. D. 9. Câu 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin x  3 là A. max y  5, min y  1 . B. max y  5, min y  2 5 . C. max y  5, min y  2 . D. max y  5, min y  3 . 4 Câu 5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  là 1  2sin 2 x TOANMATH.com Trang 15
4 4 A. min y  , max y  4 . B. min y  , max y  3 . 3 3 4 1 C. min y  , max y  2 . D. min y  , max y  4 . 3 2 Câu 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin 2 x  cos 2 2 x là 3 A. max y  4, min y  . B. max y  3, min y  2 . 4 3 C. max y  4, min y  2 . D. max y  3, min y  . 4 Câu 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin x  4 cos x  1 là A. max y  6, min y  2 . B. max y  4, min y  4 . C. max y  6, min y  4 . D. max y  6, min y  1 . Câu 8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4sin 6 x  3cos 6 x là A. min y  5, max y  5 . B. min y  4, max y  4 . C. min y  3, max y  5 . D. min y  6, max y  6 .    Câu 9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 2 x trên   ;  lần lượt là  6 3 1 3 3 3 3 1 1 1 A. và . B. và  . C. và  . D. và  . 2 2 2 2 2 2 2 2    Câu 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3 tan x trên   ;  lần lượt là  3 4 3 3 A. 3 và  . B. 3 và . C. 3 và -3. D. 3 và -1. 3 3  2  Câu 11. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4  3cos x trên  0;  lần lượt là  3  11 A. 1 và -1. B. 11 và 5. C. 3 và -3. D. và 1. 2      Câu 12. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x   sin  2 x   trên   4 ; 4  lần lượt là  4 2 2 2 2 A. 1 và - 2 . B. 1 và . C. và -1. D. và  . 2 2 2 2 Câu 13. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  2  sin 2 x là A. min y  0, max y  3 . B. min y  0, max y  4 . C. min y  0, max y  6 . D. min y  0, max y  2 . cos x  2sin x Câu 14. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  lần lượt là 2  sin x TOANMATH.com Trang 16
2  19 2  19 3 A. và . B. 3 và . 3 3 3  3  19  3  19 C. 3 và -3. D. và . 3 3 Câu 15. Giá trị của m để bất phương trình  3sin x  4 cos x   6sin x  8cos x  2m  1 nghiệm đúng với 2 mọi x   là A. m  0. B. m  0 . C. m  0 . D. m  1 . Câu 16. Kết luận đúng về hàm số y  tan 2 x  cot 2 x  3  tan x  cot x   1 là  A. min y  5 đạt được khi x    k , k   . 4 B. Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. C. min y  2 và max y  5 . D. Tồn tại giá trị lớn nhất nhưng không tồn tại giá trị nhỏ nhất. Câu 17. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 4 x  sin 4 x trên  lần lượt là 1 A. 2 và 0. B. 1 và . C. 2 và 0. D. 2 và 1. 2 3sin 2 x  cos 2 x Câu 18 . Giá trị của m để bất phương trình  m  1 là sin 2 x  4 cos 2 x  1 3 5 3 5 9 3 5 9 3 5 9 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 4 4 2 4 cos 2 x  sin x.cos x Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y  lần lượt là 1  sin 2 x 2 2 6 2 6 A. 0 và 3. B. 2 và 4. C.  và 6. D. và . 3 4 4 Câu 20. Cho cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  1 . Giá trị lớn nhất của y  1  cos 2 x  1  cos 2 y  1  cos 2 z là A. 3 3 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 3. Dạng 4. Tính tuần hoàn và chu kỳ hàm lượng giác Phương pháp giải Một số vấn đề cần chú ý 1. Tính tuần hoàn của hàm số Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f  x  xác định trên tập D  2x   y  sin    .  3 4 được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho Hướng dẫn giải với mọi x  0 ta có Tập xác định D   . x  T  D và f  x  T   f  x  . TOANMATH.com Trang 17
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì 2 Chu kì của hàm số T   3 . hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T. 2 3  y  m sin  ax  b  2 2. Các hàm số  có chu kỳ T  ;  y  m cos  ax  b  a biên độ m ;cực đại m ;cực tiểu - m , 3. Hàm số f  x   a sin ux  b cos vx  c (với u , v   ) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 T ((u,v) là ƯCLN (u,v)).  u, v  4. Hàm số f  x   a.tan ux  b cos vx  c (với u, v   ) hàm số tuần hoàn với chu kì 2 T ((u,v) là ƯCLN (u,v)).  u, v  Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm chu kì cơ sở của hàm số y  2sin 2 x  3cos 3x . Hướng dẫn giải Tập xác định D   . 2 Chu kì hàm số T   2 .  2,3 Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số f  x   cos x  cos  3x  . Hướng dẫn giải Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn. Suy ra tồn tại số thực dương T thỏa mãn f  x  T   f  x   cos  x  T   cos  3  x  T    cos x  cos  3x  . cos T  1 Chọn x  0 ta được cos T  cos     3T  2  cos 3T  1   T  2n 3T  2m m m  3  (vô lí do m, n   nên là số hữu tỉ). n n Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. Bài tập tự luyện dạng 4 x  Câu 1. Chu kì của hàm số y  sin    là 3 6 1  2 A. . B. . C. . D. 6 . 2 3 3 TOANMATH.com Trang 18
Câu 2. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? A. y  cos 3 x . B. y  3cos 3 x . C. y  3cos 6 x . D. y  3cos 3 x . x  Câu 3. Hàm số y  2sin    là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 3 A. T  6 . B. T  4 . C. T  6 . D. T  2 . Câu 4. Khẳng định nào sau đây sai về hàm số y  2  sin x ? A. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ. B. Đồ thị hàm số nằm ở phía trên trục hoành. C. Giá trị cực đại của y là 2. D. Giá trị cực tiểu của y là 1. x Câu 5. Nếu chu kì tuần hoàn của hàm số y  sin là 4 thì a A. a  2 . B. a  4 . C. a  2 . D. a  1 . Câu 6. Hàm số y  tan x 2 tuần hoàn với chu kì A. T   2 . B. T   . C. T   . D. Hàm số không có chu kì. x Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng với hàm số y  2 cos ? 2 A. Biên độ là 2, chu kì là  . B. Biên độ là -2, chu kì là 180 . C. Biên độ là 2, chu kì là 2 . D. Biên độ là 2, chu kì là 4 . Câu 8. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? A. y  sin 2 x . B. y  sin 3x . C. y  cos 2 x . D. y  cos 3x . Câu 9. Chu kì của hàm số sau y  sin 3x  2 cos 2 x là   A. T0  2 . B. T0  . C. T0   . D. T0  . 2 4  x Câu 10. Với 0  x  thì hàm số f  x   sin có giá trị cực đại là 2 3 TOANMATH.com Trang 19
1 1 A. 0. B. 1. C. . D. . 3 2   Câu 11. Hàm số y  3cos   mx  tuần hoàn có chu kì T  3 khi  4  3 2 A. m   . B. m  1 . C. m   . D. m  2 . 2 3 Câu 12. Xét đồ thị hàm số y  sin x với x   , 2  . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số có một cực đại tại x   . B. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x  2 . 3 C. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x  . 2 D. Hàm số đồng biến trên  , 2  . Câu 13. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào? x A. y  sin 2 x . B. y  cos 2 x . C. y  cos . D. y  cos 3 x . 2 Câu 14. Chu kì của hàm số y  sin 2 x  sin x là   A. T  2 . B. T0  . C. T0   . D. T0  . 2 4 Câu 15. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau   A. Hàm số y  cot x đồng biến trên khoảng  ;   . 2    B. Hàm số y  sin x nghịch biến trên khoảng  ;   . 2        C. Hàm số y  tan x đồng biến trên   ;  và y  cot x nghịch biến trên khoảng   ;  .  2 2  2 2   D. Hàm số y  sin x và y  cos x cùng đồng biến trên khoảng  0;  .  2 Câu 16. Chu kì của hàm số y  tan x  tan 3x là   A. T  2 . B. T   . C. T  . D. T  . 4 2 x  Câu 17. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số y  2sin   2017  ? 2  TOANMATH.com Trang 20