intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo án toán học 11: Giới hạn của dãy số

Chia sẻ: Hoàng Duy Ngọc Hoang Duy Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
506
lượt xem 113
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tịnh tổng của nó. Nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án toán học 11: Giới hạn của dãy số

  1. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 1 GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ A.MUÏC TIEÂU Cuûng coá cho hoïc sinh caùc kieán thöùc § khaùi nieäm giôùi haïn cuûa daõy soá , ñònh nghóa giôùi haïn daõy soá . § caùc ñònh lyù veà giôùi haïn trình baøy trong sgk. § khaùi nieäm caáp soá nhaân luøi voâ haïn vaø coâng thöùc tính toång cuûa noù. Nhaän daïng caáp soá nhaân luøi voâ haïn . B. TIEÁN TRÌNH BAØI HOÏC : HÑ 1 : Caùc pheùp toaùn Hoaït ñoäng cuûa HS Hoaït ñoäng cuûa GV HS nhaéc laïi Cho HS aùp duïng vaøo BT : Caùc pheùp toaùn Hoïc sinh Aùp duïng vaøo VD : Tìm : lim(u n ± v n ) = lim u n ± lim v n n →∞ n →∞ n →∞ 3n 2 + 2n + 5 lim(u n .v n ) = lim u n . lim v n lim n →∞ n→∞ n →∞ n →∞ 7 n 2 − n + 3 lim u n n →∞ u n = ; lim v n ≠ 0 lim lim v n n→∞ n →∞ v Aùp duïng : lim q n = 0 Vôùi q < 1 n n →∞ n →∞ • lim u n = lim u n ; u n ≥ 0; ∀n ∈ N * Vaø phaân tích : n →∞ n →∞ ÑL: lim q n = 0 Vôùi q < 1 u  u1 u −  1 .q n → S = 1 ; Khi : n → ∞ Sn = 1− q 1− q  n →∞ 1− q   Phaân tích : 1./aùp duïng : 25 3+ + 1 2 3n + 2n + 5 n n2 = 3 =0 lim = lim lim n n →∞ 7 n 2 − n + 3 13 7 n →∞ 7− + 2 1 nn 1− n −1 phaân tích : BT1 : n →1 = 1 n +1 Duøng ñònh nghóa giôùi haïn,chöùng 1+ n minh : 2./töông töï hsinh phaân tích : n −1 b.) lim =1 n →∞ n + 1 2 1 6− +3 3 6 n − 2n + 1 2 b./ lim n n =3 = lim BT2 : 2n 3 − n 1 2− 2 Tìm caùc giôùi haïn : n e./hsinh phaân tích : 3 6n − 2n + 1 1 b.) lim 1+ 3 3 3 2n 3 − n n +n n2 = lim =1 lim 2 n+2 1+ n 3 n3 + n e.) lim g./ n+2 1
  2. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb hsinh bieán ñoåi : nhaân,chia LLH g.) lim( n 2 + n − n) 1 n lim( n 2 + n − n) = lim = 2 n2 + n + n 3./ BT3 : n(n + 1) a./Aùp duïng : S = 2 1 + 2 + 3 + .... + n a.) lim n2 + 2 TIEÁT 2 : GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ A.MUÏC TIEÂU Cuûng coá cho HS caùc kieán thöùc khaùi nieäm giôùi haïn cuûa haøm soá , ñònh nghóa giôùi haïn 1beân . Bieát caùc ñònh lyù veà giôùi haïn trình baøy trong sgk. 2. Veà kyõ naêng : Tính giôùi haïn 1beân , giôùi haïn cuûa haøm soá taïi ±∞ . 1soá giôùi haïn daïng 0∞ ; ; ∞ − ∞. 0∞ B. TIEÁN TRÌNH BAØI HOÏC : Hoaït ñoäng cuûa HS Hoaït ñoäng cuûa GV 1./Ñònh Nghóa : Laáy daõy xn → 1 2 x −1 2 a./Ví Duï : f ( x) = x −1 f ( xn ) = n = xn + 1 → 2 x −1 xn − 1 b./Ñònh Nghóa : Cho f(x)/K.Coù theå f(x) khoâng xñ taïi x = 1 Khoâng Xñ taïi a ∈ K Töø ñoù daãn Hsinh ñeán ñònh nghóa Ta noùi : lim f ( x) = L • Caùc ñònh lyù treân vaän duïng töø ÑN vaø x→a Neáu caùc ñl giôùi haïn daõy soá ∀x n ∈ K ; x n ≠ a : lim x n = a ⇒ lim f ( x n ) = L Hsinh vaän duïng ÑN vaø caùc ÑL qua caùc VD n →∞ n →∞ Chöùng Minh : 2./caùc ñònh lyù : 1./ lim x = a Ñònh Lyù 1 : lim f ( x) = L laø duy nhaát x →a x→a Hieån nhieân do : lim x n = a Ñònh Lyù 2 : lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) 2.,/ lim x k = a k x →a x→ a x →a x →a lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) Phaân tích : x k = x.x.x.....x → a.a.a....a = a k x →a x→ a x →a k k f ( x) lim f ( x) 2 = x →a x − 3x + 2 ( x − 2)( x − 1) ; lim g ( x) ≠ 0 lim 3./ lim = lim = lim( x − 1) = 1 x →a g ( x) lim g ( x) x →a x−2 x−2 x →2 x →2 x →2 x →a 4./ f(x) khoâng xñ taïi x = 3 lim f ( x) = lim f ( x) ; f ( x) ≥ 0 x →a x →a 2
  3. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb Ñònh Lyù 3 : g ( x); f ( x); h( x) / K x +1 − 2 Tìm lim 3x − 3 x →3 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x) Hsinh nhaân,chia bieåu thöùc lieân hôïp : Neáu : lim g ( x) = lim h( x) = L ⇒ lim f ( x) = L x +1 − 2 3x + 3 1 = lim = lim x →a x →a x →a 2 3x − 3 3( x + 1 + 2) x →3 x →3 Ñònh Lyù 4 : x ñuû gaàn a vaø f ( x) > 0; ( f ( x) < 0) Vaø lim f ( x) = L Thì : L ≥ 0; ( L ≤ 0) x →a 3
  4. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 3 : BAØI TAÄP 1./Troïng Taâm : Vaän duïng ÑN giôùi haïn cuûa haøm soá,caùc tính chaát vaøo giaûi BT Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS GV cho HS thöïc hieän caùc BT 0 1./Hsinh nhaän xeùt daïng voâ ñònh : BT1 : Tìm 0 Phaân tích : x 2 + 2 x − 15 d./ lim x−3 x →3 x 2 + 2 x − 15 ( x − 3)( x + 5) = lim = lim( x + 5) = 8 lim x3 − x2 + x −1 x −3 x−3 x →3 x →3 x →3 g./ lim x −1 x →1 x3 − x 2 + x − 1 ( x − 1)( x 2 + 1) = lim = lim BT2 : x −1 x −1 x →1 x →1 lim( x 2 + 1) = 2 x →1 2( x + h) 3 − 2 x 3 a./ lim h h →0 2./Hsinh nhaän xeùt : h laø bieán , x laø haèng BT3 : Khöû daïng voâ ñònh Aùp duïng : x+h− x (x > 0 ) lim [ ] h h →0 2( x + h) 3 − 2 x 3 2h ( x + h) 2 + x( x + h) + x 2 = BT4 : h h [ ] = 2 ( x + h) + x ( x + h) + x → 6 x 2 2 2 x +1 − x2 + x +1 Khi h → 0 a./ lim x x →0 BT naäng cao : 3./Hsinh nhaân chia BT lieân hôïp cuûa x+h − x 1− 3 1− x lim 4./PP nhaân ,chia BT lieân hôïp : 3x x →0 BTLH cuûa a ± b laø a ∓ b BTLH cuûa a ± 3 b laø (3 a 2 ∓ 3 ab + 3 b ) 3 TIEÁT 4 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC A.MUÏC TIEÂU Cuûng coá cho HS caùc kieán thöùc : khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc (taïi 1ñieåm,treân 1khoaûng). Bieát caùc ñònh lyù veà haøm ña thöùc , phaân thöùc höõu tyû lieân tuïc treân töøng taäp xaùc ñònh cuûa chuùng . D. TIEÁN TRÌNH BAØI HOÏC : HÑ1 : Oân taäp laïi kieán thöùc Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS 4
  5. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb 1./Haøm soá lieân tuïc taïi 1 ñieåm : Töø ñònh nghóa ,Hsinh neâu caùc yeáu toá ñeå 1 cho hs nhaéc laïi ÑN haøm soá lieân tuïc taïi 1 haøm soá lieân tuïc taïi 1 ñieåm : ñieåm Thöïc hieän VD : a./Ñònh Nghóa : a./Xeùt tính lieân tuïc taïi x0 = 1  x2 −1  f(x)/(a;b). f(x) lieân tuïc taïi x0 ∈ (a; b) neáu : f ( x) =  x − 1 x ≠ 1 a x =1  f(x)/R lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f ( x0 ) f (1) = a x→ xx x → x0 x2 −1 = lim( x + 1) = 2 lim x − 1 x →1 x →1 y Ñeå f lieân tuïc taïi x0 = 1 thì a = 2 1 O x x 2 + 1 x > 0 b./ f ( x) =  Hsinh nhaän xeùt x≤0 x : Heä Quaû : : f(x) lieân tuïc treân [a;b] vaø lim f ( x) = 1 f (a ). f (b) < 0 thì ∃c ∈ (a; b) : f (c) = 0 x→0 + y lim f ( x) = 0 x→0 − lim f ( x) ≠ lim f ( x) ⇒ x→0 + − x →0 a f(b) giaùn ñoaïn taïi x0 = 0 x b Hsinh kieåm chöùng : f(a) Hs f(x) lieân tuïc treân [-1;1] GV cho VD : Chöùng minh PT f (−1). f (1) = −3 < 0 töø ñoù KL : PT coù ít nhaát 1 f ( x) = x 5 + x − 1 = 0 coù nghieäm treân (- nghieäm thuoäc (-1;1) 1;1) 5
  6. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 5 : BAØI TAÄP 1./Troïng Taâm : Vaän duïng ÑN haøm so lieân tuïc vaø caùc tính chaát vaøo giaûi BT Hoaït ñoäng cuûa GV Hoaït ñoäng cuûa HS GV cho BT Hsinh neâu caùc daáu hieäu nhaän bieát 1 haøm soá BT1 : tìm caùc ñieåm giaùn ñoaïn giaùn ñoaïn taïi 1 ñieåm coù x = x0 2 Xaûy ra ít nhaát 1 trong daáu hieäu : x − 5x + 6 c./ f ( x) = - Khoâng xaùc ñònh taïi x0 x 2 − 2x tgx - Khoâng coù lim f ( x) d./ f ( x) = x → x0 x - lim f ( x) ≠ f ( x0 )  x 2 − 16  x → x0 x≠4 e./ f ( x) =  x − 4 x 2 − 5x + 6 8 1./a./Haøm soá f ( x) = khoâng xñ x=4  x 2 − 2x taïi BT2 : Tìm f(0) ? ñeå f(x) lieân tuïc taïi x = x = 0; x = 2 neân giaùn ñoaïn taïi x = 0; x = 2 0 vì f(x) laø haøm höõu tæ neân lieân tuïc treân TXÑ x 2 − 2x a./ f ( x) = D = R \ {0;2} x e./Nhaän xeùt : lim f ( x) = f (4) = 8 BT3 : Tìm a ? ñeå f(x) lieân tuïc vôùi moïi x x →4 Veõ ñoà thò Vaäy f(x) lieân tuïc treân R ax 2 x ≤ 2 x 2 − 2x 2./ lim = −2 Vaäy ñeå f(x) lieân tuïc taïi f ( x) =  x x →0 3 x>2  BT4 : CMR PT sau coù ít nhaát 2 nghieäm x = 0 thì f(0) = -2 treân (-1;1) 3./ lim− f ( x) = f (2) = 4a 4 2 4x + 2x − x − 3 = 0 x→ 2 lim f ( x) = 3 . Ñeå hs LT taïi x = 2 thì x→ 2 + 3 4a = 3 ⇔ a = 4 4./Hsinh nhaän xeùt : f (−1). f (0) = 4.(−3) = −12 < 0 f (0). f (1) = (−3).2 = −6 < 0 6
  7. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 6 : VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN I. MUÏC TIEÂU Cuûng coá cho hoïc sinh caùc kieán thöùc + caùc ñònh nghóa, vectô trong khoâng gian, hai vectô baèng nhau, vectô khoâng, ñoä daøi vectô. + caùc pheùp toaùn veà vectô, coâng tröø caùc vectô, nhaân vectô vôùi moät soá thöïc. + ñònh nghóa ba vectô khoâng ñoàng phaúng, ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng. + ñònh nghóa tích voâ höôùng cuûa hai vectô, vaän duïng tích voâ höôùng cuûa hai vectô ñeå giaûi caùc baøi toaùn yeáu toá hình hoïc khoâng gian. Hoaït ñoäng 1: Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô .Hoaït doäng cuûa giaùo vieân Hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh + Yeâu caàu hoïc sinh Ñieàu kieän ñoàng phaúng HS: . Chöùng minh MN, BC, AD ñoàng cuûa ba vectô phaúng. a khoâng song song vôùi b . a, b, c ñoàng Gôïi yù: Döïa vaøo ñònh nghóa phaúng khi c = ma + nb , m, n khoâng ñoàng ( BC, AD song song vôùi maët phaúng thôøi baèng khoâng vaø duy nhaát. (MNPQ)) OC = mOA + nOB Hình 3.7 ⇔ c = ma + nb HS: Ghi giaû thieát, keát luaän vaø veõ hình Vì a, b khoâng cuøng thuoäc moät phöông neân Gôïi yù: Xeùt trong maët phaúng (MNPQ). m, n ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát. Phaân tích vectô MN , MP . GV cho VD : cho töù dieän ABCD .goïi So saùnh MQ, AD vaø MP, BC M,N,P,Q laàn löôït laø trung ñieåm AB,AC,CD,BD .a.) Chöùng minh MNPQ laø hình bình haønh. HS: Neâu caùch chöùng minh b.)Phaân tích MN theo caùc vectô BC, AD . + Neâu caùch giaûi GV: Vaäy trong maët phaúng (OCXX’), haõy + So saùnh BD, FH vaø DG, IK phaân tích OX theo hai vectô OX ' vaø OC , ⇒ BG = FH + IK söï phaân tích ñoù laø duy nhaát. HS: Neâu caùch giaûi + Trong maët phaúng (AOBX’), haõy phaân Phaân tích AI theo caùc vectô AB, AD tích OX ' theo caùc vectô OA,OB 1 OX ' = m OA + nOB , m, n ñöôïc xaùc ñònh ( ) ⇒ AI = AB + AD 2 duy nhaát. 1 1 – Ví duï minh hoïa + Cho ABCD laø hình AM = AB + AD + AE 2 2 thoi, IB = IA vaø KB = KF. Chöùng minh raèng: a. FH, IK, BG ñoàng phaúng. b. Phaân tích BG theo caùc vectô FH, IK TIEÁT 7 : LUYEÄN TAÄP I. MUÏC TIEÂU Vaän duïng caùc kieán thöùc troïng taâm vaøo giaûi baøi taäp II. NOÄI DUNG VAØ TIEÁN TRÌNH LEÂN LÔÙP. 7
  8. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb .Hoaït doäng cuûa giaùo vieân Hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh Cho BT : HS : veõ hình BT Xaùc ñònh caùc ñöôøng “ - - - -“ Cho töù dieân ABCD .Goïi M,N laàn löôït A laø trung ñieåm AB,CD , ^ ^ AB=AC=AD= a. B A C = B A D = 60 0 M Chöùng minh : a.) AB ⊥ CD B D a.) MN ⊥ AB N GV : goïi 1 hs nhaéc laïi quy taéc 3 ñieåm Tích voâ höôùng cuûa 2 veùcto C ÑK vuoâng goùc ? AB.CD = AB.( AD − AC ) a.) a2 a2 = − =0 2 2 ⇔ AB ⊥ CD b.)Aùp duïng quy taéc 3 ñieåm : MN = MA + AD + DN MN = MB + BC + CN −−−−−−−−−−−−− ( ) ( ) 2MN = MA + MB + AD + BC + DN + CN ⇔ 2MN = AD + BC = AD + ( AC − AB) 2 ⇔ 2MN . AB = AD + BC = AD. AB + AC. AB − AB a2 a2 − a2 = 0 ⇔ 2.MN . AB = + 2 2 ⇔ MN ⊥ AB 8
  9. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 8 : QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC I. MUÏC TIEÂU Cuûng coá cho hoïc sinh caùc kieán thöùc + caùc ñònh nghóa + caùc ñònh lyù veà ñieàu kieän ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñöôøng thaúng. ñöôøng thaúng vuoâng goùc maët phaúng + vaän duïng vaøo giaûi caùc baøi toaùn yeáu toá hình hoïc khoâng gian. Hoaït ñoäng 1: Ñieàu kieän ñöôøng thaúng vuoâng goùc ñöôøng thaúng. ñöôøng thaúng vuoâng goùc maët phaúng .Hoaït doäng cuûa giaùo vieân Hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh HS veõ hình,chæ roõ caùc ñöôøng khuaát GV cho BT : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC Câu 1: là tam giác vuông t i A, AB=a, - Ch ng minh đư c AC AC=2a. SA=2a và SA vuông góc ⊥ (SAB) mp(ABC). M là 1 đi m n m trên - Suy ra AC ⊥ SM đo n AB Câu 2: 1. Ch ng minh AC ⊥ SM. - G i I là hình chi u c a A lên 2. Tính góc gi a SA và (SBC) BC ch ng minh BC ⊥ (SIA) 1đ 3. M t ph ng (α) qua M và (P) ⊥ AB. - G i H là hình chi u c a A Tìm thi t di n m t ph ng (α) c t lên SI ch ng minh AH ⊥ (SBC) và hình chóp, thi t di n là hình gì? suy ra góc ASI là góc c n tìm 1đ - Tính đúng Câu 3: S - Ch ng minh (α)//(SAC) - Tìm đúng thi t di n - K t lu n (α)=(MNP) P A C M N B 9
  10. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb TIEÁT 9 : QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC (TT) I. MUÏC TIEÂU + vaän duïng vaøo giaûi caùc baøi toaùn hình hoïc khoâng gian. .Hoaït doäng cuûa giaùo vieân Hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh GV cho 2 caâu traéc nghieäm oân taäp : 1. Hình v a. ( 2 đi m) 1. Trong không gian , v i 3 đư ng th ng cm mp (SAB) ⊥ BC nên SH ⊥ a, b, c tuỳ ý. Xét 3 m nh đ : (I): N u a // b và a ⊥ c thì b ⊥ c. BC (II): N u a ⊥ c và b ⊥ c thì a // b. M t khác SH ⊥ AB ( ∆ SAB (III): N u a ⊥ c và b ⊥ c và c ⊥ a thì đ u) nên suy ra SH ⊥ (ABCD) a, b, c đ ng quy t i 1 đi m. a. ( 2 đi m ) S m nh đ đúng là: cm AC ⊥ (SHK) nên SK ⊥ AC A. 1 B. 2 a.( 1 đi m ) C. 3 D. 0 CK ⊥ SH và CK ⊥ HD nên CK 2. Cho 2 m t ph ng α, β phân bi t và ⊥ (SHD) đư ng th ng a ⊥ α. Xét 3 m nh đ : (I): N u a // β thì α ⊥ β (II): N u α // β thì a ⊥ β. (III): N u α ⊥ β thì a // β. Hi u s gi a s m nh đ đúng và s S m nh đ sai là: A. 1 B. -1 C. 3 d. -3 K A D H GV cho BT : B C Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, m t bên SAB là tam giác đ u và SC = a 2 . G i H và K l n lư t là trung đi m c a AB và AD. a. Ch ng minh SH ⊥ (ABCD) b. Ch ng minh AC ⊥ SK c. Ch ng minh CK ⊥ SD TIEÁT 11 : Caùc quy taéc tính ®¹o hµm I)Môc I)Môc tiªu: 1)KiÕn thøc: cuûng coá caùc quy taéc tính ñaïo haøm 10
  11. Nguy n Thành Hi u – THPT Đ m Hà T ch n 11cb ' u 2) Kü n¨ng: cuûng coá tÝnh ®¹o hµm (uv ) vaø   = ? ' v Ho¹t ®éng 1 : X©y dùng ®¹o hµm cña hµm sè h÷u tØ. ' u Tr¶ lêi mong ®îi: VÊn ®¸p: Nh¾c l¹i   = ? v '  u  u ' v − v 'u  = VÊn ®¸p: Thö cho biÕt ®¹o hµm cña hµm sè v2 v ax + b d y= (víi x ≠ − )? '  ax + b  ad − bc cx + d c Tr¶ lêi mong ®îi: y ' =  = Gi¶ng: Néi dung hÖ qu¶1. 2  cx + d  ( cx + d ) Ho¹t ®éng 2: Cñng cè viÖc tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè h÷u tØ. Yªu cÇu HS thùc hiÖn néi dung vÝ dô sau Thùc hiÖn vÝ dô theo theo nhãm ®· chia: TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè: *§¸p ¸n: 2 x − x +1 x +1 b) y = a) y = ; '  x +1 −2 2− x x −1 (víi x ≠ 1 ) a) y ' =  =  2 Theo dâi vµ ®iÒu chØnh qu¸ tr×nh lµm viÖc  x − 1  ( x − 1) theo nhãm cña häc sinh '  x2 − x + 1  − x2 + 4x − 1 Chän 2 kÕt qu¶ (kh¸c nhau) d¸n trªn b¶ng vµ b) y ' =  = (víi x ≠ 2 ) yªu cÇu c¸c nhãm cßn l¹i nhËn xÐt. 2 (2 − x)  2− x  Cñng cè: C¸ch tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè h÷u tØ. NhËn xÐt kÕt qu¶ ho¹t ®éng cña c¸c nhãm 11
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2